Đề tài Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski45160

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Phần một: Phần Mở Đầu Lí chọn đề tài Trong tốn học bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunyakovski hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng giải tốn Chúng sử dụng nhiều chương trình giải tốn phổ thơng đặc biệt kì thi tuyển sinh đại học kì thi học sinh giỏi Đề tài hai bất đẳng thức không Tuy nhiên em chọn đề tài mảng kiến thức em thích, em giải nhiều tốn có ứng dụng hai bất đẳng thức thân em chưa tổng kết phương pháp sử dụng hai bất đẳng thức giải tốn Vì nghiên cứu đề tài giúp em hệ thống lại kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức cách rõ ràng Và sau trở thành giáo viên em thấy tự tin giảng dạy mảng kiến thức từ giúp học sinh hiểu rõ Bên cạnh đó, em thấy đề tài hợp với khả mình, đặc biệt em thực đề tài với hướng dẫn tận tình giáo viên hướng dẫn với nguồn tài liệu khơng nên em tin hoàn thành tốt đề tài Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu chủ yếu Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải toán chứng minh bất đẳng thức toán cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số khơng u cầu trình bày phần Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Đối với tốn cực trị có điều kiện ràng buộc cực trị thường đạt vị trí biên Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=”xảy biến giá trụ cụ thể MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm a1 , a , , a n , n  Z , n  , ta ln có: a1  a   a n  n n a1 a a n Dấu “=” xảy a1  a   a n MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép số Kỹ thuật tách ghép Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b b  c c  a   8abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b b  c c  a   ab bc ac  8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac  bd  a  b c  d  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac  bd a c b d   a  b c  d  a  b  c  d  a  b  c  d    ac  bd  1 a c  1 b d  1ab cd           1 2ab cd  2ab cd  2ab cd  a  b c  d  (đpcm) a  c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  Chứng minh rằng: b  c ca  c   cb  c   ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ThuVienDeThi.com ca  c   cb  c  ab  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c a  c  c b  c   b a a b 16aba  b   4.4ab a  b  1c ac 1c bc        2b a  2a b  1c c 1c c   1    1   2b a 2a b  ca  c   cb  c   ab (đpcm) Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  abc  1  a 1  b 1  c  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  abc 1 a b c 3 3 1  a 1  b 1  c  1  a  1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  1 1  1 a b c           1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c       1 1 a 1 b 1 c    abc  1  a 1  b 1  c  (đpcm) a  Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa  Chứng minh rằng: b  a b   b a   ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab a b   a ab  a  a  ab  a   (1) 2 ab Tương tự: b a   (2) Cộng theo vế (1) (2), ta được: a b   b a   ab (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16aba  b   a  b  Giải:  4ab  a  b 2   a  b 2   4.      a  b  2     2 (đpcm) Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a1  b  b1  c  c1  a   33 abc  abc Giải: Ta có: a1  b  b1  c  c1  a   a  b  c  ab  bc  ca  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b  c  33 abc   ab  bc  ca  33 abc    a  b  c  ab  bc  ca   33 abc  33 abc   33 abc  33 abc    a1  b  b1  c  c1  a   33 abc  abc (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab   a b   a  b 1 b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b  ab a   ab b   a b  ab             b a  2b   2a   2b 2a  ab a ab b a b 2 2 2  a  b  (đpcm) 2b 2a 2b 2a Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  10 Tìm GTLN của: A  a 2b3c Giải: Ta có: hoctoancapba.com a a b b b c c c c c a b c 10  a  b  c            1010       2 3 5 5  2  3 5 5 a b c a b c                 a 2b3c 22 3355  337500  2  3 5  2  3 5 10 ThuVienDeThi.com a  a b c a b c abc           b  Dấu “=” xảy   5 10 a  b  c  10 c   Vậy GTLN A 337500 Kỹ thuật tách nghịch đảo a b Bài 1: Chứng minh rằng:   , a,b  b a Giải: a b Vì a,b  nên  0, 0 b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b    (đpcm) b a b a  a2  Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1     , a  1  a 1  Giải: Bài 2: Chứng minh rằng: a   , a  a 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 a  a 1   a  1     (đpcm) a 1 a 1 a 1 a2  Bài 3: Chứng minh rằng:  , a  R a2 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 a2  a2 11  a2 1   a2 1  (đpcm)  a2 1 a2 1 a2 1 a2 1 Dấu “=” xảy 2a  1  Bài 4: Chứng minh rằng: 3a  , a   9a Giải: Với a  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 3a     (đpcm) 4 1 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2 2  a  2a    A  a  1   a     a  12  1  a  1     a 1  2   a  1   a     a 1   2a  1  a  1 2 Cauchy  2a  1 2 a  12 a  12 hay a  22 22 24 Vậy GTNN A  2  Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  a  , a  a2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a a a a 1   33  Aa    a a 2 2 a a 2 a 2 2 a Dấu “=” xảy  hay a  a 33 Vậy GTNN A  Bài 7: Chứng minh rằng: a   , a  b  b( a  b) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ThuVienDeThi.com 1  b  a  b   33 b.a  b  3 ba  b  ba  b  ba  b  Bài 8: Chứng minh rằng: a   , a  b  a  b b  12 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b  1  b  1  a  a  b  1  b  1b  1 2 a  b b  1 a  b  2 b  1 b  1  a  b  1   b  1b  1 2 a  b  2 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: ab bc ca    a  b  c  Phép cộng:  2 2a  b  c   a  b  b  c  c  a  a abc  ab bc ca , Phép nhân:  2 a b c  ab bc ca  a, b, c  0 Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab    abc a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a bc ca ca ab ab bc    abc a b b c c a a2 b2 c2 b c a Bài 2: Cho ba số thực abc  CMR:      a b c b c a Giải: Ta có:  a2 b2 c2  a2 b2   b2 c2   c2 a2              b c a 2  b c   c a   a b  a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a      2 2 a b c b c c a a b Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  CMR: bc ca ab    a  b  c 3 a b c Giải:  bc b  c c  a a  b bc ca ab       2  a a b c a b c   bc ca   ca ab           b   a b c       2  bc ca 2 a b ca ab 2 b c  a 2 a b c   b c a   a b c ca ab    b c  ab bc    c a  ab bc c a  a b c  b c   a  b  c  33 a b c  a  b  c  bc ca ab Vậy    a  b  c 3 a b c abc Bài 4: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  CMR: p  a p  b p  c   abc Giải: Ta có: p  a p  b p  c   p  a p  b  p  b p  c  p  c p  a   p  a  p  b  p  b  p  c  p  c  p  a  2 2 p  a  b  p  b  c  p  c  a    abc 2 ThuVienDeThi.com abc CMR: bc ca ab  bc  ca  ab    1    1    1  3 a b c a   b   c   1 1 1 abc bca cab    2       3 pa pb pc a b c a b c Giải: 1 1  a  b  c         Ta có: a b c 1 1 1  1 1  1 1       a b c           p  a p  b p  c  p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a Bài  2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: bc ca ab 1 (Bất đẳng thức Nesbit)    Giải: p  a p  b  p  b p  c  p  c p  a  Ta có: 1    a b c a   b   c   p  a  p  b  p  b  p  c  p  c  p  a     1    1    1  3 bc ca ab  bc  ca  ab 2 abc bca cab 1 1 3     2    b c c a a b    a b c 1    a  b  c    3 bc ca ab Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau 1    b  c  c  a  a  b     3 Với n  N x1 , x , , x n  bc ca ab   x1  x2   xn       n  3 2 xn   x1 x Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Chứng minh bất đẳng thức : 2 c a b abc Ta có với x1 , x , , x n     ab bc ca   Giải: x1  x2   xn       nn x1 x2 xn nn  n xn  x1 x x n  x1 x  c2 a2 b2 c2   a2   b2     a  b  c      c a b         Với n  x1 , x , x3  a  b b  c c  a  a  b   b  c   c  a    c   a   b   x1  x2  x3       c 1    a 1    b1    a  b  c  x x x    ab  bc  ca Bài 5: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Giải: Ta có: bc ca ab   6 a b c ThuVienDeThi.com abc bca cab  c   a   b   a  b  c   ab   bc   ca  yz  a  b  c  a  x  zx   Đặt: c  a  b  y  b  a  b  c  z   x y  c   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y yz zx x y.z  2 Do tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại nên : x, y , z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x y yz zx  xy yz zx  xyz 2 b  c  a c  a  b a  b  c   abc (đpcm) Hay Bài 2: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: a b c    (1) b  c  a c  a  b a  b  c 1    a  b  c  2ab  2bc  2ac   Giải:  ab   a  2bc b  2ca c  2Đặt: 1   yz   a  2bc  b  2ac  c  2ab    9 a   a  2bc b  2ca c  2ab  b  c  a  x   zx   c  a  b  y   b  Kỹ thuật đổi biến số a  b  c  z   Có tốn mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận  x y  biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta đưa toán c   dạng đơn giản dễ nhận biết Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: Bài 1: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: yz zx x y b  c  a c  a  b a  b  c   abc (1)   2x 2y 2z Giải: Ta có: a b   c  a  b  c      a  b  c  ab bc ca a b  c   a  b  c     1 ab bc ca  Theo bất đẳng thức Nesbit chứng minh thì: a b c    bc ca ab Do hoctoancapba.com c2 a2 b2 3  abc (đpcm)    a  b  c   1  ab bc ca 2  Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức sau: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Giải: Do a  b  c  ta có: 1 1 1  2    a  b  c      a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ca c  2ab        ThuVienDeThi.com y z z x x y 1 y x 1 z          2x 2y 2z 2 x y 2 x y x z x z y   3 x y x z y z a b c    (đpcm) bca cab abc  Hay x 1 z y     z   y z  2 Bài 3: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b CMR: a2 b2 c2    a  b  c (1) bca cab abc Giải: yz  a  b  c  a  x   zx   Đặt: c  a  b  y   b  a  b  c  z    x y  c   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: y  z 2  z  x 2  x  y 2  x  y  z 4x 4y 4z (y + z) Ta có: + (z + x ) + (x + y ) ³ yz zx xy + + = x y z 4x 4y 4z ỉzx xy ử 1ổ 1ổ ỗỗyz + zx ữ ỗỗ + ữ ỗỗxy + yz ữ + + ữ ữ ữ ữ 2ố ữ 2ố ữ ỗz ỗx ỗy 2ố yứ zø xø ³ yz zx + x y zx xy + y z xy yz = z+ x + y z x a2 b2 c2    a  b  c (đpcm) bca cab abc abc Bài 4: Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p  CMR: Hay p  a   p  b  Giải: pa  Ta có: Tương tự:  p  c   p p  a p  b p  c  (1) bca 0 pb  pc  Đặt: p  a  x   p b  y   p  x  y  z p  c  z   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x yz 1    xyz x y z Ta có: 1 1 1  1 1  1 1                2 x x y z y  2 y z  2 z x  1 1 1 1 x yz       2 2 xy yz zx xyz x y y z z x p 1    Hay (đpcm) 2 p  a  p  b  p  c  p  a p  b p  c  a b c Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:    (1) bc ca ab Giải: yzx  a  b  c  x  zx y   Đặt: c  a  y  b  a  b  z   x yz  c   Khi bất đẳng thức (1) trở thành:  ThuVienDeThi.com Bài 7: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm GTNN biểu thức: yzx zx y x yz    2x 2y 2z Ta có: y z x z x y x y z 1 y x 1 z x 1 z y                2x 2y 2z 2 x y 2 x z 2 y z   2 y x  x y z x  x z z y 3   y z 2 a b c    (đpcm) bc ca ab Bài 6: Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  c b  c   CMR: 1    (1) 2 a  b  a  c  b  c 2 Giải: Hay Đặt: 1 1  2   x2  y2   x2  y2 2 x  xy  y x  y  x y x  y      1  x2  y2    2 x2  y2    x 2 y x   y2 1 Vậy    (đpcm) 2 a  b  a  c  b  c 2 y z  x   z x  y   y y  2z z z z  2x x x x  y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A x 2 yz y y  2z z    x x xyz y y  2z z 2x x y y  2z z y 2 zx z z  2x x    y y yzx z z  2x x 2y y z z  2x x z 2 xy x x  2y y   z z zxy x x  2y y 2z z x x  2y y  x x   2a  4b  c   a  y y  z z    Đặt: b  z z  x x   y y  a  2b  4c    c  x x  y y   z z  4a  b  2c   Khi   2a  4b  c a  2b  4c 4a  b  2c  A     a b c 9  2  b a c   c a b     4         9  a c b   a b c   x  y  a  c  x  xy  1    y   x b  c  y a  b  x  y  a  b  x  y   Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: 1   4 x  y  x y Ta có:  x y  z  A  b a c c a b 2    4.3.3  3.3     12  3  a c b a b c  9  Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy GTNN A Kỹ thuật chọn điểm rơi ThuVienDeThi.com Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau: Các biến có giá trị Khi ta gọi tốn có cực trị đạt tâm Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét kỹ thuật chọn điểm rơi trường hợp Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên Xét toán sau: Bài toán 1: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A  a  a 1 Sai lầm thường gặp là: A  a   a  Vậy GTNN A a a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a   a  vô lý theo giả a thuyết a  a 3a a 3a 3.2 Lời giải đúng: A  a     2   1  a a 4 a 4 a Dấu “=” xảy   hay a  a Vậy GTNN A Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại toán trên, dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a  Khi ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a  ” Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a khơng thỏa quy tắc a dấu “=” Vì ta phải tách a để áp dụng bất đẳng thức Cauchy a thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a  a 1  ,  cho “Điểm rơi a  ”  , ta có sơ đồ sau:  a  a  a    a2      1   a a 3a Khi đó: A  a     ta có lời giải a 4 a  a 1 Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số  ,  ta chọn  a  1      các cặp số sau:  a,   a,   a,  a   a  a  Bài toán 2: Cho số thực a  Tìm giá trị nhỏ A  a  a Sơ đồ điểm rơi: a    a2    8  1 1  a Sai lầm thường gặp là: a 7a a 7a 7a 7.2 A   2       Dấu “=” a 8 a 2a 2.2 xảy  a  Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là đáp số cách 1 giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a    sai” 2a 2.2 a a 6a a a 6a 6.2     3.3     8 a 8 a 8 Dấu “=” xảy  a  Vậy GTNN A Lời giải đúng: A  ThuVienDeThi.com Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN A  ab  ab Phân tích: Ta có: Sơ đồ điểm rơi: Giải: Ta có: ab ab       Giải:  ab    4 1   4  ab    4 16 1 4  ab Ta có: ab ab        ab   1 17 A  16ab   15ab  16ab  15ab   15  ab ab 4 1 Dấu “=” xảy  ab   a  b  17 Vậy GTNN A 18 Bài 2: Cho số thực a  Tìm GTNN A  a  a Phân tích: Ta có 18 9 A  a2   a2   a a a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a  Ta có sơ đồ điểm rơi: hoctoancapba.com  a 36     36     24 a 6   9    a a 9 23a a 9 23a A    3  24 a a 24 24 a a 24 23.36    39 24 a2 Dấu “=” xảy   a6 24 a Vậy GTNN A 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c  20 Tìm GTNN A abc   a 2b c Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt a  2b  3c  20 ,tại điểm rơi a  2, b  3, c  Sơ đồ điểm rơi: a    a2      3   a b     3 b 3     2  9 3  2b c      1   c4  4   c Giải: ThuVienDeThi.com 10  3a   b   c A       a   2b   c  a b 3c     4 3a b c a  2b  3c 2 2  a 2b c      13 Dấu “=” xảy  a  2, b  3, c  Vậy GTNN A 13 ab  12 Bài 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa  Chứng minh rằng: bc  2 a  b  c  2 1  121      ab bc ca  abc 12 Phân tích: ab  12 Dự đốn GTNN A đạt  ,tại điểm rơi a  3, b  4, c  bc  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b    33  18 24 ab 18 24 ab a c a c    33 1 ca ca b c b c    33  16 bc 16 bc a c b a c b     44  12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13  2 2 12  18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13  2 2  48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: a  b  c  2      121 (đpcm)  ab bc ca  abc 12 Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt tâm Xét toán sau: Bài toán: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN 1 A ab  a b 1 1 Sai lầm thường gặp là: A  a  b    44 a.b  a b a b Vậy GTNN A 1 Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a  b    a  b  Khi a b a  b   trái giả thuyết Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi: a b    1   2 ab    2  2 1    a b Lời giải đúng: 1 1  A   4a  4b     3a  3b  44 4a 4b  3a  b     a b a b  Dấu “=” xảy  a  b  Vậy GTNN A Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  A abc Tìm GTNN 1   a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt ThuVienDeThi.com 11 abc Sơ đồ điểm rơi: Giải: 1 1 1 3  A   a2  b2  c2          8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c  a b c     1    2   2  abc  2 1     a b c 1 1  A   4a  4b  4c      3a  3b  3c a b c  1  66 4a.4b.4c  3a  b  c  a b c 13  12   2 Dấu “=” xảy  a  b  c  13 Vậy GTNN A Bài 2: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  A  a2  b2  c2  Tìm GTNN 1   a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt abc Sơ đồ điểm rơi:  2    a b c 1     8 abc   1    a b c  Giải: 1 1 1 31 1      8a 8b 8c 8a 8b 8c  a b c  9 9 27        4 abc 4 a  b  c 4 Dấu “=” xảy  a  b  c  27 Vậy GTNN A ab ab Bài 3: Cho số thực dương a, b Tìm GTNN A   ab a  b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi: 2a  ab  ab  a        ab   ab  a   a  b 2a  99 a b c Giải:  ab ab  3a  b  ab ab 3.2 ab  A    2   1   2 ab a  b ab  ab a  b  ab Dấu “=” xảy  a  b Vậy GTNN A Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Tìm GTNN a b c bc ca ab A      bc ca ab a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt ThuVienDeThi.com 12 Sơ đồ điểm rơi: Giải: abc b c  a  b  c  c  a  a  b  2 abc      b  c  c  a  a  b   a b c  b c bc ca a b 3bc ca a b  a A           4a 4b 4c   a b c  bc ca a b  66 a b c bc ca ab 3b c c a a b         b  c c  a a  b 4a 4b 4c 4a a b b c c b c c a a b 15   6.6    a a b b c c 2 Dấu “=” xảy  a  b  c 15 Vậy GTNN A Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN : 1  A 2 2ab a b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi:   a  b  ab   2        2  2ab Giải: 1  2  4 2 a  b 2ab a  b  2ab a  b 2 2 a  b  2ab ab Dấu “=” xảy   a  b  Vậy GTNN A A 1  2 2ab a b   Bài 6: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN 1  A 2 2ab 1 a  b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi:   2  2 1  a  b    3 ab      2ab  Giải: 1 A   2 6ab 3ab 1 a  b 1 2  2  a  b 6ab 3ab     1    2  a  b  6ab 3ab a  b    4ab 3ab 2 a  b 2   4 a  b    ThuVienDeThi.com  ab 3    2   Do ab   a  b          13   1 1   4ab   2ab 4ab 4ab a b 1 2  4ab  2 4ab 4ab a  b 2ab A 2a  b   3a  b  4    2.1  3.1 1  a  b  6ab  Dấu “=” xảy  a  b ab a  b   Vậy GTNN A 2   Bài 7: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN 1 A   4ab a b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi:   a  b  ab         ab  4ab   ab  1        ab  Giải:  a  b  2ab 2 2  2 4ab a  b  4ab  ab   2 Do ab     a  b 2   ab  4     2 a  b 2  27 a  b  2ab  4ab  1 Dấu “=” xảy   ab 4ab a  b  a  b  Vậy GTNN A     Bài 8: Cho số thực dương a, b thỏa a  b  Tìm GTNN 1 A   a b a b ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN A đạt ab Sơ đồ điểm rơi: ThuVienDeThi.com 14   a  b      ab      a b ab  1   2x  y  z x  y  z x  y  2z Đề thi Đại học khối A năm 2005 Giải: P 1 1 1 1 1 1 1          x  y  z x  x  y  z x.x y.z x x y z 16  x x y z  Tương tự: 1 1 1 1       x  y  z 16  x y y z  Giải: 1 1     a b 2a b 2ab 2a b 2ab 1 1  55 3 a  b 2a b 2ab 2a b 2ab 5 3 a  b  2a b  2ab  2a 2b  2ab 25  a  b   ab(a  b) A  25  Do ab   a  b      a  b 3  (a  b) 25   20 1 1    3 a  b 2a b 2ab  Dấu “=” xảy  a  b ab a  b    Vậy GTNN A 20  Bài 9: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa 1 1 1 1       x  y  z 16  x y z z  Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: 1 1 4 4 P         x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  1 Dấu “=” xảy      x  y  z  x y z Vậy GTLN P Kỹ thuật nhân thêm hệ số Bài 1: Tìm GTLN : A  a 1-a  , a  0,1 Giải: Do a, 1-a  nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:     1    Tìm GTLN x y z 1  a  a  2-2a  A  a 2-2a   a.a2-2a      2 2 27   A 27 Dấu “=” xảy  a   2a  Vậy GTLN A 27 ThuVienDeThi.com 15 Bài 2: Tìm GTLN : A  a 2-a  , a  0,2  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: bc a   1  a  a  a   3a  27 A  a.a.a.6  3a      3 16  Dấu “=” xảy  a   3a  27 Vậy GTLN A 16 a  Bài 3: Cho số thực dương a, b thỏa  Tìm GTLN b  A  3  a 4  b 2a  3b  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 6  2a 12  3b 2a  3b     2a  12  3b  2a  3b   36 6  a  Dấu “=” xảy   2a  12  3b  2a  3b    b  Vậy GTLN A 36 a   Bài 4: Cho số thực a, b, c thỏa b  Tìm GTLN của: c  12  bc a   ca b   ab c  12 abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A a  2.2  bc a  2  abc 2 2 b  6.3.3  3ca b  6   abc ca3 b   3 9 33 ab abc c  12.4.4.4  ab c  12    abc ab c  12   64 64 44 64 Khi ta có: bc a   ca3 b   ab c  12 1 A      abc 2 8 a   a    Dấu “=” xảy  b    b  c  12  c  16   A bc ca Vậy GTLN A  Bài 5: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm GTLN của: A ab  bc  ca Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt  a  b    a  b  c   b  c  3   c  a   Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ThuVienDeThi.com 16 a  b  3 (1) a  b   ab  2  b  c  3 (2) bc  2  c  a  3 (3) ca  2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2a  b  c  3  A ab  bc  ca  2  a  b    Dấu “=” xảy  b  c   a  b  c  3   c  a   3 a  2b  b  2c  c  2a  3 a  2b .3.3  a  2b     a3  2b  b  2c 9 (1) (2) 33  c  2a (3) 33 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 18  3a  b  c  3 a  2b  b  2c  c  2a   3 (đpcm) 33 Bài 7: Cho a, b, c   2;2 thỏa a  b  c  Chứng minh rằng:  a2   b2   c2  3 Phân tích: Do biểu thức cho biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy khi: 4  a   a  b  c   4  b  4  c   Vậy GTLN A Lưu ý: Trong toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp Bài 6: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh rằng: a  2b  b  2c  c  2a  33 Phân tích: Do biểu thức cho biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy khi: a  2b   a  b  c   b  2c  c  2a   Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  a2   a2  a2   a2  (1)  3  b2  b2  (2)  c2 (3)  c2  Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 21  a  b  c  a2   b2   c2  Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có       Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ThuVienDeThi.com 17 a  b  c 2  1   1a  b  c   a  b  c 2  a b c  nên  a2   b2   c2  21  Dấu “=” xảy  a  b  c  Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a  b  (*) Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b Phân tích: Căn vào bậc biến số a, b biểu thức (số bậc giảm lần) ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a b với số dương tương ứng khác để làm xuất a b Do a, b dương có vai trị nên ta dự đốn A đạt giá trị lớn a  b , từ (*) ta có a  b  Mặt khác dấu “=” bất đẳng thức Cauchy xảy khi số tham gia Khi ta có lời giải sau: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a số ta có: Vậy GTNN A a  b  c 2 3  3 (đpcm) Kỹ thuật hạ bậc Bài toán Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  (*) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a  b  c Phân tích: Sự chênh lệch số mũ biểu thức a  b  c a  b  c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a  b  c Nhưng ta cần áp dụng cho số số nào? Căn vào bậc biến số a, b, c biểu thức (số bậc giảm lần) ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a , b c với số dương tương ứng khác để làm xuất a, b c Do a, b, c dương có vai trị nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ a  b  c , từ (*) ta có a  b  c  Mặt khác dấu “=” bất đẳng thức Cauchy xảy khi số tham gia Khi ta có lời giải sau: hoctoancapba.com Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a ta có: 1 1 a   a  a (1) Dấu “=” xảy  a   a  9 Tương tự: (2) Dấu “=” xảy  b  b2   b 3 1 c2   c (3) Dấu “=” xảy  c  Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2 a  b  c   a  b  c    a  b  c  3 3 1 1 a   6.6 a    a (1) Dấu “=” xảy 2 25 1  a3   a  2 Tương tự: 1 1 b   6.6 b    b (2) Dấu “=” xảy  b  2 2 25 Cộng theo vế bất đẳng thức (1) (2) ta được: 1 a  b   a  b    a  b  a  b  25 6 5 2 Dấu “=” xảy  a  b  3     Vậy giá trị lớn A 25 Bài 2: Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca  CMR: a3  b3  c3  Giải: ThuVienDeThi.com 18 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b   33 a b  3ab (1) ; b  c   3bc (2) ; c  a   3ca (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a  b  c   3ab  bc  ca       a  b  c   3.3 3  a  b  c  (đpcm) Bài3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  CMR: a5  b5  c5  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a số 1, ta có: 3 4a  b  c  66 a 12 b c  6a bc (1) Tương tự: 4b  c  a  6b ca (2) ; 4c  a  b  6c ab (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a  b  c  a bc  b ca  c ab 3a   55 a 15 1.1  5a (1) Tương tự: 3b   5b (2) ; 3c   5c (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a5  b5  c5   a3  b3  c3    5     a  b  c  (đpcm) Bài 4: Cho số thực dương a, b, c thỏa a b  b c  c a  CMR: a7  b7  c7  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a , số b số 1, ta có: 3a  3b   77 a 21 b 211  a b (1) Tương tự: 3b  3c   7b c (2) ; 3c  3a   7c a (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a  b  c   a 3b  b c  c a        a  b  c   7.3  a  b  c  (đpcm) Bài 5: Cho số thực dương a, b CMR: a  b   2a  2b  ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 7 a   a  4a (1); b   4b (2) ; a  b  2ab (3)     a  b  c   5.3 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2a  2b   4a  4b  2ab  a  b   2a  2b  ab (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b, c CMR: a  b  c  a bc  b ca  c ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a ,1 số b số c ta có:   a  b  c  a bc  b ca  c ab (đpcm) Bài 7: Cho số thực dương a, b, c, m, n CMR: a mn  b mn  c mn  a m b n  b m c n  c m a n Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m+n số: m số a m  n n số b m  n ta có:    ma m  n  nb m  n  m  n .m  n a m  n b m  n  m  n .a m b n (1) Tương tự: mb m  n  nc m  n  m  n .b m c n (2) mc m  n  na m  n  m  n .c m a n (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: m  n  a m n  b m n  c m n  m  n  a m b n  b m c n  c m a n  m  n   a b c  a b  b c  c a (đpcm) Lưu ý: Bất đẳng thức vừa chứng minh sử dụng chứng minh toán sau mn mn mn m n m n m n Bài 8: Cho số thực dương a, b, c thỏa abc  Chứng minh bất đẳng thức sau: 1   1 3 a  b 1 b  c 1 c  a3 1 Giải: Từ kết ta có a m  n  b m  n  c m  n  a m b n  b m c n  c m a n ThuVienDeThi.com 19 m   Chọn n  ta được: c  a  a  b  a  a 2b  b a  a a  a 2b  b a  a  a  b  a 2b  b a 1 abc c do abc  1 (1)     2 a  b  a b  b a  a b  b a  abc a  b  c Tương tự: a  (2) 3 b  c 1 a  b  c b  (3) 3 c  a 1 a  b  c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: abc 1     (đpcm) 3 3 a  b 1 b  c 1 c  a 1 a  b  c Bài toán Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 10a  10b  c  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 8a  c2 c2  8a  4ac 2 8b  c2 c2  8b  4bc 2 2a  2b  2a 2b  4ab Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: 10a  10b  c  4ab  bc  ca   4.1  2 2  c2 8a      a b c   Dấu “=” xảy  8b    c   2a  2b   Đây lời giải ngắn gọn thiếu tự nhiên Chúng ta thắc mắc lại tách 10   Nếu tách cách khác, chẳng hạn 10   liệu có giải khơng? Tất nhiên cách tách khác không dẫn đến kết quả, tách 10   may mắn Bây ta tìm lí việc tách 10   toán Với    10 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  c2 c2  a  2 ac 2 b  c c2  b  2 bc 2 10   a  10   b  10   a 10   b  20  2 ab Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: 10a  10b  c  2 ac  bc  20  2 ab Lúc ta cân điều kiện giả thuyết, tức là:   2  20  2  2  400  80  4  2  41  200      25  10  2  8 Khi ta có lời giải toán Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  CMR: : 3a  3b  c  10 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: c2 c 2a   2a  2ac 2 ThuVienDeThi.com 20 ... thỏa quy tắc a dấu “=” Vì ta phải tách a để áp dụng bất đẳng thức Cauchy a thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a  a 1  ,  cho “Điểm rơi a  ”  , ta có... biểu thức A  a  b  c Phân tích: Sự chênh lệch số mũ biểu thức a  b  c a  b  c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a  b  c Nhưng ta cần áp dụng cho số số nào? Căn vào bậc... c   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x y yz zx x y.z  2 Do tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại nên : x, y , z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta