Đề thi Một số kỹ thuật giải toán trên máy tính cầm tay26093

S GIÁO D C ÀO T O BÌNH NH SÁNG KI N KINH NGHI M- T NG K T KINH NGHI M TÀI M T S K THU T GI I TỐN TRÊN MÁY TÍNH C M TAY Ng i th c hi n: NGUY N THÁI QUANG n v : S GIÁO D C- ÀO T O BÌNH NH M I/ LÝ DO CH N U TÀI 1/ C s th c ti n Tháng n m 2011 ThuVienDeThi.com M T S K THU T GI I TOÁN TRÊN MÁY TÍNH C M TAY Tác gi : Nguy n Thái Quang, TP.TrH, S GD- T Bình nh M CL C Ph n 1: M U……………………………………………………… Ph n 2: N I DUNG TÀI…………………………………………… A/ Th c tr ng B/ M t s kinh nghi m vi c s d ng máy tính c m tay đ gi i toán I/ Các k thu t giúp HS tránh nh ng l i thông th ng gi i toán MTCT.6 II/ Các toán s d ng k n ng b m máy………………………………… III/ Các toán c n t n d ng u th c a t ng lo i máy tính đ gi i tốn…… 11 IV/ Các tốn tính tốn có nhi u h ng đ gi i quy t…………………… 15 V/ Các toán v n d ng t đ tìm cơng th c xác l p trình b m phím hi u qu ………………………………………………………………………… 21 Ph n 3: K T LU N……………………………………………………………… 36 TÀI LI U THAM KH O………………………………………………………… 37 Ph n 1: M I/ LÝ DO CH N U TÀI 1/ C s th c ti n a/ Trong nh ng n m h c g n đây, phân ph i ch (THCS), c p trung h c ph thơng (THPT), B Giáo d c ng trình c p trung h c c s t o (GD- T) b trí m t s ti t h c đ giáo viên (GV) d y cho h c sinh (HS) s d ng máy tính c m tay cho phép HS s d ng máy tính c m tay (khơng có th nh ) đ h tr cho làm ki m tra th xuyên, đ nh k , thi h c k môn h c thi t t nghi p THPT, thi n sinh thi HS gi i mơn tốn) ng b c trung h c, k thi n sinh vào 10, i h c, Cao đ ng, Trung c p chuyên nghi p (ch tr i u cho th y t m quan tr ng c a máy tính c m tay vi c giúp HS gi i nhanh, xác n i dung c a thi, đ c bi t có u c u k n ng tính tốn Tuy nhiên th c t v n nhi u b t c p, là: + M c dù có b trí m t s ti t d y s d ng máy tính c m tay, nh ng n i dung gi ng d y, c ng nh sách v đ h ng d n t ch c d y h c khơng có nên m i GV, m i tr ng g n nh t th c hi n ti t d y ThuVienDeThi.com + T nh ng b t c p nêu trên, m t s khơng GV, đ c bi t nh ng GV lâu n m ngh th ng b o th , ng i khó, đ u t nghiên c u nên khơng có nhi u k n ng s d ng máy (th m chí có GV d y toán nh ng ch a trang b m t máy tính c m tay nào) d n đ n m t h qu t t y u HS nh ng l p thi u nhi u k n ng c n thi t đ s d ng máy, v y k t qu làm c a em ch c ch n s thi t thòi h n nh ng HS đ thành th o nh ng k n ng s d ng máy V n đ nh h c GV h ng d n ng không nh đ n k t qu ki m tra, thi c c a t nh ta; đ c bi t k thi n sinh đ i h c, cao đ ng, TCCN b/ Qua k thi HS gi i máy tính c m tay c p t nh, c p qu c gia n m h c 2009-2010; 2010-2011, bên c nh nh ng k t qu đ t đ c đáng khích l , đ i n Bình nh cịn b c l nh ng h n ch , thi u sót đáng quan tâm Nguyên nhân c a v n đ có c GV HS + V phía GV, đa s thi u nhi u kinh nghi m đ i v i sân ch i i u c ng d hi u t nh ta m i tham gia n m h c g n đây; nhi u t nh, thành khu v c tham gia 11 n m; thêm vào đó, sách, v th ng vi t v n i dung g n nh khơng có, ng i d y ph i t tìm tài li u đ nghiên c u nên ch c ch n v i th i gian có h n, kinh nghi m đ b i d ng c a GV nhi u h n ch u t t y u + V phía HS c ng có nhi u v n đ c n ph i rút h c kinh nghi m nh thi u bình t nh, ch quan, thi u k n ng tính tốn, trình bày…nên khơng th làm v i kh n ng th c có c a em; th m chí có nh ng tr ng h p cho k t qu ng c l i (nhi u HS trình đ t t h n l i có k t qu th p h n) Vì v y vi c đ u t , nghiên c u đ giúp cho th y trị t nh ta có thêm m t s k n ng s d ng máy tính c m tay nh m giúp cho vi c d y h c đ t hi u qu cao h n , thi t ngh m t u c n thi t 2/ C s khoa h c: Cách kho ng vài ba th p k ; ng tốn ph thơng nh : gi i ph i h c s g p nhi u khó kh n gi i m t s ng trình b c m t n; tìm nghi m g n c a ph b c cao, tìm nghi m c a h 3,4,5… ph ng trình ng trình b c nh t 3,4,5 n, tính nhanh nh ng giá tr logarit, l y th a c a m t s l n, tính tích phân xác đ nh c a m t hàm s b t k t i m t giá tr x t p xác đ nh c a hàm s Ngày nay, v i s đ i c a máy tính c m tay giúp ng i h c gi i quy t v n đ h t s c nhanh chóng xác Vì v y, ngo i tr yêu c u phát tri n t toán h c đ i v i m t s ng i có kh n ng nghiên c u chuyên sâu nh m giúp cho t toán h c nâng lên nh ng t m cao m i (nh thi n ch n HS gi i toán c p, B GD- T khơng cho HS s d ng máy tính c m tay); l i ThuVienDeThi.com đ thi khác đ u đ giúp cho HS gi i đ th hoàn thành đ c d i d ng ng d ng nh ng thành qu máy tính c m tay đ tr c tốn ph thơng mà tr c khơng lâu, ng i h c khó có c Vì v y vi c nghiên c u, tìm hi u k n ng đ khai thác t t ng d ng c a lo i máy tính c m tay vào vi c gi i tốn m t u c u khơng th thi u đ i v i nh ng ng i quan tâm đ n l nh v c toán h c giai đo n hi n II/ NHI M V C A TÀI V i c s th c ti n c s khoa h c nh nêu, mong mu n đ tài s m t t li u giúp ng i d y c ng nh ng i h c có thêm m t s k n ng s d ng máy tính c m tay đ : + Trong trình t ch c d y h c t i tr ng THCS, THPT toàn t nh, GV có u ki n nghiên c u sâu h n vi c s d ng ch c n ng c a máy tính c m tay nh m giúp cho HS ngày đáp ng t t yêu c u ki m tra, thi c (đ c bi t k thi n sinh ch c n s tr giúp c a máy tính nh ng tr ng h p c n thi t s giúp cho h c sinh gi i quy t tốn nhanh h n, xác h n, u ch c ch n s m t nh ng u ki n đ nâng cao t l đ u i h c, Cao đ ng, TCCN c a t nh ta ) + Giúp HS đ i n HS gi i c p có thêm nhi u k n ng kinh nghi m c n thi t đ làm t t h n thi, nh m nâng cao thành tích c a tr ng, Phịng GD- T đ c bi t đ i n c a t nh nhà k thi HSG Qu c gia nh ng n m h c s p đ n III/ PH NG PHÁP VÀ TH I GIAN TI N HÀNH T nh ng thành cơng th t b i q trình tham gia b i d ng t ch c cho em đ i n HSG c a t nh tham gia d thi HSG gi i toán máy tinh c m tay c p Qu c gia n m h c 2009-2010; 2010-2011; chúng tơi ti p t c tìm tịi, nghiên c u sách, v , nh ng kinh nghi m c a m t s t nh, thành ph nghi m c n thi t, t giúp cho nh ng ng đ rút nh ng h c kinh i quan tâm đ n vi c s d ng máy tính c m tay đ h tr vi c gi i tốn có thêm k n ng nh m đ t đ c hi u qu t t h n vi c d y h c giai đo n m i Ph n 2: N I DUNG TÀI A/ TH C TR NG Nh đ c p ph n c s th c ti n, nhi u lý khách quan ch quan nên vi c đ u t nghiên c u k thu t s d ng máy tính c a GV tốn nói riêng GV b mơn thu c l nh v c khoa h c t nhiên khác nói chung c a t nh ta cịn nhi u h n ch i u ThuVienDeThi.com đ c minh ch ng đ t b i d ng k n ng s d ng máy tính c m tay c a Cơng ty C ph n Xu t nh p kh u Bình Tây n m 2009 cho GV c t cán c a tr ng THCS, THPT toàn t nh Nhi u GV r t b ng vi c s d ng ch c n ng c a máy tính đ tính phép tính thơng d ng ây s m t thi t thòi l n cho HS t nh ta ki m tra, thi c giai đo n hi n Qua vi c ch m thi HSG c p t nh tham gia b i d ng đ i HSG thi HSG Qu c gia gi i toán máy tính c m tay, bên c nh nh ng thành tích đ t đ c đáng khích l , chúng tơi phát hi n nhi u sai sót r t đáng ti c c a em, mà ph n l n thi u k n ng s d ng máy Qua t ng h p, có th chia m t s h n ch mà em th ng m c sai l m s d ng máy tính c m tay đ gi i nh sau I/ CÁC D NG TOÁN CH C N S D NG MÁY TÍNH TỐN 1/ Các toán ch đ n thu n b m máy đ tính tốn: N u bi u th c c n tính dài nhi u phép tính, qua ki m tra, h u h t HS cho k t qu khác th ng k t qu sai! 2/ Các toán s d ng k thu t b m máy đ tính tốn, nh ng thi u k n ng s d ng máy nên th c hi n quy trình b m phím khơng t i u, v y v a m t nhi u th i gian, công s c, v a khơng xác 3/ M i máy tính có nh ng th m nh khác nhau, đ c bi t máy tính đ i m i, v y n u khơng ti p c n đ c nhi u lo i máy tính mà ch s d ng m t lo i quen thu c s b nhi u thi t thịi h n nh ng em bi t s d ng nhi u lo i máy II/ CÁC D NG TOÁN C N T DUY TOÁN H C VÀ L P TRÌNH B M MÁY 1/ Các tốn tính tốn nh ng có nhi u h h ng ch a t t nên th ng gi i quy t: Nhi u HS đ nh ng cho k t qu sai ho c n u có làm c ng l i m t nhi u th i gian, cơng s c, v y khơng cịn th i gian đ làm câu khác 2/ Các tốn v n d ng t đ tìm l p trình b m máy: nhi u HS làm l p trình khơng nên cho k t qu sai, ho c làm nh ng l p trình dài dòng nên m t nhi u th i gian hi u qu th p ph n giúp cho ng i d y h c t nh ta h n ch nh ng thi u sót v a k trên, chúng tơi xin trình bày: B/ M T S C M TAY ng KINH NGHI M C GI I M T S TH TRONG VI C S D NG TOÁN TH NG G P TRONG CÁC K THI i đ c d dàng nghiên c u d ng tốn c th đ này, chúng tơi có m t s quy D NG MÁY TÍNH c trình bày vi t c nh sau: ThuVienDeThi.com + Các k thu t s d ng máy tính c m tay xem nh ng i đ c n m v ng, v y vi c trình bày, chúng tơi ch trình bày ng n g n nh t, không gi i thi u chi ti t yêu c u b m máy Ví d : shift sto Trong vi t ch ghi Gán cho A A Hay x Alpha Alpha : Alpha A x2 Trong vi t ch ghi x2 Trong ch ghi : Trong ch ghi A + Các d ng toán s d ng máy tính c m tay cho t ng chuyên đ đa d ng; đ tài tham v ng gi i thi u đ y đ d ng toán mà ch gi i thi u m t s d ng toán th ng g p k thi gi i toán máy tính c m tay th i gian g n có nhi u liên quan đ n k n ng s d ng lo i máy tính ho c s d ng nhi u thu t toán khác đ gi i T ng i đ c có th t rút m t s kinh nghi m cho b n thân nh m giúp cho vi c gi i m t s d ng toán đ tài nhanh chóng, xác; ngồi ra, b ng suy lu n toán h c, ng i vi t hy v ng ng i đ c có th phát tri n thêm đ gi i nhi u d ng toán khác Sau m t s chuyên đ đ I/ CÁC K c gi i thi u THU T GIÚP HS TRÁNH NH NG L I THÔNG TH NG KHI GI I TOÁN TRÊN MTCT Trong th c t đ thi HSG c p t nh ki m tra k n ng c a đ i n HSG t nh b id ng đ tham gia k thi HSG c p Qu c gia, th ng m t vài tốn tính giá tr c a m t bi u th c có nhi u d li u, có nhi u hàm s khác nh hàm m , l y th a, logarit, hàm s l ng giác…và s d ng nhi u phép tính +, -, ,  ,… K t qu ki m tra cho th y, h u h t em đ u cho k t qu khác đa s sai! Có nhi u nguyên nhân d n đ n sai sót c a em nh : đ ch đ máy tính ban đ u khơng phù h p v i yêu c u toán, quy trình b m máy thi u xác, khơng làm u c u tốn, trình bày làm v a m t th i gian, v a không đ t yêu c u… giúp ng i đ c có th tránh đ c nh ng thi u sót đáng ti c d ng toán này, c n th c hi n t t m t s yêu c u sau: + Cài ch đ máy ban đ u phù h p v i yêu c u c a toán ThuVienDeThi.com + N u bi u th c dài, c n ph i chia bi u th c c n tính thành t ng, hi u, tích, th ng bi u th c nh ; sau tính giá tr t ng bi u th c nh gán giá tr bi u th c nh vào A, B, C, D,,, Khi giá tr bi u th c c n tính t ng, hi u, tích, th ng giá tr gán A,B,C,D,,, Làm u s có giúp ta tránh nhi u sai sót vì: N u b m máy m t l n đ tính giá tr bi u th c d x y nh ng thi u sót vi c th c hi n quy đ nh b m máy (vì đ có phép tính cho m t bi u th c dài, quy trình b m máy ta s s d ng r t nhi u d u ngo t, n u khơng c n th n s d n đ n k t qu sai c bi t sai vi c ki m tra l i phép b m phím đ s a ch a r t khó kh n q nhi u phép tính nên khó xác đ nh v trí b m sai hay thi u sót đ s a ch a! ch a nói đ n kh n ng s phép tính v t kh n ng mà máy có th tính đ ó c, máy s báo l i) Trong n u chia nh bi u th c c n tính thành bi u th c nh A, B, C, D có sai sót d ki m tra l i h n ch ki m tra vi c sai sót t ng bi u th c nh A,B,C,D…nên d phát hi n phép tính, d u ngo t + Trong trình làm phép tốn trung gian, ta ln cài ch đ máy v i t t c s th p phân có th hi n đ có) c máy Ch làm tròn s theo yêu c u c a toán (n u phép toán cu i Chính ch quan, khơng c n th n nên nhi u HS c a t nh ta th c hi n đ y đ , xác b c tính tốn nh ng ch s xu t nh : + Qn khơng làm trịn s theo yêu c u c a toán + phép tính cu i cùng; ch đ làm trịn ch s t ban đ u, v y máy th c hi n vi c làm tròn s phép tính trung gian nên k t qu cu i không v i đáp s T t c l i đ u b tr m r t n ng (ít nh t tr 50% s m, th m chí có tr 100% s m!) n Bình ây th c s u h t s c đáng ti c x y cho nhi u HS đ i nh k thi Qu c gia v a qua + S d ng máy tính có nhi u ch c n ng tính tốn h n, quy trình n phím đ n gi n, d ki m tra h n đ giúp cho vi c nh p d li u đ th c xác nhanh chóng (thơng ng c u t o lo i máy tính c m tay fx 570ES; fx 500 plus s giúp ta có quy trình b m đ n gi n d ki m tra h n, c u hình c a máy phép chia, l y th a, phép tính tích phân, đ o hàm…đ + Trình bày tóm t t b c hi n th rõ ràng, giúp ng i th c hi n sai sót) c khơng ti t quy trình b m máy, v a m t th i gian, v a không đ t hi u qu Ch ng h n: Ch c n ghi: Gán cho A, thay ph i vi t shift sto A ThuVienDeThi.com ây c ng m t l i ph bi n nh ng h c sinh tham gia d thi c p t nh Chính trình bày q chi ti t quy trình b m phím (đi u không c n thi t gi i m t tốn máy tính c m tay) nên h c sinh khơng cịn th i gian đ th c hi n toán ti p theo! + C n ki m tra k t qu tr c làm khác Sau m t ví d c th Ví d 1:( thi Qu c gia THCS n m 2007) Cho x= 25030’; y = 57030’ Tính giá tr c a bi u th c: (1  tan M = (phép tính đ  x  sin y )(1  cot y  cos2 x)  (1  sin x)(1  cos3 y ) (1  sin x)(1  cos y ) c làm tròn v i ch s th p phân) Gi i làm t t này, c n th c hi n t t yêu c u sau: + ch đ hình ban đ u tr c tính tốn ch đ đ ch đ làm tròn đ n ch s th p phân cu i có th hi n đ c máy tính + Chia bi u th c M thành bi u th c nh : (1  tan (1  sin  x  sin y )(1  cot y  cos2 x) gán cho A (K t qu : A= 1,545969541)  x)(1  cos3 y) gán cho B (K t qu : B= 0,777472302) (1  sin x)(1  cos2 y ) gán cho C (K t qu : C= 1,235935569) Khi giá tr M = (A+B)C  2,871624416 + Làm tròn đ n ch s th p phân ta có k t qu : M = (A+B)C = 2,8716 + Chú ý cách trình bày c ng ch nêu b c tóm t t cách gi i k t qu nh (khơng c n nêu k thu t n phím) M t s t p gi i thi u Bài (đ thi Qu c gia THCS n m 2005) Tính: M= sin 350 cos3 200  15 tan 40 tan 250 3 sin 42 : 0, 5cot 20 áp s : M  -36,82283811 Bài ( đ thi Qu c gia THCS n m 2008) Tính M= 3sin150 25' cos12012 '.sin 420 20' cos36015' 2cos150 25' 3cos 65013'.sin15012 ' cos31033'.sin180 20 ' áp s : T s : 4, 236888649; M u s : 2,525805876 M  1,677440333 Bài (đ thi Qu c gia THCS n m 2009) ThuVienDeThi.com Tính M= (1  sin 170 34 ') (1  tan 25030')3 (1  cos2 50013')3 (1  cos3 350 25')2 (1  cot 25030 ')3 (1  sin 50013')3 (K t qu làm tròn đ n ch s th p phân) áp s : M  0,0157 Bài (đ thi HSG THCS Bình nh 2011) Cho a  43015' ; b  310 20' Tính giá tri g n c a bi u th c: P = (1  tan a)(1  cos 2b)  (1  cot a)(1  sin b)  (2 cos a  1) sin b cos b áp s : P  0,339838638 II CÁC BÀI TOÁN C N S D NG K N NG B M MÁY i v i tốn ngồi nh ng yêu c u c n ph i có nh ph n I, ph i thành th o k n ng s d ng máy tính c m tay tốn m i đ c gi i quy t nhanh chóng, xác D ng 1: (Tính giá tr x, y đ u liên phân s ) Ví d 2: ( thi HSG t nh Bình nh n m 2011) Tính giá tri x bi u th c sau: 2011x  3 2 4 3 6 4 5 Gi i V i toán này, đ 3 2011 4 ng nhiên ta ph i tính: gán vào A ; 2 6 gán vào B 1 3 4 5 Tuy nhiên đ tính A, B nh th cho nhanh chóng, xác ph i s d ng k thu t b m máy, n u khơng vi c tính tốn s tr nên ph c t p, m t th i gian Cách : + u tiên tính + = 55 40 260 ; ti p theo tính: + = + = … đ tìm đ 55 55 55 c A + Ti p t c cách tính nh th đ tìm B + Sau gi i ph ng trình Ax = B đ tính x ThuVienDeThi.com Cách làm không sai nh ng quy trình b m máy s r t dài, m t nhi u th i gian d sai sót Cách 2: N u n m v ng k thu t b m máy, ta s có cách b m nhanh chóng, liên t c, g n gàng cho k t qu , c th : + tính A ta ch vi c b m máy liên t c theo cách sau: B m 8, b m x-1, b m  7, b m +6, b m =, b m x-1, b m  5, b m + 4, b m =, b m x-1, b m  2, b m +3, b m =, b m x-1, b m  2011, b m = Ta có k t qu T ng t ta có 52286 Sau gán vào A 89 421 gán vào B, t ta có: 972 52286 x 421 37469  x 89 972 50821992 M t s t p gi i thi u Bài (đ x 4+ 2 x  1 thi HSG THCS Bình 3 4 1 ; 2 y 2009+ 3 c a x, y: 2y 9 2 giá tr  2010  1 3 nh 2010): Tính 8 7 4 6 Bài (đ thi HSG Qu c gia THCS n m 2011) Tìm x th a mãn đ ng th c sau: x 2011 1993  2010 1994  2009 1995  2008 1996  2007 1997  2006 1998  2005 1999  2004 2000  2003 2001  2002  63  11  2011 G i ý cách b m máy: 2003 , b m =, b m x-1, b m  2004, b m + 2000, b m shift, 2002 2005 , b m =, b m x-1, b m  2006 +1998, b m shift, sto, B sto, A, b m 1999, b m A B m 2001, b m -, b m D ng ( Tính giá tr x, y cu i liên phân s ) Ví d (đ thi HSG THCS Bình nh 2011): Tính x,y c a bi u th c: ThuVienDeThi.com 3 2003  783173 1315 5 x y GI I 783173 thành d ng liên phân s : 1315 gi i toán này, ta l i bi n đ i 783173 2003 2003 =  2 1315 3 3 4 5 5 8 7 x y T suy ra: x = 7; y = M t s t p đ xu t Bài 7: Tìm s a, b, c, d; bi t 2003 7 273 2 1 a b c d Bài 8: Tìm x bi t:  8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 x III/ CÁC BÀI TOÁN C N T N D NG MÁY TÍNH 381978 382007 U TH C A T NG LO I GI I TOÁN Nh gi i thi u ph n đ u, m i lo i máy tính th tr ng hi n đ u có nh ng th m nh riêng c a d nhiên máy đ i sau bao gi c ng có nhi u ch c n ng h n 10 ThuVienDeThi.com máy đ i tr c Vì v y đ i v i nh ng HS thi HSG máy tính c m tay c n ph i bi t s d ng t n d ng u th c a t ng lo i máy tính tr Qua nghiên c u lo i máy tính th tr k thi, chúng tơi có th rút m t s + ng đ c B GD- T cho phép s d ng u m c a t ng lo i máy nh sau: i v i máy Vinacal 570MS: Dịng máy có m t s ch c n ng m i nh : Tìm s d c a phép chia s nguyên d d ng h p c th ng, gi i h ph ng, tìm UCLN, BCNN c a s nguyên ng trình b c nh t n s nên n u s đ n ng mà máy tính có th tính tốn xác đ c tìm n m kh c, ch c n n phím đúng, máy s cho ta k t qu Trong dùng dòng máy khác ph i th c hành nhi u phép tính tốn, v a m t th i gian n u không c n th n ch a ch c cho ta k t qu ây m t nh ng nguyên nhân mà nhi u HS t nh ta không đ th i gian đ làm ch s d ng m t máy tính c m tay! + i v i dịng máy tính fx 570 ES; fx 500 plus: V i cách c u t o phân s , s m c a l y th a, tìm tích phân, đ o hàm c a m t hàm s đ c hi n th rõ ràng nên nh p d li u vào máy s b sai sót Vì v y th c hi n phép tính tốn thơng th ng, dịng máy có u m h n dòng máy fx 500 MS, fx 570 MS, Vinacal 570 MS Sau m t s minh h a vi c s d ng lo i máy tính đ gi i tốn th ng g p: Tìm s d c a phép chia s nguyên 1.1 N u s d ng máy tính c m tay fx 500MS, fx 500plus, fx 570MS, fx 570 ES: 1.1.1 Khi đ cho s bé h n 10 ch s : S b chia = s chia th ng + s d (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví d 4: Tìm s d phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456  r  55.713 2) 987896854 cho 698521  r  188.160 1.1.2 Khi đ cho s l n h n 10 ch s : Ph ng pháp: Tìm s d c a A chia cho B ( A s có nhi u h n 10 ch s ) - C t thành nhóm , nhóm đ u có chín ch s (k t bên trái) Tìm s d ph n đ u chia cho B 11 ThuVienDeThi.com - Vi t liên ti p sau s d ph n l i (t i đa đ ch s ) r i tìm s d l n hai N u n a tính liên ti p nh v y Ví d 5: Tìm s d c a phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm s d c a phép chia 234567890 cho 4567: c k t qu s d : 2203 Tìm ti p s d c a phép chia 22031234 cho 4567 K t qu s d cu i 26 1.1.3 Dùng ki n th c v đ ng d đ tìm s d Ví d 6: Tìm s d c a phép chia 126 cho 19 Gi i: 12  144  11(mod19)   12  122  113  1(mod19) V y s d c a phép chia 126 cho 19 Ví d 7: Tìm s d c a phép chia 2004 376 cho 1975 Gi i: Bi t 376 = 62 + Khi ta có: 20042  841(mod1975); 2004  8412  231(mod1975) 200412  2313  416(mod1975); 2004 48  416  536(mod1975) V y 200460  416.536  1776(mod1975) 200462  1776.841  516(mod1975) 200462.3  5133  1171(mod1975) 200462.6  11712  591(mod1975) 200462.6  591.231  246(mod1975) K t qu : S d c a phép chia 2004376 cho 1975 246 Rõ ràng cách làm c n nhi u k n ng b m máy d sai sót, n u khơng c n th n 1.2 S d ng máy tính c m tay Vinacal 570 MS New + N u s ch s c a a, b n m vùng máy tính có th ki m sốt đ c: Ta ch c n n mode l n, n máy hi n lên Mod (nh p ti p a,b), n = ta có s d c a phép chia a cho b Vi c làm v a đ n gi n, v a có đ xác cao Ví d 8: Tìm s d c a phép chia 5069874568999 cho 69874557 Gi i n mode l n, n máy hi n lên Mod (nh p ti p 5069874568999, 69874557), n = ta có s d c a phép chia 5069874568999: 69874557 56211307 12 ThuVienDeThi.com + N u s ch s c a a, b khơng n m vùng máy tính có th ki m soát đ c: Ta th c hi n trình t nh ví d dùng máy tính hi u Vinacal 570 MS New đ tìm s d t ng ph n m t (k t qu tìm s d s nhanh h n nhi u, n u khơng dùng máy Vinacal 570 MS New , ta ph i s d ng phép chia đ tìm s d t ng ph n m t, v a t n nhi u th i gian, v a có th d n đ n sai sót, n u ta không c n th n) M t s t p đ ngh : Bài t p 9: Tìm s d c a phép chia: a) 983637955 cho 9604325 b) 903566896235 cho 37869 c) 1234567890987654321 : 123456 Bài t p 10: Tìm s d c a phép chia : a) 138 cho 27 b) 2514 cho 65 c) 197838 cho 3878 d) 20059 cho 2007 e) 715 cho 2001 Các tốn tìm USLN; BSN 2.1 N u s d ng máy tính c m tay fx 500MS, fx 500plus, fx 570MS, fx 570 ES Ta b m phím đ rút g n phân s A a thành phân s t i gi n Khi UCLN (A;B) = B b A:a BCNN (A:B) = A.b N u tìm UCNN BCNN c a s A,B,C ta tìm UCNN, BCNN c a s A, B Sau UCNN(A;B;C) = UCLN(UCLN(A;B);C) BCNN(BCNN(A;B);C) Ví d 9: Tìm UCLN BCNN c a 2419580247 3802197531 HD: Ghi vào hình : 2419580247 n =, hình hi n 3802197531 11 UCLN: 2419580247 : = 345654321 BCNN: 2419580247 11 = 2.661538272 1010 (tràn hình) Cách tính đúng: a tr lên dòng bi u th c xố s đ ch cịn 419580247 11 K t qu : BCNN: 4615382717 + 2.109 11 = 26615382717 Ví d 10: Tìm UCLN c a 40096920 ; 9474372 51135438 Gi i: n 9474372  40096920 = ta đ c : 6987 29570 13 ThuVienDeThi.com UCLN c a 9474372 40096920 9474372 : 6987 = 1356 Ta bi t UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c) Do ch c n tìm UCLN(1356 ; 51135438) Th c hi n nh ta tìm đ c: UCLN c a 40096920 ; 9474372 51135438 : 678 2.2 N u s d ng máy tính Vinacal 570MS – New + N u s ch s c a s n m vùng máy tính có th ki m sốt đ Máy tính c m tay Vinacal 570MS New cài s n ch c: ng trình tìm UCLN; BCNN Vì v y ch c n b m máy cho k t qu s hi n máy tính Vi c làm h t s c d dàng có đ xác cao Ví d 11: Tìm UCLN BCNN c a s 36125, 5525, 72675 Ta ch c n n mode l n, n máy hi n GCD (nh p ti p 36125, 5525, 72675 ) b m ta đ c k t qu UCLN (36125, 5525, 72675) = 425 T ta đ ng t n mode l n, n máy hi n LCM (nh p ti p 36125, 5525, 72675 ) b m = c k t qu BCNN (36125, 5525, 72675 ) = 80305875 + N u s ch s c a s v Ta ph i s d ng ph t qua vùng máy tính có th ki m sốt đ c: ng pháp gi i thi u ví d Ghi chú: Máy tính c m tay Vinacal 570 MS cịn thu n ti n vi c gi i h ph ng trình b c nh t n, tính đ nh th c c p 4… ng i đ c có th tham kh o thêm M t s t p đ ngh Bài 11: Cho s 1939938; 68102034; 510510 a) Hãy tìm UCLN c a 1939938; 68102034 b) Hãy tìm BCNN c a 68102034; 510510 c) G i B BCNN c a 1939938 68102034 Tính giá tr c a B2 IV/ CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN CĨ NHI U H NG GI I QUY T Trong vi t ch gi i thi u m t chuyên đ toán thu c d ng đa th c, t ng i đ c có th n m v ng cách gi i quy t v n d ng sáng t o vào d ng toán khác Các toán v a th c: Các toán a th c th ng g p k thi máy tính c m tay tìm h s a,b,c,d,e,f, c a đa th c b c n m t n s bi t tr th c m t s u ki n cho tr ng đ gi i toán này, ta d a vào u ki n cho tr c đ l p h n ph c Thông ng trình 14 ThuVienDeThi.com b c nh t v i n n a,b,c,d,e,f đ gi i Vì v y tốn v đa th c chúng tơi gi i thi u h u h t nh ng toán s đ a v vi c gi i h n ph Tr ng trình b c nh t v i n n c vào k thu t đ gi i d ng toán chuyên đ này, xin gi i thi u: M t s ki n th c c n nh v đa th c: nh lý Bezout S d phép chia f(x) cho nh th c x – a f(a) H qu : N u a nghi m c a f(x) f(x) chia h t cho x – a S đ Horn Ta có th dùng s đ Hor n đ tìm k t qu c a phép chia đa th c f(x) cho nh th c x – a Ví d : Th c hi n phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – b ng cách dùng s đ Hor n B c 1: t h s c a đa th c b chia theo th t vào c t c a dòng -5 -4 a= B th c 2: Trong c t đ tr ng dòng d i, ba c t đ u cho ta h s c a đa th c ng, c t cu i cho ta s d - S th nh t c a dòng d i=s t - K t c t th hai, m i s dòng li n tr ng ng dòng d iđ c r i c ng v i s c t dòng c xác đ nh b ng cách l y a nhân v i s dòng -5 -4 a= -3 V y (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + * N u đa th c b chia a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa th c chia x – a, ta đ c th ng b0x2 + b1x + b2 d r Theo s đ Horn ta có: a0 a b0 Sau m t s ph a0 ng pháp gi i a1 b1 ab0 + a1 1.1 N u n = 2, máy tính c ng có ch a2 b2 a3 r ab1 + a2 ab2 + a3 ng trình gi i: ta ch c n nh p d li u xác, máy s cho k t qu Ví d 12 (đ thi Qu c gia THCS n m 2006) 15 ThuVienDeThi.com Cho đa th c P(x) = x3+ax2+bx+c Tìm a,b,c bi t P(1,2) = 1994,728; P(2,5)= 2060,625; P(3,7)= 2173,635 Gi i Ta có: P(1,2) = 1994,728 = (1,2)3 + a.(1,2) 2+ b.(1,2) + c (1) P(2,5) = 2060,625 = (2,5)3 + a(2,5)2 + b((2,5) + c (2) P(3,7) = 2173,635 = (3,7)3 + a(3,7)2 + b(3,7) + c (3) T (1), (2), (3) ta chuy n v đ đ a v d ng h ph ng trình b c nh t v i n a,b,c Sau vào mode l n, b m (EQN), b m đ vào ch ng trình gi i h ph ng trình b c nh t n; nh p s li u, máy s cho k t qu a,b, c áp s : a= 10; b=3; c=1975 M t s t p đ ngh 1 89 ; f    =  ; f   = Bài 12: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Bi t : f   = 3 108  2 5 500 2 3 Tính giá tr g n c a f   Bài 13: Xác đ nh h s a, b, c c a đa th c: P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 đ cho P(x) chia cho (x – 13) có s d 1, chia cho (x – 3) có s d là 2, chia cho (x – 14) có s d (K t qu l y v i hai ch s hàng th p phân) 2.2 N u n=4: ta nên s d ng máy tính c m tay Vinacal 570MS New đ gi i (vì máy cài s n ch ng trình gi i) Ví d 12: ( đ thi Qu c gia THCS n m 2005) Cho đa th c P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+ 132005 Bi t P(1) = 8; P(2) = 11; P(3) = 14; P(4) = 17 Tính P(11); P(12); P(13); P(14); P(15) Gi i Tr c ch a có ph n m m cài ch ng trình gi i h ph ng trình b c nh t n c a máy tính Vinacal 570 MS New, có nhi u cách gi i cho toán (nh ng ph ng pháp s đ c trình bày ph n 3.3 v i tr nh ng có ph n m m này, ta ch c n vào ch ng h p n =5,6,7 tr đi), ng trình nh p xác d li u vào máy tính, máy s cho k t qu Do ta s gi i toán nh sau: Ta có: P(1) = = 15+a.14+b.13+c.12+d.1+132005 (1) 16 ThuVienDeThi.com P(2) = 11 = 25+a.2 4+b.2 3+c.22+d.2+132005 (2) P(3) = 14 = 35+a.3 4+b.3 3+c.32+d.3+132005 (3) P(4) = 17 = 45+a.44+b.43+c.42+d.4+132005 (4) T (1), (2), (3), (4) ta chuy n v đ đ a v d ng h ph ng trình b c nh t v i n a, b, c, d Sau vào mode l n, b m (EQN), b m đ vào ch ng trình gi i h ph ng trình b c nh t n; nh p s li u, máy s cho k t qu Sau có h s a, b, c, d; ta nh p P(x) v i h s b ng s c th n phím calc, máy h i x; nh p 11, sau n phím = ta có k t qu : P(11)= 27775478 ng t : P(12)=43655081; P(13)= 65494484; P(14) = 94620287; T P(15) = 132492410 M t s t p đ ngh Bài 14: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Bi t Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính giá tr c a Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Bài 15: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) Bài 16: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Bi t P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài 17: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Bi t P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) Bài 18: (đ thi Qu c gia THCS n m 2007) Xác đ nh h s a, b, c, d tính giá tr c a đa th c: P(x)=x5+ax4-bx3+cx2+dx-2007 bi t: P(1,15)=66,16; P(1,25)= 85,22; P(1,35)=94,92; P(1,45)= 94,66 áp s : a=-93,5; b=-870; c=-2972,5; d=421 3.3 N u n=5,6,7 Khi chúng tơi xin gi i thi u m t s ph ng pháp gi i sau: Cách 1: Dùng k thu t tính tốn đ đ a h 5,6,7 ph h ph ph ng trình b c nh t 5,6,7 n v ng trình b c nh t n (đ i v i máy tính Vinacal 570MS New) ho c v h ng trình b c nh t n đ i v i máy tính khác Sau nh p máy đ gi i nh 3.1; 3.2 Ghi chú: Cách v m t ph h ph ng trình nhi u n sang h ph ng pháp khơng có khó hi u, nh ng chuy n t ng trình n h n, khơng ph i chuy n d dàng, r t 17 ThuVienDeThi.com m t th i gian d sai sót Nhi u HS th c hi n ph ng pháp khơng cịn đ th i gian đ làm toán khác kh c ph c nh ng h n ch c a cách 1, ta có th s d ng: Cách 2: Tìm đa th c ph R(x) đ xác đ nh nghi m c a đa th c Q(x)=P(x)-R(x) M t s ph Ph ng pháp tìm đa th c ph ng pháp 1: Suy đoán đ nh y bén, ng i h c có th tìm đ c đa th c ph c n tìm: D a vào tr c quan s c đa th c ph N u làm đ c u vi c gi i quy t tốn s tr nên nhanh chóng, d dàng Ví d 13: (đ thi HSG Qu c gia n m 2006) Cho P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+e Bi t P(1) = 11; P(2) = 14; P(3) = 19; P(4) = 26; P(5) = 35 Tính P(11); P(12); P(13); P(14); P(15); P(16) Tìm s d r c a phép chia P(x) cho 10x-3 Gi i: Ta có P(1) = 11 = 12 + 10; P(2) = 14 = 2 + 10 ; P(3) = 19 = 32 +10; P(4) = 26 = 42 +10; P(5) = 35 = 52 +10 V y đa th c ph R(x) = x2 +10 Xét đa th c Q(x) = P(x) – (x2 +10) D th y Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; nghi m c a đa th c Q(x) Vì h s c a x5 b ng nên Q(x) có d ng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) V y P(x) = Q(x) + (x2 +10) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + (x2 +10) Nh p P(x) vào máy dùng l nh calc (đ i v i máy fx 570 ES), máy h i x, nh p 11 n phím = ta có: P(11)= 30371; t ng t cho P(12)= 55594; P(13) = 95219; P(14) = 154646; P(15)= 240475; P(16)= 360626 S d c a P(x) chia cho 10x-3 P(3/10) Ph ng pháp 2: D a vào m t s k thu t bi n đ i đ tìm đa th c ph Gi i a/ S d ng công c gi i tích đ tìm đa th c ph 18 ThuVienDeThi.com Ta th y s : 11, 14, 19, 26, 35 cách l n l t 3, 5, 7, ây s h ng c a m t c p s c ng có cơng sai Vì v y s h ng 11, 14, 19, 26, 35 s h ng c a c p s c ng-c ng U1; U2; ; Un v i U2= U1+d1; U3=U2+d2; Un=Un-1+dn-1 V i d1, d 2, d n-1 m t c p s c ng có công sai d=2 S d ng , công th c tính s h ng Un t ng n s h ng đ u tiên c a c p s c ng ta có: dk=d 1+(k-1)d; Un= U1+d1+d 2+ +dn-1= U1+(n-1)d 1+ V y Un = U1+(n-1)d1+ ( n  1)(n  2)d ( n  1)(n  2)d V i d1=3 d=2 th vào công th c trên, ta có: Un= n 2+10 V y đa th c ph R(x) = x2+10 Khi đ t Q(x) = P(x) – (x2+10) (1) 1, 2, 3, 4, l n l t nghi m c a Q(x) Do ta có: Q(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) (2) T (1) (2) ta có: P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x2+10 n ta s ti p t c gi i toán nh ph ng pháp b/ S d ng cơng c hình h c đ tìm đa th c ph : V i P(1) = 11; P(2) = 14; P(3) = 19; P(4) = 26; P(5) = 35; ta bi u di n m (1;11); (2;14); (3;19); (4;26); (5;35) lên h tr c t a đ Oxy; v đ ng cong n i m B ng tr c quan, ta d đốn m có th n m đ th c a hàm s b c 2; t cho ta ý t ng tìm hàm s b c qua m nói làm u này, ta gi s hàm s Q(x) = P(x) - (ax2+bx+c) có nghi m 1,2,3 Khi ta có: Q(1) = P(1) –(a+b+c) =  a+b+c T ng t = 11 Q(2) = P(2) – (4a+2b+c)  4a+2b+c = 14 Q(3) = P(3) – (9a+3b+c)  9a+3b+c = 19 T h ph ng trình trên, s d ng máy tính ta gi i đ c a =1, b = 0; c =10 V y Q(x) = P(x) –(x2+10) có nghi m 1, 2, Th vào Q(x() ta th y Q(4)=Q(5)=0 nên Q(x) có nghi m 1,2,3,4,5 T ta đ a v cách gi i nh a/ Ghi chú: ch m i gi i thi u đa th c ph đa th c b c N u đa th c ph b c cao h n, ta c ng có th th c hi n m t ph ng pháp gi i thi u 19 ThuVienDeThi.com ... c sai l m s d ng máy tính c m tay đ gi i nh sau I/ CÁC D NG TOÁN CH C N S D NG MÁY TÍNH TỐN 1/ Các toán ch đ n thu n b m máy đ tính tốn: N u bi u th c c n tính dài nhi u phép tính, qua ki m tra,... i thi u đ y đ d ng toán mà ch gi i thi u m t s d ng toán th ng g p k thi gi i tốn máy tính c m tay th i gian g n có nhi u liên quan đ n k n ng s d ng lo i máy tính ho c s d ng nhi u thu t toán. .. 10 ThuVienDeThi.com máy đ i tr c Vì v y đ i v i nh ng HS thi HSG máy tính c m tay c n ph i bi t s d ng t n d ng u th c a t ng lo i máy tính tr Qua nghiên c u lo i máy tính th tr k thi, chúng tơi