Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức cauchy schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN I I LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH PHỔ BIẾN AM - GM Cauchy - Schwarz cặp bất đẳng thức phổ biến toán học sơ cấp Với đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức thường xuyên sử dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số khác, từ trung học sở đến trung học phổ thơng kì thi Ngồi mục đích nâng cao kỹ giải toán dựa phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm tổng hợp nhiều bất đẳng thức từ trước đến chứng minh cơng cụ Ta thấy góc nhìn bao qt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: kỹ đứng trước toán bất đẳng thức Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz cách phù hợp điều kiện đủ để chứng minh bất đẳng thức mong muốn tồn bất đẳng thức đơn giản Sáng kiến kinh nghiệm hệ thống số kỹ liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz TÍNH CẤP THIẾT Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức chun đề khó Trong q trình giảng dạy từ nguồn tài liệu tham khảo hệ thống số dạng tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận số kỹ để áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khn khổ đưa BĐT cần chứng minh dạng đơn giản BĐT ban đầu Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên thu số hiệu định giúp em “Bớt sợ” giải số toán chứng minh BĐT Từ tạo hứng khởi cho em vấn đề khám phá loại toán MỤC TIÊU Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Mục tiêu SKKN hệ thống số tập áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ dần định hình phương pháp tư vào chứng minh BĐT Với mục tiêu để tạo cho học sinh “lối mòn” số dạng nên khn khổ SKKN tơi khơng trình bày thêm cách chứng minh khác Vì tơi chọn SKKN Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức II GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz gọi bất đẳng thức Schwarz tên dài Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức Bunyakovxki tên dài nói đảo thứ tự bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên thường viết tắt bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ Tuy nhiên toàn sáng kiến kinh nghiệm ta thống với cách gọi bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ở mức độ phổ thông khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp biểu thức Nó phát biểu sau: Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy ý (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) (*) Đẳng thức xảy (ở đây, ta sử dụng quy ước mẫu tử 0) x Trong (*), chọn = yii, bi = yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn số thực y1, y2, …, yn số thực dương x1 y1 x2 + y2 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Đẳng thức xảy Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, chúng xem xét vấn đề để sử dụng hợp lý hiệu bất đẳng thức (*) (**) việc chứng minh bất đẳng thức khác kĩ thật III MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Trong mục này, đến với số chứng minh thú vị cho bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (*) SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI Nếu a12 + a22 + … + an2 = ta có a1 = a2 = … = an = bất đẳng thức hiển nhiên Do vậy, ta cần xét a12 + a22 + … + an2 > đủ Xét tam thức bậc hai 2 2 2 f(x) = (a1 + a2 + … + an )x - 2(a1b1 + a2b2 + … + anbn)x + (b1 + b2 + … + bn ) Ta dễ dàng thấy f(x) = (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + … + (anx - bn)2 từ suy f(x)  với x Điều có nghĩa biểu thức ’f phải số không dương, mà ’f = (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 - (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), nên ta có (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), Đẳng thức xảy a1x - b1 = a2x - b2 = … = anx - b, tức SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM i=n Rõ ràng ta cần xét bất đẳng thức trường hợp  i=1 đủ Lấy bậc hai hai vế bất đẳng thức cho, sau chia hai vế cho i = n   i = Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức  i= n  i =  Sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối kết hợp với bất đẳng thức AM - GM, ta có:  i=n i =1    i=n  ai2   a SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Với n = 1, bất đẳng thức ta trở thành đẳng thức Xét n = 2, ta có (a12 + a22)(b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 = (a2b1 - a1b2)  Giả sử bất đẳng thức n = k (k  2) Xét n = k + Áp dụng kết trường hợp n = với hai   a1 + a2 + … + ak  Ta có:      a1  + a2    (a1  + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại có (a12 + a22 + … + ak Suy (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  |a1b1 + a2b2 + … + akbk| Kết hợp đánh giá với đánh giá trên, ta Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức i=k+1    i=1  (a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak + 1bk + 1)2 Điều chứng tỏ bất đẳng thức ta cho n = k + Theo nguyên lý quy nạp, ta có với n  Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy ý (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) (*) Đẳng thức xảy (ở đây, ta sử dụng quy ước mẫu tử 0) x Trong (*), chọn = yii, bi = yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn số thực y1, y2, …, yn số thực dương x1 + y1 y2 Đẳng thức xảy Để sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa nhận xét (về điều kiện, dạng phát biểu tốn, …) nhận biết cần phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách giúp đơn giản hóa tốn hay khơng?” tìm cách trả lời câu hỏi Để hiểu rõ vấn đề, ta xét toán sau Bài Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b+c Phân tích Nhận thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy - Schwarz x2 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải toán Và nhận xét giúp giải tốn thành cơng, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có ∑ Đẳng thức xảy Bài Nếu a, b, c số thực dương Định hướng tìm tịi lời giải Nhận thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phân thức, điều gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng minh toán Nhưng muốn ta cần có xuất bình phương tử số, nhiên lại khơng có Ta thêm vào tử mẫu lượng a, b, c tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là: Đến yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu ∑ a( Và toán chứng minh xong ta có Đây lại kết quen thuộc Lưu ý (2.2) xảy đẳng thức Và (2.3) xảy đẳng thức a = b = c Giải hệ này, ta tìm a = b = c Vì bất đẳng thức cho xảy đẳng thức a = b = c Bài Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:  19 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có Do ta cần chứng minh ∑ab(b2 + bc + ca)  (a2 + b2 Hay Chia hai vế bất đẳng thức cho abc, ta Hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , Đẳng thức xảy a = b = c  Bài 19 Cho số thực dương x1, x2, …, xn thỏa mãn x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh bất đẳng thức x1 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có [x12 + (n - x1)][1 + (n - x1)]  [x1 + (n - x1)]2 = n2 (19.1) Từ suy x1 Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức tương tự, ta suy kết toán Đẳng thức xảy x1 = x2 = … = xn = Bài 20 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn  b+ Chứng minh 20 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức a + b + c  ab + bc + ca (20) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có Thực đánh giá tương tự cho hai biểu thức cịn lại, sau cộng ba bất đẳng thức lại với nhau, ta thu Từ ta suy  Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 21 Chứng minh với a, b, c dương, ta có Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cauchy - Schwarz , ta có (21.1) [a(b + c) + bc] Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ngy kết chứng minh Dễ thấy đẳng thức xảy a = b = c Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh  cần Bài 22 Lời giải a5 - a2 Do thành a5 + b2 + c2 a5 + Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 2 a+b +c (a2 + b2 + c2)2 (23.1) Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức tương tự, ta Theo ta cần chứng minh bất đẳng thức sau đủ Sử dụng giả thiết abc  kết hợp với bất đẳng thức ta có a  Bài tốn chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 24 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Nếu k  1, Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta [a +b    Từ suy a + b + c + (k - 1) Thực hiên đánh giá tương tự cho hai biểu thức cịn lại, sau cộng vế theo vế ba bất đẳng thức lại ta 22 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức ∑ 2  a +b +k = k+2 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 25 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có a a +b +c = + a + ca Suy ta cần chứng minh Hay ab + bc + ca  3, (25.3) Hiển nhiên theo kết quen thuộc ab + bc + ca   Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 26 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có Do ta cần chứng minh 23 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức (3a - b + c)2 + (3b - c + a)2 + (3c - a + b)2  9(a2 + b2 + c2) (26.2) Sau triển khai rút gọn, ta a2 + b2 + c2  ab + bc + ca , (26.3) kết quen thuộc Vì vậy, phép chứng minh ta hoàn tất  Đẳng thức xảy a = b = c Bài 27 Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh Lời giải Đặt a = x3, b = y3 c = z3 Ta phải chứng minh 1 + x3 + y6 Với x, y, z > xyz = + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có + x + y6 = Ta cần chứng minh ∑(z4 + x2yz + z2x2)  (x2 + y2 + z2)2, (27.3) Hay xyz(x + y + z)  x2y2 + y2z2 + z2x2 (27.4) Đây kết quen thuộc  Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: Ngồi ra, kết tổng qt cịn đúng: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Khi với k > 0, ta có Bài 28 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có Lời giải 24 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tính nhất, ta chuẩn hóa cho abc = Từ bất đẳng thức cần chứng minh viết thành a3 + b3 + (a (28.2) Cộng tương ứng bất đẳng thức với hai đánh giá tương tự, vế theo vế, ta suy kết cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c  25 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN III TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, tập 1, Nhà xuất Hà [2]Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri Thức, 2006 [3] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức lời giải hay, Nhà xuất Hà Nội 2009 [4] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, Nhà xuất Tri Thức, 2009 [5] Wikipedia, Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, [Online: http://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B#ng_th%E1% BB%A9c_Cauchy-Schwarz] 26 ...  Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC... + Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 2 a+b +c (a2 + b2 + c2)2 (23.1) Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức. .. a, b, c số thực dương Chứng minh Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có Do ta cần chứng minh 23 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức (3a