Bất đẳng thức cauchy schwarz cho tích phân và ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân

Mð ƒuB§t flng thøc l mºt nºi dung l¥u íi v quan trång cıa To¡n håc.. B§t flng thøc cÆn câ nhi•u øngdöng trong c¡c mæn khoa håc kh¡c v trong thüc t‚.. Mºt trong nhœng b§t flng thøc cŒ i”n

L˝I CAM OANTæi xin cam oan nhœng g… vi‚t trong lu“n v«n l do sü t…m tÆi, håchäi cıa b£n th¥n v sü h÷îng d¤n t“n t…nh cıa thƒy TS D÷ìng Vi»tThæng Måi k‚t qu£ nghi¶n cøu công nh÷ þ t÷ðng cıa t¡c gi£ kh¡c n‚u

câ •u ÷æc tr‰ch d¤n cö th” • t i lu“n v«n n y cho ‚n nay ch÷a ÷æc b£ov» t⁄i b§t ký mºt hºi çng b£o v» lu“n v«n th⁄c s¾ n o v công ch÷a h• ÷æccæng bŁ tr¶n b§t ký mºt ph÷ìng ti»n n o Tæi xin chàu tr¡ch nhi»m v•nhœng líi cam oan tr¶n

B…nhành, ng y 3 th¡ng 8 n«m 2020

T¡c gi£ lu“n v«n

Trƒn Ngåc Tu§n

Mð ƒu

B§t flng thøc l mºt nºi dung l¥u íi v quan trång cıa To¡n håc B§t flngthøc l mºt l¾nh vüc khâ trong ch÷ìng tr…nh to¡n håc phŒ thæng.Ngay tł ƒu, sü ra íi v ph¡t tri”n cıa b§t flng thøc ¢ °t d§u §n quan trång,chóng câ søc hót m⁄nh m‡ Łi vîi nhœng ng÷íi y¶u to¡n, khæng ch¿

ðv· µp h…nh thøc m c£ nhœng b‰ 'n nâ mang ‚n luæn thæi thócng÷íi l m to¡n ph£i t…m tÆi, s¡ng t⁄o B§t flng thøc cÆn câ nhi•u øngdöng trong c¡c mæn khoa håc kh¡c v trong thüc t‚ D⁄ng to¡n v• b§t flngthøc nâi chung v b§t flng thøc t‰ch ph¥n th÷íng câ m°t trong c¡c k…thi tuy”n sinh ⁄i håc, c¡c ký thi Olympic to¡n QuŁc t‚, c¡c k… thi OlympicTo¡n Sinh vi¶n trong n÷îc v th‚ giîi

Câ r§t nhi•u ph÷ìng ph¡p chøng minh b§t flng thøc, mØi ph÷ìng ph¡pl⁄i câ nhœng v· µp v sü ºc ¡o ri¶ng Ngay c£ khi ¡p döng còng mºtph÷ìng ph¡p th… c¡i hay cıa b i to¡n l⁄i phö thuºc v o k¾ thu“t linh ho⁄tcıa tłng ng÷íi sß döng Do v“y, khâ câ th” nâi r‹ng mºt ph÷ìng ph¡pchøng minh b§t flng thøc n o â ¢ chi‚m và tr‰ quan trång trong Gi£i t

‰ch to¡n håc

Mºt trong nhœng b§t flng thøc cŒ i”n quan trång l b§t flng thøc Cauchy-Schwarz v c¡c øng döng cıa nâ B§t flng thøc Cauchy-

Schwarz tł khi ra íi ‚n nay ¢ luæn ÷æc c¡c nh to¡n håc lØi l⁄c nghi¶n cøu

v ph¡t tri”n Chóng ta ¢ g°p nhi•u sü k‚t hæp cıa b§t flng thøc Schwarz vîi c¡c b§t flng thøc kh¡c ho°c trong h…nh håc Trong lu“n v«n

n y, t¡c gi£ xin tr…nh b y mºt h÷îng ti‚p c“n cıa b§t flng thøc Schwarz: B§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n v øng dönggi£i to¡n B§t flng thøc t‰ch ph¥n

Trong khuæn khŒ cıa lu“n v«n n y, tæi ch¿ tr…nh b y mºt sŁ v§n •li¶n quan tîi b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n, ÷a ra mºt

sŁ øng döng, c¡ch chøng minh thæng qua nhœng b i t“p cö th”

Z b

V“y

Z

Khi â ta nâi f kh£ t‰ch tr¶n o⁄n [a; b].

N‚u f(x) > 0 vîi måi x 2 [a; b] th…

N‚u f(x) g(x) vîi måi x 2 [ab] th…

ành lþ 1 (Cæng thøc Newton-Leibniz) Cho h m sŁ f li¶n töc tr¶no⁄n [a; b] Gi£ sß F l

kh£ vi t⁄i måi x 2 [a; b] v F 0(x) = f(x):

X†t c¡c tr÷íng hæp cÆn l⁄i, d„ th§y tçn t⁄i ‰t nh§t mºt sŁ nhä hìn vmºt sŁ lîn hìn Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£i sß an > v an+1 < Khiâ

(an + an+1 ) anan+1 = (an )( an+1) > 0

Suy ra

hay

an0 > anan+1Hi”n nhi¶n ta câ > 0 N‚u câ ‰t nh§t mºt trong c¡c sŁ a1; a2; :::; an 1b‹ng khæng, d„ th§y b§t flng thøc cƒn chøng minh hi”n nhi¶n óng vd§u b‹ng khæng x£y ra

X†t c¡c tr÷íng hæp cÆn l⁄i k‚t hæp vîi (1.4) v (1.5) thu ÷æc

n +1> (a1:a2::::an 1)(an:an+1) = a1:a2:::::an:an+1:

Cho n¶n (1.6) óng.

a1flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi

B§t flng thøc Cauchy - Schwarz ÷æc chøng minh

1.5 B§t flng thøc Cauchy - Schwarz cho t‰ch ph¥n

flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi f = kg vîi sŁ thüc k 6= 0

Chøng minh Vîi t 2 R x†t b…nh ph÷ìng ta luæn câ

Trong möc n y n y chóng tæi tr…nh b y øng döng cıa b§t flng thøc

Cauchy-Schwarz trong vi»c gi£i mºt sŁ b i to¡n t‰ch ph¥n th÷íng dòng

trong c¡c k… thi tuy”n sinh ⁄i håc

B i to¡n 1 ([3]) Cho h m sŁ f câ ⁄o h m li¶n töc tr¶n o⁄n [a; b] tho£

Z 1

= 3 x2f(x)dx = 1:

0

M°t kh¡c ¡p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ta câ

K‚t hæp vîi gi£ thi‚t ta câ

M°t kh¡c ¡p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ta câ

5

0 1t2f0(t)dt =

Z

= 35:

M°t kh¡c ¡p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ta câ

Do â

Z0

B i to¡n 5 ([3]) Cho h m sŁ f câ ⁄o h m li¶n töc tr¶n o⁄n [0; 1] v

V“y d§u = trong b§t flng thøc ph£i x£y ra, tøc f(x) = k sin( x) Thay ng÷æc l⁄i ta câ

Z0

1

k sin( x)2dx =

Do â

h m d÷ìng v li¶n töc tr¶n [0; 1], tho£ m¢n

f(0) = 1; f(1) = e2: T‰nh gi¡ trà cıa f

17D§u = x£y ra khi v ch¿ khi f(x) = kx: Do â

Trong möc n y lu“n v«n tr…nh b y øng döng b§t flng thøc Schwarz cho t‰ch ph¥n ” gi£i quy‚t mºt sŁ b i to¡n trong c¡c • thi håc

Cauchy-20sinh giäi công nh÷ • thi Olympic to¡n Sinh vi¶n trong v ngo i n÷îc Qua

â chóng ta th§y ÷æc øng döng hay, tinh t‚ cıa vi»c ¡p döng b§t flng

thøc Cauchy-Schwarz trong gi£i to¡n b§t flng thøc t‰ch ph¥n

B i to¡n 1 (RMC 1997) Chøng minh r‹ng vîi måi h m sŁ li¶n töc

1

Cºng c¡c b§t flng thøc (2:3) v (2:4) ta ÷æc b§t flng thøc (2:2) D§u =

x£y ra khi d§u = ð c¡c b§t flng thøc (2:3) v (2:4) x£y ra, i•u n y câ

ngh¾a l g(x) = b v h(x) = ax, a; b l c¡c h‹ng sŁ, ngh¾a l f l h m tuy‚n t

‰nh

B i to¡n 2 (B i to¡n tŒng qu¡t)

Cho b > 0; m 6= 0;n 2 R Chøng minh r‹ng vîi måi h m sŁ li¶n töc

f : [ b; b] ! R ta câ b§t flng thøc

bZ

b b b

Zb

°t U = Z bb xf(x)dx; V = Z bb f2(x)dx; W = Z b

b f(x)dx 2c¡c b§t flng thøc tr¶n ta thu ÷æc

Chia hai v‚ b§t flng thøc tr¶n cho

3 U2 6 V + 2n(m + nb) W:

2b3m2

¥y công ch‰nh l b§t flng thøc cƒn chøng minh

B i to¡n 3 ([6]) Cho f : [0; 1] ! R l h m sŁ li¶n töc Chøng minh r‹ng

9

Chån a = 1; b = 3 ta câ y¶u cƒu b i to¡n

B

ito¡n4

(MathematicalReflections,No

1(2008))

B i to¡n 7 ([5]) Cho f : [0; 1] ! R l h m sŁ kh£ vi v li¶n

töc tr¶n [0; 1] Chøng minh r‹ng n‚u f(1) = f(0) = 0

câ ⁄o h m f0th…

Z1 Z1 2

(f0(x))dx 12 f(x)dx :

26Líi gi£i.

p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ta câ

Z

1

1 2

27L§y b 2 R, ¡p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ta câ

Ta câ

0

(x 1)f0(x)dx = (x

2 3

= 1

3f

3

Z 1(x

2 3

= 3

1

Tł c¡c b§t flng thøc (2:18) v

B i to¡n 11 ([2]) Cho f : [a; b] ! R l

Do â

D§u = x£y ra n‚u f0(x) =Suy ra f(x) = k: ln(x + p

f(1) = 1 n¶n f(x) =

z 2 2

h

Tł c¡c b§t flng thøc (2:27), (2:28) v (2:29) ta ÷æc b§t flng thøc cƒnchøng minh

B i to¡n 15 ([5]) Cho x(t) 2 C1[0; a] sao cho x(0) = 0 Khi â b§t flng

Hìn nœa d§u = x£y ra n‚u v ch¿ n‚u x(t) = c:t

Líi gi£i 1 (Mallow)

chøng minh D§u = x£y ra khi d§u = ð b§t flng thøc (2:32) x£y ra v khi

v ch¿ khi jx0(t)j = c; 8t 2 [0; a] vîi c l sŁ thüc d÷ìng n o â, khi â ta câ x(t)

trong â

A =

Z

V“y ta câ ¡nh gi¡

V… h m trong d§u t‰ch ph¥n l h m chfin n¶n ta câ

B i to¡n 16 ([2]) Cho h m sŁ f kh£ vi, li¶n töc ‚n c§p 2 tr¶n [ 1; 1] tho£ m

¢n f(0) = 0 Chøng minh r‹ng

Z 1[f00(x)]2dx > 10

Líi gi£i.

Tr÷îc ti¶n ta chøng tä Z

1Th“t v“y ta câ

Sß döng t‰ch ph¥n tłng phƒn ta câ

Z

x

Z0

Vi‚t l⁄i gi£ thi‚t th

Sß döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ta câ

2

Tł âZ

0

K‚t lu“n

Lu“n v«n ¢ ⁄t ÷æc mºt sŁ k‚t qu£ sau:

1 Lu“n v«n ¢ n¶u ra v chøng minh b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n

2 p döng b§t flng thøc Cauchy-Schwarz cho t‰ch ph¥n ” gi£i mºt

T i li»u tham kh£o

T i li»u Ti‚ng Vi»t

[1]Trƒn V«n H⁄o, Gi£i t‰ch 12, Nh xu§t b£n Gi¡o döc Vi»t Nam, n«m 2014

[2]K y‚u Olympic To¡n håc Sinh vi¶n c¡c n«m 2012-2019

[3]Vted.vn Khâa Pro xmax chinh phöc nhâm c¥u häi v“n döng cao

2020 mæn To¡n

T i li»u Ti‚ng Anh

[4]Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2001) Problems in MathematicalAnaly-sis II: Continuity and Differentiation, Student MathematicalLibrary, American Mathematical Society, Providence

[5]Kaczor, W.J., Nowak, M.T (2003) Problems in MathematicalAnaly-sis III: Integration, Student Mathematical Library, AmericanMath-ematical Society, Providence

[6] Rumanian Mathematical Competitions 1996-2008