Giáo trình hàm biến phức

HỒ CÔNG XUÂN VŨ Ý Hàm Biến Phức Tiền Giang - 2012 Hàm Biến Phức Hồ Công Xuân Vũ Ý Trường Đại Học Tiền Giang To my parents Mục lục Mục lục I Số phức § Số phức phép toán § Modulus bất đẳng thức tam giác § Argument bậc n số phức § Mặt cầu Riemann § Các khái niệm Topo mặt phẳng phức 6 15 22 30 32 II Hàm biến số phức § Dãy chuỗi số phức § Hàm số biến số phức § Liên tục liên tục § Dãy hàm chuỗi hàm § Chuỗi lũy thừa § Các phép tính chuỗi lũy thừa 37 37 50 56 60 70 74 III Hàm giải tích § Đạo hàm § Hàm giải tích § Hàm mũ § Hàm lượng giác § Hàm hyperbolic 78 78 88 91 95 98 100 100 102 105 112 120 IV Một số hàm sơ cấp khác phép biến hình § Hàm Logarithm § Hàm lũy thừa lũy thừa phức § Hàm tuyến tính hàm f (z) = 1/z § Hàm phân tuyến tính § Các ví dụ biến hình c Hồ Công Xuân Vũ Ý Mục lục §6 Khái niệm diện Riemann 125 V Lý thuyết tích phân § Đường cong § Tích phân đường § Nguyên hàm § Định lý Cauchy-Goursat § Công thức tích phân Cauchy § Tích phân loại Cauchy § Định lý giá trị trung bình nguyên lý module cực § Định lý Liouville định lý đại số § Nguyên lý Montel đại 128 128 136 144 148 162 172 177 181 183 VI Hàm điều hòa hàm điều hòa § Hàm điều hòa § Công thức Schwarz công thức Poisson § Bài toán Dirichlet § Nguyên lý Harnack § Hàm điều hòa § Tiêu chuẩn điều hòa § Định lý Hartogs 188 188 193 195 202 206 209 213 VIILý thuyết chuỗi lý thuyết thặng dư § Chuỗi Taylor § Chuỗi Laurent § Các loại điểm § Thặng dư cách tính thặng dư 216 216 225 234 247 ´ VIII Ưng dụng lý thuyết thặng dư § Tính tích phân suy rộng § Tính tích phân suy rộng có sin cos § Tính tích phân xác định chứa sin cos § Đường bị khoét lõm § Tích phân theo đường phân nhánh § Nguyên lý argument định lý Rouché 257 257 264 270 272 276 284 ´ IX Anh xạ bảo giác 293 ´ nghĩa hình học đạo hàm 293 §1 Y § Ánh xạ bảo giác 295 c Hồ Công Xuân Vũ Ý Mục lục §3 §4 §5 Bổ đề Schwarz 300 Định lý ánh xạ Riemann 302 Bài toán biểu diễn bảo giác 306 X Tích vô hạn § Tích số vô hạn § Tích vô hạn hàm phức § Dạng tắc Weierstrass § Genus hàm giải tích § Hàm gamma Tra cứu 308 308 312 320 323 327 337 c Hồ Công Xuân Vũ Ý Chương I Số phức Ta biết trường số thực R nhận cách làm “đầy” trường hữu tỷ Q mà thân Q lại xây dựng từ vành số nguyên Z Việc làm đầy xuất phát từ nghiên cứu phương trình đại số với hệ số hữu tỷ giới hạn dãy số hữu tỷ Tuy nhiên, trường R không đầy đủ, phương trình đơn giản x2 + = nghiệm R Một cách tổng quát hơn, số thực số có bậc chẵn phương trình bậc lớn có nghiệm Bên cạnh đó, giải tích giới hạn R người ta khai triển giải thích hàm f (x) = + x2 thành chuỗi lũy thừa toàn đường thẳng thực.∗ Với lý đưa đến cần thiết mở rộng trường số thực Cụ thể cần tìm kiếm trường rộng mà trường hợp riêng trường số thực với phép toán thông thường (hay trường số thực R trường nó) §1 Số phức phép toán Định nghĩa số phức Trong đại số người ta xây dựng trường số phức cách chi tiết khắc phục hạn chế trường số thực Chúng ta nêu số ý đặc trưng Số phức định nghĩa cặp số thực có thứ tự (x, y) Người ta thường viết số phức chữ z w Như vậy, với Tập giảng soạn theo [9, 6, 7] tham khảo thêm [3, 2, 4] đọc tham khảo giải thích thú vị [8, trang 212-217] ∗ Bạn c Hồ Công Xuân Vũ Ý § Số phức phép toán y z = (x, y) w = (x′ , y ′ ), ta có z = w x = x′ y = y ′ Mặt khác, cặp số (x, y) hiểu điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Khi đó, xem (x, y) số phức mặt phẳng tọa độ Oxy gọi mặt phẳng phức Oxy ký hiệu (z) C Ta có tập hợp số phức (x, y) O x Hình I.1: Mặt phẳng phức C C = {(x, y) : x, y ∈ R} Xét số phức z = (x, y) Ta gọi x gọi phần thực số phức z ký hiệu Rez y gọi phần ảo z ký hiệu Imz Trong mặt phẳng phức, trục hoành gọi trục thực trục tung gọi trục ảo Nếu xem trục Ox đường thẳng thực, số thực x ứng với điểm (x, 0) trục thực Ox Do đó, tập hợp số thực tập tập số phức, số phức z = (x, 0) gọi số thực đồng với x, nghĩa x ≡ (x, 0) (Xem thêm tập 16) Số phức z = (0, y) gọi số ảo; đặc biệt (0, 1) gọi đơn vị ảo ký hiệu i, nghĩa i = (0, 1) Như = (0, 0) số vừa số thực vừa số ảo Cho số phức z = (x, y) số phức (x, −y) gọi số phức liên hợp số phức z ký hiệu z¯ Dễ dàng kiểm tra z¯ = z Hơn nữa, ta thấy z số thực với liên hợp Các phép toán số phức Tổng hai số phức z1 = (x1 , y1 ) z2 = (x2 , y2 ) số phức (1.1) z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) tích chúng số phức (1.2) z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) c Hồ Công Xuân Vũ Ý I Số phức y Người ta chứng minh phép cộng phép nhân số phức có tính chất sau 1.3 Định lý Với z1 , z2 , z3 ∈ C, ta có z1 + z2 z2 z1 O z1 x Hình I.2: Phép cộng liên hợp (1) z1 + z2 = z2 + z1 (2) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 (3) z1 + (0, 0) = z1 (4) z1 + z1′ = (0, 0), z1′ = (−x1 , −y1 ) z1 = (x1 , y1 ) (5) z1 z2 = z2 z1 (6) z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 (7) z1 (1, 0) = z1 (8) Nếu z1 = (0, 0) z1 z1′ = (1, 0), với z1 = (x1 , y1 ) ta có y1 z1′ = ( x2x+y , − x2 +y ) 1 1 (9) z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 Chứng minh Dành cho bạn đọc xem tập 1.4 Thí dụ ⊲ i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Vậy i nghiệm x2 + = C ⊲ Với z = (x, y), ta có z z¯ = (x, y)(x, −y) = (x2 + y , 0) = x2 + y ⊲ (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy Vậy số phức (x, y) viết dạng x+ iy hay x+ yi (do tính giao hoán phép nhân), gọi dạng đại số số phức Phép cộng phép nhân viết lại dạng đại số sau: với z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 ta có (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) Như vậy, dạng đại số phép cộng nhân thực phép toán đại số số thực xem i số lưu ý đẳng thức i2 = −1 c Hồ Công Xuân Vũ Ý 326 X Tích vô hạn với α, an số thực, ta tính z z an Ceαz (mz m−1 + αz m ) ∞ F ′ (z) n=1 − an e = z ∞ F (z) Cz m eαz n=1 − azn e an − ∞ z azn n=1 a2n e ∞ Cz m eαz n=1 ∞ Cz m eαz k=n 1− = z m +α− z a (a − z) n n n=1 = 1 m + +α+ z z − a a n n n=1 z an 1− z ak z e ak z e an ∞ Do đó, phần ảo F ′ (z)/F (z) xác định (với z = x + iy) Im ∞ −y my F ′ (z) =− + F (z) x + y n=1 (x − an )2 + y Từ ta thấy phần ảo F ′ (z)/F (z) không y = Do đó, F ′ (z) có không điểm thực Mặt khác, ta có F ′ (z) F (z) ′ =− ∞ m − z (z − zn )2 n=1 giống trường hợp trên, nên ta có kết luận định lý Trường hợp hàm F (z) có dạng m αz F (z) = Cz e ∞ n=1 1− z an với α an số thực Ta tính ∞ Ceαz (mz m−1 + αz m ) n=1 − F ′ (z) = ∞ F (z) Cz m eαz n=1 − azn − = ∞ z k=n − ak n=1 an ∞ z Cz m eαz n=1 − an Cz m eαz ∞ z an m +α− z a −z n=1 n c Hồ Công Xuân Vũ Ý § Hàm gamma 327 Do đó, phần ảo F ′ (z)/F (z) xác định (với z = x + iy) Im ∞ −y my F ′ (z) =− + F (z) x +y (x − an )2 + y n=1 Từ ta thấy phần ảo F ′ (z)/F (z) không y = Do đó, F ′ (z) có không điểm thực Mặt khác, ta có F ′ (z) F (z) ′ =− ∞ m − z n=1 (z − zn )2 Ta có kết định lý Trường hợp hàm F (z) có dạng N F (z) = Cz m eαz n=1 1− z an với α an số thực Ta suy kết luận định lý trường hợp §5 Hàm gamma Hàm giải tích sin πz có tất số nguyên không điểm hàm đơn giản có tính chất Chúng ta xem xét hàm giải tích mà có số nguyên dương không điểm hay có số nguyên âm làm không điểm Chẳng hạn, hàm giải tích đơn giản có tất số nguyên âm không điểm hàm xác định tích tắc Weierstrass (5.1) G(z) = ∞ 1+ n=1 z −z e n n Rõ ràng hàm G(−z) có số nguyên dương không điểm Từ biểu diễn hàm sin πz dạng tích tắc ta suy zG(z)G(−z) = sin πz π Ta nhận thấy hàm G(z − 1) có không điểm số nguyên không dương, tức có không điểm giống với G(z) thêm Do đó, hàm thu sau đơn giản G(z−1) zG(z) hàm giải tích không điểm nào, tồn hàm giải tích γ(z) cho G(z − 1) = eγ(z) zG(z) hay G(z − 1) = zeγ(z)G(z) c Hồ Công Xuân Vũ Ý 328 X Tích vô hạn Để xác định hàm γ(z) ta lấy logarithm hai vế tính đạo hàm hai vế log(G(z − 1)) = log(zeγ(z) G(z)) G′ (z − 1) G′ (z) = + γ ′ (z) + G(z − 1) z G(z) Tính đạo hàm G′ (z) đơn giản biểu thức G′ (z)/G(z) chứng minh Định lý 4.4 ta thu ∞ n=1 ∞ 1 1 = + γ ′ (z) + − − z−1+n n z z + n n n=1 Mặt khác, ta có ∞ n=1 ∞ 1 1 1 = −1+ − − + − z−1+n n z z−1+n n−1 n−1 n n=2 = ∞ ∞ 1 1 + −1+ − − z z + n n n n + n=1 n=1 ∞ 1 = + − z n=1 z + n n So sánh kết với đẳng thức trước ta suy γ ′ (z) = Vậy γ(z) số ký hiệu số γ Vậy ta có tính chất hàm G(z) sau G(z − 1) = eγ zG(z) Nếu ta đặt H(z) = G(z)eγz , H(z − 1) = G(z − 1)eγ(z−1) = eγ zG(z)eγ(z−1) = zH(z) Ta xác định giá trị γ Dùng định nghĩa tính chất hàm G(z) lấy z = ta có = G(0) = eγ G(1) suy c Hồ Công Xuân Vũ Ý § Hàm gamma 329 ∞ e−γ = G(1) = 1+ n=1 n = lim n→∞ k=1 − n1 e n k + −1 e k k 1 = lim (n + 1)e−(1+ +···+ n ) n→∞ Do đó, ta γ = lim n→∞ = lim n→∞ 1 + + ··· + 1 + + + ··· + 1+ − ln(n + 1) n − ln n n Hằng số γ gọi số Euler, giá trị gần 0.5772157 Đặt Γ(z) = 1/[zH(z)] Khi đó, ta có (5.2) Γ(z + 1) = 1 = = zΓ(z) (z + 1)H(z + 1) H(z) Hàm Γ(z) gọi hàm gamma Euler Ta có biểu diễn hàm gamma Γ(z) = e−γz z ∞ n=1 1+ z n −1 z en, ta có đẳng thức Γ(z)Γ(1 − z) = 1 (−z)Γ(−z) = zH(z) H(z)zH(−z) = zG(z)G(−z) π = sin πz Ta nhận thấy Γ(z) hàm phân hình với cực điểm 0, −1, −2, không điểm Từ định nghĩa hàm gamma ta dễ dàng tính Γ(1) = 1, từ công thức (5.2) ta tính Γ(2) = 1, Γ(3) = · 2, Γ(4) = · · 3, π công thức tổng quát Γ(n) = (n − 1)! Từ đẳng thức Γ(z)Γ(1 − z) = sin πz √ với z = 12 ta tính Γ( 21 ) = π c Hồ Công Xuân Vũ Ý 330 Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo ´ Nguyễn Khắc Quỳnh Anh Phép Tính Vi Phân [1] Hồ Công Xuân Vũ Y, Hàm Vector (Tập giảng) Trường Đại học Tiền Giang, Tiền Giang, 2011 [2] Lars V Ahlfors Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable McGraw-Hill, Inc., New York, third edition, 1979 [3] Nguyễn Hữu Anh Nhập Môn Giải Tích Phức Tủ sách Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên (Tp Hồ Chí Minh), 1999 [4] James Ward Brown, Ruel V Churchill Complex Variables and Applications McGraw-Hill, New York, eighth edition, 2009 [5] Lê Thị Thiên Hương Toán Cao Cấp, Tập 1: Phép tính vi tích phân hàm biến lí thuyết chuỗi NXB Giáo Dục, Tp Hồ Chí Minh, 2003 (Tái lần thứ ba) [6] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải Hàm Biến Phức NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2006 (In lần thứ có sửa chữa bổ sung) [7] Nguyễn Văn Khuê, Vũ Tuấn Hàm Số Biến Số Phức NXB Giáo Dục, Hà Nội, 1990 [8] Rosa Peter Đùa Với Cái Vô Hạn NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2007 ´ (Bản dịch của: Nguyễn Xuân Huy, Phạm Ngọc Khôi, Ngô Anh Tuyết, Hồ Thuần) [9] Trương Văn Thương Hàm Số Biến Số Phức NXB Giáo Dục, Đà Nẵng, 1999 c Hồ Công Xuân Vũ Ý Tài liệu tham khảo 331 [10] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn Giải Tích Toán Học, tập NXB Giáo Dục, 1988 (In lần thứ tư có chỉnh lí) c Hồ Công Xuân Vũ Ý 332 Bài kiểm tra thi mẫu Kiểm Tra Lần I (1 − 2i)(3 + 4i) + 5i (b) Tìm bậc hai − 5i (Gợi ý: dùng định nghĩa dạng đại số số phức.) Câu (a) Tính đưa dạng đại số biểu thức Câu Chứng minh với điểm z thuộc đường tròn có phương z3 + 12 ≤ ≤ 15 trình |z| = ta có 2z − √ Câu Tìm bậc −8 − 3i √ Câu Tính Im( + i)2008 Câu (a) Chứng minh tính chất: dãy {zn } hội tụ z0 c số phức {czn } hội tụ cz0 ∞ (b) Chứng minh hai chuỗi chuỗi ∞ ∞ (zn + wn ) hội tụ n=1 ∞ zn n=1 wn hội tụ n=1 ∞ (zn + wn ) = n=1 ∞ zn + n=1 wn n=1 Câu Chứng minh D = {z : Imz > hay z = (x, 0) với x ≥ 0} miền đơn diệp hàm f (z) = z , tìm hàm ngược f D Câu Tính giới hạn chứng minh không tồn |z|Imz |z| (a) lim (b) lim z→∞ z z→0 z Dãy hàm cho có hội +n tụ miền hội tụ hay không? Câu Tìm miền hội tụ dãy hàm z2 Câu Tìm bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa c số phức ∞ n=1 1+ c n n2 z n với Câu 10 Xét tính khả vi hàm f (z) = zRez Tìm tất điểm mà hàm f giải tích Câu 11 Cho f hàm giải tích miền D Chứng minh hàm f (z) giải tích D, f hàm c Hồ Công Xuân Vũ Ý Bài kiểm tra thi mẫu 333 Kiểm Tra Lần II √ Câu Tìm tất số phức z cho e2z+3−4i = − − i Câu Dùng định nghĩa hàm mũ lượng giác chứng minh ez = ez¯ sin(iz) = − sin(i¯ z) Câu Giải phương trình sin 2z = i Câu Dùng định nghĩa chứng minh đẳng thức sinh(z1 + z2 ) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 √ Câu Tính ln(−1 + i)3 Ln(−1 + i 3) Câu Tìm modulus giá trị lũy thừa (2 − 2i)2+3i Câu Tìm ảnh đường tròn có phương trình |z + i − 2| = qua ánh xạ tuyến tính w = (4 + 5i)z − 6i + Câu Tìm ảnh dải < x + y < qua ánh xạ w = z Câu Tìm ảnh đường thẳng y = x + qua ánh xạ w = Câu 10 Tính tích phân z−i z+i C z¯dz C đường cong từ −1 − i đến C dz với C đường tròn |z − i| = z2 + + i dọc theo đồ thị y = x3 Câu 11 Tính tích phân định hướng dương z dz với C đường tròn |z| = − (1 − 2i)z − 2i C định hướng dương Câu 12 Tính tích phân z2 Câu 13 Chứng minh hàm u(x, y) = 2x − x3 + 3xy hàm điều hòa R2 Tìm hàm giải tích C nhận u(x, y) làm hàm phần thực √ 132π z3 + + i dz ≤ C Câu 14 Chứng minh 2−4 2z C đường tròn có phương trình |z| = định hướng dương c Hồ Công Xuân Vũ Ý 334 Bài kiểm tra thi mẫu ĐỀ THI SỐ Câu (a) Xét tồn giới hạn lim z→0 z¯Imz |z| (b) Tìm tất giá trị z cho ez−3i = −4 + 4i (c) Chứng minh |eix − − ix| = |e−ix − + ix| với số thực x (d) Tìm số nghiệm phương trình 3z − 7z + 3z − + i = hình tròn {z : |z| < 2} Câu (a) Tìm tất điểm z = x + iy cho hàm f (z) = 2xy + x + i(x2 + y) khả vi tính đạo hàm điểm (b) Chứng minh có hàm giải tích f (z) nhận hàm u(x, y) = 3x2 y − y + x phần thực Tìm hàm giải tích f (z) (c) Tìm hàm phân tuyến tính biến điểm 3i, ∞, i thành điểm 0, −i, −2i (theo tương ứng) (d) Khai triển Taylor hàm f (z) = điểm z0 = −i tìm 1+z bán kính hội tụ Câu Tính tích phân sau 2¯ z dz, Γ đoạn thẳng định hướng từ + 2i (a) Tính Γ đến + 3i 2z (b) Tính dz, Γ đường tròn |z| = định 4−3 z Γ hướng dương sin 2z dz, Γ đường tròn |z + 2| = (c) Tính (z − i)2 Γ định hướng dương 2006 (d) Khai triển Laurent hàm số f (z) = z cos miền {z : z 2006 z cos < |z| < ∞} Từ tính tích phân dz, z Γ Γ đường tròn |z| = định hướng dương πR dz ≤ − 2z + R − 2R − CR CR có biểu diễn tham số w(t) = Reit với ≤ t ≤ π R > Câu (a) Chứng minh z2 c Hồ Công Xuân Vũ Ý Bài kiểm tra thi mẫu 335 điểm bất − 2z + thường cô lập miền D = {z : |z| < R, Imz > 0} với R > dz Γ biên định (c) Tính tích phân − 2z + z Γ hướng dương miền D phần (b) ∞ dx (d) Từ kết tính tích phân suy rộng − 2x + x −∞ (b) Tìm thặng dư hàm f (z) = z2 ĐỀ THI SỐ Câu (a) Tìm bán kính hội tụ chuỗi ∞ e(1+2i)n (z − 5i)n n−1 (3 − 4i) n=1 (b) Tìm tất giá trị z cho eiz = (c) Tính Im (sin(1 + 2i)) (d) Tìm số nghiệm phương trình z − 2z + 12z − + 5i = hình tròn {z : |z| < 2} Câu (a) Tìm tất điểm z = x + iy cho hàm f (z) = x3 + y + i(x + 2y ) khả vi tính đạo hàm điểm (b) Chứng minh u(x, y) = x3 − 3xy hàm điều hòa Tìm hàm giải tích f (z) cho có phần thực u(x, y) (c) Tìm tất giá trị z cho cos z = i (d) Tìm hàm phân tuyến tính biến điểm 1, ∞, + thành điểm −i, − i, (theo tương ứng) z4 dz, Γ đường tròn |z| = định +1 Γ hướng dương dz , Γ đường tròn (b) Tính 2009 Γ (z − i) (z + 2008i) |z| = định hướng dương Câu (a) Tính z5 (c) Tính z 2006 e Γ 2008 z dz, Γ đường tròn |z + 1| = định hướng dương c Hồ Công Xuân Vũ Ý 336 Bài kiểm tra thi mẫu (d) Khai triển Laurent hàm f (z) = < |z| < vành (z + 1)(z − 3i) R(R2 + 2)π z2 + dz ≤ R4 − CR z + CR có biểu diễn tham số w(t) = Reit với ≤ t ≤ π R > Câu (a) Chứng minh (b) Đặt D = {z : |z| < R, Imz > 0} với R > Tìm điểm z2 + miền D bất thường cô lập hàm f (z) = z +1 z2 + dz Γ biên định hướng dương (c) Tính Γ z +1 miền D phần (b) (d) Từ kết tính tích phân suy rộng ∞ −∞ c Hồ Công Xuân Vũ Ý x2 + dx x4 + Tra cứu 337 Chỉ mục ánh xạ đồng phôi, 57 ánh xạ bảo giác, 295, 303 đối xứng qua đường tròn, 106 đề thi Olympic sinh viên, 19, 26, 29 đồng liên tục tập compact, 183 đồng phôi, 57, 59 độ dài đường cong, 134 đạo hàm, 78 đạo hàm cấp cao, 79 định lý Abel, 70 định lý Bolzano-Weierstrass, 40 định lý Cauchy-Goursat, 150, 251 định lý Cauchy-Hadamard, 72 định lý Cauchy-Riemann, 80, 84 định lý Harnack, 203 định lý Hurwitz, 287, 291 định lý Lagrange, 129 định lý Liouville, 181 định lý Merten, 46 định lý Montel, 185 định lý Morera, 168 định lý Rouché, 287 định lý Taylor, 219 định lý Weierstrass, 174, 176, 216, 238, 322 định lý ánh xạ Riemann, 303, 307 định lý đại số bản, 182, 289 định lý đường cong Jordan, 134 định lý nhất, 235 định lý giá trị trung bình, 190 định lý tích phân loại Cauchy, 173 định lý thặng dư Cauchy, 250 địnhh lý giá trị trung bình, 177 đẳng cấu chỉnh hình, 301, 302 đẳng thức Lagrange, 19, 21 đơn vị ảo, 7, 8, 10 đường cong, 131, 134 độ dài, 134 trơn khúc, 134 đường cong Jordan, 134 đường cong kín, 134 đường cong khả vi, 134 đường cong trơn, 134 đường cong trơn khúc, 134 đường gấp khúc, 131 đường kính phân hoạch, 138 đường tròn, 16 đa thức Chebyshev, 29 đa thức với hệ số thực, 11 điều hòa dưới, 206 điều kiện Cauchy-Riemann, 80, 87, 192 điểm bất động, 115 điểm bất thường, 236 điểm bất thường bỏ được, 237, 244 điểm bất thường cốt yếu, 237, 244 c Hồ Công Xuân Vũ Ý 338 điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm điểm Tra cứu bất thường cô lập, 236, 244 biên, 32 cô lập, 34 dính, 34 giới hạn, 34, 48 ngoài, 32 tụ, 48 trong, 32 vô cùng, 30 argument, 22 argument chính, 23 bất đẳng tam giác, 17 bất đẳng thức Cauchy, 19, 181 bất đẳng thức Harnack, 203 bất đẳng thức Jordan, 265 bán kính hội tụ, 71, 72 toán Dirichlet, 195 bị chặn tập compact, 183 bổ đề Schwarz, 300 bảo toàn góc, 294 bao đóng, 32 biên, 32 biểu diễn Riemann, 30 biểu diễn tham số đường cong, 131 cấp cực điểm, 242 cấp không điểm, 234 công thức Euler, 25, 95 công thức lượng giác Lagrange, 29 công thức Moivre, 25 công thức Poisson, 194, 202 công thức Schwarz, 193 công thức tích phân Cauchy, 162 cực điểm, 237, 242, 244 bậc n, 26, 102 nguyên thủy, 26 chuỗi hàm, 63 hội tụ đều, 63 hội tụ tuyệt đối, 65 chuỗi hội tụ, 43, 63 chuỗi lũy thừa, 70, 89 chuỗi Laurent, 225, 230, 247 chuỗi phân kỳ, 43 chuỗi số phức, 43 tiêu chuẩn Cauchy, 44 chuỗi tích Cauchy, 46, 50, 74 chuỗi Taylor, 219 compact, 34, 58 cung, 131 dấu hiệu Cauchy-Riemann, 80 dạng đại số, dạng Euler, 25 dạng lượng giác, 22 dạng mũ, 25 dãy Cauchy, 39 dãy hàm, 60 dãy hàm hội tụ, 60 dãy hàm hội tụ đều, 291 dãy hội tụ, 37, 40 dãy hội tụ tập compact, 176 dãy số phức, 37 tiêu chuẩn Cauchy, 39 diện Riemann, 125 góc hai đường cong, 107, 294, 297 genus, 323 genus hàm số, 323, 324 giới hạn dãy hàm, 60 giới hạn hàm số, 52 giá trị Cauchy, 258 số Euler, 329 hình tròn đóng, 33 c Hồ Công Xuân Vũ Ý Tra cứu 339 hình tròn mở, 33 hình vành khăn, 33 hàm đơn diệp, 50 hàm đa trị, 125 hàm điều hòa, 188 hàm beta, 283 hàm chặn điều hòa, 208 hàm chỉnh hình, 88 hàm gamma, 329 hàm giải tích, 88, 89, 190, 246, 291 nhất, 235 hàm hợp, 59 hàm hyperbolic, 98 hàm Joukowski, 55, 90, 121, 299, 307 hàm lượng giác phức, 95 hàm lũy thừa, 102, 299, 307 hàm liên hợp điều hòa, 189 hàm liên tục, 56 hàm liên tục đều, 57 hàm logarithm, 101, 127, 157, 307 hàm mũ, 91, 306 hàm mũ số phức, 103 hàm ngược, 51 hàm nguyên, 88, 244 hàm phức biến thực, 128 hàm phân hình, 238, 322 hàm phân tuyến tính, 112, 297, 299 hàm số biến số phức, 50 chỉnh hình, 88 giải tích, 88 khả vi, 78 liên tục, 56 liên tục đều, 57 tích phân, 136 hàm tuyến tính, 105 hệ số co giản đều, 295 hội tụ đều, 60, 63, 313 hội tụ tập compact, 62, 287, 291, 292 hội tụ tuyệt đối, 44, 65, 311, 313 họ hàm bị chặn đều, 183 họ hàm đồng liên tục đều, 183 hoàn toàn bị chặn, 41 không điểm hàm số, 324 không gian vector hàm giải tích, 88 không-điểm, 234 khả tích, 129, 138 khả vi, 128 khai triển Laurent, 230 khai triển Maclaurin, 219, 221 khai triển Taylor, 219 khoảng cách, 34 lân cận, 32 lân cận thủng, 32 lũy thừa bậc n, 10 lũy thừa phức, 103 liên tục, 56 liên tục đều, 57 liên thông, 58 logarithm, 100, 127 giá trị chính, 101 mặt cầu Riemann, 30 mặt phẳng phức, mặt phẳng phức mở rộng, 30 miền, 34 miền đóng, 34 miền đơn diệp, 50, 306 miền đơn liên, 133, 156 miền đa liên, 133, 159 modulus, 16 nửa liên tục trên, 206 c Hồ Công Xuân Vũ Ý 340 Tra cứu nghiệm đa thức, 11 nghiệm liên hợp, 11 nguyên hàm, 144, 157 nguyên lý argument, 284 nguyên lý bảo toàn miền, 290 nguyên lý Harnack, 202 nguyên lý modulus cực đại, 179, 191 nhân tử sơ cấp Weierstrass, 322 phép đồng phôi, 57, 307 phép đẳng cấu, 301 phép liên hợp phức, 14 phép tự đẳng cấu, 301 phân hoạch, 138 phần ảo, phần thực, phần trong, 33 phủ mở, 40 phương trình đường tròn, 109 phương trình đường tròn, 16 phương trình Laplace dạng cực, 192 số phức, argument, 22 bậc n, 26 dạng đại số, dạng Euler, 25 dạng lượng giác, 22 modulus, 16 phép cộng, phép chia, phép nhân, phép trừ, số phức liên hợp, tích phân, 136, 138 tích phân không phụ thuộc đường cong, 145 tích phân loại Cauchy, 172, 300 tích phân suy rộng, 257, 264 tích vô hạn, 308 tập đóng, 32, 48 tập bị chặn, 34 tập compact, 34, 40, 183, 291 tập liên thông, 33, 35, 132 tập mở, 32 tổng hai số phức, tổng riêng thứ n, 43 tổng tích phân, 138 thành phần liên thông, 34 thặng dư, 247 thặng dư logarithm, 286 ảo, tiêu chuẩn Cauchy, 39, 44, 61, 64 tiêu chuẩn Weierstrass, 66 trực giao, 107 tuyến tính mảnh, 131 vành hàm giải tích, 88 vi phân hàm phức, 84, 190 tích Cauchy, 46 tích tắc Weierstrass, 323 tích hai số phức, c Hồ Công Xuân Vũ Ý [...]... trường số phức Trong phần này chúng tôi trình bày sơ lược về việc xây dựng trường số phức Ta đã biết phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm trong R, vì α2 + 1 luôn dương Giả sử rằng ta tìm được một trường F chứa R như là c Hồ Công Xuân Vũ Ý § 1 Số phức và các phép toán 13 một trường con mà trong F phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm Ký hiệu một nghiệm là i Khi đó, x2 + 1 = (x + i)(x − i), và phương trình. .. một phương trình, và chúng ta có một định lý quen thuộc: các nghiệm không thực của một phương trình với các hệ số thực lập thành từng cặp nghiệm liên hợp Căn bậc hai Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng căn bậc hai của một số phức có thể được biểu diễn một cách tường minh Với số phức α + iβ cho trước, ta tìm số phức x + iy sao cho (x + iy)2 = α + iβ Điều này tương đương với việc giải hệ phương trình x2 −... phép toán áp dụng cho các số phức a, b, c, ; khi đó R(a, b, c, ) = R(a, b, c, ) c Hồ Công Xuân Vũ Ý § 1 Số phức và các phép toán 11 Như là một ứng dụng, xét phương trình c0 z n + c1 z n−1 + · · · + cn−1 z + cn = 0 Nếu ξ là một nghiệm của phương trình trên, thì ξ là một nghiệm của phương trình c0 z n + c1 z n−1 + · · · + cn−1 z + cn = 0 Đặc biệt, nếu các hệ số của phương trình là thực thì ξ và ξ là... · + λn an | < 1 21 ) Chứng minh rằng tồn tại các số phức z thỏa |z − a| + |z + a| = 2|c| nếu và chỉ nếu |a| ≤ |c| Nếu điều kiện này thỏa, hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z| thỏa phương trình trên 22 ) Viết phương trình của một ellipse, hyperbola, parabola dưới dạng biểu thức phức §3 Argument và căn bậc n của số phức Argument Cho số phức z = x + iy = 0 Gọi ϕ là góc có hướng của tia OM... chỉ ra rằng hàm Tn (x) = cos(n arccos(x)) với n = 0, 1, 2, là một đa thức có bậc n theo biến x (Tn được gọi là đa thức Chebyshev ) c Hồ Công Xuân Vũ Ý 30 I Số phức §4 Mặt cầu Riemann Tập số phức mở rộng Trong nhiều trường hợp, điểm vô cùng, kí hiệu ∞, có vai trò quan trọng không thể bỏ qua được Mặt phẳng phức có bổ sung điểm vô cùng được ¯ nghĩa là C ¯ = C ∪ {∞} Trên C ¯ gọi là mặt phẳng phức mở rộng,... |z| cos ϕ0 , y = |z| sin ϕ0 , ta nói ϕ0 là argument chính của z và ký hiệu arg z Argument của số phức được định ϕ0 nghĩa khi nó khác không Trường hợp x O số phức bằng 0 thì không xác định argument Khi số phức khác không, ta có Hình I.3: Argument của z thể xác định argument của một số phức như sau Xét số phức z = x + iy Nếu x = 0 thì π  khi y > 0, (k ∈ Z)   2 + 2kπ Argz =    − π + 2kπ khi y ... phẳng phức 6 15 22 30 32 II Hàm biến số phức § Dãy chuỗi số phức § Hàm số biến số phức § Liên tục liên tục § Dãy hàm chuỗi hàm. .. Một số hàm sơ cấp khác phép biến hình § Hàm Logarithm § Hàm lũy thừa lũy thừa phức § Hàm tuyến tính hàm f (z) = 1/z § Hàm phân tuyến tính § Các ví dụ biến. .. II Hàm biến số phức §1 Dãy chuỗi số phức Dãy số phức Dãy số phức ánh xạ từ tập hợp số tự nhiên dương N+ vào tập số phức C, nghĩa ánh xạ f : N+ → C n → f (n) ∞ Đặt zn = f (n), ký hiệu dãy số phức