Biến Đổi Laplace Và Ứng Dụng Giải Phương Trình Vi Phân Đạo Hàm Riêng.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRỊNH THỊ LÊ MAI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRỊNH THỊ LÊ MAI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC —————— * ——————- TRỊNH THỊ LÊ MAI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN Thanh Hóa, 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trịnh Thị Lê Mai ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Do khả thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn PGS - TS Nguyễn Minh Tuấn Hóa, tháng 10 năm 2015 Học viên Trịnh Thị Lê Mai iii Mục lục Mở đầu Biến đổi Laplace tính chất 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1.2 Điều kiện tồn phép biến đổi Laplace 1.3 Điều kiện hội tụ 1.4 Biến đổi Laplace ngược 10 1.5 1.4.1 Công thức Mellin 11 1.4.2 Điều kiện đủ để tồn gốc 11 Các tính chất phép biến đổi Laplace 12 1.5.1 Tính chất tuyến tính 13 1.5.2 Tính chất đồng dạng 15 1.5.3 Các định lí dịch chuyển 16 1.5.4 Ảnh hàm tuần hoàn 19 1.5.5 Đạo hàm 20 1.5.6 Tích phân 24 1.5.7 Tích chập 28 1.5.8 Tích phân Duhamel 32 Ứng dụng giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 2.1 34 Nhắc lại phương trình vi phân đạo hàm riêng 34 iv 2.2 Phương trình truyền sóng 35 2.3 Phương trình truyền nhiệt 38 2.4 Phương trình Laplace 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Biến đổi Laplace đặt theo tên nhà Toán học Thiên văn học Pierre - Simon Laplace Mặc dù Abel, Lerch, Heaviside Bromwich sử dụng từ kỉ XIX đến sau chiến tranh giới II sử dụng phổ biến ngày Từ năm 1744, Leonhard Euler đưa tích phân ∫ ∫ z = X (x)eax dx z = X (x)xA dx để giải phương trình vi phân Joseph Louis Lagrange, người ngưỡng mộ Euler, nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất, ông đưa biểu thức ∫ X (x)e−ax ax dx Những dạng tích phân thu hút ý Laplace vào năm 1782 ông tiếp tục nghiên cứu công trình Euler sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình Năm 1878, Spitzer người gắn tên Laplace cho biểu thức ∫b esx Φ (s) ds y= a Biểu thức coi phương trình vi phân thay y hàm chưa biết biến x Năm 1920, Berntein gọi biểu thức sau biến đổi Laplace ∫∞ f (s) = e−su Φ(u)du Nói phép biến đổi Laplace, phải nói tới Oliver Heaviside, người dùng phép biến đổi để giải vấn đề chủ yếu liên quan lĩnh vực vật lí Và Bromwich, người đưa phép biến đổi Laplace ngược X(t) = 2πi γ+i∞ ∫ ets κ(s)ds, γ−i∞ với y thuộc bên phải đường kỳ dị κ Phép biến đổi Lalace có nhiều ứng dụng lĩnh vực Tốn học, Vật lí, Kĩ thuật, Chẳng hạn, Tốn học, ta sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, Bởi qua biến đổi Laplace, phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Luận văn trình bày kiến thức đọng phép biến đổi Laplace ứng dụng giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Phép biến đổi Laplace tính chất Chương 2: Ứng dụng giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Mặc dù cố gắng song luận văn chắn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn Chương Biến đổi Laplace tính chất Biến đổi Laplace biến đổi tích phân hữu hiệu giải tốn vật lí Qua biến đổi Laplace, phép tốn giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép tính đại số Vì sử dụng phổ biến giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất tốn vật lí Chương xây dựng sở lý thuyết phép biến đổi Laplace (xem [1, 2, 3, 4, 5, 6]) 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]) Giả sử f hàm nhận giá trị thực phức xác định với t > s tham số thực phức Biến đổi Laplace hàm f định nghĩa ∫∞ F (s) = L(f (t)) = −st e ∫τ f (t)dt = lim τ →∞ e−st f (t)dt; (1.1.1) Kí hiệu L(f (t)) gọi biến đổi Laplace f tích phân tích phân Riemann thông thường F (s) ảnh hàm f (t) qua phép biến đổi Laplace Khi s số phức, ta sử dụng kí hiệu s = x + iy 1.2 Điều kiện tồn phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace tồn tích phân (1.1.1) hội tụ Nếu tích phân phân kì khơng có biến đổi Laplace Có hai kiểu hội tụ tích phân Laplace, là: Hội tụ tuyệt đối: Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ tuyệt đối τ với s ∈ Ω Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Laplace (nếu tồn tại) cho hàm sau:    t ≥ a) f (t) =   t < b) f (t) = e−at c) f (t) = eat a) Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace, ta có ∫∞ ∫τ τ →∞ 0 b) Tương tự phần a), ta có ∫∞ ( −at ) −(s+a)t L e = e e−st dt = s e−st dt = lim L (f (t)) = ∫τ dt = lim τ →∞ e−(s+a)t dt = − s+a c) Ta có ( at2 L e ∫∞ ) = −st at2 e e ∫τ eat dt = lim τ →∞ −st dt = ∞ với s Tích phân khơng hội tụ nên khơng có biến đổi Laplace hàm 1.3 Điều kiện hội tụ Ta xây dựng lớp hàm có biến đổi Laplace Định nghĩa 1.3.1 (xem [3]) Điểm t0 gọi điểm gián đoạn hàm f hai giới hạn lim f (t) = f (t− 0) t→t− lim f (t) = f (t+ 0) t→t+ + tồn (là số hữu hạn) f (t− ) ̸= f (t0 ) Ví dụ 1.2 Hàm số f (t) = 1−t không liên tục t = 1, t = điểm gián đoạn lim f (t) lim f (t) khơng tồn t→1− t→1+ Ví dụ 1.3 Hàm số f (t) =    e t2 t>0  0 t (hoặc ℜ(s) > 0) tích phân hội tụ miễn f khơng tăng nhanh Định nghĩa 1.3.3 (xem[2]) Hàm f gọi có mũ α tồn số M > số α cho với t0 ≥ 0, |f (t)| ≤ M eαt , t ≥ t0 Rõ ràng, hàm mũ eat có bậc mũ α = a Các hàm bị chặn sin t, cost, có bậc mũ 0, cịn e−t có bậc mũ −1 Ta coi bậc mũ giá trị nhỏ α mà |f (t)| ≤ M eαt , M > 0, t ≥ t0 ≥ Định lý 1.3.1 (xem[3]) Hàm f liên tục mảnh [0, ∞) có bậc mũ α, biến đổi Laplace L(f ) tồn hội tụ tuyệt ℜ(s) > α Chứng minh Vì f có bậc mũ α nên |f (t)| ≤ M1 eαt , t ≥ t0 với số thực α Mặt khác, f liên tục mảnh [0, t0 ] bị chặn đó, tức |f (t)| ≤ M2 , < t < t0 Mặt khác eαt có giá trị nhỏ dương khoảng [0, t0 ], số M đủ lớn cho |f (t)| ≤ M eαt , t > Do ∫τ −st e f (t) dt ≤ M ∫τ e−(x−α)t dt = M M e−(x−α)τ − x−α x−α Cho τ → ∞ ý ℜ(s) = x > α ta ∫τ −st e f (t) dt ≤ M x−α (1.3.1) Vậy tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối (và hội tụ) với ℜ(s) > α Ví dụ 1.5 Áp dụng tích phân phần hàm L(sin ωt), L(cosωt) (t > 0) ta ∫∞ L(sin ωt) = e−st sin ωtdt = −e ∞ −st cos ωt