Giáo trình Hàm phức và Phép biến đổi Laplace pot

Trương Thuận – Tài liệu Hàm phức và phép biến đổi Laplace ĐH Công nghiệp TP.HCM Chương 1.. • Dựa vào công thức Euler, số phức z có | |z = và rarg z= có thể được viết dưới dạng mũ: ϕ

Trường ĐH Nghiệp TP HCM

GIÁO TRÌNH

HÀM PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI

LAPLACE ĐẠI HỌC

Biên soạn: Ths Đoàn Vương Nguyên

HÀM PH Ứ C

VÀPHÉP BI Ế N N Đ Đ Ổ I LAPLACE

PHÂN PH Ố I CH I CH ƯƠ ƯƠ NG TRÌNH NG TRÌNH

S ố ti ế t: 30 -

Chương 1 Số phức

Chương 2 Hàm biến phức

Chương 3 Tích phân hàm phức

Chương 4 Chuỗi và Thặng dư

Chương 5 Phép biến đổi Laplace

Tài liệu tham khảo

Toán tử (NXB ĐH Quốc gia – 2006)

Download Slide bài gi ả ng Hàm ph ứ c và

Phép bi ế n n đổ đ i Laplace i Laplace Đạ Đ i h ọ c t ạ i

dvntailieu.wordpress.com

Biên so ạ n:ThS Đo àn V n V ươ ươ ng Nguyên ng Nguyên

7 Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Hàm biến phức

(NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2006)

8 Theodore W Gamelin – Complex Analysis

(Department of Mathematics UCLA)

9 Trương Thuận – Tài liệu Hàm phức và

phép biến đổi Laplace

(ĐH Công nghiệp TP.HCM)

Chương 1 S ố ph ứ c

§1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1.1 Các định nghĩa

• Số phức là số có dạng z = +x iy, trong đó x y, ∈ ℝ

Số i thỏa i2 = − được gọi là đơn vị ảo 1

x được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu Re z

y được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu Im z Đặc biệt

• Phép nhân số phức có các tính chất như nhân số thực

• Về mặt hình học, số phức z= + được biểu diễn x iy

bằng điểm M x y trong mặt phẳng tọa độ Descartes ( ; )

vuông góc Oxy

Khi đó, mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức

2.1 Dạng lượng giác của số phức

• Trong mặt phẳng phức, ta có:

Imz= ⇔ ∈0 z Ox; Rez= ⇔ ∈0 z Oy

Chương 1 S ố ph ứ c

y M

b) Modul và argument của số phức

• Trong mặt phẳng phức,

khoảng cách r từ gốc tọa độ

O đến điểm M được gọi là

modul của z , ký hiệu là | |z

Modul của z được xác định bởi:

• Ký hiệu tập hợp tất cả argument của z là Argz

Vậy Argz =argz+k2 ,π k∈ ℤ

Bước 1 Xác định điểm M biểu diễn z trên mpOxy

Bước 2 arg z= thỏa mãn cosϕ x, sin y

− < ≤ và phụ thuộc vào vị trí của M π ϕ π

VD 1 Xác định modul và argument của các số phức:

Nếu z =r(cosϕ+isin )ϕ thì:

(cos sin ) [cos( ) sin( )]

• Cho số phức z=cosϕ+isinϕ

Khi đó: n cos sin ( , 1)

i = − nếu r = , nghĩa là : 42 n dư 2;

• i n = − nếu i r = , nghĩa là : 43 n dư 3

Khai triển Maclaurin hàm i ( )

n

i e

• Dựa vào công thức Euler, số phức z có | |z = và r

arg z= có thể được viết dưới dạng mũ: ϕ

biểu diễn tham số một đường cong L trong mp phức

• Các điểm z a( ), ( )z b ∈ lần lượt được gọi là điểm đầu L

và điểm cuối của đường cong L

§3 ĐƯỜNG VÀ MIỀN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC

Chương 1 S ố ph ứ c

VD 1 a)Đường tròn tâm O bán kính r có phương trình:

(cos sin ) cos sin , [0; 2 ]

= nằm

ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng phức

Chương 1 S ố ph ứ c

b) Phân loại đường cong

• Đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

được gọi là đường cong đóng (khép kín)

• Đường cong không có điểm tự cắt được gọi là đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng còn được gọi

là chu tuyến

• Đường cong L được gọi là trơn nếu các hàm số x t và ( )( )

y t có đạo hàm liên tục và khác 0 trên đoạn [ ; ]a b , có

nghĩa là mọi điểm của L đều có tiếp tuyến

• Đường cong tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là đường cong trơn từng khúc

Lân cận ε của điểm z = ∞ là | |z >ε

• Tập D⊂ ℂ được gọi là một miền trong mặt phẳng

phức nếu thỏa hai điều kiện sau:

1) Với mọi z0∈ , tồn tại lân cận D U z ε( )0 ⊂ D

2) Với mọi a b, ∈ , tồn tại đường cong L D ⊂ có D

điểm đầu là a , điểm cuối là b

Chương 1 S ố ph ứ c

VD 3 a) Tập D={z∈ℂ:|z− −2 i|<1} là 1 miền

b) Tập D={z∈ℂ:|z−i|<1}∪{z∈ℂ: Im( )z <0}

không là miền vì với a b, ∈ , ta có thể chỉ ra được D

đường cong L có điểm đầu là a , điểm cuối là b , nhưng

L không nằm trong D

b) Biên và chiều của biên

• Điểm z được gọi là điểm biên của miền D nếu trong 0

lân cận bất kỳ của z đều có chứa điểm thuộc D và 0

điểm không thuộc D

• Tập hợp các điểm biên của miền D được gọi là biên của D , ký hiệu là D∂

Chương 1 S ố ph ứ c

• Nếu D là một miền thì D=D∪ ∂ được gọi là miền D

đóng (hay miền kín)

• Quy ước chiều dương của biên D∂ là chiều mà khi ta

đi dọc theo biên sẽ thấy miền D nằm về phía tay trái

c) Miền đơn liên, miền đa liên

• Xét miền D giới hạn bởi chu

tuyến γ Miền này được gọi là

miền đơn liên, γ chính là ∂D

D

D

• Nếu D được giới hạn bởi hai chu tuyến γ1, γ không 2

giao nhau, thì miền D được gọi là miền nhị liên Khi

đó, ∂ =D γ1∪γ2 Tương tự, ta có thể định nghĩa miền

tam liên, tứ liên,

Chương 1 S ố ph ứ c

D γ

1

γ

D γ

1

γ

• Nếu ta bổ sung vào miền

đa liên các đoạn thẳng

1, , 2

l l thì miền sẽ thành miền đơn liên Mỗi đoạn thẳng được tính hai lần theo chiều ngược nhau

• Quy tắc f cho tương ứng mỗi z ∈ ⊂ ℂ với một hay A

nhiều giá trị w=f z( )∈ ℂ được gọi là một hàm biến

• Nếu mỗi z∈ ứng với một giá trị A w=f z( )∈ ℂ thì f

được gọi là hàm đơn trị, nếu mỗi z∈ ứng với nhiều A

giá trị w=f z( )∈ ℂ thì f được gọi là hàm đa trị

( )

f z z

b) Phần thực và phần ảo của hàm biến phức

• Với mỗi z∈ , A w=f z( )∈ ℂ nên ta có thể viết:

c*) Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức

Để biễu diễn hình học một hàm số thực biến số thực, ta

vẽ đồ thị của hàm số đó Để biễu diễn hình học một hàm số phức, ta không thể dùng phương pháp đồ thị được nữa Ta thực hiện như sau:

• Cho hàm biến phức w=f z( ), z∈ Xét hai mặt A

phẳng phức Oxy (mpz ) và O uv ′ (mpw) Ứng với mỗi

điểm z0 ∈ , hàm A w=f z( ) xác định điểm w0 =f z( )0

trong mặt phẳng w

Về mặt hình học, ta nói hàm w=f z( ) xác định một

phép biến hình từ mpz vào mpw

Điểm w được gọi là ảnh của điểm 0 z và điểm 0 z được 0

gọi là nghịch ảnh của điểm w 0

< < ; 4) Miền A={z∈ℂ 0<Rez <1}

Từ đây về sau, ta chỉ xét trường hợp hàm f(z) đơn trị

1.2 Tính liên tục của hàm biến phức

a) Giới hạn hàm biến phức

Định nghĩa

• Cho hàm biến phức f z xác định trong lân cận của ( ) z0

(có thể trừ điểm z ) Số phức a0 ≠ ∞ được gọi là giới

hạn của f z khi ( ) z→ , ký hiệu z0

Chương 2 Hàm bi ế n ph ứ c

• Hàm f z được gọi là liên tục trong miền B nếu ( ) f z( )

liên tục tại mọi điểm z∈ B

Cho hàm w=f z( ) xác định trong miền D chứa điểm

z = + Cho z một số gia z x iy ∆ = ∆ + ∆ Gọi x i y

f z cĩ đạo hàm tại điểm z thì khả vi tại điểm z ( )

f z cĩ đạo hàm tại điểm z thì liên tục tại điểm z ( )

Đạo hàm của hàm biến phức cĩ các tính chất và quy

thì các hàm hai biến thực u x y và ( , ) v x y cĩ các đạo ( , )

hàm riêng tại ( , )x y và thỏa điều kiện C – R:

u′ =v′ và u′= −v′

• Ngược lại, nếu các hàm hai biến thực u x y và ( , ) v x y( , )

cĩ các đạo hàm riêng liên tục tại ( , )x y và thỏa điều

∂ = ′=

∂

Điểm z mà tại đó hàm w=f z( ) không giải tích được

gọi là điểm bất thường của f z ( )

• Hàm w=f z( ) khả vi tại mọi điểm z thuộc miền D thì được gọi là giải tích trong miền D

Chú ý

Hàm w=f z( ) giải tích tại điểm z thì khả vi tại 0 z , 0

ngược lại nói chung là không đúng

Chương 2 Hàm bi ế n ph ứ c

Chẳng hạn, hàm f z( )=z z khả vi tại z= nhưng 0

không giải tích tại điểm đó

Hàm w=f z( ) giải tích trên miền mở D khi và chỉ

khi f z khả vi trên D ( )

VD 6 a) Hàm w = không giải tích tại z z ∀ ∈ ℂ

b) Hàm w=z n khả vi tại z∀ ∈ ℂ nên giải tích trong ℂ

c) Hàm 2

1

z w

z

=+ giải tích tại ∀ ∈z ℂ\ {±i} Hai điểm z= ±i là điểm bất thường của hàm w

………

Chương 2 Hàm bi ế n ph ứ c

§3 QUAN HỆ GIỮA HÀM GIẢI TÍCH

VÀ HÀM ĐIỀU HÒA 3.1 Hàm điều hòa

VD 1 a) Hàm u=x2−y2 là hàm điều hòa vì:

2 2 2 2 0

u′′ +u′′ = − = b) Hàm u=ln(x2+y2) là hàm điều hòa trong

Nếu hàm f z( )=u x y( , )+iy x y( , ) là hàm giải tích trong

miền D thì u x y và ( , ) y x y là các hàm điều hòa trong ( , )

3.2 Điều kiện để hàm biến phức giải tích

• Nếu u x y và ( , ) v x y là hai hàm điều hòa liên hợp ( , )

(nghĩa là thỏa điều kiện Cauchy – Riemann) trong D

thì hàm f z( )=u x y( , )+iv x y( , ) giải tích trong D

Nhận xét

• Cho trước một hàm điều hòa, ta có thể tìm được hàm điều hòa liên hợp với nó (sai khác 1 hằng số) Vì vậy, khi cho trước phần thực hoặc phần ảo của một hàm giải tích, ta có thể tìm được hàm giải tích đó (sai khác

1 hằng số)

VD 3 Tìm hàm giải tích f z( ) Cho biết phần thực u=x2−y2+2x và f(0)=0

§3 Tích phân bất định Công thức Newton – Leibnitz

§4 Công thức tích phân Cauchy

liên tục trên C Chia C thành

n điểm chia liên tiếp:

0 1

( ) , , , n ( )

k t

• Nếu khi ∆z k = z k−z k−1 → , tổng 0 S dần đến giới n

hạn là I ∈ ℂ (không phụ thuộc vào cách chia và chọn điểm t ), thì I được gọi là tích phân của k f z dọc theo ( )

Tích phân đường hàm phức dọc theo C có các tính chất

như tích phân đường loại 2:

=+ giải tích trong D: | |z ≤ 1

và liên tục trên biên ∂D nên

2

| | 1

04

z

zdz z

=

=+

∫ với mọi đường cong C nằm trong D

có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau

• Nếu hàm f z giải tích trong miền đơn liên D và C là ( )

đường cong kín nằm trong D thì ( ) 0

các chu tuyến C2, ,C nằm ngoài nhau Nếu n f z giải ( )

tích trong D và liên tục trong D=D∪∂D thì:

Hệ quả (tính bất biến khi biến dạng chu tuyến)

Nếu chu tuyến C có thể biến dạng liên tục mà không 1

vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của f z để trở thành ( )

=

−

∫ , trong đó

C là đường cong kín không đi qua điểm a và n ∈ ℤ

• Trường hợp 2: điểm a nằm trong C

Ta chọn r đủ bé để đường tròn

r

C tâm a, bán kính r nằm trong C

Giải

• Trường hợp 1: điểm a nằm ngoài C

( )( )n

π ϕ

Chương 3 Tích phân hàm ph ứ c

Chú ý

• Tích phân hàm f z dọc theo đường cong C chỉ được ( )

áp dụng công thức Newton – Leibnitz nếu C nằm

trong miền đơn liên D và hàm f z giải tích trong D ( )

• Các phương pháp tính tích phân đổi biến và từng phần

đã biết vẫn đúng cho tích phân phức

3.2 Công thức Newton – Leibnitz

• Nếu hàm f z giải tích trong miền đơn liên D và ( ) F z( )

là một nguyên hàm của f z trong D thì: ( )

2

2 1 1

z

z z z

4.1 Định lý (công thức tích phân Cauchy)

Giả sử hàm f z giải tích trong miền giới nội D và liên ( )

tục trong miền D=D∪∂D Khi đó, giá trị f z tại ( )0

điểm bất kỳ z0∈ được biễu diễn qua giá trị trên biên D

− =

=

−

∫

Giả sử hàm f z giải tích trong miền giới nội D và liên ( )

tục trong miền D=D∪∂D Khi đó, hàm f z có đạo ( )

hàm mọi cấp tại điểm z bất kỳ trong miền D và được 0

biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy:

( )

1 0

z được gọi là điểm hội tụ (phân kỳ) của chuỗi (1)

• Tập hợp các điểm hội tụ z của chuỗi (1) được gọi là 0

miền hội tụ của chuỗi (1)

• Tổng riêng thứ n của chuỗi (1), ký hiệu S z , là: n( )

f z

∞

=

∑ hội tụ

Hàm f z xác định trong miền hội tụ của chuỗi (1) ( )

được gọi là tổng của chuỗi (1), ta viết

1

( ) ( )

n n

chuỗi (1) Tại mọi z thuộc miền hội tụ thì lim n 0

Chương 4 Chu ỗ i và Th ặ ng d ng d ư ư

• Định lý 1 (tiêu chuẩn Cauchy)

Chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D khi và chỉ khi:

b*) Tính chất của chuỗi hội tụ đều

• Định lý 2 (tiêu chuẩn Weierstrass)

Nếu f z n( ) ≤a n,a n∈ℝ+,∀ ∈z D và chuỗi số

1

n n a

Nếu tất cả các số hạng f z của chuỗi (1) liên tục n( )

trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng f z( )

cũng là hàm liên tục trong D

Chương 4 Chu ỗ i và Th ặ ng d ng d ư ư

• Định lý 5

Nếu tất cả các số hạng f z của chuỗi (1) giải tích n( )

trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng f z giải ( )

Nếu tất cả các số hạng f z của chuỗi (1) liên tục n( )

trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì với mọi

đường cong C nằm trong D , ta có:

Nếu chuỗi (2) hội tụ tại điểm z0≠ thì chuỗi hội tụ a

tuyệt đối tại mọi điểm thỏa |z−a|<|z0−a| và hội tụ đều trong |z−a|≤ , với r 0< <r |z0−a|

Nếu chuỗi (2) phân kỳ tại điểm

Chương 4 Chu ỗ i và Th ặ ng d ng d ư ư c) Bán kính hội tụ

• Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (2) luôn là hình tròn

|z−a|< với 0R ≤ ≤ +∞ R

• Số thực R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (2)

• Tại điểm z thỏa |z−a|= , chuỗi (2) có thể hội tụ R

hoặc phân kỳ

Công thức tính bán kính hội tụ

• Ta sử dụng các tiêu chuẩn d’Alembert hoặc Cauchy để

tìm bán kính hội tụ của chuỗi với c n ≠ ∀ >0, n N

u D u

+

1 (*)

D D

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy:

n n

n

n z

c R

n n

( 1) 4

n n n

c xác định theo (*) được gọi

là chuỗi khai triển Taylor của f z quanh điểm ( ) a

a) Định lý

• Nếu hàm f z giải tích trong hình tròn ( ) |z−a|< thì R

với mọi z trong hình tròn đó, f z được khai triển thành ( )chuỗi lũy thừa

0

n n

• Hàm f z xác định trong lân cận vô cùng ( ) | |z >R

được gọi là giải tích tại ∞ nếu ( )f z có thể khai triển

c z

Chương 4 Chu ỗ i và Th ặ ng d ng d ư ư

VD 3 Khai triển Taylor của hàm 1

( )2

1 0

2( )

n n n

f z

z

∞ +

f z z

=

− quanh z= 1

Giải Ta có:

1 0

z

∞ +

( )

n n n

a) Định lý

• Nếu hàm phức f z giải tích trong hình vành khăn( )

G ≤ <r z−a <R ≤ ∞ thì với mọi z thuộc G ,

ta có khai triển f z thành chuỗi Laurent: ( )

n n

• Khai triển Laurent của f z ( )

trong hình vành khăn cho

trước là duy nhất Tuy nhiên

trong các hình vành khăn

khác nhau thì khai triển

Laurent có thể khác nhau

Chú ý

• Chuỗi Taylor là trường hợp

riêng của chuỗi Laurent, trong

 f z thành chuỗi lũy thừa của 1( ) (z− ; a)

 f z thành chuỗi lũy thừa của 2( ) 1

z−a

b) Phương pháp khai triển chuỗi Laurent

• Cách 1. Tìm hệ số c từ công thức trong định lý trên n

Tuy nhiên, cách này dẫn đến tính toán phức tạp

n

n n

( )

2

f z z

n n

∫ , với mọi C bao quanh gốc O

Chương 4 Chu ỗ i và Th ặ ng d ng d ư ư

§2 THẶNG DƯ 2.1 Điểm bất thường cô lập của hàm giải tích

2.1.1 Định nghĩa

Điểm z = ≠ ∞ được gọi là điểm bất thường cô lập a

của hàm f z nếu tồn tại một lân cận của a trong đó chỉ ( )

1

f z

z

=+ có hai điểm bất thường cô lập là

z= ± i

Chương 4 Chu ỗ i và Th ặ ng d ng d ư ư

2.1.2 Phân loại các điểm bất thường cô lập

Giả sử z= ≠ ∞ là điểm bất thường cô lập của ( )a f z

Khi đó, hàm f z có khai triển Laurent trong hình vành ( )khăn 0<|z−a|< là ( )R ( )n

n n

thì z = được gọi là điểm bất thường bỏ được a

Nếu trong khai triển (*) có chứa hữu hạn các lũy

thừa âm của (z− , nghĩa là: a)

c c

z−a− , m∈ ℕ , là lũy thừa âm cao nhất của *

(*) thì z = được gọi là cực điểm cấp m của ( ) a f z

Nếu trong khai triển (*) có chứa vô số lũy thừa âm

của (z − thì z a) = được gọi là điểm bất thường a

cốt yếu của f z ( )

Chú ý

• Điểm bất thường bỏ được còn được gọi là cực điểm

cấp 0 hay không điểm

• Cực điểm cấp 1 (m = ) còn được gọi là cực điểm đơn 1

f z z

= có khai triển Laurent:

f z

=

−

2.1.4 Điểm bất thường cô lập tại vô cùng

• Giả sử hàm f z giải tích trong miền ( ) r<| |z < +∞

với r > và không giải tích tại z0 = ∞