(SKKN CHẤT 2020) CHUYÊN đề một số kỹ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY

Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc Đối tượng: Học sinh lớp Số tiết: 15 tiết I ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học mơn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thơng Nó giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức, mơn tốn mơn học cơng cụ nên việc học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác Tuy nhiên mơn tốn mơn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn học tốn, song khơng mà toán học thiếu hấp dẫn người học Môt bô phân rât quan va hâp dân vơi hoc sinh giỏi la phân môn Bât đẳng thưc va gia trị lơn nhât, gia trị nhỏ nhât Nhưng phần khó mơn Tốn Bât đẳng thưc la mơt vân đề cô điên cua toan hoc sơ câp cang quan tâm phat triên, cung la môt phân toan hoc sơ câp đẹp va thu vị nhât, vi thê cuôn hut rât nhiều sư quan tâm cua hoc sinh, đăc biêt la hoc sinh giỏi, hoc sinh co khiêu hoc toan Điêm đăc biêt, ân tương nhât cua bât đẳng thưc toan sơ câp đo la co rât nhiều bai toan hay va kho, thâm chi la rât kho Tuy nhiên cai kho ở không nằm ở ganh về lương kiên thưc ma ở yêu câu oc quan sat, linh cảm tinh tê va sưc sang tao rồi rao cua hoc, vi thê hoc co thê giải đươc bằng kiên thưc rât bảả̉n va viêc hoan đươc chưng minh vây la môt niềm vui thưc sư Trong công tác bồồ̀i dưỡng học sinh giỏả̉i mơn tốn tốn bât đẳng thưc, giá trịị̣ nhỏ nhất, lớn tốn có khảả̉ rèn luyện cho học sinh óc phán đốn tư logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn giảả̉i dạng tốn Đối với học sinh trung học sởả̉, việc chứng minh bất đẳả̉ng thức thường có cơng cụ, học sinh chủ yếu sử dụng địị̣nh nghĩa bất đẳả̉ng thức Cauchy để chứng minh Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy để chứng minh toán khác đa số trường hợp yêu cầu học sinh phảả̉i biết cách biến đổi cách hợp lý, chí phảả̉i tinh tế download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 1.Bất đẳng thức Cauchy a Cho hai số thực không âm a,b Khi ta có: Dấu “=” xảả̉y a=b b (Dạng tổng quát).Cho n số thực khơng âm Khi ta có: Dấu “=” xảả̉y Bất đẳả̉ng thức gọi bất đẳả̉ng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân hay bât đẳng thưc AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean) Chưng minh: -Vơi n=2 bât đẳng thưc hiên nhiên đung va dâu bằng xảy va chi a1=a2 - Giả sư bât đẳng thưc đung đên n=k, tưc la ta co: , dâu bằng xảy -Xét n=k+1.Vơi ta co: Theo giả thiêt quy nap, suy Dâu “=” (2) xảy (theo giả thiêt quy nap) Đăt Tư (3) ta co Dễ dang thây rằng: Do nên suy Do đo bât đẳng thưc Cauchy cung đung vơi n=k+1.Theo nguyên ly quy nap ta suy bât đẳng thưc Cauchy đung Dâu bằng xảy Ví dụ download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Ví dụ Cho số thực dương x, y, z thỏả̉a mãn Chứng minh rằồ̀ng: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y nào? Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Đẳả̉ng thức xảả̉y Chứng minh tương tự, ta được: (Đẳả̉ng thức xảả̉y ) (Đẳả̉ng thức xảả̉y ) Cộng vế với vế bất đẳả̉ng thức trên, ta được: Đẳả̉ng thức xảả̉y Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy, ta có: Đẳả̉ng thức xảả̉y Từ (1) (2), ta có điềồ̀u phảả̉i chứng minh Đẳả̉ng thức xảả̉y Chú ý: Nói chung, ta gặp tốn sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy ví dụ mà thường phảả̉i biến đổi tốn đến tình thích hợp rờồ̀i sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy Khi biến đổi, ta thường sử dụng số hạng vế download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 cộng thêm số hạng thích hợp sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy Khi biến đổi, ta lưu ý số nhận xéé́t sau: Nhận xét Số chiều BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng bậc cao Ví dụ Với số thực dương a, b, c, chứng minh rằồ̀ng: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phảả̉i có bậc cao 3, nên ta sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy cho số không âm Chẳả̉ng hạn, số hạng ứng với ba số Cứ vậy, ta thu bất đẳả̉ng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cơ-si, ta có: Cộng vế với vế bất đẳả̉ng thức trên, ta được: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y khi: Ví dụ Với số thực không âm a, b, c, chứng minh rằồ̀ng: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y nào? Giải Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳả̉ng thức trên, ta được: download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y khi: Nhận xét Bậc số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bậc số hạng cần mơ tả Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằồ̀ng: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phảả̉i khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu bằồ̀ng cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳả̉ng thức Bậc số hạng cần mô tảả̉ hai, nên bậc số hạng thêm vào hai Chẳả̉ng hạn, số hạng có chứa mẫu b, nên số hạng thêm vào phảả̉i chứa nhân tử b Bậc số hạng 2, nên ta cộng thêm vào ab Giải Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy, ta có: Cộng vế với vế bất đẳả̉ng thức trên, ta được: (1) Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y : download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Lại có, (2) Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y Từ (1) (2) suy ra: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y Ví dụ Với số dương a, b, c, chứng minh rằồ̀ng: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y nào? Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phảả̉i khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu bằồ̀ng cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳả̉ng thức Bậc số hạng cần mô tảả̉ một, nên bậc số hạng thêm vào Chẳả̉ng hạn, số hạng có chứa mẫu b, c bậc số hạng thêm vào nên số hạng thêm vào b, c: Giải Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy, ta có: download by : skknchat@gmail.com Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Ví dụ 21:Cho a,b,c số thực dương có tổng Chứng minh rằng: Ví dụ 22: Cho a,b,c,d số dương có tổng Chứng minh rằng: Ví dụ 23: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng: Ví dụ 24:Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta ln có: Ví dụ 25: Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta có: Ví dụ 26: Chứng minh với số thực dương a,b,c có tổng 3,ta có: Ví dụ 27: Cho a,b,c số dương có tổng 3.Chứng minh rằng: Hướng dẫn Ta có: Từ ta cần chứng minh: (*) Vì Bây trở lại với Ví dụ mở đầu: Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có: Như vậy, ta có bất đẳả̉ng thức riêng mà tác giảả̉ Nguyễễ̃n Đức Tấn đưa ởả̉ Ví dụ mà giới thiệu download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 3.2 KY THUÂT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÂT ĐĂNG THƯC CAUCHY 3.2.1 Điểm rơi đanh gia từ trung bình cộng sang trung bình nhân Vi du 28 : Cho Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc Phân tich:  Sai lâm thương găp giải bai toan la: Ap dung bât đẳng thưc Cauchy cho cac sô không âm  ta co: Vây S=2 Nguyên nhân sai lâm: Min S=2 mâu thuân vơi giả thiêt Tìm lơi giai đúng: Vi bât đẳng thưc Cauchy xảy dâu “=” tai điều kiên cac sô tham gia phải bằng nhau, nên thay cho viêc ap dung bât đẳng thưc Cauchy cho căp sô đẳng thưc Cauchy cho căp sô thi ta se ap dung bât Khi đo đê bât đẳng thưc Cauchy xảy dâu “=” Măt khac ta nhân thây S đat đươc a=3(trong điều kiên đo ta co sơ đồ điêm rơi ưng vơi a=3 a =3 Tư đo ta co lơi giải đung sau: Lơi giai đúng: Ta co Dâu “=” xảy a=3 Vây MinS= Vi du 29: Cho a,b la hai sô dương co tich bằng 1.Chưng minh rằng Phân tich: Ta dư đoan dâu bằng bât đẳng thưc đa cho xảy ).Do download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Vơi a=b=1 ta co sơ đồ điêm rơi: Tư đo ta co lơi giải: Lơi giai: Ta co: Dâu “=” xảy Vi du 30: Cho thỏa man: Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc T= Phân tich:  Sai lâm thương găp : Ap dung bât đẳng thưc Cauchy cho cac sô không âm a,b,c va ta đươc: suy minT=4  Nguyên nhân sai lâm: minT=4 thuân vơi giả thiêt Tìm lơi giai đúng: Vi dâu “=” xảy nên đo Sơ đồ điêm rơi: Lơi giai đúng: Ta co: Dâu “=” xảy Vây minT= mâu download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 3.2.2 Điểm rơi đanh gia từ trung bình nhân sang trung bình cộng Vi du 31: Cho va Tim gia trị lơn nhât cua Phân tich:  Sai lâm thương găp: Tương tư: va Tư đo suy ra:  Nguyên nhân sai lâm: max S= thiêt mâu thuân vơi giả Tìm lơi giai đúng: Vi S la môt biêu thưc đôi xưng vơi a, b, c nên MaxS đat tai: Khi đo ta co Lơi giai đúng: Ap dung bât đẳng thưc Cauchy ta co: Tương tư ta co: Tư đo suy Dâu “=” xảy Vây MaxS= Vi du 32: Cho thỏa man a+b+c=1 Chưng minh rằng Phân tich: Do vê trai cua biêu thưc cân chưng minh la môt biêu thưc đôi xưng vơi a,b,c nên dâu “=” xảy Khi đo ta co: download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Lơi giai: Tư đo ta co : Tương tư: suy Dâu “=” xảy 3.3 KY THUÂT ĐỒNG BÂC TRONG BÂT ĐĂNG THƯC CAUCHY Vi du 33: Chưng minh rằng: Phân tich: Do cả hai vê la cac biêu thưc bâc nên biêu thưc công thêm cung phải co bâc Lai co cung la biêu thưc bâc 1, tư đo ta co lơi giải sau: Lơi giai: Ap dung bât đẳng thưc Cauchy ta co: Tương tư ta co: va Công cac bât đẳng thưc vê vơi vê ta đươc: Dâu “=” xảy a=b=c Vi du 34: Cho va Chưng minh rằng: Phân tich: Vi vê trai la môt biêu thưc co bâc nên ta sư dung giả thiêt đê đưa bât đẳng thưc đa cho bât đẳng thưc đồng bâc 2: download by : skknchat@gmail.com hay Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 Khi đo biêu thưc công thêm cung phải la môt biêu thưc bâc Lơi giai: Ap dung bât dẳng thưc Cauchy ta co: Tương tư ta co: Công cac bât đẳng thưc vê vơi vê ta đươc: Do Suy ra: Hay Dâu “=” xảy Một sô vi du co cach giai tương tư Vi du 35: Cho a,b,c la cac sô dương.Chưng minh rằng: a) b) Vi du 36: Cho Vi du 37: Cho Vi du 38: Cho Vi du 39:Cho Vi du 40: Cho Cho Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc va Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc va Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc: va Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc: download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 III KẾT LUẬN Như vây, ngoai viêc ap dung trưc tiêp bât đẳng thưc Cauchy thi môt sô lương lơn cac bai toan cân phải ap dung bât đẳng thưc dươi biên dang va ky thuât khac Cac ky thuât đa lam cho viêc ap dung bât đẳng thưc Cauchy trở lên phong phu va đa dang nhiều No cung giup giải quyêt cac bai toan môt cach nhanh chong va hiêu quả Đưng trươc môt bai toan, đăc biêt la bai toan sư dung bât đẳng thưc Cauchy măc du lương kiên thưc phải sư dung la không nhiều song lai yêu câu oc quan sat, linh cảm tinh tê va sưc sang tao rồi rao đê co nhân dang môt cach chinh xac va co biên đôi hơp ly trươc ap dung bât đẳng thưc Cauchy Với học giáo viên có phương pháp tiếp cận,một phương pháp giảả̉ng dạy khác điềồ̀u tùy thuộc vào mức độ nhận thức học sinh Với chuyên đềồ̀ trình độ học sinh khơng giống phương pháp giảả̉ng dạy khơng thể nhau.Vì người giáo viên càn phảả̉i tìm phương pháp dạy, cách tiếp cận vấn đềồ̀ cho phù hợp với đối tượng học sinh Trên chuyên đềồ̀ nhỏả̉ mà bảả̉n thân thấy rât càn thiêt q trình bờồ̀i dưỡng học sinh giỏả̉i,hy vọng chuyên đềồ̀ góp phần nang cao chất lượng học sinh giỏả̉i bảả̉n thân bạn đờồ̀ng nghiệp thời gian tới Rất mong đóng góp ý kiến cá đờồ̀ng nghiệp Xin chân thành cảả̉m ơn! Vĩnh tường, ngày 01 tháng năm 2014 Người viết Phùng Văn Long download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường Chuyên để bồi dưỡng HSG Toán Năm học 2013-2014 IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trân Phương “Những viên kim cương bât đăng thưc toan học.”NXB Tri Thưc-Năm 2009 [2].Nguyễễ̃n Đức Tấn “Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số”-NXB Giao Duc-Năm 2003 [3].Ngũễ̃n Đễễ̃-Ngũễ̃n Hồng Lâm “Các tốn bất đẳng thức hay khó”-NXB Giao Duc-Năm 2001 [4].Nguyễễ̃n Vũ Thanh “263 tốn bất đẳng thức chọọ̣n lọọ̣c”-NXB Đai Học Qc Gia TPHCM-Năm 2000 [5].Nguyễễ̃n Kim Hùng “Sáng tạo bất đẳng thức”-NXB Ha Nôi –Năm 2010 [6].Trân Tuân Anh “Cac phương phap chưng minh bât đăng thưc”-NXB Tông hơp TPHCM-Năm 2006 [7].Phan Huy Khải “10.000 bai toan sơ câp- bât dăng thưc”-NXB Ha Nôi-Năm 2001 [8].Phan Huy Khải “Chuyên đê bât đăng thưc chọn lọc cho học sinh phô thông sơ”- NXB Giao duc1998 [9].Nguyễn Văn Qui-Nguyễn Tiên Dung-Nguyễn Viêt Ha “Cac dang Toan vê bât đăng thưc, gia tri lơn nhât, gia tri nhỏ nhâ ”-NXB Đa Nẵng-1998 [10].Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu “Old and New Inequality”- Gil publishing House [11] Old and new inequaliti.-internet download by : skknchat@gmail.com Phùng Văn Long-THCS Vĩnh Tường ... Nhận xét Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với số bất đẳng thức phụ Ví dụ 10 Với số dương a, b, c, chứng minh rằồ̀ng: Dấu đẳả̉ng thức xảả̉y nào? Giải Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy, ta... bậc cao 3, nên ta sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy cho số không âm Chẳả̉ng hạn, số hạng ứng với ba số Cứ vậy, ta thu bất đẳả̉ng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳả̉ng thức Cơ-si, ta có:... tính Sử dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy với n = cộng với số hạng hằồ̀ng số, số hạng chứa biến thích hợp để mơ tảả̉ điềồ̀u kiện bất đẳả̉ng thức cần chứng minh Chẳả̉ng hạn, với số hạng số dương