Phép biến đổi sumudu và ứng dụng 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— ĐẶNG NGUYỄN HẠ GIANG PHÉP BIẾN ĐỔI SUMUDU VÀ ỨNG DỤNG TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Người hướng dẫn khoa học: TS.PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Trường Đại học Sư phạm vào ngày Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Trường Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 09 năm 2021 Tác giả ĐẶNG NGUYỄN HẠ GIANG ii LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp TGTK38 nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Đặng Nguyễn Hạ Giang iii MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ 1.2 Các tính chất 1.3 Định lý tích chập 1.4 Biến đổi Laplace đạo hàm, tích phân 1.5 Biến đổi Laplace ngược ví dụ Chương Biến đổi Sumudu số tính chất 10 2.1 Định nghĩa ví dụ biến đổi Sumudu 10 2.2 Biến đổi Sumudu ngược 11 2.3 Các tính chất biến đổi Sumudu 12 2.4 Biến đổi Sumudu đạo hàm, tích phân 13 2.5 Tích chập 14 Chương Một số ứng dụng biến đổi Sumudu 15 3.1 Giải phương trình vi phân 15 3.2 Giải phương trình tích phân 18 3.3 Giải phương trình vi tích phân 19 3.4 Giải phương trình đạo hàm riêng 20 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 DANH MỤC KÝ HIỆU N Tập hợp số nguyên dương R Tập hợp số thực (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ Card(A) I(A) Số phần tử tập hợp A Hàm tiêu tập hợp A a := b a gán b [x] Số nguyên lớn không vượt x MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Phép biến đổi tích phân Sumudu đề xuất ban đầu Watugala (1993) để giải phương trình vi phân vấn đề kỹ thuật điều khiển Trong Watugula (2002), phép biến đổi tích phân Sumudu áp dụng cho hàm hai biến Trong Asiru (2002), tính chất khác phép biến đổi thiết lập Tương tự, phép biến đổi áp dụng cho phương trình vận chuyển neutron chiều Kadem (2005) Thực tế có mối quan hệ chặt chẽ Sumudu phép biến đổi tích phân khác, Kilicman et al (2011) Đặc biệt mối quan hệ phép biến đổi Sumudu phép biến đổi Laplace chứng minh Kilicman (2011) Hơn nữa, Eltayeb et al (2010), phép biến đổi Sumudu mở rộng cho phân bố số đặc tính chúng nghiên cứu Kilicman Eltayeb (2010) Gần đây, phép biến đổi áp dụng để giải hệ phương trình vi phân, Kili¸cman et al (2010) Sumudu Transform phép biến hình dựa tích phân Kể từ xây dựng phương pháp, nhiều nhà nghiên cứu làm việc không mệt mỏi cách sử dụng phép biến đổi để thu kết nhiều tốn vật lý báo cáo phép biến đổi công cụ mạnh mẽ để thu nghiệm hội tụ nhiều phương trình vi phân Nó áp dụng để giải phương trình hội tụ thơng thường toán kỹ thuật điều khiển Phép biến đổi Sumudu chứng minh có đơn vị bảo tồn thuộc tính, sử dụng để giải vấn đề mà không cần dùng đến miền tần số Đây điểm mạnh biến đổi này, đặc biệt ứng dụng toán kích thước vật lý Do cơng thức đơn giản đặc tính hữu ích đặc biệt đó, Sumudu Transform cho thấy nhiều hứa hẹn Nhiều vấn đề khoa học công nghệ thường đưa đến việc giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn, tốn tính độ lệch đứng dầm vô hạn dẫn đến giải phương trình vi phân thường Khi nghiên cứu dao động dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến giải phương trình đạo hàm riêng Trong học lượng tử, xung lượng hạt biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm Điều chứng tỏ, việc tìm lời giải cho phương trình vi – tích phân xuất song hành với phát triển khoa học công nghệ Do vậy, tơi nhận thấy việc tìm hiểu phép biến đổi tích phân Sumudu áp dụng vào giải phương trình vi - tích phân, đạo hàm riêng cần thiết có ý nghĩa thực tiễn nên định chọn đề tài “PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN SUMUDU VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu tích chất phép biến đổi tích phân Sumudu áp dụng chúng vào việc giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng Để đạt mục tiêu trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Tìm hiểu khái niệm phép biến đổi tích phân Sumudu như: định nghĩa, số tính chất bản, - Tích chập - Biến đổi tích phân Sumudu đạo hàm - Phép biến đổi tích phân Sumudu ngược - Áp dụng phép biến đổi tích phân Sumudu để giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi tích phân Sumudu, phép biến đổi tích phân Sumudu ngược, tích chập - Phạm vi nghiên cứu: Áp dụng phép biến đổi Sumudu vào giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu sưu tầm được, báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Ý nghĩa khoa học thực tiễn: - Trình bày cách có hệ thống kết liên quan đến phép biến đổi Sumudu - Chi tiết hóa chứng minh giúp cho người khơng chun tốn cần tìm hiểu phép biến đổi Sumudu dễ dàng tiệp cận - Tìm hiểu đưa phương trình thực tiễn áp dụng kết phép biến đổi tích phân Sumudu để đưa lời giải chi tiết cho phương trình Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn chia thành ba chương Chương 1, trình bày khái niệm, số tính chất phép biến đổi Laplace; tích chập; biến đổi Laplace đạo hàm, tích phân Chương 2, trình bày phép biến đổi tích phân Sumudu Chương 3, ứng dụng kết phép biến đổi tích phân Sumudu vào giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ Giả sử f hàm biến thực biến phức biến thời gian t > s tham số thực phức Chúng ta định nghĩa toán tử Laplace f sau ∞ L {f (t)} = F (s) = e−st f (t)dt (1.1) Phép biến đổi Laplace hàm f (t) tồn tích phân (1.1) hội tụ với giá trị s thuộc miền Trường hợp ngược lại ta nói phép biển đổi Laplace hàm số f (t) không tồn Ta gọi hàm f (t) định nghĩa hàm gốc hàm biến đổi F (s) hàm ảnh 1.2 Các tính chất Định lý 1.2.1 (Tính chất tiếp tuyến) Cho hàm gốc fk với số tăng αk , biến đổi Laplace Fk , k = 1, 2, , n Khi biến đổi Laplace n hàm tổ hợp tuyến tính f hàm fk f (t) = n số hàm f xác định F (t) = ck fk (t), với ck k=1 ck Fk (t) với miền xác k=1 định Re(s) ≥ max αk ∞ an tn hội tụ t ≥ 0, với Định lý 1.2.2 Chuỗi lũy thừa f (t) = n=0 Kαn |an | ≤ cho n đủ lớn α > 0, K > 0, n! ∞ ∞ an n! n L (f (t)) = an L (t ) = , Re(s) > α n+1 s n=0 n=0 10 Chương BIẾN ĐỔI SUMUDU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 2.1 Định nghĩa ví dụ biến đổi Sumudu Định nghĩa 2.1.1 Xét tập hợp hàm số, A = f (t) | ∃M, τ1 , τ2 > 0, |f (t)| < M e|t|/τj , if t ∈ (−1)j × [0, ∞) , (2.1) phép biến đổi Sumudu định nghĩa ∞ f (ut)e−t dt, u ∈ (−τ1 , τ2 ) G(u) = S[f (t)] = (2.2) Định lý nêu kết nối phép biến đổi Sumudu phép biến đổi Laplace Định lý 2.1.1 Cho hàm số f (t) ∈ A với phép biến đổi Laplace F (s) Khi phép biến đổi Sumudu G f (t) cho G(u) = F (1/u) u (2.3) Ta có hệ trực tiếp Định lý 2.1.1 Hệ 2.1.2 Cho f (t) ∈ A với F G phép biến đổi Laplace Sumudu Khi đó, F (s) = G(1/s) s (2.4) Định lý 2.1.3 (Sự tồn phép biến đổi Sumudu) Nếu hàm số f có số tăng, phép biến đổi Sumudu S(f (t)) = G(u) cho G(u) = u ∞ t e u f (t)dt, −∞ (2.5) 11 i 1 i = + Tích phân G tồn tại điểm = + u η τ u η τ 1 1 nửa mặt phẳng phải > > η k ζ l với Ta có vài ví dụ biến đổi Sumudu hàm đặc biệt bảng sau f (t) G(u) = S(f (t)) t u tn−1 , n = 1, 2, (n − 1)! tn−1 ,n > Γ(n) eat tn−1 eat , n = 1, 2, (n − 1)! tn−1 eat Γ(n) un−1 un−1 1 − au un−1 (1 − au)n un−1 (1 − au)n 2.2 Biến đổi Sumudu ngược Định lý 2.2.1 Cho G(u) phép biến đổi Sumudu hàm f (t) cho (i) G(1/s)/s hàm phân hình, với điểm kỳ dị thỏa mãn Re(s) < γ, (ii) Tồn miền hình trịn Γ với bán kính R số dương, M k, với G(1/s) < M R−k , (2.6) s hàm số f (t) cho S[G(s)] = 2πi γ+i∞ est G γ−i∞ s ds = s residues est G(1/s) s (2.7) 12 Định lý 2.2.2 Phép biến đổi Sumudu khuếch đại hệ số chuỗi hàm, ∞ an tn , f (t) = n=0 thông qua chuỗi hàm ∞ n!an un G(u) = n=0 Hệ 2.2.3 Với sai khác hàm không, phép biến đổi Sumudu ngược, ∞ bn un , cho f (t), chuỗi hàm G(u) = n=0 ∞ −1 S [G(u)] = f (t) = n=0 bn tn n! (2.8) u u −1 S , (u2 + 1)m (u2 − 1)m phép biến đổi Sumudu ngược tồn cho Mệnh đề 2.2.4 Cho S−1 −1 S u (u2 + 1)m (−1)m−1 t2m−1 H(t) = 2m−1 (m − 1)! 1d t dt m−1 sin t t (2.9) sinh t t (2.10) −1 S u (u2 − 1)m t2m−1 H(t) = m−1 (m − 1)! 1d t dt m−1 2.3 Các tính chất biến đổi Sumudu Định lý 2.3.1 Cho hàm số f (t) ∈ A với phép biến đổi Laplace F (s) phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó, S[f (at)] = G(au) Định lý 2.3.2 Cho hàm số f ∈ A với phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó, S t dG(u) df (t) =u dt du (2.11) 13 Định lý 2.3.3 Cho hàm số f (t) ∈ A với phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó, S eat f (t) = u G − au − au Định lý 2.3.4 Cho f (t) ∈ A với phép biến đổi Sumudu G(u) Khi đó, S t t f (τ )dτ u = u G(v)dv 2.4 Biến đổi Sumudu đạo hàm, tích phân Mệnh đề 2.4.1 (i) Cho hàm f khả vi (0, ∞) cho f (t) = với t < Giả sử f ∈ Lloc Khi đó, f ∈ Lloc , dom(S[f ]) ⊂ dom(f ) S[f ] = 1 S(f ) − f (0+) với u ∈ dom(S(f )) u u (2.12) (ii) Tổng quát hơn, f khả vi (c, ∞), f (t) = với t < f ∈ Lloc 1 (2.13) S[f ] = S(f ) − e−c/u f (c+) với u ∈ dom(S[f ]) u u Định lý 2.4.2 Cho n ≥ 1, Gn (u) Fn (u) phép biến đổi Sumudu Laplace đạo hàm cấp n, f (n) (t), hàm f (t) Khi G(u) Gn (u) = n − u n−1 k=0 f (k) (0) un−k (2.14) Định lý 2.4.3 Cho G1 (u) F (s) phép biến đổi Sumudu t phép biến đổi Laplace tích phân W (t) = f (τ )dτ Khi G1 (u) = S(W (t)) = uG(u) Định lý 2.4.4 Cho f (t) ∈ A Gn (u) biến đổi Sumudu nguyên hàm cấp n f (t), định nghĩa cách lấy nguyên hàm f (t) n lần: t n W (t) = t f (τ )(dτ )n , (2.15) với n ≥ 1, Gn (u) = S (W n (t)) = un G(u) (2.16) 14 2.5 Tích chập Định lý 2.5.1 Cho f (t), g(t) ∈ A với biến đổi Laplace F (s) G(s), biến đổi Sumudu M (u) N (u) Khi phép biến đổi Sumudu tích chập f g, ∞ (f ∗ g)(t) = f (τ )g(t − τ )dτ, (2.17) cho công thức S ((f )(t)) = uM (u)N (u) (2.18) Hệ 2.5.2 Cho f (t), g(t), h(t), h1 (t), h2 (t), , hn (t) hàm số A có biến đổi Sumudu F (u), G(u), H(t), H1 (u), H2 (u), , hn (u) Khi đó, biến đổi Sumudu t n (f ∗ g) (t) = t f (τ )g(t − τ )(dτ )n (2.19) cho công thức S ((f ∗ g)n (t)) = un F (u)G(u) (2.20) Hơn nữa, với n ≥ nguyên dương, S [(h1 ∗ h2 ∗ ∗ hn )(t)] = un−1 H1 (u)H2 (u) Hn (u) (2.21) Cụ thể, phép biến đổi Sumudu (f ∗ g ∗ h), với f, g, h ∈ A cho công thức S [(f ∗ g ∗ h)(t)] = u2 F (u)G(u)H(u) (2.22) 15 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI SUMUDU 3.1 Giải phương trình vi phân Ví dụ 3.1.1 Xét phương trình vi phân khơng tf (t) − tf (t) + f (t) = 2, f (0) = 2, f (0) = −1 (3.1) Lời giải biến đổi Laplace: Theo biến đổi Laplace sử dụng điều kiện ban đầu, ta có 2 F (s) = − s s (s − 1) (3.2) c ln(s − 1) + , với c số s2 s2 (3.3) F (s) + Khi đó, ta có nghiệm F (s) = − Sử dụng biến đổi Laplace ngược ta có f (t) = − 2iπt + ct (3.4) Lời giải biến đổi Sumudu: Theo biến đổi Sumudu cho (3.1) sử dụng điều kiện ban đầu, ta có F (u) − F (u) =− u u (3.5) Khi đó, ta có nghiệm F (u) = + au, (3.6) với a số Sử dụng biến đổi Sumudu ngược cho phương trình (3.6) theo biến u, ta thu nghiệm f (t) = + at (3.7) 16 Chú ý rằng, ta so sánh hai phương trình (3.4) (3.7), ta thấy nghiệm thu bới biến đổi Laplace tập số phức nghiệm thu biến đổi Sumudu tập số thực Điều có nghĩa nghiệm tồn theo biến đổi Sumudu nghiệm tồn theo biến đổi Laplace Ví dụ 3.1.2 Xét mạch điện RLC hình bên dưới, với điện áp chiều Vs R C L + Vs − Theo định luật Kirchhoff mạch điện ta có: di Ri + L + idt = Vs dt c (3.8) Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.8) ta có d2 i + dt2 R L LC di + dt i = (3.9) Lời giải theo biến đổi Laplace: Áp dụng biến đổi Laplace với phương trình (3.9), giả sử nghiệm phương trình i(t) = Kest với K s số Chú ý K s số thực, số ảo số phức Từ phương trình (3.9), ta có LKs2 est + RKest + Kest = 0, C (3.10) sau rút gọn, ta có: s2 + R s+ = L LC (3.11) Nghiệm phương trình (3.11) R s1 , s2 = − ± 2L R2 − 4L2 LC (3.12) 17 Do đó, nghiệm tổng quát phương trình vi phân (3.9) i(t) = K1 es1 t + K2 es2 t , (3.13) với K1 K2 xác định từ điều kiện ban đầu R Nếu ta định nghĩa α = hệ số tắt dần = ωn = , 2L LC biết tần số tự nhiên không tắt dần hay tần số cộng hưởng Do đó, ta có α2 − ωn2 s1 , s2 = −α ± (3.14) Nghiệm phương trình phụ thuộc vào trường hợp R2 R2 R2 > , = < 4L2 LC 4L2 LC 4L2 LC Lời giải theo biến đổi Sumudu: Áp dụng biến đổi Sumudu vào phương trình (3.9), ta có: LK st 1 e + RK est + Kest = u u C (3.15) Rút gọn phương trình (3.15), ta có u2 + RCu + LC = (3.16) Nghiệm phương trình (3.16) có dạng s1 , s2 = − RC ± R L2 − LC (3.17) Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (3.9) i(t) = K1 es1 t + K2 es2 t , với K1 K2 xác định từ điều kiện ban đầu (u2 + 1)F (u) + uF (u) = (3.18) 18 3.2 Giải phương trình tích phân Ví dụ 3.2.1 Ta sử dụng biến đổi Sumudu để giải phương trình tích phân Volterra loại Phương trình tích phân Volterra loại có dạng sau: x k(x − t)g(t)dt g(x) = f (x) + (3.19) Đặt S[g(x)] = G(u), S[f (x)] = F (u), S[k(x − t)] = K(u) Áp dụng biến đổi Sumudu định lý tích chập vào phương trình (3.19), ta có: x k(x − t)g(t)dt S[g(x)] = S[f (x)] + S ⇒ G(u) = F (u) + uK(u)G(u) F (u) ⇒ G(u) = , u.K(u) = 1, − u · K(u) (3.20) với F (u) K(u) trường hợp s = N −transformaF (u) tion hàm f (x) k(x−t) Ta có nghiệm sau g(t) = N −1 − u · K(u) Đặt R(x, t) giải thức phương trình tích phân Volterra loại 2, ta thu đẳng thức sau: x R(x − t)f (t)dt g(x) = f (x) + (3.21) Áp dụng biến đổi Sumudu định lý tích chập vào phương trình (3.21), ta có x R(x − t)f (t)dt S[g(x)] = S[f (x)] + S ⇒ G(u) = F (u) + u.r(u)F (u) G(u) − F (u) ⇒ r(u) = u.F (u) (3.22) Thay phương trình (3.20) vào phương trình (3.22), ta có r(u) = K(u) − u.K(u) (3.23) 19 Áp dụng biến đổi Sumudu ngược vào phương trình (3.23), ta thu giải thức S−1 [r(u)] = R(x, t; 1) = R−1 K(u) − u.K(u) (3.24) 3.3 Giải phương trình vi tích phân Định lý 3.3.1 Nếu α, β, ρ, λ ∈ C t ∈ R, Re(η) > 0, Re(β) > 0, giả sử f (t) hàm số liên tục khoảng [0, t], < t < ∞, có số tăng σ t → ∞, phương trình tích phân Volterra −λ Dτ [h(τ )] ρ = ηf (τ ) + k τ0 tβ−1 Eα,β (tα )h(τ − t)dt (3.25) có nghiệm tường minh τ θ(τ − t)f (t)dt h(τ ) = η (3.26) với ∞ ρr k r τ βr −1 Eα,βr (τ α ), βr = βr + α(1 + r) + θ(τ ) = (3.27) r=0 Chứng minh Áp dụng biến đổi Sumudu vào phương trình (3.25) ta có sβ−1 s H(s) = ksH(s) + ηF (s), (1 − sα )ρ λ suy (3.28) ∞ s(β−α)r H(s) = ηs F (s) k α )ρr (1 − s r=0 − r (3.29) Lấy biến đổi Sumudu ngược, ta có ∞ −1 −1 S [H(s)] = S s(α+β)r ηs F (s) k α )ρr (1 − s r=0 α r (3.30) Theo định lý tích chập biến đổi Sumudu, ta có τ θ(τ − t)f (t)dt, h(τ ) = η với θ(τ ) cho (3.27) (3.31) 20 3.4 Giải phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 3.4.1 Giải phương trình với điều kiện sau: ytt − c2 yxx = 0, y(x, 0) = sin π x , yt (x, 0) = 0, < x < 3, t > 0, (3.32) ≤ x ≤ 3, (3.33) ≤ x ≤ 3, (3.34) y(0, t) = 0, y(3, t) = 0, t ≥ (3.35) Phép biến đổi Sumudu y(x, t) S[y(x, t)] = u ∞ t y(x, t)e− u dt = Y (x, u) = Y (3.36) Áp dụng biến đổi Sumudu vào hai vế phương trình (3.32), ta có S[ytt ] − c2 S[yxx ] = (3.37) Sử dụng điều kiện (3.33), (3.34), (3.35) ta có nghiệm tổng quát phương trình 1 Yh (x, u) = c1 e cu x + c2 e− cu x , nghiệm riêng phương trình khơng πx πx Yp (x, t) = A sin + B cos 3 πx Yp (x, u) = sin π2 2 uc +1 Cuối cùng, áp dụng biến đổi Sumudu ngược, ta có (3.38) , (3.39) (3.40) nghiệm phương trình πc πx cos t (3.41) 3 Ví dụ 3.4.2 Giải phương trình tuyến tính khơng sau: y(x, t) = sin ytt = c2 yxx + sin (πx) (3.42) y(x, 0) = (3.43) yt (x, 0) = (3.44) y(0, t) = = y(1, t), < x < 1, t > (3.45) 21 Áp dụng biến đổi Sumudu vào phương trình (3.42), ta có 1 ∂y 2d Y Y (x, u) − y(x, 0) − (x, 0) = c (x, u) + sin (πx) u2 u u ∂t dx2 (3.46) Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có u2 c2 Yxx − Y = −u2 sin (πx) (3.47) Nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính −1 Yh (x, u) = c1 e cu x + c2 e cu x (3.48) Khi đó, nghiệm riêng (3.47) Yp = A sin (πx) + B cos (πx), (3.49) u2 B = u2 c2 π + Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (3.47) với A = Y (x, u) = c1 e cu x + c2 e −1 cu x u2 sin (πx) + 2 u c π +1 (3.50) Sử dụng điều kiện giới hạn vào phương trình (3.50), ta có u2 Y (x, u) = 2 sin (πx) u c π +1 (3.51) Cuối cùng, sử dụng biến đổi Sumudu ngược nghiệm (3.51), ta có nghiệm tốn y(x, t) = sin (πx) (1 − cos (cπt)) (cπ)2 (3.52) 22 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn, tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau: • Trình bày khái niệm tính chất phép biến đổi Laplace • Trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất phép biến đổi Sumudu mối liên hệ phép biến đổi Laplace Sumudu • Trình bày số ứng dụng biến đổi Sumudu vào việc giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng Trong điệu kiện thời gian khuôn khổ luận văn, biến đổi Sumudu sửa đổi tính chất quan trọng chưa giới thiệu luận văn Đây hướng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn, dù cố gắng nhiều khơng tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] E I Akinola, J K Oladejo, F O Akinpelu and J A Owolabi On the Application of Sumudu Transform Series Decomposition Method and Oscillation Equations Asian-European Journal of Mathematics, 2(4), − 10, 2017 [2] F B M Belgacem, A A Karaballi and S L Kalla Analytical Investigations of The Sumudu Transform and Applications to Integral Production Equations 2002 [3] R P Briones, On the Solution of Partial Differential Equations Using the Sumudu Transform International Journal of Mathematical Analysis, Vol 14, 2020 [4] H Eltayeb and A Kili¸cman A Note on the Sumudu Transforms and Differential Equations Applied Mathematics Sciences, Vol 4, 2010, no 22, 1089 − 1098 [5] F B M Belgacem, A A Karaballi Sumudu Transformation Fundamental Properties Investigation and Applications 2006 [6] R Jain, D Singh An Integro-Differential Equation of Volterra Type with Sumudu Transform, Mathematica Aeterna, Vol 2, no 6, 541−547, 2012 [7] F Kaya and Y Yilmaz Basic Properties of Sumudu Transformation and Its Application to Some Partial Differential Equations Sakarya University Journal of Science 23(4), 509 − 514, 2019 [8] A Kılı¸cman and H Eltayeb On a New Integral Transform and Differential Equations Mathematical Problem in Engineering, Vol 2010, Article ID 463579, 2010 24 [9] A Kılı¸cman and H Eltayeb Some Remarks on the Sumudu and Laplace Transforms and Applications to Differential Equations International Scholarly Research Network ISRN Applied Mathematics; 591517, − 13, 2012 [10] S Poonia Solution of Differential Equation using by Sumudu Transform International Journal of Mathematics and Computer Research, 2320 − 7167, 316 − 323, 2013 [11] J L Schiff The Laplace Transform: Theory and Applications Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1999 [12] J M Tchuenche and N S Mbare An Application of the Double Sumudu Transform Applied Mathematical Sciences, no 1, 31 − 39, 2007 [13] J Vashi and M G Timol Laplace and Sumudu Transforms and Their Application International Journal of Innovative Science, Engineering Technology Vol 3, 2016 Tiếng Việt [14] Đặng Minh Thế, Biến đổi Laplace số ứng dụng Thành phố Hồ Chí Minh, 2012 ... Cho S? ?1 ? ?1 S u (u2 + 1) m (? ?1) m? ?1 t2m? ?1 H(t) = 2m? ?1 (m − 1) ! 1d t dt m? ?1 sin t t (2.9) sinh t t (2 .10 ) ? ?1 S u (u2 − 1) m t2m? ?1 H(t) = m? ?1 (m − 1) ! 1d t dt m? ?1 2.3 Các tính chất biến đổi Sumudu. .. phép biến đổi tích phân khác, Kilicman et al (2 011 ) Đặc biệt mối quan hệ phép biến đổi Sumudu phép biến đổi Laplace chứng minh Kilicman (2 011 ) Hơn nữa, Eltayeb et al (2 010 ), phép biến đổi Sumudu. .. n = 1, 2, (n − 1) ! tn? ?1 eat Γ(n) un? ?1 un? ?1 1 − au un? ?1 (1 − au)n un? ?1 (1 − au)n 2.2 Biến đổi Sumudu ngược Định lý 2.2 .1 Cho G(u) phép biến đổi Sumudu hàm f (t) cho (i) G (1/ s)/s hàm phân hình,