3. 1.1.Ví dụ mở đầu:
3.1.2. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Ví dụ 27: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3.
Chứng minh rằng: .
Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy cho các mẫu số thì ta có:
?
Như vậy ta sẽ được một bất đẳả̉ng thức đổi chiềồ̀u, và do đó ta không có được điềồ̀u phảả̉i chứng minh.
Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:
, thật may mắn vì đến đây ta được một bất đẳả̉ng thức cùng chiềồ̀u. Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rồồ̀i cộng chúng lại ta được điềồ̀u phảả̉i chứng minh
Lời giải:
download by : skknchat@gmail.com
tự ta có
Cộng các bất đẳả̉ng thức trên với nhau vế với vế ta được:
Mặt khác ta có: Từ đó suy ra
Nhận xét: Như vậy ta thấy rằồ̀ng qua một phéé́p biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳả̉ng thức Cauchy cho mẫu mà vẫn được các bất đẳả̉ng thức cùng chiềồ̀u. Đó chính là kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Ví dụ 19: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:
Lời giải:
Ta có: .Dấu “=” xảả̉y ra khi a=b.
Tương tự ta có: .Dấu “=” xảả̉y ra khi b=c. . Dấu “=” xảả̉y ra khi a=c. Cộng ba bất đẳả̉ng thức trên vế với vế ta được :
Dấu “=” xảả̉y ra khi a=b=c.
Từ bài toán Ví dụ 6 và Ví dụ 7 ta có các bài toán tương tự sau:
Ví dụ 20: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng: .
Ví dụ 22: Cho a,b,c,d là các số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
Ví dụ 23: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng: .
Ví dụ 24:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
Ví dụ 25: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
Ví dụ 26: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c có tổng bằng 3,ta có:
Ví dụ 27: Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 3.Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn
Ta có: .
Từ đó ta cần chứng minh: (*)
Vì .
Bây giờ chúng ta cùng trở lại với Ví dụ mở đầu:
.
Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có:
.
Như vậy, ta có bất đẳả̉ng thức riêng mà tác giảả̉ Nguyễễ̃n Đức Tấn đã đưa ởả̉ Ví dụ trên mà tôi đã giới thiệu .
download by : skknchat@gmail.com
3.2.1. Điểm rơi trong đanh gia từ trung bình cộng sang trung bình nhân.Vi du 28 : Cho . Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc Vi du 28 : Cho . Tim gia trị nhỏ nhât cua biêu thưc
Phân tich:
Sai lâm thương găp khi giải bai toan trên la: Ap dung bât đẳng thưc Cauchy cho
cac sô không âm ta co: .Vây min S=2
Nguyên nhân sai lâm: Min S=2 mâu thuân vơi giả thiêt .
Tìm lơi giai đúng:
Vi bât đẳng thưc Cauchy xảy ra dâu “=” tai điều kiên cac sô tham gia phải bằng nhau, nên thay cho viêc ap dung bât đẳng thưc Cauchy cho căp sô ta se ap dung bât đẳng thưc Cauchy cho căp sô .Khi đo đê bât đẳng thưc Cauchy xảy ra dâu “=” thi .Măt khac ta nhân thây min S đat đươc khi a=3(trong điều kiên ).Do đo ta co sơ đồ điêm rơi ưng vơi a=3