Giáo trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace

LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết hàm biến phức phép biến đổi Laplace phần quan trọng kiến thức toán học mà kỹ sư nhà khoa học cần phải nắm vững Đó hàm biến phức phép biến đổi Laplace cho ta nhiều phương pháp dễ dàng hiệu nghiệm để giải toán nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Giáo trình Hàm phức phép biến đổi Laplace biên soạn theo chương trình hành, dùng cho sinh viên ngành Điện - Điện tử, Điện tự động Kỹ thuật điện - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định Giáo trình gồm bốn chương: Chương chương "Hàm biến phức" Trong chương này, bổ sung xác hóa khái niệm mà cấp phổ thơng cịn đề cập sơ sài không đề cập đến Cốt lõi chương cần nắm dạng đại số, lượng giác, dạng mũ số phức phép toán; khái niệm hàm biến phức, giới hạn, liên tục hàm biến phức, số hàm biến phức Chương chương "Tích phân phức" Phần này, bạn đọc cần nắm khái niệm, tính chất tích phân phức; cách tính tích phân phức Chương chương "Lý thuyết chuỗi lý thuyết thặng dư" Bạn đọc cần nắm khái niệm, tính chất chuỗi số phức, chuỗi hàm phức số chuỗi hàm phức quan trọng chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, chuỗi Fourier Biết khai triển hàm số thành chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, chuỗi Fourier Chương chương "Phép biến đổi Laplace" Ban đầu, lý thuyết phép biến đối Laplace xuất người ta tìm cách chứng minh số "quy tắc toán tử" Heaviside sử dụng cuối kỉ 19 để giải số phương trình lý thuyết điện từ Về sau, khoảng đầu kỉ 20, cố gắng thành cơng nhờ cơng trình Bromwich, Carson nhiều nhà tốn học khác với cơng cụ hàm biến phức Trong chương trình bày kiến thức mở đầu sơ đẳng phép biến đổi Laplace; khái niệm, tính chất phép biến đổi Laplace biến đổi Laplace ngược, cách tìm biến đổi Laplace Laplace ngược hàm số ứng dụng phép biến đổi Laplace như: giải phương trình, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, đặc biệt ứng dụng giải tích mạch điện qua giúp người học thấy tầm quan trọng môn học chun ngành Với mục đích tinh giản khoa học, đầy đủ có số định lý chúng tơi khơng trình bày phần chứng minh số mục đưa vào để sinh viên tự nghiên cứu thêm Cuối chương có phần tập, phần hướng dẫn đáp số để người học củng cố kiến thức kiểm tra kết học tập Giáo trình biên soạn lần đầu nên khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để giáo trình hồn thiện Cuối cùng, chúng tơi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học hợp tác quốc tế, bạn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định nhiệt tình giúp đỡ để hồn thành giáo trình Nam Định, 2010 Các tác giả MỤC LỤC Chương Hàm biến phức 1.1 1.2 1.3 1.4 Số phức 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các phép toán 10 Biểu diễn hình học số phức 16 1.2.1 Biểu diễn hình học số phức 16 1.2.2 Biểu diễn hình học cácphép tốn 19 1.2.3 Dạng lượng giác số phức 21 1.2.4 Dạng mũ số phức 27 1.2.5 Mặt phẳng phức mở rộng 28 Các khái niệm hình học 29 1.3.1 Khoảng cách 29 1.3.2 Lân cận 29 1.3.3 Điểm 30 1.3.4 Tập 30 1.3.5 Đường 32 1.3.6 Miền 33 Hàm biến phức 34 1.4.1 Khái niệm 34 1.4.2 Biểu diễn hình học hàm phức 35 1.5 1.6 1.7 1.8 Giới hạn hàm phức 37 1.5.1 Khái niệm 37 1.5.2 Tính chất 38 Sự liên tục hàm biến phức 40 1.6.1 Hàm số liên tục 40 1.6.2 Hàm số liên tục 42 1.6.3 Tính chất hàm số liên tục 42 Đạo hàm hàm biến phức 43 1.7.1 Khái niệm 43 1.7.2 Tính chất 44 1.7.3 Ý nghĩa hình học đạo hàm 50 1.7.4 Hàm giải tích 52 1.7.5 Hàm điều hòa 53 1.7.6 Quan hệ hàm giải tích hàm điều hịa 54 Các hàm số sơ cấp 55 1.8.1 Hàm lũy thừa 55 1.8.2 Hàm bậc n 55 1.8.3 Hàm mũ 55 1.8.4 Hàm Loganepe 55 1.8.5 Các hàm số lượng giác 56 1.8.6 Các hàm Hypebolic 57 1.9 1.8.7 Hàm phân tuyến tính 57 1.8.8 Hàm Jiucopski 58 Bài tập chương 58 1.10 Hướng dẫn đáp số tập chương Chương Tích phân phức 66 75 Khái niệm tính chất 75 2.1.1 Khái niệm 75 2.1.2 Các tính chất tích phân phức 75 2.2 Tính tích phân phức cách đưa tích phân đường loại 76 2.3 Tích phân Cauchy 79 2.3.1 Các định lí Cauchy tích phân hàm giải tích đường cong 79 2.1 kín 2.3.2 Cơng thức tích phân Cauchy 81 2.4 Tích phân loại Cauchy 84 2.5 Tích phân bất định 85 2.5.1 Tích phân khơng phục thuộc đường 85 2.5.2 Tích phân bất định 87 2.5.3 Công thức Newton – Leibnitz 88 Một số định lí quan trọng hàm giải tích 89 2.6.1 Định lí giá trị trung bình 89 2.6.2 Ngun lí mơđun cực đại 89 2.6 2.6.3 Bổ đề Schwartz 89 2.6.4 Định lí Liouville 90 2.7 Bài tập chương 90 2.8 Hướng dẫn đáp số tập chương 92 Chương Lý thuyết chuỗi thặng dư 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 93 Chuỗi số phức 93 3.1.1 Dãy số phức 93 3.1.2 Chuỗi số phức 94 Chuỗi hàm phức 96 3.2.1 Khái niệm 96 3.2.2 Tính chất chuỗi hàm hội tụ 97 Chuỗi Taylor 98 3.3.1 Chuỗi lũy thừa 98 3.3.2 Chuỗi Taylor 99 3.3.3 Khai triển hàm thành chuỗi Taylor 100 3.3.4 Khơng –điểm định lí tính hàm giải tích 102 Chuỗi Laurent 103 3.4.1 Khái niệm 103 3.4.2 Khai triển hàm thành chuỗi Laurent 103 Chuỗi Fourier 106 3.5.1 Chuỗi lượng giác 106 3.6 3.7 3.8 3.9 3.5.2 Xác định hệ số theo phương pháp Euler – Fourier 107 3.5.3 Tính chất chuỗi Fourier 108 3.5.4 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 111 3.5.5 Chuỗi Fourier phức 115 3.5.6 Biến đổi Fourier 117 Điểm bất thường cô lập 120 3.6.1 Khái niệm 120 3.6.2 Phân loại điểm bất thường cô lập 120 3.6.3 Mối liên hệ chuỗi Laurent điểm bất thường cô lập 122 Lý thuyết thặng dư 122 3.7.1 Khái niệm 122 3.7.2 Tính thặng dư dựa vào khai triển Laurent 122 3.7.3 Thặng dư cực điểm đơn 123 3.7.4 Thặng dư cực điểm cấp m 124 Ứng dụng lý thuyết thặng dư 126 3.8.1 Ứng dụng thặng dư tính tích phân phức 126 3.8.2 Ứng dụng thặng dư tính tích phân thực suy rộng 129 Bài tập chương 137 3.10 Hướng dẫn đáp số tập chương Chương Phép biến đổi Laplace 4.1 Phép biến đổi Laplace 143 150 150 4.2 4.3 4.1.1 Khái niệm 150 4.1.2 Điều kiện để phép biến đổi Laplace tồn 152 4.1.3 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng 152 4.1.4 Các tính chất phép biến đổi Laplace 155 Phép biến đổi Laplace ngược 165 4.2.1 Khái niệm 165 4.2.2 Các tính chất phép biến đổi Laplace ngược 165 Cách tìm phép biến đổi Laplace ngược 170 4.3.1 Sử dụng tính chất biến đổi thuận tính biến đổi 170 ngược 4.3.2 Khai triển Heaviside 171 4.4 Bảng cặp biến đổi Laplace thông dụng 175 4.5 Ứng dụng phép biến đổi Laplace 176 4.5.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 177 4.5.2 Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 185 4.5.3 Các hàm kì dị biến đổi Laplace chúng 190 4.5.4 Ứng dụng giải tích mạch điện 205 4.6 Bài tập chương 223 4.7 Hướng dẫn đáp số tập chương 228 Tài liệu tham khảo 231 Chương HÀM BIẾN PHỨC 1.1 Số phức 1.1.1 Các khái niệm Chúng ta biết tập hợp số thực, phương trình bậc hai với biệt số   khơng có nghiệm thực, chẳng hạn phương trình bậc hai đơn giản khơng có nghiệm thực phương trình x2   Tuy nhiên, thực tế tượng tự nhiên, kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình bậc hai với biệt số   xảy tức phương trình có nghiệm Để mở rộng tập hợp số thực người ta đưa khái niệm số i ( gọi đơn vị ảo ) nghiệm phương trình x2   Định nghĩa Mỗi biểu thức dạng z  a  ib a, b  ¡ , i  1 gọi số phức a gọi phần thực số phức z Ký hiệu Re z b gọi phần ảo số phức z Ký hiệu Im z Tập hợp số phức ký hiệu £ Vậy £   z  a  ib a, b  ¡ , i  1 Ví dụ Trong số sau, số số phức:  3i,1  3i, 5i,1 Tất số số phức Chú ý Nếu b  z  a số thực Vậy ¡  £ Nếu a  z  ib gọi số ảo Định nghĩa (Hai số phức nhau) Hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 gọi a1  a2   b1  b2 Định nghĩa 3.( Số phức liên hợp) Số phức z  a  ib gọi số phức liên hợp số phức z  a  ib *) Tính chất: 1) Re z  Re z 2) Im  z   Im  z  3) z  z Ví dụ a) Số phức liên hợp số phức z   3i z   3i b) Số phức liên hợp số phức z   i c) Số phức liên hợp số phức z  4  3i z  4  3i Định nghĩa ( Số phức đối ) Số phức  z  a  ib gọi số phức đối số phức z  a  ib Ví dụ a) Số phức đối số phức z   5i  z  1  5i b) Số phức đối số phức z  2i  z  2i 1.1.2 Các phép toán a Phép cộng Ta gọi tổng hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 số phức z   a1  a2   i  b1  b2  Ký hiệu: z  z1  z2 10 t  d q  dq d 2q q L    dt  q0    L   dt C  dt dt C  Gọi Q( p) ảnh q(t ) Vậy Vì q  0  q0 , q    i   nên d 2q  p 2Q  p   pq    q   dt d 2q  p 2Q  p   pq0 dt Phương trình ảnh là: Lp 2Q  p   Q  p C Lpq0  Lpq0  Q  p   Lp  C  pq0 p2  LC Từ ta được: q  t   q0cos i t   t t LC dq t  q0 sin dt LC LC Ví dụ Mắc mạch điện hình vẽ: Hình 4.41 Suất điện động E  t   E0  const Lúc t  mạch đóng lại Hãy tính cường độ dòng điện i1 (t ) 217 Giải Gọi I cường độ ảnh mạch $I_1$ cường độ ảnh mạch R1  C I cường độ ảnh mạch R2  L Z1 kháng trở mạch R1  C : Z1  R1  Cp Z kháng trở mạch R2  L : Z  R1  Lp Z kháng trở tương đương với hai đoạn mạch mắc song song, ta có: Z1Z Z1  Z Z Vì tốn đóng mạch, nên làm tương tự dịng điện khơng đổi Áp dụng định luật Kirchhoff, ý E0 : E0 , ta được: p  I  I1  I  E   R  Z  I p  I1Z1  I Z Từ hệ phương trình trên, ta tính được: I1  Thay Z1  R1  E0 Z p  RZ1  RZ  Z1Z  Z  R1  Lp ta được: Cp I1  p   E0  R2  Lp   p  2 p   218      R1  R2  L  L  2   R1  R2  R  R1  R2  C  R R    C Gọi p1 , p2 nghiệm tam thức  p  2 p   , hàm gốc i1 (t ) tính theo cơng thức: i1  t   E0 R2  Lpk pk t e k 1 k  p Ví dụ Cho mạch điện ( RLC ) mắc nối tiếp hình sau Hiệu điện hai dầu cuộn cảm, điện trở tụ điện  dI  L   , RI ,  I ( )d C0  dt  t Hình 4.42 Do đoạn mạch mắc nối tiếp nên hiệu điện hai đầu mạch điện tổng hiệu điện thành phần ta có t L Đặt dI  RI   I ( )d  E (t ) dt C0 t Q(t )   I ( )d 219 I ta có dQ dt d 2Q dQ Q L R   E (t ) dt dt C Với mạch điện trên, ta có số tốn sau: Bài tốn Giả sử dịng điện thoả mãn L dI  RI  E0 sin t dt với L, R, E0 ,  số Tìm I  I (t ) với t > biết I (0)  Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có ( Ls) L  I (t )  RL  I (t )  E0 s  2 E0 E0 L  L  I (t )   ( Ls  R)( s   ) ( s  R )( s   ) L Đặt L  I (t )  E0 L (s  R )( s   ) L  A Bs  C  R s  2 s L phương pháp hệ số bất định ta tìm A  E L E0 L E L , B  20 , C  02 2 L R L R L   R2 220 I (t )  R  t E0 L ER E L L cos t e  20 sin t  02 2 L R L R L   R2 Bài toán Giả sử dòng điện mạch điện gồm cuộn cảm L tụ điện C mắc nối tiếp, E hiệu điện hai đầu đoạn mạch thoả mãn t dI L   I ( )d  E dt C với L, C, E số Tìm I  I (t ) với t > biết I (0)  Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có L  I (t ) ( Ls) L  I (t )   L  I (t )  Cs  E s EC E  LCs  L( s  ) LC C sin t L LC  I (t )  E Vậy I (t )  E C sin t L LC Ví dụ Cho mạch diện (RLC) sơ đồ (Hình 4.24) Giả sử thời điểm t=0 điện áp hai đầu mạch 1V, cịn với t < I (t )  thay đổi tụ điện Khi ta có phương trình t L dI  RI   I ( )d   (t ) dt C0 R, L, C số Tìm I  I (t ) với t 0 trường hợp sau: 221 a) L R2  C b) L R2  C Giải a) Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có ( Ls) L  I (t )  RL  I (t )  s  L  I (t )  Ls  Rs  C  L  I (t )   Cs s  R   R2  L  s       L   LC L2    Đặt a R2 R , b2    2L L 4L Theo giả thiết a, ta có L L  I (t )  s sa a   2 2 ( s  a)  b ( s  a)  b ( s  a)2  b e at  a   I (t )   cos bt  sin bt  L  b  b) Bằng cách làm hoàn toàn tương tự đặt R2 R , b   0 a 2L L 4L ta có 222 I (t )  e at L a    cosh bt  sinh bt  b   4.6 Bài tập chương Tìm biến đổi Laplace hàm sau: a) 2e4t b) 5t  c) 2t  et d) 3cos5t Tìm biến đổi Laplace hàm sau: a) t 3e2t b) et cos 2t c) 3t  2t  2sin 5t 2t nÕu  t   t nÕu t  Cho f  t    a) Vẽ đồ thị f (t ) b) Tìm L  f  t  c) Tìm L  f   t  Cho L  f  t   Cho L  f  t   s2  s   2s  1  s  1 Hãy tìm L  f  2t  1 s e Hãy tìm L et f  3t  s 223 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau: a) 2s  s  s  1 b) 3s  4s  25 c) 3s  4s  12s  Dùng phương pháp khai triển Heaviside tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau: a) 2s  11  s   s  3 b) 19s  37  s  1 s   s  3 c) s5  s  1 s    Dùng phương pháp khai triển Heaviside tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau: a) b) c) 2s  9s  19  s  1  s  3 2s   s  1  s   2 11s  47 s  56s   s  2  s  2 Giải phương trình vi phân sau: a) y  y  cos 2t; y  0  1, y  0  1 224 b) y  y  9t; y    1, y  0  c) y3  y  et ; y  0  y  0  y    10 Giải phương trình vi phân sau: a) y  y  y  4t  12et ; y  0  6, y  0  1 b) y  y  y  125t ; y  0  y    c) y 4  y  y  sin t; y    y    y    y 3    11 Giải hệ phương trình vi phân sau:  x  x  y  a)  với y    x     y  x  y   x  3x  y  9e2t với x    2; y    b)  2t 2 x  y  y  3e 12 Giải hệ phương trình vi phân sau:  x  x  y  cost với x    y    a)   y  x  y  sint  y  x  y  x  sint với x  0  y  0  y      y x y     b)   x  y  et với x  0  y  0  y     x x y     c)  13 Cho hàm f (t ) có đồ thị 225 Hình 4.43 Hàm sóng vng Viết phương trình f (t ) tìm L  f  t  14 Cho hàm f (t ) có đồ thị Hình 4.44 Hàm sóng cưa Viết phương trình f (t ) tìm L  f  t  15 Cho hàm f (t ) có đồ thị Hình 4.45 Hàm sóng tam giác Viết phương trình f (t ) tìm L  f  t  16 Cho hàm f (t ) có đồ thị 226 Hình 4.46 Viết phương trình f (t ) tìm L  f  t  17 Cho hàm f (t ) có đồ thị Viết phương trình f (t ) tìm L  f  t  18 Xác định F ( s) hàm f (t ) sau: a) f  t    5e9t  2et  et  u  t  b) f  t    5et  et  u  t  1 c) f  t   u  t   2u  t  1 19 Tìm biến đổi Laplace hàm sau: a) 10  t   b)   2  t  1    t   5u  t  227 c) d t e u  t   dt  d) d t e cos2t u  t  dt  4.7 Hướng dẫn đáp số tập chương a) s4 b) 3 s2  , s 1 s s 1 c) d) 3s s  25 2 a) b) c)  s  2 s 1  s  1 4 72 12 10  4 s s s  25 s  2s  4  s  1  s   3 e s 1 s 1 228 a)  e3t b) t 1 c) t  et a) 3e2t  e3t b) 2e3t  3et  5e2t c) 2et  3cos t  2sin t a)  3t   et  4e3t b) t  et  e2t  c)  2t  t  5 e2t  6e2t a) y  t   4cos 3t 4sin 3t cos 2t   5 b) y  t   t c) y  t       1  et cos t   6et sin t 5 10 a) 3et  2e2t  2t   2et 229 b) 25t  40t  22  2e2t  2sin t 11cos t  c)   1  t sin t  3t cos t   11 2 t   x  1  2t  e 2 t   y  1  2t  e a)   x  et  e t b)  t 2t y  e e 12  x  4t   2cost  3sint y  2t  2sint  a)  t 2t t   x  e  45 e  cos t  sin t  te b)  1  y  et  e 2t  te t  9  x   et  e at  ebt c)  t  at  bt  y   e  be  ae 230 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2000), Hàm biến phức, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội 2.Nguyễn Kim Đính (1997), Phép biến đổi Laplace, Đại học sư phạm kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh 3.Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Trương Văn Thương (2002), Hàm số biến số phức , Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Phichtengon, Giáo trình phép tính vi phân, tích phân , Tạp chí Vật lý - Toán B.Tài liệu tiếng Anh Dean G Dufy (1998), Advance Engineering Mathematics, CRC Press LLC Leif Mejlbro (2008), Complex Funtions, Ventus Publishing Aps 231 ... chương Chương Phép biến đổi Laplace 4.1 Phép biến đổi Laplace 143 150 150 4.2 4.3 4.1.1 Khái niệm 150 4.1.2 Điều kiện để phép biến đổi Laplace tồn 152 4.1.3 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng... 4.1.4 Các tính chất phép biến đổi Laplace 155 Phép biến đổi Laplace ngược 165 4.2.1 Khái niệm 165 4.2.2 Các tính chất phép biến đổi Laplace ngược 165 Cách tìm phép biến đổi Laplace ngược 170 4.3.1... chất biến đổi thuận tính biến đổi 170 ngược 4.3.2 Khai triển Heaviside 171 4.4 Bảng cặp biến đổi Laplace thông dụng 175 4.5 Ứng dụng phép biến đổi Laplace 176 4.5.1 Ứng dụng giải phương trình