Căn của iđêan và một số ứng dụng trong vành đa thức

MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Sự cần thiết đề tài Sơ lƣợc tình hình nghiên cứu ngồi nƣớc Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Tính đề tài Kết đạt đƣợc Cấu trúc đề tài LỜI CẢM ƠN CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.2 Vành đa thức 10 CHƢƠNG IĐÊAN CĂN TRONG VÀNH GIAO HOÁN 14 2.1 Khái niệm iđêan 14 2.2 Iđêan vành giao hoán 15 2.3 Sự bảo toàn iđêan 20 CHƢƠNG CĂN CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC 27 3.1 Tập lồi ¡ n 27 3.2 Cấu trúc iđêan đơn thức 31 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI MỞ ĐẦU Sự cần thiết đề tài Iđêan khái niệm quan trọng cấu trúc vành Trong chương trình Đại số Đại cương, sinh viên tiếp cận với số loại iđêan iđêan ngun tố, iđêan cực đại,… Ngồi loại iđêan nói trên, cịn có loại iđêan khác nhiều nhà Tốn học nghiên cứu, ví dụ iđêan Vì mục tiêu đề tài tập trung tìm hiểu tính chất iđêan mô tả cấu trúc iđêan iđêan đơn thức tổng quát vành đa thức n biến Do em chọn đề tài “Căn iđêan số ứng dụng vành đa thức” Sơ lƣợc tình hình nghiên cứu ngồi nƣớc Vành iđêan khái niệm đại số nói chung đại số giao hốn nói riêng Có thể nói khái niệm cổ điển đời lâu Iđêan khái niệm mở rộng số số thực số phức, có nhiều ứng dụng lý thuyết chiều tính bất biến vành Trong nước có nhóm GS Nguyễn Tự Cường, nhóm GS Lê Tuấn Hoa nhóm GS Ngô Việt Trung nghiên cứu theo hướng tổng quát hóa xét vành địa phương Các nhóm nghiên cứu khác giới quan tâm có kết sâu sắc vấn đề này, chẳng hạn hạn nhóm nghiên cứu GS Goto người Nhật, nhóm GS Vasconcelos người Mỹ, Mục tiêu nghiên cứu Khái quát số tính chất iđêan mô tả cấu trúc iđêan iđêan đơn thức vành đa thức n biến Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: iđêan vành giao hoán - Phạm vi: iđêan Nội dung nghiên cứu - Trình bày số tính chất iđêan tính tổng, giao, tích - Mô tả cấu trúc iđêan iđêan đơn thức tổng quát vành đa thức n biến Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp đọc nghiên cứu tài liệu vành vành đa thức, từ tổng hợp kết sở chứng minh kết toán nghiên cứu khóa luận Tính đề tài - Trình bày số tính chất iđêan - Tính iđêan đơn thức Kết đạt đƣợc Trình bày mối quan hệ iđêan n lần I bảo tồn iđêan qua số phép tốn tổng, giao, tích Mơ tả cụ thể cấu trúc số lớp iđêan đơn thức sau: a Nếu I iđêan đơn thức I  I    f1, f2 , f1 , , f n   f , , fn b Cho K  x1, , xn  vành đa thức n biến trường K Giả sử x , , x   x , , x  i1 in Khi đó, ta có: i  x1 , , x k    i  ik    x , , x  i1 ik n ii  x1 , , x k , u , , u    i t ik    x , , x , u , , u i1  ik t  đơn thức chứa biến thuộc tập xi , , xi t ¥ \ 0 k iii x 1 , , xnn , u1, , ut    x1, , xn  , t ¥ \ 0 u1, , ut đơn thức tùy ý K  x1, , xn  Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, đề tài chia làm chương:  Chương Kiến thức chuẩn bị  Chương Iđêan vành giao hoán  Chương Căn iđêan đơn thức LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô khoa KHTN, thầy cô tổ Đại số, bạn sinh viên tạo điều kiện cho em thực đề tài “Căn iđêan số ứng dụng vành đa thức” Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Lê Xuân Dũng, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình chuẩn bị hồn thành đề tài Trong q trình tìm hiểu trình bày em cịn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp, đánh giá quý báu, chân tình thầy để em hồn thiện đề tài Một lần em xin gửi lời cảm ơn kính chúc sức khỏe tới thầy cơ! Thanh Hóa, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Hoàng Thị Minh Nhàn CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức vành iđêan để thuận tiện cho việc trình bày kết Chương Chương 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành tập hợp R ≠  trang bị phép toán cộng “+”: phép toán nhân “.”: (a, b) a a.b thỏa mãn tính chất sau: i Phép cộng có tính chất sau:  Tính chất kết hợp, tức với a, b, c  R cho a  (b  c)  (a  b)  c  Có phần tử 0, tức với a  R cho  a  a   a  Có phần tử đối, tức a  R , tồn phần tử a’ R cho a  a  a  a  (a  a) ii Phép nhân có tính chất kết hợp, tức với a, b, c  R cho a.(b.c)  (a.b).c iii Phép nhân có tính chất phân phối phép cộng, tức với a, b, c ϵ R cho a.(b  c)  a.b  a.c (b  c).a  b.a  c.a Nếu phép nhân “.” có phần tử đơn vị (R, +, ) gọi vành có đơn vị Nếu phép nhân “.” có tính chất giao hốn (R, +, ) gọi vành giao hốn 1.1.2 Ví dụ i Tập số tự nhiên ( ¥ , +, ) vành ii Tập số nguyên ¢ , số thực ¡ , số phức £ với phép cộng phép nhân thông thường lập thành vành Hơn vành giao hốn có đơn vị iii Tập C  a, b hàm số thực liên tục đoạn  a, b , a < b, với phép cộng nhân hàm số vành giao hoán có đơn vị 1.1.3 Định nghĩa Cho A tập ổn định phép cộng phép nhân vành R Nếu A với phép tốn cảm sinh vành A gọi vành vành R 1.1.4 Ví dụ i Một vành có hai vành tầm thường ii ( ¢ , +, ) vành không tầm thường ( Ô , +, ); ( Ô , +, ) vành không tầm thường ( ¡ , +, ) ( ¡ , +, ) vành không tầm thường ( £ , +, ) iii Tập đa thức biến tập hàm số vành không tầm thường vành C  a, b iv Tập m ¢ số nguyên bội số nguyên m cho trước vành vành số nguyên ¢ 1.1.5 Mệnh đề Cho R vành Tập S vành R vành S thỏa mãn điều kiện sau: i S ≠  ii Nếu a, b  S a – b  S iii Nếu a, b  S ab  S 1.1.6 Ví dụ Cho R vành Đặt   a b   M   a , b , c  R     c   vành vành M  R  (tập ma trận cấp phần tử R với phép cộng phép nhân hai ma trận thơng thường) Chứng minh 0 0 Ta có    M nên M ≠  0   a  a a b  Với A1   1  , ta có A2  A1     c1  a a A2 A1    b1  b2   M c1  c2  a1b2  b1c2  M c1c2  Vậy M vành vành M  R  W 1.1.7 Định nghĩa Vành I vành R gọi iđêan trái (phải) xa  I ( ax  I ) với a  I , x  R Nếu I vừa iđêan trái vừa iđêan phải I gọi iđêan R 1.1.8 Ví dụ i Mọi vành R chứa iđêan tầm thường I = I = R ii Tập hàm liên tục  a, b triệt tiêu xo , a  xo  b, iđêan vành C  a, b 1.1.9 Mệnh đề Cho R vành Tập I ≠  R iđêan trái (phải) thỏa mãn hai điều kiện: i Với a, b  I, a – b  I ii Với a  I x  R, xa  I (ax  I ) 1.1.10 Ví dụ i m ¢ iđêan ¢ (m  ¢ cho trước)   0  a ; b  R ii M     không iđêan vành M  R     a b   Chứng minh i  m ¢    m ¢  Với a, b  m ¢ , x ¢ , tồn z1  ¢ cho a = m z1 tồn z2  ¢ cho b = m z2 Ta có a  b  mz1  mz2  m( z1  z2 )  m¢  Lấy a  m¢ x  m¢ Do a  m¢ nên tồn z1  ¢ để a  mz1 Ta có xa  xmz1 suy xa  m¢ ; ax  mz1 x suy ax  m¢ Vậy m¢ iđêan ¢ 1  0 0 ii Xét A    A, B   R R   M  R   1R 1R  1R 1R  1  Ta có BA =  R R   M 1R 1R  Vậy A không iđêan vành M  R  W 1.1.11 Định nghĩa Cho A tập vành R Giao họ tất iđêan R chứa A iđêan R chứa A Iđêan gọi iđêan sinh tập A (ký hiệu (A)) A gọi tập sinh tối tiểu (còn gọi là: hệ sinh tối tiểu, sở tối tiểu) I A tập sinh I không chứa thực tập sinh khác I Theo Mệnh đề 2.2.5a, ta có ta cần chứng minh Pi  Pi  i  nên để chứng minh mệnh đề  Pi   Pi i  i  Từ định nghĩa iđêan ta có  Pi   Pi Nên ta cần chứng minh i  i   Pi   Pi Lấy x  i  i   Pi , tồn n¥ cho x n   Pi Suy i  i  x n  Pi  i  Vì Pi iđêan nguyên tố nên x  Pi  i  hay x   Pi i  Vậy mệnh đề chứng minh W 26 CHƢƠNG CĂN CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Trong chương này, mô tả cấu trúc iđêan (căn iđêan) iđêan đơn thức tùy ý Đồng thời chúng tơi tính iđêan số lớp iđêan đơn thức khác tổng quát Để chứng minh kết chương này, chúng tơi cần sử dụng số kết tập lồi ¡ n 3.1 Tập lồi ¡ n 3.1.1 Định nghĩa (Xem [5, B.1]) i Cho tập X  ¡ n X ≠  gọi tập lồi với x, y  X tx  (1  t ) y  X với ≤ t ≤ ii Một tổ hợp lồi phần tử 1,  , ,  m   X biểu thức m m i 1 i 1  aii , ¡ , ≤ ≤   3.1.2 Bổ đề Cho X  ¡ n tập lồi 1,  , ,  m   X tổ hợp lồi m Khi a  X i 1 i i Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m:  Với m = 1, 2, suy từ định nghĩa tập lồi k  Giả sử mệnh đề đến k, nghĩa ta có  a   X ,  ¡ i 1 i i k   i 1  Ta cần chứng minh mệnh đề đến k + 1, tức chứng minh 27 k 1 k 1 i 1 i 1  aii  X ,  ¡   Ta có    a    a   a   a   a        i i i i k 1 k 1 i k  ak  1 k  k k  i 1 i 1 i 1     i 1 i 1  k 1 Lại có k a1 k a i 1   i k k a i 1  , nên theo giả thiết quy nạp ta có i x a1 k a i 1 Khi đó, 1   i ak k a i 1 k  X i  k  a    i i  i  x  ak  y Vì x, y  X , i 1 k 1 k a  a i 1 i k 1  nên theo Định nghĩa 2.1.1 ta có a1 k a i 1 1   i ak  k a i 1 k   X i Vậy ta có điều phải chứng minh W 3.1.3 Định nghĩa Bổ đề (Xem [5, Definition B.1.1]) Cho Y tập n hữu hạn ¡ Kí hiệu Conv Y  m    ai i i  Y ,  ¡ ,   1, i   a  1, m   i i 1  m Khi Conv(Y) tập lồi gọi bao lồi Y 28 Chứng minh Với x, y  Conv(Y), ta viết dạng: m x   ai i ,  i  Y ,  ¡ ,   i  1, i 1 y  u  b j  j ,  j Y , b j  ¡ ,  b j  1, j 1 m Ta có tx  (1  t ) y   tai i  i 1 m  ta i 1 i  u  (1  t )b j 1 j m  a  1, m  1, i 1 i u b j 1 j  1, u  u  (1  t )b  Mặt khác j j 1 j m u i 1 j 1  t   (1  t )  b j  t   t  Suy tx  (1  t ) y  Conv(Y) Vậy Conv(Y) tập lồi  Nếu Y  1, ,  m  , đơn giản ta kí hiệu Conv(Y ) = Conv( 1, ,  m ) 3.1.4 Mệnh đề Cho 1, ,  m dãy phần tử đôi phân biệt ¡ n Khi đó, tồn j  1, 2, , m cho  j  Conv 1, ,  j 1,  j 1, ,  m  0   m Nghĩa không tồn  ,   1, cho ta viết  i  j i 1  i j m  j   ai i i 1 i j Chứng minh 29 W Ta chứng minh quy nạp theo m:  Với m = 1, hiển nhiên  Với m = 2, hiển nhiên 1    Với m = 3, giả sử với  j biểu thị qua tổ hợp lồi phần tử 1  a1  (1  a1 ) (1)  lại, nghĩa ta có hệ   a21  (1  a2 ) (2)   a   (1  a ) (3) 3  Thay 1 (1) vào (2) ta   a2  a1  (1  a1 )3   (1  a2 )3  a1a22  a2 (1  a1 )3  (1  a2 )3  (1  a1a2 )2  (a2  a1a2   a2 )3    3 (vơ lý) Do ln tồn phần tử  j biểu thị qua tổ hợp lồi phần tử lại Giả sử đến m – 1, nghĩa với 1, , m  1 , họ có m – phần tử ln tồn t cho t Conv  1, , t 1, t  1, , m   Ta cần chứng minh đến m Thật giả sử  j  Conv 1, ,  j  1,  j  1, ,  m1   j  1, m ,  a jk ,  a jk    j  1, m nghĩa tồn  cho  k  1, m k  j  30  j   j 1   j     j  j 1   j  j 1    j  m j 1 j 1 m 1  a12  a133   a1m m (1)   a   a    a  (2) 21 23 2m m  M Suy ta có hệ   j  a j11   a jj 1 j 1  a jj 1 j 1   a jm m M   m  am11  am 2   amm1 m1 ( m ) ( j) Rút  j  phương trình ( j - 1) thay vào phương trình thứ ( j ) với  m    jk     23    m m  k   ≤ j ≤ m ta hệ M   j  m          k  j m1 mm 1 m 1  m   Hay  j  Conv  , ,  j  1,  j  1, ,  m  với  j  m Điều mâu thuẫn với giả thiết quy nạp Vậy mệnh đề chứng minh W 3.2 Cấu trúc iđêan đơn thức 3.2.1 Mệnh đề (Xem [5, Corollary 1.1.3]) Cho I iđêan vành đa thức n biến K  x  , điều kiện sau tương đương: i I iđêan đơn thức ii Với đa thức f  K  x  f  I từ f  I Chứng minh i  ii f  I suy từ f thuộc I Vì f  I nên tồn hi  K  x  A, i = 1, , , s cho 31  ab x Xem b f  s  hi xai  i 1 tổng hữu hạn từ khai triển vế phải đẳng thức ta thấy từ phải chia hết cho x a  i  Sau giản ước số từ cịn lại  ab xb Đồng hai vế từ  ab xb phải chia hết cho x a  i  Theo Bổ đề 1.2.3 từ f thuộc I Do đó, theo Bổ đề 1.2.4 f  I ii  i Với f  I từ f thuộc I , suy I iđêan đơn thức Giả sử I   f1, f2 , , ft  Gọi tập tất từ f Supp( f ), tức   ta có Supp  fi   I Do I    Supp( f )   f I    Mà  Supp( f ) tập đơn thức nên I iđêan đơn thức fI W 3.2.2 Bổ đề Cho đa thức n biến x1, , xn f  a1x1  a2 x   at x t Khi tồn i  1, 2, , t cho i  Conv 1, , i  1, i  1, , t  Chứng minh Ta có 1, , t ¡ n đơi khác nhau, nên theo Mệnh đề 3.1.4 ta có điều phải chứng minh W 32 3.2.3 Bổ đề Nếu I iđêan đơn thức √ iđêan đơn thức Chứng minh t Lấy f đa thức f  hi x  I Suy tồn k  ¥ cho i 1 f k  I Cần chứng minh x  , i  1, t I Ta chứng minh quy nạp theo t:  Với t = 1, mệnh đề hiển nhiên  Giả sử mệnh đề với đa thức có t – số hạng  Ta cần chứng minh mệnh đề với đa thức có t số hạng Thật vậy, khơng tính tổng quát giả sử khai triển f k ,  k1, , kt cho xai k  xa1k1 xa2k2  xat kt  i  1, t , k  k1  k2   kt   ki  k  Suy k  a1k1  a2k2     1ki    1ki     at kt   k  ki   a1k1     1ki    1ki    at kt   a1k1    1ki    1ki    at kt k  ki   a1 Mặt khác, ta có k1 k k kt     i    i   at k  ki k  ki k  ki k  ki k1 k k kt    i 1  i 1   Theo Định nghĩa k  ki k  ki k  ki k  ki 3.1.1 Bổ đề 3.1.3, ta có  Conv(a1 , a2 , ., at )  i  1, t Điều mâu thuẫn với Bổ đề 3.2.2 Do đó, tồn i  1, , t cho 33  Conv  a1, .,  1,  1, ., at   i  1, t hay x kai  I , suy x  I Khi đa thức g  f  hi x  I , mà g có k – số hạng nên theo giả thiết quy nạp ta có tất đơn thức lại f I Nên theo Mệnh đề 2.2.3, thuộc I iđêan đơn thức Ta có điều phải W chứng minh 3.2.4 Định nghĩa (Xem [5, Section 1.2.2]) Giả sử x  x1 x n Ký hiệu x  x1 xn đơn thức x 3.2.5 Định lí Cho I  f, f , f n  Khi 2, I  f1 , f , ,  fn Chứng minh  i f , , f1 , fn   fi  Ta cần chứng minh  x ik ik i Giả sử fi  x i Ta có   fi k ii I    f1 , f , , Lấy f  từ f thuộc u   f1 , fi k I fi  xi Khi Mfi hay  I  I Suy xi k fi    Chọn k  max i , , i k I  fn I mà I iđêan đơn thức nên theo Mệnh đề 2.2.3 từ I Do đó, ta cần chứng minh với đơn thức u  f , ,  fn 34 I    Thật vậy, giả sử u  xi1i1 xi2i2 xikik u  I Khi tồn k để Mà I iđêan đơn thức nên tồn j để u k Mf j Suy f j chứa biến thuộc tập  i1 , ., i k  Nên u M f j hay u  I  f1 ,  f1 , f , , f , , fn  f n Vậy  W Áp dụng kết Định lý 3.2.5 ta dễ dàng nhận lại kết sau: 3.2.6 Ví dụ i ( x, y)  ( x, y) ii ( x , y)  ( x, y) iii ( x3 , y)  ( x, y) iv ( x3 , y )  ( x, y) v ( x , y , xy)  ( x, y) vi ( x3 , y , xy)  ( x, y) Chứng minh Ta có x  x2  x3  x, y y  y, Áp dụng Định lý 3.2.5 ta nhận i, ii, iii, iv Ta có 35 xy  xy ( x3 , y , xy)  ( x , y , xy)  ( x, y, xy)  ( x, y) Từ ta nhận v, vi W Tổng quát hóa kết Hệ 3.2.6, ta cấu trúc của số lớp iđêan đơn thức sau: 3.2.7 Định lý Cho K  x1, , xn  vành đa thức n biến trường K Giả sử x , , x   x , , x  i1 in n Khi đó, ta có:   i  x , , x k   ik   i1 ii  x , , x  i1 ik  x , , x ,  x1 , , x k , u , , u    i t ik   i1  ik u1, , ut  đơn thức chứa biến thuộc tập xi , , xi t ¥ \ 0 k iii x 1 , , xnn , u1, , ut    x1, , xn  , t ¥ \ 0 u1, , ut đơn thức tùy ý K  x1, , xn  Chứng minh i Ta có j x ij  xi ,  j  1, k Áp dụng Định lý 3.2.5 ta điều phải j chứng minh ii Áp dụng Định lý 3.2.5 ta có  x1 , , x k , u , , u    i t ik   36  x , , x i1 ik , u1 , ,  ut   Vì u1, , ut chứa biến thuộc tập xi , , xi , nên  ui , i  1, t , k tồn i j mà j  1, , k, cho ui Mxi hay j  x , , x i1 ik ,  ut =  x1, , xn  u1 , , iii Áp dụng ii cho k = n, ta nhận kết iii W 3.2.8 Ví dụ Giả sử K  x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7  đa thức biến trường K Ta có :   I   x1, x2 , x3 , x4  i Nếu I  x1, x2 , x311, x43   ii Nếu I  x13 , x251, x3 , x43 , x58  I   x1, x2 , x3 , x4 , x5   iii Nếu I  x113 , x2 25 , x35 , x43 , x58 , x1x32 x4 x54 I   x1, x2 , x3 , x4 , x5    iv Nếu I  x112 , x27 , x33 , x49 , x58 , x1x32 x4 x54 , x2 x32 x42 x57 I   x1, x2 , x3 , x4 , x5    v Nếu I  x133 , x271, x3212 , x413 , x58 , x1x322 x4 x5 , x2 x35 x4 x53 I   x1, x2 , x3 , x4 , x5  vi Nếu  I  x132 , x233 , x344 , x422 , x5 , x611, x18 x29 , x1x325 x42 , x37 x47 , x1x35 x42 x6  I   x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6  vii Nếu I  ( x134 , x227 , x331, x47 , x512 , x68 , x795 , x18 x218 x58 x6 x7 , x4 x511, 37 x2 x34 x42 x58 x711, x17 x28 x39 x4 x58 x6 x7 , x17 x718 ) 38 I   x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7  KẾT LUẬN Đề tài “Căn iđêan số ứng dụng vành đa thức” trình bày kết sau: Giới thiệu khái niệm iđêan mối quan hệ iđêan n lần I bảo toàn iđêan qua số phép tốn tổng, giao, tích Mơ tả cụ thể cấu trúc số lớp iđêan đơn thức sau: a Nếu I iđêan đơn thức I   f1, f2 ,  I  , f n  f1 ,  f , , fn b Cho K  x1, , xn  vành đa thức n biến trường K Giả sử x , , x   x , , x  i1 in n Khi đó, ta có:   i  x , , x k   ik   i1  x , , x  i1 ik   ii  x , , x k , u1, , ut   ik  i1   x , , x , i1  ik u1, , ut  đơn thức chứa biến thuộc tập xi , , xi t ¥ \ 0 k iii x 1 , , xnn , u1, , ut    x1, , xn  , t ¥ \ 0 u1, , ut đơn thức tùy ý K  x1, , xn  39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Bùi Huy Hiền, Bài tập đại số đại cương – Nhà xuất Giáo dục, 1996  2 Lê Tuấn Hoa, Đại số máy tính – Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [3] Lê Quang Huy, Hoàng Thị Minh Nhàn, Giới thiệu iđêan iđêan đơn thức vành đa thức n biến, gửi đăng  4 Hồng Xn Sính, Đại số đại cương – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 1972 Tiếng Anh [5] J Herzog and T Hibi, Monomial ideals – Springer Press, 2011 40