Phép tính vi phân, tích phân và tính toán gần đúng 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HẢI YẾN PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN VÀ TÍNH TOÁN GẦN ĐÚNG Ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ[.]

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HẢI YẾN PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN VÀ TÍNH TỐN GẦN ĐÚNG Ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2022 Cơng trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí TS Hoàng Nhật Quy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 03 tháng năm 2022 Mở đầu Lý chọn đề tài Sự phát triển Tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỷ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Sự đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt ngành Giải tích hàm giúp cho tốn thực tế sống, vật lý, khoa học, kỹ thuật, giải nhanh gọn xác Ngành giải tích tốn học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi tích phân, Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng Trong đó, phép tính vi phân, tích phân phần Giải tích Phép tính vi phân, tích phân lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học, thành tựu bật giai đoạn cuối kỷ XVII Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Sự đời phép tính vi – tích phân đưa tốn học sang giai đoạn – giai đoạn toán cao cấp – gần kết thúc giai đoạn toán học sơ cấp đơn [8]; từ đối tượng nghiên cứu số hình dạng tĩnh tại, toán học bước sang nghiên cứu đối tượng trình vận động biến đổi Ngày nay, với phát triển khoa học công nghệ, lý thuyết phép tính vi – tích phân lại có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế sống nghiên cứu khoa học Engels viết: “Chỉ có phép tính vi phân đem lại cho khoa học tự nhiên khả miêu tả tốn học khơng trạng thái mà trình” Và q trình giải phương trình, tính tích phân, ta biết có số phương trình, tích phân tìm nghiệm tính giá trị xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần tính gần giá trị phương trình tích phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà Tốn học tìm nhiều phương pháp tính tốn gần Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu vấn đề này, hướng dẫn thầy giáo TS Lê Hồng Trí TS Hồng Nhật Quy tơi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Phép tính vi phân, tích phân tính tốn gần đúng” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài hệ thống hóa lại kiến thức phép tính vi phân, phép tính tích phân ứng dụng phép tốn việc tính tốn gần giá trị hàm số, nghiệm phương trình tính số loại tích phân hàm biến thực Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phép tính vi phân, phép tính tích phân ứng dụng phép tính việc tính tốn gần • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận văn thuộc lĩnh vực giải tích tốn học, cụ thể ứng dụng để tính gần tốn vi phân, tích phân Phương pháp nghiên cứu Xây dựng đề cương nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu liên quan tới đề tài Dựa vào đề cương trao đổi với giảng viên hướng dẫn để hoàn thiện kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương: ˆ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu trình bày khái niệm phép tính vi phân hàm hay nhiều biến số định nghĩa, tính chất tích phân ˆ Chương Các tính tốn gần liên quan tới phép tính vi phân, tích phân Nội dung chương đưa phương pháp, thuật tốn xấp xỉ, tính tốn gần giá trị hàm số, nghiệm phương trình tính số loại tích phân hàm số biến thực Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo tốt để hiểu thêm số vấn đề lý thuyết, giải tốn ứng dụng việc tính tốn gần phép tính vi phân, phép tính tích phân Ngồi ra, q trình nghiên cứu hồn thành luận văn góp phần nâng cao lực tốn học cho thân em kết luận văn sở quan trọng việc phát triển chương trình (xây dựng chuyên đề hoạt động trải nghiệm sáng tạo tốn học) tốn học phổ thơng bắt đầu thực từ 2020 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đạo hàm hàm số biến tính chất Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định khoảng mở (a, b) x0 ∈ (a, b) Nếu tồn giới hạn hữu hạn f (x) − f (x0 ) = A, x→x0 x − x0 lim A ∈ R, giới hạn A gọi đạo hàm f (x) điểm x0 ký hiệu f ′ (x0 ) Khi đó, ta nói f khả vi điểm x0 Hàm số f gọi có đạo hàm (a, b) có đạo hàm x ∈ (a, b) Trong trường hợp này, ta nói hàm f khả vi (a, b) Nhận xét 1.1.2 (a) Hàm số f (x) có đạo hàm điểm x0 tồn đạo hàm phải, đạo hàm trái f+′ (x0 ) = f−′ (x0 ) (b) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm x0 liên tục Điều ngược lai nói chung khơng 1.2 Phép tính vi phân hàm biến tính chất Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f (x) hàm xác định lân cận điểm x = x0 Nếu lân cận điểm x0 , số gia ∆f hàm số, tương ứng số gia ∆x biến số viết dạng ∆f = A∆x + o(∆x), A ∈ R đại lượng phụ thuộc vào x0 hàm f mà khơng phụ thuộc vào ∆x cịn o(∆x) vơ bé cấp cao so với ∆x đại lượng A∆x gọi vi phân hàm f (x) điểm x0 ký hiệu df = A∆x 1.3 Khái niệm đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số tính chất Xét hàm hai biến f (x, y) xác định tập mở D ⊂ R2 Xét điểm cố định (x0 , y0 ) ∈ D Định nghĩa 1.3.1 Đạo hàm riêng f (x, y) theo x (x0 , y0 ) ký ∂f (x0 , y0 ) hay fx′ (x0 , y0 ), giới hạn hữu hạn (nếu tồn tại) hiệu ∂x ∂f f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim x→x0 ∂x x − x0 f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x Định lý 1.3.2 (Cauchy-Schwarz) Giả sử lân cận ∂f ∂f ∂ f ∂ f , , , , điểm (x0 , y0 ), hàm f (x, y) có đạo hàm ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x ∂ 2f ∂ 2f đạo hàm riêng cấp hai , liên tục (x0 , y0 ) ta có ∂x∂y ∂y∂x ∂ 2f ∂ 2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x 1.4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến tính chất Định nghĩa 1.4.1 Nếu lân cận điểm (x0 , y0 ) với số gia ∆x, ∆y biến số mà số gia tương ứng hàm số viết dạng p ∆f = A∆x + B∆y + o(ρ), ρ = ∆x2 + ∆y , A, B đại lượng phụ thuộc vào điểm (x0 , y0 ) hàm f mà không phụ thuộc vào ∆x, ∆y ; cịn o(ρ) vơ bé cấp cao ρ (tức là, limρ→0 o(ρ) ρ = 0) đại lượng A∆x + B∆y gọi vi phân hàm f điểm (x0 , y0 ) ký hiệu df = A∆x + B∆y Định lý 1.4.2 Nếu hàm f (x, y) có đạo hàm riêng lân cận điểm (x0 , y0 ) ngồi đạo hàm riêng liên tục điểm (x0 , y0 ) hàm số f (x, y) khả vi điểm (x0 , y0 ) 1.5 Định nghĩa tích phân hàm biến tính chất Định nghĩa 1.5.1 Giả sử hàm số f (x) xác định đoạn [a, b] Ta chia nhỏ đoạn [a, b] thành n đoạn (n + 1) điểm a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Ký hiệu ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, , n Trên đoạn nhỏ [xi−1 , xi ], lấy tùy ý điểm ξi ∈ [xi−1 , xi ] Khi đó, giới hạn n X lim max ∆xi →0 f (ξi )∆xi i=1 tồn không phụ thuộc vào cách chọn điểm ξi cách chia lưới điểm xi ta nói hàm f khả tích [a, b] giới hạn gọi tích phân hàm f [a, b] Ký hiệu Z b f (x)dx a 1.6 Định nghĩa tích phân bội tính chất Định nghĩa 1.6.1 Cho hàm số z = f (x, y) xác định miền đóng, bị chặn D ⊂ R2 Chia tùy ý miền D thành n miền nhỏ không chồng lấn lên Gọi ∆Si diện tích miền di đường kính miền ∆Si , i = 1, n Đặt n X In = f (xi , yi )∆Si , i=1 (xi , yi ) tọa độ điểm Mi nằm miền thứ i (điểm Mi lấy bất kỳ) Tổng In tổng tích phân hàm f (x, y) miền D ứng với phân hoạch cách chọn điểm Mi Nếu n → +∞ max di → mà In tiến tới giá trị hữu hạn xác định I , giá trị I không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn Mi I gọi tích phân kép hàm f (x, y) miền D ký hiệu ZZ I= f (x, y)dS D Chương Các tính tốn gần liên quan phép tính vi phân, tích phân 2.1 Xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm biến Ở mục này, chúng tơi giới thiệu phương pháp xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm biến Ý tưởng ta dễ dàng tính giá trị f (a) hàm số có số trở ngại (hoặc khơng thể tính được) giá trị xung quanh a hàm f nên ta đưa tính tốn giá trị hàm tuyến tính L mà đồ thị L đường tiếp tuyến f (a, f (a)) Nói cách khác, ta sử dụng đường tiếp tuyến điểm (a, f (a)) xấp xỉ đường cong y = f (x) x gần a Phương trình đường tiếp tuyến L : y = f (a) + f ′ (a)(x − a) Vì ta có xấp xỉ f (x) ∼ = f (a) + f ′ (a)(x − a) x ∼ =a gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ đường tiếp tuyến f a Hàm tuyến tính L(x) mà đồ thị đường tiếp tuyến, L(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) gọi tuyến tính hóa f a √ Ví dụ 2.1 Tìm xấp xỉ tuyến tính hàm f (x) = x +√3 điểm √a = sử dụng xấp xỉ tuyến tính tính gần giá trị 3, 98 4, 05? Các giá trị xấp xỉ hay xấp xỉ dưới? Ta có đạo hàm hàm sốf (x) = (x + 3) Hình 2.1 – Xấp xỉ tuyến tính √ x+3 1 f ′ (x) = (x + 3)− = √ , 2 x+3 giá trị f (1) = f ′ (1) = Do đó, hàm tuyến tính hóa f (x) x L(x) = f (1) + f ′ (1)(x − 1) = + (x − 1) = + 4 √ x Như vậy, xấp xỉ tuyến tính x + ≈ + Thay giá trị vào ta 4 p p 0, 98 1, 05 3, 98 ≈ + = 1, 995, 4, 05 = + = 2, 0125 4 4 Xấp xỉ tuyến tính biểu diễn Hình 2.1 Đây xấp xỉ Ý tưởng xấp xỉ tuyến tính đơi biến đổi áp dụng vào xấp xỉ vi phân Giả sử y = f (x), f hàm khả vi Khi đó, vi phân d(x) biến độc lập, tức dx cho trước giá trị Vi phân dy biểu diễn theo dx phương trình dy = f ′ (x)dx Vì dy biến phụ thuộc vào giá trị x dx Nếu dx cho trước x lấy miền xác định f giá trị dy hồn tồn xác định Hình 2.2 – Ý nghĩa hình học vi phân Ý nghĩa hình học vi phân biểu diễn Hình 2.2 Với P (x, f (x)) Q(x + δx, f (x + ∆x)) điểm thuộc đồ thị hàm f cho dx = ∆x Khi đó, thay đổi y (số gia hàm số) ∆y = f (x + ∆x) − f (x) Độ dốc đường tiếp tuyến P R đạo hàm f ′ (x) Do đó, khoảng cách trực tiếp từ S đến R f ′ (x)dx = dy Do đó, dy thể đường tiếp tuyến tăng giảm (sự thay đổi tuyến tính) ∆y biểu diễn thay đổi đường cong y = f (x) tăng giảm x thay đổi lượng ∆x 2.2 Xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm nhiều biến Trong mục này, giới thiệu mặt phẳng tiếp xúc xấp xỉ tuyến tính Ta tiếp tục ý tưởng xấp xỉ hàm khả vi biến số điểm đường tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Bằng cách mở rộng ý tưởng không gian ba chiều Ta xem điểm mặt đồ thị hàm khả vi hai biến số, mặt xem giống mặt phẳng ta xấp xỉ hàm số nói hàm hai biến số Cũng cách này, ta mở rộng ý tưởng cho hàm khả vi hai hay nhiều biến Đầu tiên, ta trình bày số kiến thức mặt phẳng tiếp xúc Giả sử mặt S có phương trình z = f (x, y), f có đạo hàm riêng cấp liên tục ký hiệu P (x0 , y0 , z0 ) điểm S Gọi C1 C2 đường cong thu cách lấy giao mặt phẳng y = y0 x = x0 với mặt S Khi đó, điểm P nằm C1 C2 Ta ký hiệu T1 T2 đường tiếp xúc C1 C2 điểm P Khi đó, mặt phẳng tiếp xúc với S điểm P định nghĩa mặt phẳng chứa hai đường thẳng tiếp xúc T1 T2 Ta biết đường cong năm S qua P có đường thẳng tiếp xúc P nằm mặt phẳng tiếp xúc Do đó, ta coi mặt phẳng tiếp xúc S P chứa tất đường thẳng tiếp xúc P đường cong S qua P Vì vậy, mặt phẳng tiếp xúc P mặt phẳng xấp xỉ gần mặt S xung quanh tiệm cận điểm P Hình 2.3 – Mặt phẳng tiếp xúc chứa đường thẳng tiếp xúc T1 , T2 Hơn nữa, ta biết mặt phẳng qua điểm P có dạng A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = D Bằng cách chia cho C đặt a = −A/C , b = −B/C ta viết lại sau z − z0 = a(x − x0 ) + b(y − y0 ) Để xác định giao điểm mặt phẳng tiếp xúc với mặt phẳng y = y0 ta có z − z0 = a(x − x0 ) Từ ta suy độ dốc đường thẳng tiếp xúc T1 a = fx (x0 , y0 ) Tương tự, cách cho x = x0 ta có độ dốc đường thẳng tiếp xúc T2 b = fy (x0 , y0 ) Như vậy, f có đạo hàm riêng liên tục phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x, y) điểm P (x0 , y0 ) z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) (2.1) Từ lập luận phần đầu, ta coi mặt phẳng tiếp xúc xấp xỉ tuyến tính hàm f điểm Như vậy, từ (2.1) ta viết lại hàm tuyến tính hóa hàm f điểm (a, b, f (a, b)) đồ thị L(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b), (2.2) xấp xỉ tuyến tính f (x, y) ≈ f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) (2.3) Ví dụ 2.2 Tìm xấp xỉ tuyến tính mặt elliptic paraboloid z = 2x2 + y điểm (1, 1, 3) Đặt f (x, y) = 2x2 + y Khi đó, fx (x, y) = 4x, fy (x, y) = 2y fx (1, 1) = 4, fy (1, 1) = Do đó, mặt phẳng tiếp xúc paraboloid z = 4x + 2y − xấp xỉ tuyến tính xung quanh điểm (1, 1, 3) f (x, y) ≈ 4x + 2y − 2.3 Xấp xỉ toàn phương hàm nhiều biến Trong phần này, mở rộng xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến trình bày mục trước thành xấp xấp xỉ tồn phương hàm số sử dụng hàm xấp xỉ để kiểm tra điểm tới hạn Nhắc lại hàm tuyến tính hóa hàm f hai biến điểm (a, b) L(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b), đồ thị L mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x, y) điểm (a, b, f (a, b)) Khi đó, L ≈ f (x, y) L(x, y) gọi đa thức Taylor bậc f (a, b) Bây giờ, ta giả thiết hàm f có đạo 10 hàm riêng cấp hai đạo hàm riêng cấp hai liên tục Khi đó, đa thức Taylor bậc hai f điểm (a, b) Q(x, y) = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) 1 + fxx (a, b)(x − a)2 + fxy (a, b)(x − a)(y − b) + fyy (a, b)(y − b)2 2 (2.4) xấp xỉ f (x, Y ) ≈ Q(x, y) gọi xấp xỉ toàn phương f (a, b) Ví dụ 2.3 Tìm đa thức Taylor bậc L đa thức Taylor bậc hai Q 2 hàm số f (x, y) = e−x −y điểm (0, 0) Vẽ đồ thị f, L Q Từ đó, xác định xem L Q xấp xỉ đủ tốt f khơng? Trước hết, ta tính đạo hàm riêng −y 2 fx (x, y) = −2xe−x fy (x, y) = −2ye−x fxx (x, y) = −2e−x fxy (x, y) = fyy (x, y) = −2e−x 2 −y , fx (0, 0) = , fy (0, 0) = + 4x2 e−x −y + 4y e−x −y 2 −y −y , fxx (0, 0) = −2 , fyy (0, 0) = −2 Do đó, ta có xấp xỉ tuyến tính xung quanh lân cận điểm (0, 0) L(x, y) = f (0, 0) + fx (0, 0)(x − 0) + fy (0, 0)(y − 0) = Cịn xấp xỉ tồn phương xung quanh lân cận điểm (0, 0) 1 Q(x, y) =f (0, 0) + fxx (0, 0)(x − 0)2 + fyy (0, 0)(y − 0)2 2 2 =1 − x − y Ta xem bảng giá trị tính toán cụ thể sau 2.4 Phương pháp Newton Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày phương pháp Newton Như biết, phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có cơng thức nghiệm đẹp Các phương trình bậc ba bậc bốn có cơng thức nghiệm phức tạp Các nhà toán học chứng minh phương trình bậc năm trở lên khơng có cơng thức nghiệm 11 x 0.05 0.1 0.15 0.15 0.2 y 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2 f (x, y) 0.995012 0.98019 0.95599 0.93941 0.92311 L(x, y) 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 Q(x, y) 0.99500 0.99000 0.95500 0.93750 0.92000 Bảng 2.3.1 – Bảng giá trị hàm số e−x −y tổng quát (xem [4]) Tuy nhiên, cách vẽ đồ thị phương trình ta ước lượng nghiệm phương trình Từ đây, người ta xây dựng phương pháp Newton, số liệu khác gọi phương pháp Newton-Raphson Trước mô thuật tốn cơng thức tốn học, ta trình bày phương diện hình học Giả sử ta cần giải phương trình f (x) = ta dự đốn giá trị ban đầu làm nghiệm x1 Ta tính tốn giá trị f (x1 ) sau tìm đường thẳng tiếp tuyến đồ thị f (x) điểm (x1 , f (x1 )) xác định giao điểm tiếp tuyến với trục Ox Nếu f (x) tuyến tính hiển nhiên giao điểm nghiệm xác (trường hợp tầm thường) Nói chung, giao điểm cho ta xấp xỉ nghiệm tốt giá trị ban đầu x1 Ta thấy độ dốc đường tiếp tuyến f ′ (x1 ) phương trình tiếp tuyến y − f (x1 ) = f ′ (x1 )(x − x1 ) Bằng cách giả sử f ′ (x1 ) ̸= 0, giao điểm tiếp tuyến với trục Ox, tức f (x1 ) Gọi x2 giao điểm tiếp tuyến với trục Ox, y = x = x1 − ′ f (x1 ) sau lặp lại trình cách xây dựng tiếp tuyến f x2 , Quá trình xem Hình 2.4 sau Như vậy, phương pháp Newton trình lặp giải phương trình f (x) = với giá trị nghiệm dự đốn ban đầu x1 cơng thức xn+1 = x2 − f (xn ) , f ′ (xn ) (2.5) với n = 1, 2, Ví dụ 2.4 Bắt đầu với x1 = 2, tìm nghiệm phương trình x3 −2x−5 = phương pháp Newton sau hai bước lặp 12 Hình 2.4 – Phương pháp Newton Ta thấy f (1) = −6, f (2) = −1 f (3) = 16 Như vậy, phương trình có nghiệm khoảng (2, 3) Ta có f ′ (x) = 3x2 − q trình tính tốn trở thành xn+1 x3n − 2xn − = x2 − 3x2n − Với n = 1, ta có x31 − 2x1 − 3x21 − 23 − 2.2 − =2 − = 2, 3.22 − x2 =x1 − Với n = 2, ta có x32 − 2x2 − 3x22 − 2, 13 − 2.2, − =2, − = 2, 09461 3.2, 12 − x3 =x2 − Nghiệm xác phương trình x = 2, 094551482 Như vậy, sau hai bước lặp ta thu nghiệm xác Tuy nhiên, thật không may lúc phương pháp Newton xấp xỉ cho ta nghiệm xấp xỉ đủ tốt Ta xem Hình 2.5 sau để thấy chi tiết Định lý sau trình bày tốc độ hội tụ phương pháp Newton 13 Hình 2.5 – Minh họa xấp xỉ Newton số hàm Định lý 2.4.1 Nếu f ∈ C x1 đủ gần nghiệm xác x∗ f Hơn nữa, f ′ (x∗ ) ̸= phương pháp Newton hội tụ cấp hai đến x∗ Tức tồn số C = |f ′′ (x∗ )/(2f ′ (x∗ ))| cho |xn+1 − x∗ | lim = C n→∞ |xn − x∗ |2 Định lý trình bày tốc độ hội tụ phương pháp Newton Nói chung với tốc độ hội tụ cấp hai nhanh ta thực phương pháp với giá trị x1 đảm bảo thuật toán hội tụ Như trình bày, khơng phải lúc phương pháp Newton hội tụ Tuy nhiên, ta chọn điểm x1 ban đầu điểm Fourier phương pháp hội tụ đến nghiệm xác sau số hữu hạn bước Định nghĩa 2.4.2 Điểm x1 gọi điểm Fourier f f (x1 )f ′′ (x1 ) > Trong Định lý 2.4.1, ta phải giả thiết f ′ (x∗ ) ̸= đểm đảm bảo hội tụ cấp hai Tuy nhiên, f ′ (x∗ ) = tốc độ hội tụ thay đổi Cụ thể, ta có kết sau 14 Định lý 2.4.3 Nếu f ∈ C p+1 với p ≥ x1 đủ gần nghiệm xác x∗ f , đạo hàm f ′ (x∗ ) = · · · = f (p) (x∗ ) = f (p+1) (x∗ ) ̸= phương pháp Newton hội tụ tuyến tính đến nghiệm xác x∗ Nói cách khác, sai số sau bước giảm p/(p + 1) lần Tức |xn+1 − x∗ | p = n→∞ |xn − x∗ | p+1 lim √ Ví dụ 2.5 Tính phương pháp Newton, tức giải x2 − = Ví f (x) = x2 − nên ta suy f ′ (x) = 2x bước lặp Newton xn+1 x2n − = xn − , 2xn n = 1, 2, Bắt đầu với x1 = 2, ta kiểm tra f (x)f ′′ (x) = (22 − 2).2 > nên √ x1 = điểm Fourier phương pháp đảm bảo hội tụ Đặt en = xn − sai số bước Thực phương pháp sau ba bước cho ta kết bảng x1 x2 x3 x4 =2 = 1, = 1, 4167 = 1, 4142157 e1 e2 e3 e4 = 0, 59 = 0, 086 = 0, 0025 = 2, 1.10−6 Bảng 2.4.1 – Tính giá trị √ Sau ba bước, kết ta thu gần so với giá trị √ Chú ý ta chọn x1 > phương√pháp hội tụ đến cịn chọn x1 < phương pháp hội tụ đến − √ 2.5 Tính gần tích phân hàm biến Rất nhiều tích phân khơng thể biểu diễn nguyên hàm dạng hàm số áp dụng công thức Newton-Leibnitz, chẳng hạn Z e−x dx Tuy nhiên, để tính tốn giá trị tích phân này, người ta sử dụng phương pháp tính gần tích phân với cơng cụ máy tính hỗ trợ 15 Trong mục này, chúng tơi trình bày số phương pháp tính gần tích phân Các kiến thức phần lớn tham khảo từ [1]-[2] Đầu tiên, ta trình bày phương pháp Newton-Cotes Đây phương pháp hai nhà toán học Isaac Newton Roger Cotes đưa Để xấp xỉ tích phân Z b f (x)dx, a ta thay hàm f đa thức nội suy f tích phân đa thức nội suy Bằng cách viết đa thức nội suy dạng Lagrange, tích phân trở thành   Z b Z n n b X Y x − xj   f (x)dx ≈ f (xi ) (2.6) x − x i j a a i=0 j=0,j̸=i Với n = 1, ta thu cơng thức hình thang Tức ta xấp xỉ f đa thức nội suy bậc một, P1 (x) = f (a) x−a x−b + f (b) , a−b b−a ta tích phân p1 (x) thu Z b Z b f (a) (x − b)2 b f (b) (x − a)2 b f (x)dx ≈ p1 (x)dx = + a a a−b b−a a a b−a [f (a) + f (b)] = Bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân, ta dễ dàng sai số cơng thức hình thang − (b − a)3 f ′′ (η), η ∈ [a, b] 12 Ví dụ 2.6 Sử dụng cơng thức hình thang tính gần tích phân R −x dx đánh giá sai số e Ta có Z 2 e−x dx ≈ e0 + e−4 ≈ 1, 0183 Ta thấy, sai số xấp xỉ − f ′′ (η) với η ∈ [0, 2] Trong trường hợp ′′ −x2 này, f (x) = (4x − 2)e nên giá trị tuyệt đối f ′′ (x) đạt giá trị lớn x = |f ′′ (0)| = Do đó, sai số xấp xỉ không vượt 16 Với n = 2, ta thu công thức Simpson Tức ta sử dụng điểm nội suy x0 = a, x1 = (a + b)/2 x2 = b xấp xỉ f (x) đa thức nội suy bậc hai Đó (x − (a + b)/2)(x − b) (a − (a + b)/2)(a − b)   (x − a)(x − b) a+b +f ((a + b)/2 − a)((a + b)/2 − b) (x − a)(x − (a + b)/2) + f (b) (b − a)(b − (a + b)/2) p2 (x) =f (a) Sau đó, tích phân đa thức nội suy bậc hai lên ta thu công thức xấp xỉ     Z b b−a a+b f (x)dx ≈ f (a) + 4f + f (b) (2.7) a 2.6 Tính gần tích phân bội Trong phần cuối này, chúng tơi trình bày phương pháp số để tính gần tích phân bội Để cho đơn giản, xuyên suốt phần giả thiết f (x, y) hàm hai biến x y , khả tích, phương pháp trình bày cho tích phân bội hai Dĩ nhiên, phương pháp hồn tồn mở rộng cho tích phân bội ba Trước hết, ta xét tích phân bội Z bZ d ZZ f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx I= R a c với R hình chữ nhật R2 xác định R = [a, b] × [c, d] Bằng cách áp dụng phương pháp Simpson hợp, chia đoạn [c, d] thành m (m số nguyên chẵn) đoạn tích phân theo biến y xác định sau   Z d m/2−1 m/2 X X k f (x, y)dy = f (x, y0 ) + f (x, y2j ) + f (x, y2j−1 ) + f (x, ym ) c j=1 j=1 d − c ∂ 4f − k (x, µ), 180 ∂y 17 d−c , yj = c + jk với j = 0, 1, , m µ ∈ [c, d] Tiếp m theo, ta lại áp dụng công thức Simpson hợp cho biến x có   Z b m/2−1 m/2 X X k I= f (x, y0 ) + f (x, y2j ) + f (x, y2j−1 ) + f (x, ym ) a j=1 j=1 Z b d − c ∂ 4f k (x, µ)dx − 180 ∂y a  Z m/2−1 Z b X k b = f (x, y0 )dx + f (x, y2j )dx a a j=1  Z m/2 Z b b X f (x, y2j−1 )dx + f (x, ym )dx +4 k = j=1 a d−c k − 180 a Z a b ∂ 4f (x, µ)dx ∂y Nói chung, để tính tốn tích phân với cơng thức Simpson phức tạp Ta thực với R b giá trị cố định j Áp dụng phương pháp Simpson hợp cho tích phân a f (x, yj )dx với việc chia đoạn [a, b] thành n b−a đoạn nhỏ có độ dài h = , n số nguyên chẵn Với xi = a + ih, n i = 0, 1, 2, , n ξj ∈ [a, b], ta có Z b f (x, yj )dx a   n/2−1 n/2 X X h = f (x0 , yj ) + f (x2i yj ) + f (x2i−1 , yj ) + f (xn , yj ) (2.8) i=1 i=1 b − a ∂ 4f h (ξj , yj ) − 180 ∂x4 18 ... cứu: ? ?Phép tính vi phân, tích phân tính tốn gần đúng? ?? cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài hệ thống hóa lại kiến thức phép tính vi phân, phép tính tích phân ứng... phân, phép tính tích phân ứng dụng phép tính vi? ??c tính tốn gần • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận văn thuộc lĩnh vực giải tích tốn học, cụ thể ứng dụng để tính gần tốn vi phân, tích phân. .. Chương Các tính tốn gần liên quan phép tính vi phân, tích phân 2 .1 Xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm biến Ở mục này, giới thiệu phương pháp xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm biến Ý tưởng ta dễ dàng tính giá