Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace ppt

Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace... Do f z =2z giải tích trong ℂ nên: Hệ quả tính bất biến khi biến dạng chu tuyến Nếu chu tuyến C1 có thể biến dạng l

Tóm tắt và các ví dụ

Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace

Chú ý

Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng

Chương 3 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC

§2 ĐỊNH LÝ CAUCHY

2.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

| | 1

04

z

zdz z

=

=+

∫
với mọi đường cong C nằm trong D có

cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau

VD 2 Tính tích phân 2

C

I =∫ z dz , trong đó C là cung y =x3 −3x2 nối z = với 0 z = − 1 2i

Giải Đoạn thẳng OA nối z = với 0 z = − có phương trình: 1 2i z t( )= −t 2 , : 0it t →1

Do f z( )=2z giải tích trong ℂ nên:

Hệ quả (tính bất biến khi biến dạng chu tuyến)

Nếu chu tuyến C1 có thể biến dạng liên tục mà không vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của f z để trở thành chu ( )

Do hàm 1

( )( )n

f z

z a

=

− giải tích trong miền đĩng D cĩ biên C nên I n =0 (định lý 2)

• Trường hợp 2: điểm a nằm trong C

Ta chọn r đủ bé để đường trịn C r tâm a , bán kính r nằm trong C

Phương trình tham số của C r là: z a re i ϕ ( [0;2 ])

0

0(1 )

e I

π ϕ

∫
các trường hợp còn lại và nằm trong

§4 CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY

4.1 Định lý (cơng thức tích phân Cauchy)

Giả sử hàm f z giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền ( ) D =D∪∂D Khi đĩ, giá trị f z( )0 tại

điểm bất kỳ z0 ∈D được biễu diễn qua giá trị trên biên D∂ theo cơng thức tích phân Cauchy:

Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy, ta cĩ:

iz

e w

z π

=

− có 2 điểm bất thường z 2

π

= ± nằm trong C Xét miền đa liên như hình vẽ và áp dụng

định lý Cauchy cho miền đa liên, ta có:

4.2 Hệ quả 1 (công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích)

Giả sử hàm f z giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền ( ) D =D∪∂D Khi đó, hàm f z có đạo ( )

hàm mọi cấp tại điểm z0 bất kỳ trong miền D và được biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy:

z w

| | 2

2 ( )2!

Chương 4 Chuỗi và Thặng dư

→ không tồn tại thì z = là điểm bất thường cốt yếu a

VD 5 Tìm và phân loại điểm bất thường cô lập của

2

sin( )

z→i z −i không tồn tại nên z = là điểm bất thường cốt yếu i

2.1.4 Điểm bất thường cô lập tại vô cùng

• Giả sử hàm f z giải tích trong miền ( ) r <| |z < +∞ với r > và không giải tích tại z = ∞ 0

< < nên có khai triển Laurent

• Trong khai triển Laurent của g t , tùy theo ( ) t = là cực điểm bỏ được, cực điểm cấp m hay điểm bất thường 0

cốt yếu ta có z = ∞ là cực điểm tương ứng của ( )f z

VD 7 Xác định điểm bất thường cô lập z = ∞ của:

Vậy z = ∞ là điểm bất thường cốt yếu của ( )g z

3( )

Giải

a) Ta có:

2

1 2

8

11

Giải Hàm f z có hai cực điểm đơn là z( ) = ± i

Nếu hàm f z giải tích trong miền đóng D giới hạn bởi đường cong Jordan kín C trừ một số hữu hạn điểm ( )

a1, a2, …, a n bất thường cô lập nằm trong D thì:

1

n

k k

f z

z

=+ có 4 điểm bất thường cô lập a k, k =1, 4 là căn bậc 4 của − 1

Ta có:

0 4

n n

3.2 Tính tích phân hàm lượng giác

dz

dz iz

z iz

π π

4 1

π π

π π

Trong đó, a k là các điểm bất thường nằm trong nửa mặt phẳng trên

• Bước 2 Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có I1 và I2

Chương 5 Phép biến đổi Laplace

§1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

1.3 Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng

a) Hàm bậc thang đơn vị u(t)

1{ ( )} (1)

L t

s

=+ nên ta có:

2 2

VD 5 Tìm biến đổi Laplace của hàm

2.5 Biến đổi Laplace của đạo hàm f (n) (t)

Nếu L f t{ ( )}=F s( ) và hàm gốc f t có đạo hàm đến cấp n và các đạo hàm cũng là hàm gốc thì: ( )

2.8 Biến đổi Laplace của hàm f t( )

t

Nếu L f t{ ( )}=F s( ) và

0

( )lim

t

f t t

1

L t

s

=+

2.9 Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn

Nếu f t là hàm tuần hoàn với chu kỳ ( ) T > thì: 0

3.2 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược

L s

1( ) sin 2( )2

VD 7 Tìm biến đổi 1

( 4)

s L

s L

s L

1( )

3.2.2 Phân tích ảnh thành tổng các phân thức tối giản

Phân thức tối giản loại I có dạng: 1

,(s +a)n với a là số thực

Phân thức tối giản loại II có dạng: 2 2

[( ) ]n

Ms N

s a k

++ + với M N a k, , , là các số thực

Giải Ta có:

2

2 5( )

s L

4

s s

1( 1)

3

7 6

s L

VD 17 Tìm biến đổi 1

2

( 3) ( 5)

s L

5lim

64

st

t s

se

e s

L s

L s

11

F s G s

s s

§4 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

4.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

Phương pháp giải Xét phương trình vi phân với nghiệm cần tìm là y t ( )

• Bước 1 Biến đổi Laplace hai vế của phương trình vi phân ta thu được một phương trình bậc nhất với hàm cần

tìm là Y s( )=L y t{ ( )}

• Bước 2 Thay điều kiện đầu (nếu có), tìm Y s theo s ( )

• Bước 3 Nghiệm cần tìm là y t( )=L−1{ ( )}Y s

Chú ý Để đơn giản, ta viết Y thay cho Y s ; y thay cho ( ) y t ( )

VD 1 Giải phương trình vi phân: 2 3 ;t (0) 1

y′ − y= e y = −

Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế, ta được:

3(0) 2

s Y s y y Y

s

′

Thay y(0)=1,y ′(0)= − và giải theo Y , ta được: 2

Vậy y = +t cost−3 sint

VD 5 Giải phương trình vi phân: y′′′+y′ =1; y(0)=y′(0)=y′′(0)= 0

Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế, ta được:

4.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

VD 7 Giải hệ phương trình vi phân: 3 0

; (0) 1, (0) 10

s Y

s Y