Các phép biến đổi laplace và ứng dụng giải phương trình vi phân và mạch điện

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– MEUNSATHAN VADSANA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MẠCH ĐIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– MEUNSATHAN VADSANA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MẠCH ĐIỆN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRUNG HIẾU Đà Nẵng - 2022 vi Danh mục hình 1.1 Biểu diễn số phức mặt phẳng phức 1.2 Biểu diễn số phức hệ tọa độ cực 1.3 Hàm số gián đoạn loại có bước nhảy 11 1.4 Hàm số liên tục phần đoạn [0, ∞) 11 2.1 Miền hội tụ tuyệt nhát cắt Dedekind 19 3.1 Mạch điện trở miền thời gian -t (trái) miền tần số -s (phải) 45 3.2 Mạch tụ điện miền thời gian -t (trái) miền tần số -s (phải) 46 3.3 Mạch cuộn cảm miền thời gian -t (trái) miền tần số -s (phải) 47 3.4 Trở kháng thiết bị miền tần số -s 47 3.5 Cường độ dòng điện nút 48 3.6 Điện áp vòng 48 3.7 Ý tưởng sử dụng biến đổi Laplace để giải mạch điện 49 3.8 Mạch miền -t Ví dụ 3.2.1 49 3.9 Mạch miền -s Ví dụ 3.2.1 50 3.10 Mô tả việc sử dụng phương pháp biến đổi Laplace để giải mạch điện Ví dụ 3.2.1 50 3.11 Mạch miền -t Ví dụ 3.2.2 52 3.12 Mạch miền -s Ví dụ 3.2.2 a) 52 3.13 Mạch miền -s Ví dụ 3.2.2 b) 53 3.14 Mạch miền -t Ví dụ 3.2.3 54 3.15 Mạch miền -s Ví dụ 3.2.3 a) 55 3.16 Mạch miền -s Ví dụ 3.2.3 b) 56 3.17 Mạch miền -t Ví dụ 3.2.4 56 vii 3.18 Mạch thời điểm t = 0− Ví dụ 3.2.4 57 3.19 Mạch miền -s Ví dụ 3.2.4 57 viii Danh mục bảng 2.1 Biến đổi Laplace số hàm 16 2.2 Biến đổi Laplace số hàm sử dụng phép dời thứ 23 2.3 Các cặp biến đổi Laplace thông dụng 37 2.4 Các tính chất phép biến đổi Laplace 37 ix LỜI CẢM ƠN Trong q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn, tác giả nhận đồng viên, khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình cấp lãnh đạo, thầy giáo, cô giáo, anh chị em, bạn bè đồng nghiệp gia đình Tác giả bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Phịng Sau đại học trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy chun để tồn khóa học tạo điều kiện, đóng góp ý kiến cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Trung Hiếu, người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ tác giả tiến hành hoạt động nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn Với thời gian nghiên cứu cịn hạn chế, vấn đề nghiên cứu lại hồn tồn với tác giả, luận văn khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ thầy giáo, giáo, đồng nghiệp, bạn bè Đà Nẵng, ngày 02 tháng 10 năm 2022 Tác giả Meunsathan Vadsana x MỤC LỤC Lời cam đoan i Tóm tắt luận văn ii Danh mục hình vii Danh mục bảng viii Lời cảm ơn ix MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức 1.1.1 Các phép tính số phức 1.1.2 Hệ tọa độ cực, module argument 1.2 Tích phân suy rộng loại I dạng hội tụ 1.2.1 Tích phân suy rộng loại I 1.2.2 Hội tụ tuyệt đối 10 1.2.3 Hội tụ 10 1.3 Hàm liên tục phần 11 1.3.1 Hàm gián đoạn loại 11 1.3.2 Hàm liên tục phần 11 1.4 Bậc mũ 12 CHƯƠNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 13 2.1 Phép biến đổi Laplace 13 2.1.1 Định nghĩa 13 2.1.2 Điều kiện hội tụ miền hội tụ 16 −s e−st + −s s  = , s (2.2) với điều kiện s > (nếu s thực) Do L(1) = , s (s > 0) Nếu s ≤ tích phân (2.2) phân kỳ f (t) khơng có phép biến đổi Laplace Sau chứng minh tính tốn (2.2) xứ lý theo cách tương tự s tham số phức Chúng ta sử dụng công thức Euler tiếng (xem phần e, mục 1.1.1) eiθ = cos θ + i sin θ, θ ∈ R, (2.3) đẳng thức |eiθ | = 1, để chứng minh Z est dt = est s (2.4) với s = x + iy ∈ C Ở đây, dấu trừ phép tính giới hạn (2.2) bỏ qua để đơn giản hóa việc tính tốn Theo cơng thức Euler ta có Z Z st e dt = e (x+iy)t dt = Z Z xt e cos ytdt + i ext sin ytdt (2.5) Sử dụng tích phân phần hai tích phân vế phải (2.5), ta nhận Z est dt = ext [(x cos yt + y sin yt) + i(x sin yt − y cos yt)] x2 + y (2.6) 15 Bây vế phải (2.4) biểu diễn dạng est e(x+iy)t = s x + yi ext (cos yt + i sin yt)(x − iy) = x2 + y ext [(x cos yt + y sin yt) + i(x sin yt − y cos yt)] = x + y2 với vế trái (xem (2.6)) Như vậy, (2.4) chứng minh Sử dụng (2.6), thu kết (2.2) cho trường hợp s số phức thỏa mãn ℜs > lim |e−sτ | = lim e−xτ = 0, τ →∞ τ →∞ ℜs > Ví dụ 2.1.3 Xét hàm số mũ f (t) = e−at Z ∞ L{e−at } = ∞ e(s+a)τ e−at e−st dt = lim = τ →∞ (s + a) s+a Trong đó, bước cuối, sử dụng limτ →∞ |e−(a+s)τ | = 0, với điều kiện ℜ(s + a) > hay ℜs > −ℜa Thông thường (trừ Ví dụ 2.1.4), làm việc với a ∈ R Khi đó, điều kiện trở thành ℜs > −a Ví dụ 2.1.4 Xét hàm cos wt sin wt với w ∈ R Áp dụng kết Ví dụ 2.1.3 cho a = −iw a = iw ta có:  iwt  −iwt iwt −iwt L{e } + L{e } e =L +e = L{cos wt}, đó, 1 s L{cos wt} = ( + )= 2 s − iw s + iw s + w2 (ℜ(s) > 0) (2.7) 1 w − )= L{sin wt} = ( s − iw s + iw s + w2 (ℜ(s) > 0) (2.8) Tương tự Ví dụ 2.1.5 Xét hàm lũy thừa f (t) = tn Ta có Z L{t } = n ∞ tn e−st dt Dùng phương pháp tích phân phần với: u = tn ; du = ntn−1 dt 16 dv = e−st dt; v = ta suy Z e−st −s ∞ tn e−st ∞ n tn−1 e−st dt L{t } = |0− + −s s 0− n = L{tn−1 } ℜs > s n L{tn } = n n−1 n−2 n! L{1} = n+1 s s s s ℜs > 0, biến đổi Laplace hàm lũy thừa L{tn } = n! sn+1 , ℜs > 0, n = 1, 2, 3, (2.9) Bảng 2.1 tổng hợp lại biến đổi Laplace số hàm trình bày Số f (t) e−at cos at sin at tn , n = 1, 2, F (s) s s+a s s2 +a2 a s2 +a2 n! sn+1 Điều kiện ℜs > ℜs > −a ℜs > ℜs > ℜs > Bảng 2.1: Biến đổi Laplace số hàm 2.1.2 Điều kiện hội tụ miền hội tụ Trong mục 2.1.1, biết tích phân Laplace (2.1) hội tụ phân kỳ Trong mục này, tìm hiểu điều kiện f miền s để tích phân hội tụ Định lý 2.1.6 Nếu f liên tục phần [0, ∞) có bậc mũ α phép biến đổi Laplace, L{f }, tồn với ℜs > α tích phân Laplace (2.1) hội tụ tuyệt đối Chứng minh Do f có bậc số mũ α, theo Định nghĩa 1.4.1 tồn số M1 > cho |f (t)| ≤ M1 eαt , với t0 ≥ t ≥ t0 17 Ngồi ra, f liên tục phần [0, ∞) liên tục phần [0, t0 ] bị số M2 > đó: |f (t)| ≤ M2 , < t < t0 Đặt m = eαt t∈[0,t0 ] M = max{M1 , M 2/m}, ta có |f (t)| ≤ M eαt , Vì với s = x + iy Z τ |e −st t > Z τ f (t)|dt ≤ M e−(x−α)t dt τ M e−(x−α)t = −(x − α) = M e−(x−α)τ M − x−α (x − α) Cho τ → ∞ lưu ý ℜs = x > α để thu Z ∞ |e−st f (t)|dt ≤ M x−α Vậy tích phân Laplace (2.1) hội tụ tuyệt đối (và hội tụ hay tồn tại) với ℜs > α Định lý 2.1.7 Nếu tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối điểm s0 hội tụ tuyệt đối toàn nửa mặt phẳng đóng bên phải: ℜs ≥ ℜs0 Chứng minh Chúng ta sử dụng tiêu chí hội tụ Cauchy: Một tích phân Z ∞ φ(t)dt hội tụ cho ε > 0, có ω cho Z ω2