Bất đẳng thức cauchy và một số ứng dụng 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐỨC TÍN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐỨC TÍN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng - Năm 2021 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác ., ngày tháng năm Tác giả luận văn (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Đức Tín i Mã số: 8460113 TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Họ tên học viên: Nguyễn Đức Tín Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trương Công Quỳnh Cơ sở đào tạo: Đại học Đà Nẵng Trường Đại học sư phạm 1/ Những kết luận văn Toán học nhằm giúp học sinh đạt mục tiêu chủ yếu, hình thành phát triển lực Tốn học bao gồm thành tố cốt lõi, lực tư lập luận Tốn học, lực mơ hình hố Tốn học, lực giải vấn đề Toán học, lực giao tiếp Toán học lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Trong toán bất đẳng thức toán, giúp học sinh phát triển mạnh mẽ lực tư lập luận toán học, lực giải vấn đề Toán học Để giải tốn bất đẳng thức, ngồi việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, cịn phải nắm được, kỹ thuật phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức ta phải vào đặc điểm toán mà đưa hướng giải phù hợp Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN biểu thức đề thi Đại học, học sinh giỏi thành phố, tỉnh, tuyển sinh lớp 10 Hy vọng qua đề tài “Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng” nghiên cứu kỹ thuật biến đổi, giải ứng dụng bất đẳng thức giúp học sinh giải số tốn bất đẳng thức nhanh chóng, hứng thú nguồn tài liệu để tiếp tục nghiên cứu sau này, lý chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng” Mục tiêu đề tài: Tìm hiểu vấn đề bất đẳng thức Cauchy, Kỹ thuật chọn biến đổi, tổng hợp dạng toán bất đẳng thức Cauchy ứng dụng bất đẳng thức Cauchy để giải số toán bất đẳng thức Đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực Đại số số yếu tố liên quan chương trình Tốn THPT Đề tài hệ thống hóa tất bất đẳng thức dạng toán liên quan, trọng vào phương pháp giải dạng toán bất đẳng thức tổ chức hoạt động trải nghiệm sáng tạo cho học sinh Phương pháp nghiên cứu đề tài: Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến bất đẳng thức Cauchy Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào luận văn Quan sát, điều tra, tìm hiểu việc dạy học nội dung bất đẳng thức trường phổ thông Tổng kết kinh nghiệm, trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp Ngoài phần mở đầu kết luận, cấu trúc luận văn chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số kỹ thuật áp dụng Chương 3: Một số ứng dụng bât đẳng thức Cauchy 2/ Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Đề tài “ Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng” có ý nghĩa khoa học thực tiễn, với hệ thống kiến thức trình bày theo hệ thống logic, tập phong phú xếp theo cách khoa học từ đễ đến khó Có thể nói luận văn tài liệu tham khảo bổ ích dành cho giáo viên dạy toán học sinh THCS, THPT việc dạy học, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trường THCS, THPT 3/ Hướng nghiên cứu đề tài Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu sâu tìm hiểu nhiều ứng dụng bất đẳng thức toán thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia khai thác sáng tạo toán dạng làm tài liệu giảng dạy cho thân, đề tài kỳ vọng cở sở để xây dựng chuyên đề dạy học theo định hướng hình thành phát triển phẩm chất, lực chương trình giáo dục phổ thơng 2018 Từ khóa: Bất đẳng thức Cauchy, Cosi, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, trung bình cộng, trung bình nhân Xác nhận giáo viên hướng dẫn PGS.TS Trương Công Quỳnh Người thực đề tài Nguyễn Đức Tín INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: The Cauchy Inequality and some applications Major: Primary Math Method Full name of Master Student: Nguyen Duc Tin Supervisor: Truong Cong Quynh Assoc Prof Ph.D Training institution: Da Nang University The University of Pedagogy / The main results of the thesis Mathematics aims to help students reach their main goals, form and enhance mathematical competencies via mathematical thinking and reasoning, mathematical modeling competence, problem-solving, communication, the use of learning tools and methods Inequality problems help students to develop strongly in mathematical creative thinking and reasoning, problem-solving skills The solution to the inequality is not only to master the concept of the basic properties of the inequality but also understand the techniques and methods of proving the inequality There are a lot of methods to prove inequality and we must base on each characteristic of the problem to give a suitable solution The problem of proving inequality is widely applied to solving and arguing equations, inequalities, sets of equations as well as finding the maximum and minimum values of the expression Also, these are used at the entrance exams, the provincial and national level examinations for excellent students Hopefully, the thesis " The Cauchy Inequality and some applications" will study the technique of transformation, the mathematical solution and application of inequalities so that students can solve some inequality problems more quickly and interestingly This is also a source of useful material for us to continue researching later and the reason why we choose the thesis” The Cauchy Inequality and some applications” The objective of the thesis: To study the problems of Cauchy inequality, The technique of transformations, forms of Cauchy inequality, and application of Cauchy inequality to solve some inequalities The Algebra research thesis and some factors related to the maths program in high school Specifically, the thesis will systematize all inequalities and related mathematical forms, focus on methods of solving mathematical inequalities and organize creative experiential activities for students Research method of the thesis: Collecting and studying documents related to Cauchy inequality Analyzing and systemizing documents to synthesize and select the necessary content for the thesis Observing, investigating, understanding the teaching and learning of inequality content in high schools Summarizing experiences, exchanging, discussing, consulting with instructors and colleagues This thesis consists of the following sections: Introduction, main contents, conclusion and references The main contents of the thesis are divided into three chapters: Chapter 1: Basic knowledge Chapter 2: Some applied techniques Chapter 3: Applications of Cauchy's inequality / The scientific and practical significance of the thesis This thesis " The Cauchy inequality and some applications " is scientifically and practically significant The knowledge related to the subject is systematically and logically presented and the plentiful exercises are arranged in a proper way, ranging from the most difficult to the easiest ones It can be said that this thesis is a useful reference for maths teachers and high school students in teaching and learning maths and the application of the Cauchy inequality This will hopefully contribute to improving the quality of teaching and learning maths at high schools / Further research directions of the thesis In the coming time, we wish to continue to study more deeply the application of the Cauchy inequality in solving maths problems used at the provincial and national level examinations for excellent students In addition, we will creatively collect and use these maths problems as valuable sources for our teaching career This thesis is expected to form the basis for developing teaching modules which follow the orientation of forming and developing the qualities and capacities of learners in the new 2018 high schools education program Keywords: Cauchy Inequality, Cosi, finding maximum and minimum value, Arithmetic Mean, Geometric Mean Certified by the supervisor Master Student Assoc Prof Ph.D Truong Cong Quynh Nguyen Duc Tin Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 Mục lục LỜI CAM ĐOAN i Danh mục từ viết tắt iv MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy 3 1.2 1.3 1.4 1.5 Các cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy Một số bất đẳng thức liên quan Các quy tắc cần ý sử dụng bất đẳng thức Cauchy Một số phép biến đổi 1.5.1 Nhóm ghép đối xứng 1.5.2 Khử 1.5.3 Nhóm theo hệ số có tổng 1.5.4 1.5.5 1.5.6 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy 2.6.1 Nguyên lý đồng bậc bất đẳng thức Cauchy 2.6.2 Dạng bất đẳng thức không đồng bậc 2.6.3 Bất đẳng thức dạng chứa 2.6.4 Dạng bất đẳng thức dạng cộng mẫu số 2.6.5 Dạng phân thức Nguyễn Đức Tín 12 13 Nhóm theo bậc 15 Đổi biến 15 Phương pháp dùng bất đẳng thức cạnh tam giác 17 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN VÀ KỸ THUẬT DỤNG 2.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi 2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 2.3 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 2.4 Kỹ thuật tách nghịch đảo 2.5 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 2.6 ii ÁP 19 19 25 28 31 33 37 37 41 45 48 50 Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 53 3.1 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy đề thi chuyên 2020;2021 53 3.2 3.3 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy để giải tốn chương trình thi THPT quốc gia 64 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình 69 KẾT LUẬN Nguyễn Đức Tín 74 iii Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT BĐT : Bất đẳng thức GTNN GTLN TBN TBC B.C.S HSG : : : : : : Nguyễn Đức Tín Giá trị nhỏ nhât Giá trị lớn Trung bình nhân Trung bình cộng Bunyakovsky Học sinh giỏi iv Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 Lời giải Ta có: 13 (x2 − 3x + 6) + (x2 − 2x + 7) = (5x2 − 12x + 33)2 ⇔ (22 + 32 ) (x2 − 3x + 6) + (x2 − 2x + 7) = (5x2 − 12x + 33)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho bốn số ta được: (22 + 32 ) (x2 − 3x + 6) + (x2 − 2x + 7) ≥ 2(x2 − 3x + 6) + 3(x2 − 2x + 2 ≥ = (5x2 − 12x + 33)2 Dấu “=” xảy khi: 3(x2 − 3x + 6) = 2(x2 − 2x + 7) ⇔ x2 − 5x + = ⇔ (x − 1)(x − 4) = Suy ra: x = x = Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = Bài Giải phương trình: √ x+3−4 x−1+ √ x + − x − = Nhận xét: Biểu thức dấu đẳng thức => đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải Lời giải √ x+3−4 x−1+ √ x+8−6 x−1=1 √ √ 2 ( x − − 2) + ( x − − 3) = √ √ ⇔ − x − + x − − = ⇔ Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| Dấu đẳng thức xảy khi: ab ≥ √ Với a = − x − 1; b = Nguyễn Đức Tín √ √ √ x − − ta có (3 − x − 1)( x − − 2) ≥ 71 Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 Giải bất phương trình ta tìm ≤ x ≤ 10 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức thông dụng phương pháp khó học sinh, khó việc nhận nên sử dụng bất đẳng thức để phù hợp với toán Điều cịn phụ thuộc vào linh hoạt, nhanh trí học sinh Tuy nhiên phương pháp hay giải nhanh gọn Bài Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x6 + z − 15x2 z = 3x2 y z − (y + 5)3 Nhận xét: Hãy biến đổi đưa vế tổng lập phương, vế tích hai thừa số Lời giải x6 + z − 15x2 z = 3x2 y z − (y + 5)3 ⇔ (x2 )3 + (y + 5)3 + z = 3x2 z(5 + y ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x2 ; y + 5; z Ta có: (x2 )3 + (y + 5)3 + z ≥ 3x2 z(5 + y ) ⇒ x2 = y + = z x2 = y + ⇔ (x − y)(x + y) = Vì x, y ∈ N Nên ta có: x+y =5 x−y =1 ⇒ x=3 y=2 ⇒ z = x2 = Vậy nghiệm phương trình là: (3; 2; 9) Bài Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: (x2 + 4y + 28)2 = 17(x4 + y + 14y + 49) Nhận xét: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: (a2 + b2 )(x2 + y ) ≥ (ax + by)2 Dấu “=” xảy ay = bx Nguyễn Đức Tín 72 Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 Lời giải Ta có: (x2 + 4y + 28)2 = 1.x2 + 4(y + 7) ≤ (1 + 42 ) (x)2 + (y + 7) ≤ = = 17(x4 + y + 14y + 49) Do ta có: 4x2 = y + ⇔ (2x + y)(2x − y) = Vì x, y ∈ N nên 2x + y ≥ 2x − y ≥ Ta có: 2x + y = x=2 ⇔ 2x − y = y=3 Vậy nghiệm phương trình là: (2;3) Bài Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với x, y, z số đôi khác nhau: x3 + y + z = (x + y + z)2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x3 + y + z ≥ x+y+z 3 (x + y + z)3 ⇒ x + y + z = (x + y + z) ≥ ⇒ x + y + z ≤ 3 Vì x, y, z đôi khác ⇒ x + y + z ≥ + + = ⇒ x + y + z ∈ {6; 7; 8} Lần lượt thử giá trị x + y + z ta thu x; y; z Đáp số: (1; 2; 3) hốn vị Nguyễn Đức Tín 73 Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 KẾT LUẬN Luận văn trình bày theo hướng hệ thống dạng, kỹ thuật biến đổi bất đẳng thức Cauchy thường gặp Các phép biến đổi Kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật đánh giá từ TCB sang TBN Kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC Kỹ thuật tách nghịch đảo Kỹ thuật Cauchy ngược dấu Các dạng bất đẳng thức Cauchy Tiếp theo xét số ứng dụng đề thi HSG, tuyển sinh lớp 10 trường chuyên, vấn đề liên quan đến câu hỏi cực trị toán tối ưu thực tế đề thi THPT Mặc cố gắng hết sức, q trình làm chắn hẳn cịn thiếu sót, kính mong q thầy, chỉnh sửa góp ý để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Đức Tín 74 Mã số: 8460113 Luận văn thạc sĩ Đại học Đà Nẵng 2021 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (2001), Bất đẳng thức Cauchy, NXB Giáo dục [2] Phan Huy Khải (1996), Tuyển tập toán Bất Đẳng Thức – Tập 1, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Vũ Lương, Các giảng bất đẳng thức CôSi, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Trần Phương (2009), Những viên kim cương bất đăng thức, NXB Tri Thức [5] Trần Phương (2001), 15 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, NXB Giáo dục [6] Chương trình Giáo dục phổ thơng tổng thể 2018, Thông tư 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GDĐT [7] Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018, Thông tư 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GDĐT [8] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2019), Sử dụng bất đăng thức AM-GM để chứng minh bất đăng thức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [9] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2019), Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [10] Trần Phương (1993), Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB TP HCM [11] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [12] Sách giáo khoa Toán 10, Bộ Giáo dục Đạo tạo, NXB giáo dục Việt Nam [13] Iurie Boreico, Marcel Teleuca (2006), tạp chí Mathemmatical Reflections [14] Vasile Cirtoaje (2006), Algebraic inequalities, NXB Gil Nguyễn Đức Tín 75 Mã số: 8460113 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN Họ tên học viên: Nguyễn Đức Tín Ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Khóa: K39 Tên đề tài luận văn: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Ngày bảo vệ luận văn: 19/09/2021 Sau tiếp thu ý kiến Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 19/09/2021 giải trình số nội dung sau: 1.Những điểm bổ sung, sữa chữa: Đã sửa tất lỗi tả lỗi chế luận văn, theo góp ý hội đồng góp ý hai thầy phản biện - Chuyển mục số phép biến đổi từ chương II sang chương I - Tên chương III từ “Một số ứng dụng khác bất đẳng thức Cauchy” thành “Một số ứng dụng bất đẳng thức Cauchy” - Mục 3.1 Đổi tên thành “ Ứng dụng bất đẳng thức đề thi chuyên 2020, 2021” - Đổi tên mục 3.3 thành “ Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình” - Trang từ dịng lên sửa lại cơng thức tốn bị sai - Trang 9, dòng từ lên sửa lại X=x chứng minh chi tiết cho trường hợp lại - Trang 12, dòng từ lên sửa lại cơng thức tốn học đổi “.” Thành “+” bổ sung thêm 1 b ab (1 a)(1 b) - Chưa thống tên gọi Cosi Cauchy - Bổ sung tài liệu tham khảo tiếng anh ghi lại đầy đủ tên Thông tư 32/2018/TT BGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng GD&ĐT Những điểm bảo lưu ý kiến, khơng sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) lý sau: Khơng có Đà Nẵng, ngày 26 tháng 10 năm2021 Cán hướng dẫn xác nhận Học viên - Đã kiểm tra luận văn lỗi sau chỉnh sửa - Đã kiểm tra thông tin luận văn tiếng Việt tiếng Anh PGS TS Trương Cơng Quỳnh Nguyễn Đức Tín Xác nhận BCN Khoa Xác nhận luận văn sau chỉnh sửa đồng ý cho học viên nộp lưu chiểu TS Lê Văn Dũng ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ SƠ HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Học viên: Nguyễn Đức Tín STT Biên Hội đồng  Bảng điểm học viên cao học  Lý lịch khoa học học viên  Biên kiểm phiếu  Phiếu ghi nội dung câu hỏi trả lời học viên  Nhận xét  Phiếu chấm điểm  HỌ VÀ TÊN TRÁCH NHIỆM TRONG HỘI ĐỒNG NHẬN XÉT Bản nhận xét Phiếu điểm Chủ tịch HD x x TS Phạm Quý Mười TS Lê Văn Dũng Thư ký HD x x TS Phan Đức Tuấn Phản biện x x TS Nguyễn Đức Hiền Phản biện x x TS Nguyễn Thành Chung Uỷ viên x x PGS.TS Trương Công Quỳnh Người hướng dẫn x Đà Nẵng, ngày 19 tháng năm 2021 Thư ký Hội đồng Lê Văn Dũng ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Bất đẳng thức Cauchy ứng dụng Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Lớp K39.PPTSC.QNa Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 1380/QĐ-ĐHSP ngày 25 tháng năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 19 tháng năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phạm Quý Mười Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Phan Đức Tuấn Phản biện TS Nguyễn Đức Hiền Phản biện TS Nguyễn Thành Chung a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện Học viên chỉnh sửa luận văn, gửi file luận văn (PDF) tới phản biện Chủ tịch Hội đồng qua email luận văn phải chấp nhận phản biện Chủ tịch Hội đồng qua email c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 7.9 Bằng chữ: Bảy chín 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Phạm Quý Mười CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã ngành: 8.46.01.13 Họ tên học viên: Nguyễn Đức Tín Người nhận xét: TS Phan Đức Tuấn Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Bất đẳng thức số tốn khó chương trình phổ thơng Để giải tốn bất đẳng thức địi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức khác đặc biệt phương pháp chứng minh bất đẳng thức Với mong muốn tìm hiểu sâu Bất đẳng thức Cauchy ứng dụng tác giả chọn đề tài: Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng I Tính cấp thiết đề tài: Bất đẳng thức ứng dụng nhiều giải toán phơng thơng như: Tìm Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất; Bài tốn tìm cực trị; Giải bất phương trình, phương trình; … Trong đó, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức sử dụng phổ biến Do đó, việc tìm hiểu phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cauchy nói riêng cần thiết việc giải tốn kể phổ thơng II Cơ sở khoa học thực tiễn: Bất đẳng thức Cauchy đời sớm có nhiều ứng dụng nên thu hút nhiều nhà toán học nghiên cứu Nhờ mà nhiều cơng trình nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy cơng bố Tiếp theo nhiều sách chuyên khảo bất đẳng thức Cauchy xuất Trên sở tham khảo 04 sách chuyên khảo bất đẳng thức nói chung 05 sách chuyên biệt cho bất đẳng thức Cauchy, tác giả có sở khoa học đáng tin cậy để nghiên cứu Cùng với năm kinh nghiệm giảng dạy mơn tốn nên kết luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiện cứu: Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phù hợp Bắt đầu từ việc nghiên cứu lí thuyết tài liệu chuyên khảo bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cauchy nói riêng Chọn lọc nội dung phù hợp để đưa vào chương kiến thức chuẩn bị Tiếp theo, nghiên cứu số phép biến đổi giải tốn bất đẳng thức nói chung IV V VI đến kỹ thuật đặc thù cho bất đẳng thức Cauchy Cuối cùng, ứng dụng kết nghiên cứu kể vào giải số dạng toán thường gặp phổ thông Kết nghiên cứu: Tác giả nghiên cứu lý thuyết vận dụng 06 phép biến đổi chứng minh bất đẳng thức Nghiên cứu lý thuyết vận dụng 05 kỹ thuật đặc thù chứng minh bất đẳng thức Cauchy Ứng dụng phép biến đổi, kỹ thuật nghiên cứu 02 dạng tốn: tìm cực trị; giải biện luận phương trình, bất phương trình Đặc biệt, tác giả ứng dụng kết nghiên cứu vào giải số toán kỳ tuyển sinh vào trường phổ thơng chun Hình thức luận văn: Luận văn có bố cục tương đối hợp lý Bản tóm tắt phản ánh trung thực nội dung luận văn Hình thức chung chưa với quy định Nhà trường Đặc biệt Danh mục tài liệu tham khảo điều chỉnh theo quy định Vẫn số lỗi chế Đánh giá chung: Các vấn đề đưa luận văn thiết thực, phù hợp với chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp Tác giả vận dụng linh hoạt phép biến đổi, kỹ thuật áp dụng để giải ví dụ minh họa Luận văn sau chỉnh sửa lỗi chế đáp ứng đầy đủ yêu cầu luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp Kết luận: Tôi đồng ý để tác giả bảo vệ luận văn thạc sĩ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 15 tháng năm 2021 Người nhận xét TS Phan Đức Tuấn HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đà Nẵng, ngày 19 tháng năm 2021 BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Ngành: Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp Họ tên học viên: Mã ngành: 8.46.01.13 Nguyễn Đức Tín Người nhận xét: TS Nguyễn Đức Hiền Đơn vị công tác: Trường Đại học Duy Tân NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài: Bất đẳng thức Cauchy mảng kiến thức rải khắp chương trình Tốn, vấn đề hay khó Mặc dù, có nhiều tác giả tập trung viết sách lĩnh vực tương đối phong phú Tuy nhiên, phân loại lớp toán, đánh giá tìm hướng giải cịn rời rạc Đề tài “ Bất đẳng thức Cauchy số ừng dụng“ học viên Nguyễn Đức Tín nghiên cứu giải đáp phần cho tính rời rạc Đề tài đặt để nghiên cứu vấn đề cấp thiết Cơ sở khoa học thực tiễn: Đề tài “Bất đẳng thức Cauchy số ứng dụng“ học viên Nguyễn Đức Tín, phân loại dạng toán, đưa phương pháp phù hợp, góp phần hình thành phát triển lực toán học với yêu cầu cần đạt: nêu trả lời câu hỏi lập luận giải vấn đề; gắn kết với thực tiễn Vì vậy, đề tài có ý nghĩa khoa học thực tiễn Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu, thu thập tài liệu liên quan đến bất đẳng thức Cauchy; phân tích, hệ thống chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào luận văn Kết nghiên cứu: Đề tài đạt số kết quả: Hệ thống dạng, kỹ thuật biến đổi bất đẳng thức Cauchy thường gặp: phép biến đổi bản, kỹ thuật chọn điểm rơi, kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng, kỹ thuật tách nghịch đảo, kỹ thuật Cauchy ngược dấu áp dụng việc giải số toán kì thi chun Tốn, kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Hình thức luận văn: Báo cáo tổng kết phần mục lục, tài liệu tham khảo bao gồm 75 trang phần mở đầu trang phần nội dung kết nghiên cứu gồm chương với 73 trang biên soạn Latex đảm báo hình thức văn tính xác ngơn ngữ tốn học, gồm nội dung cần thiết yêu cầu Báo cáo tổng kết luận văn thạc sĩ Tuy nhiên, trình biên soạn có sai sót mà học viên cần chỉnh sửa lại như: - Trang dòng từ lên cần sửa lại: x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4 - Trang 9, dòng từ lên cần sửa lại X = x u cầu chứng chi tiết cho trường hợp cịn lại - Trang 12, dòng từ lên cần sửa lại ( x + y − z )( y + z − x )  [( x + y − z) + ( y + z − x)] = y2 ac ab 2 2 , bổ sung , 1+ b (1 + a)(1 + c) 1+ c (1 + a)(1 + b) Chưa thống trình bày: “Cauchy Cosi”; số ký tự viết tắt: HSG cần bổ sung vào danh mục; lỗi ấn lốt “Xử lí”, mục tài liệu tham khảo nên bổ sung nguồn tài liệu tham khảo: tạp chí Mathemmatical Reflections 3, 2006 tác giả Iurie Boreico, Marcel Teleuca v sách Algebraic inequalities Vasile Cirtoaje (NXB Gil, 2006) Cần ghi rõ Thông tư 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GDĐT Đánh giá chung (Nêu rõ đồng ý hay không đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ) Đề tài đạt tất mục tiêu đề Báo cáo tổng kết có đầy đủ yêu cầu theo quy định, trình bày sáng sủa, logic, xác Tơi đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 19 tháng năm 2021 Người phản biện TS Nguyễn Đức Hiền ... 16 y 17 17 y 1 + 16 z 16 z 17 17 = ≥ √ 17 √ x2 + 16 16 y 32 17 17 3 x 16 8 y 16 17 ≥ 17 17 17 + 17 y2 + 16 16 z 32 y 16 8 z 16 + 17 17 17 2x+2y+2z 15 17 17 z 1 16 x2 16 x2 16 z2 16 16 x32 z 16 8 x16... p? ?1 = a1 a2 ap? ?1 √ p? ?1 a1 a2 ap? ?1 ≥ p √ a1 ap? ?1 p? ?1 a1 a2 ap? ?1 √ √ a1 a2 ap? ?1 ≥ p p? ?1 a1 a2 ap? ?1 √ ⇔ a1 + a2 + + ap? ?1 ≥ (p − 1) p? ?1 a1 a2 ap? ?1 a1 + a2 + + ap? ?1 √ ⇔ ≥ p? ?1 a1 a2 ap? ?1 p? ?1 ⇔ a1... 16 8 x16 x y z 17 17 16 16 16 16 y 16 z 16 x √ 17 16 16 16 = 1 + + 16 x 16 x2 16 16 ≥ z2 + √ = 17 17 x = 5 16 x y z √ 17 17 (2x2y2z)5 √ 17 ≥ Dấu “=” xảy x = y = z = ⇒ M inS = √ 17 Bình luận: