MỘT số kỹ NĂNG cơ bản tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT của dãy số TRONG bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 11 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 11- THPT Người thực hiện: Phạm Công Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC Mục lục 1.Mở đầu ……………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài …………………………………………………………… ………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………………………….……… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………….………………………….…… …… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………… …………………………………….…… …… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………… ……… … 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……….………… ………… …… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …… … 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………… … 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy ……………… …………… 2.3.2 Kỹ sử dụng dãy số phụ ……………………………………… ………… 2.3.3 Kỹ sử dụng Quy nạp ………………………………………………….… 2.3.4 Kỹ sử dụng phép lượng giác …………………… …………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………… … Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………………………….… 3.1 Kết luận ………………………………………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………………… Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên ………………………………………………………………………………………… Trang 2 2 2 3 14 16 19 20 20 20 21 21 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Ông cha ta đúc kết: “Hiền tài nguyên khí quốc gia” Bồi dưỡng học sinh giỏi bước để đào tạo nhân tài cho đất nước, nhiệm vụ quan trọng nhà trường Do năm nhà trường có đội ngũ thầy giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn nhà trường tiêu chí quan trọng công tác thi đua trường THPT địa bàn tỉnh Thanh Hóa Đối học sinh giỏi nói chung học sinh giỏi mơn tốn nói riêng cần người học sinh phải có tố chất, tư lơgic sáng tạo, có kỹ cần thiết để xử lý vấn đề toán học Hiện công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường quan tâm Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường, gặp khơng khó khăn, chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệ học sinh đạt giải mơn tốn cấp hai khơng có Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác có xuất tốn dãy số với tốn tìm số hạng tổng qt dãy số, khiến cho học sinh lúng túng, chưa có kỹ giải toán Mặt khác chuyên đề dãy số trình bày hạn chế sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinh tiếp cận vấn đề Mặt khác tài liệu tham khảo dãy số hạn chế, trọng mặt phương pháp, chưa rõ chất thật vấn đề, chưa trọng rèn luyện kỹ để tìm cơng thức tổng qt dãy số Do dẫn đến học sinh khơng nắm vũng kỹ đó, dẫn đến khơng giải tốn Xuất phát từ thực trạng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tìm cơng thức tổng qt dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 - THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Mục đích nghiên cứu đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, chất lượng học sinh giỏi Giúp em học sinh làm tốt tốn tìm số hạng tổng qt dãy số kỳ thi học sinh giỏi cấp, kỳ thi THPT quốc gia sau Góp phần làm cho em thấy hay, đẹp môn toán, tạo động lực giúp em học tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số tốn dãy số, từ trang bị cho em học sinh giỏi lớp 11 số kỹ giải tìm cơng thức tổng qt dãy số chương trình mơn toán bậc THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp điều tra tham dò khả làm tập học sinh - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin - Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để thực đề tài tác giả dựa sở lý thuyết sau : a) Phương pháp quy nạp toán học b) Cấp số cộng - Dãy số ( un ) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng - Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d n - Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng tổng Sn = u1 + u2 + + un = ( u1 + un ) c) Cấp số nhân - Dãy số ( un ) cấp số nhân ⇔ un+1 = un q với ∀n ∈ ¥ * , q số khơng đổi gọi công bội cấp số nhân - Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân un = u1.q n−1 - Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân với q ≠ tổng − qn Sn = u1 + u2 + + un = u1 1− q d) Các công thức lượng giác đẳng thức lượng giác 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn xã vùng đồi phía tây bắc có huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn trình độ dân trí thấp, chất lượng đầu vào thấp huyện, tỷ lệ học sinh giỏi Thực trạng năm học 2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 đề thi thử THPT quốc gia xuất số toán dãy số, khiến em học lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho cơng thức truy hồi, khơng thể tìm số hạng tổng quát được, trí máy tính cầm tay khó giải Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thấy phần mà em sợ nhất, mà lại xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa nói riêng kỳ thi học sinh giỏi cấp lớp 11 nói chung Hầu qua kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát dãy em bỏ trống, làm Những đòi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm biện pháp để giúp đỡ em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải dãy số, làm tròn trách nhiệm người thầy giáo Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 chuyên đề dãy số, tác giả tổng hợp kỹ để giải tốn tìm số hạng tổng quát dãy số 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy  u1 = u ( ) Ví dụ Cho dãy số n xác định  *  un+1 = un + n, ( ∀n ∈ ¥ ) Tìm số hạng tổng qt un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Ta thấy hệ số số hạng un un+1 nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu u1 un Lời giải Từ giả thiết un+1 = un + n với n ∈ ¥ * nên ta có u2 = u1 + u3 = u2 + un = un−1 + n − Cộng vế với vế ta n(n − 1) Vậy n(n − 1) un = u1 + (1 + + + + n − 1) = + un = + 2 Nhận xét Nhờ cộng dồn vế mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng  u1 = u Ví dụ Cho dãy số ( n ) xác định  n * u = u + + n + 1, ∀ n ∈ ¥ ( ) n + n   Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Ta thấy hệ số số hạng un un+1 nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu u1 un Lời giải Từ giả thiết un+1 = un + 3n + 4n + với n ∈ ¥ * nên ta có u2 = u1 + + 4.1 + u3 = u2 + 32 + 4.2 + un = u n−1 + 3n−1 + 4(n − 1) + Cộng vế với vế ta un = u1 + (3 + 32 + 33 + + 3n−1 ) + 4(1 + + + + n − 1) + n − = + (3 + 32 + 33 + + 3n−1 ) + 4(1 + + + + n − 1) + n − 3n−1 − n( n − 1) 3n − +4 + n −1 = + (n − 1)(2n + 1) −1 2 3n − Vậy un = + ( n − 1)(2n + 1) u1 = u ( ) Ví dụ Cho dãy số n xác định  n n * n n un+1 = un + 3.2 + 2.3 , ∀n ∈ ¥ Tìm u2018 [3] Định hướng Ta thấy hệ số số hạng un , un+1 vai trò chưa ta cần phải đưa vai trò bình đẳng un , un+1 nên ta mũ n =1+ ( ) dùng kỹ cộng dồn vế tốn giải Lời giải Ta có un+1 = n unn + 3.2n + 2.3n ⇔ unn+1 = unn + 3.2n + 2.3n u22 = u1 + 3.21 + 2.31 u33 = u22 + 3.22 + 2.32 unn = unn−−11 + 3.2n−1 + 2.3n−1 Suy ra: unn = u1 + 3.(21 + 22 + + 2n−1 ) + 2.(31 + 32 + + 3n−1 ) − 2n−1 − 3n −1 + 2.3 = 3.2n + 3n Vậy u2018 = 2018 3.22018 + 32018 1− 1− 2.3.2 Kỹ sử dụng dãy số phụ Lựa chọn dãy số phụ cho dãy cấp số cộng cấp số nhân Để thực điều tác giả trang bị cho học sinh số kỹ để xây dựng dãy số phụ sau : - Đồng hệ số - Nâng lên lũy thừa, chia vế…  u1 = Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  * u = u + 4, ∀ n ∈ ¥ ( ) n + n   Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Ta thấy hệ số số hạng un un+1 khác nên dùng kỹ cộng dồn vế khơng thể triệt tiêu số hạng dãy Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Vậy để thiết kế dãy số phụ ? Từ hệ thức truy hồi un+1 = 3un + ta cần tìm số a cho un+1 + a = 3(un + a ) Thật un+1 + a = 3(un + a ) ⇔ un +1 = 3un + 2a , đồng ta có 2a = ⇔ a = Vậy ta có un+1 + = 3(un + 2) nên cần đặt = un + , suy vn+1 = 3vn Ta có ( ) cấp số nhân Bài toán giải Lời giải Ta có un+1 = 3un + ⇔ un+1 + = 3(un + 2) (1) Đặt = un + (1) trở thành vn+1 = 3vn Nên ( ) cấp số nhân với công bội q = số hạng đầu v1 = Ta có số hạng tổng quát = 3.3n−1 = 3n Do un = − = 3n − Vậy un = 3n − với n ∈ ¥ * Nhận xét Nhờ thiết kế dãy số phụ mà toán giải nhanh chóng, cho lời giải đẹp Ta tổng quát hóa dãy số ( un ) xác định u1 = a (2.1)  un+1 = bun + c = + 3.2  u1 = Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  * u = u + n − 1, ∀ n ∈ ¥ ( ) n + n   Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số cộng Từ hệ thức truy hồi un+1 = un + 2n + ⇔ un +1 + a(n + 1)2 + b(n + 1) = un + an + bn Ta cần tìm số a, b cho un+1 + a(n + 1) + b(n + 1) = un + an + bn Thật un+1 + a (n + 1) + b(n + 1) = un + an + bn ⇔ un+1 = un − 2an − a − b −2a =  a = −1 ⇔ Đồng hệ số ta có  −a − b = −1 b = Ta có un+1 − (n + 1) + 2(n + 1) = un − n + 2n nên cần đặt = un − n + 2n , suy vn+1 = Ta có ( ) cấp số cộng Bài toán giải Lời giải Ta có un+1 = un + 2n + ⇔ un+1 − (n + 1) + 2(n + 1) = un − n + 2n (1) Đặt = un − n + 2n (1) trở thành vn+1 = Nên ( ) cấp số cộng với công sai d = số hạng đầu v1 = u1 − 12 + 2.1 = Ta có số hạng tổng quát = Do un = + n − 2n = n − 2n + Vậy un = n − 2n + với n ∈ ¥ * Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số ( un ) có dạng tổng quát u1 = a xác định  (2.2) un+1 = un + f (n) Trong f (n) đa thức bậc k theo n cách đặt = un − g (n) , với g ( n) đa thức bậc k + theo n có hệ số tự  u1 = u Ví dụ Cho dãy số ( n ) xác định  * Tìm số hạng u = u + n + 1, ∀ n ∈ ¥ ( ) n + n   tổng quát un [1] Định hướng Hệ số số hạng un un+1 khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi un+1 = 3un + 6n + Ta cần tìm số a, b cho un+1 + a(n + 1) + b = 3(un + an + b) Thật un+1 + a ( n + 1) + b = 3(un + an + b) ⇔ un+1 = un + 2an − a + 2b  2a = a = ⇔ Đồng hệ số ta có  −a + 2b = b = Ta có un+1 + 3(n + 1) + = 3(u n + 3n + 2) nên cần đặt = un + 3n + , suy vn+1 = 3vn Ta có ( ) cấp số nhân Bài toán giải Lời giải Ta có un+1 = 3un + 6n + ⇔ un+1 + 3(n + 1) + = 3(un + 3n + 2) (1) Đặt = un + 3n + (1) trở thành vn+1 = 3vn Nên ( ) cấp số nhân với công bội q = số hạng đầu v1 = + 3.1 + = Ta có số hạng tổng quát = 6.3n−1 = 2.3n Do un = − 3n − = 2.3n − 3n − Vậy un = 2.3n − 3n − với n ∈ ¥ * Nhận xét Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số ( un ) có dạng tổng quát u1 = a xác định  (2.3) Trong b ≠ f (n) đa thức bậc k un+1 = bun + f (n) theo n cách đặt = un − g (n) , với g (n) đa thức bậc k theo n  u1 = Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  n * u = u + , ∀ n ∈ ¥ ( ) n + n   Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Hệ số số hạng un un+1 khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi un+1 = 2un + 3n Ta cần tìm số a, b cho un+1 + a.3n+1 = 2(un + a.3n ) Thật un+1 + a.3n+1 = 2(un + a.3n ) ⇔ un+1 = 2un − a.3n Đồng hệ số ta có a = −1 Ta có un+1 − 3n+1 = 2(un − 3n ) nên cần đặt = un − 3n , suy vn+1 = 2vn Ta có ( ) cấp số nhân Bài tốn giải Lời giải Ta có un+1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n+1 = 2(un − 3n ) (1) Đặt = un − 3n (1) trở thành vn+1 = 2vn Nên ( ) cấp số nhân với công bội q = số hạng đầu v1 = u1 − = Ta có số hạng tổng quát = 5.2n−1 Do un = + 3n = 5.2n−1 + 3n Vậy un = 5.2n−1 + 3n với n ∈ ¥ * Nhận xét Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta giải nhanh tốn Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số ( un ) có dạng tổng quát u1 = a d ≠ b (2.4) xác định  n , với un+1 = bun + c.d  u1 = u ( ) Ví dụ Cho dãy số n xác định  Tìm số hạng n *  un+1 = 4un + 3.4 , ( ∀n ∈ ¥ ) 2n + 3n + u lim tổng quát n tính giới hạn [2] un Định hướng Đây đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019 Nếu làm ví dụ : Thật un+1 + a.4n+1 = 4(un + a.4n ) ⇔ un+1 = 4un ( vơ lý ) nên khơng tìm giá trị a Điều khiến học sinh lúng túng, theo nhận xét trường hợp d = b nên áp dụng cách làm giống ví dụ Sử u u dụng kỹ chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho 4n+1 ta nn++11 = nn + 4 u Ta có = nn , suy vn+1 = + Ta có ( ) cấp số cộng Bài 4 toán giải u u Lời giải Ta có un+1 = 4un + 3.4n ⇔ nn++11 = nn + (1) 4 3 Đặt vn+1 = + (1) trở thành vn+1 = + Nên ( ) cấp số cộng 4 u 1 3n − với công sai d = số hạng đầu v1 = = Ta có = + (n − 1) = 4 2 4 3n − n = 4n−1 (3n − 1) Vậy un = 4n−1 (3n − 1) với n ∈ ¥ * Do un = 4n.vn =   + + 2  2n + 3n + 2n + 3n + n n n ÷= = lim = lim  Ta có lim ÷ n −1 un (3n − 1)4 4n ÷  3− n      + n + n2 ÷ 4n 4n n < = < = = Vì lim  Ta có với n ≥ n n 2 ÷ (1 + 3) C 9( n − 1) n  3− ÷ n   4n = suy lim n = Mà lim 9(n − 1) 2n + 3n + n −1 * =0 Vậy un = (3n − 1) với n ∈ ¥ lim un Nhận xét Từ hệ thức truy hồi động tác chia hai vế 4n+1 ta đưa tốn khó tốn giải Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số ( un ) có dạng tổng quát xác định u1 = a n +1  n (2.5), cách chia cho b u = bu + c b n  n+1 u1 =  un Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  * u = , ∀ n ∈ ¥ ( ) n +  un +  Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây hệ thức truy hồi dạng phân số nên để đưa tốn ta chọn dãy số , un nghịch đảo Lời giải 1 Ta có = ⇔ un = un 1 u v v = n ⇔ = n = ⇔ vn+1 = 3vn + Khi un+1 = n ⇔ un + vn+1 + +1 + + 3vn vn 1 ⇔ vn+1 + = 3(vn + ) (1) 2 Đặt y n+1 = + (1) trở thành yn+1 = yn Nên ( yn ) cấp số nhân với 1 công bội q = số hạng đầu y1 = v1 + = + = u1 Ta có số hạng tổng quát yn = 3n−1 Do 1 2.3n−1 − n −1 u = = yn − = − = ⇒ un = Vậy với n ∈ ¥ * n 2.3n−1 − 2 2.3n−1 − Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số ( un ) có dạng tổng quát u1 = a  bun (2.6), cách đặt = xác định  un un+1 = cu + d n  u1 =  − 4un Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  * un+1 = − 6u , ( ∀n ∈ ¥ ) n  Tìm số hạng tổng quát un [3] Định hướng Để giải toán ta cần định hướng để học sinh đưa dãy số có dạng (2.6) Đặt un = + m thay vào hệ thức truy hồi ta − 4(vn + m) 6m − 5m + + (6m − 4)vn vn+1 + m = ⇔ vn+1 = − 6(vn + m) − 6(vn + m) Để đưa dạng (2.6) ta cần chọn m cho 6m − 5m + = , chẳng hạn chọn m = Bài toán giải tương tự Lời giải Đặt un = + m thay vào hệ thức truy hồi ta − 4(vn + m) 6m − 5m + + (6m − 4)vn vn+1 + m = ⇔ vn+1 = − 6(vn + m) − 6(vn + m) Ta chọn m = cho 6m − 5m + =  v1 =   Khi đặt un = + ta dãy số ( un ) xác định  vn+1 = , ( ∀n ∈ ¥ * ) + 6un   1 Ta có yn = ⇔ = yn yn 1 ⇔ = ⇔ = ⇔ yn+1 = yn + Khi vn+1 = + 6vn yn+1 + yn+1 yn + ⇔ yn+1 + = 2( yn + 6) (1) Đặt w n = yn + (1) trở thành w n+1 = 2w n Nên ( w n ) cấp số nhân 1 w1 = y1 + = + = +6=8 q = với công bội số hạng đầu v1 u1 − n −1 n+2 Ta có số hạng tổng quát w n = 8.2 = 1 n+2 ⇒ un = n+2 + Do yn = w n − = − ⇒ = n+ 2 −6 −6 1 + với n ∈ ¥ * Vậy un = n+2 −6 Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số ( un ) có dạng tổng quát u1 = a  b + cun (2.7) xác định  un+1 = d + eu n  Bằng cách đặt un = + m , chọn m đưa dạng (2.6)  u1 = 2; u2 = Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định sau  * u = u − u , ∀ n ∈ ¥ ( ) n +1 n   n+2 10 u  Tính lim  nn ÷ [2 ] 3  Định hướng Đây dãy số mà hệ thức truy hồi số hạng có hệ số khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Giả sử un+ + a.un +1 = b(un+1 + a.u n ) , đồng hệ số ta tìm a, b Bài toán đến giải Lời giải Giả sử un+ + a.un+1 = b(un+1 + a.un ) ⇔ un+ = (b − a )un+1 + abun b − a =  a = −3 a = −2 ⇔ Đồng hệ số ta có   ab = −6 b = b =  a = −2 Trường hợp Với  ta có b = un+2 − 2un+1 = 3(un+1 − 2un ), ∀n ≥ Suy dãy vn+1 = un+1 − 2un cấp số nhân có công bội q = ⇒ vn+1 = 3n−1 v2 = 3n−1 (5 − 2.2) = 3n−1 (1)  a = −3 Trường hợp Với  ta có b = un +2 − 3un+1 = 2(un+1 − 3un ), ∀n ≥ Suy dãy wn+1 = un+1 − 3un cấp số nhân có cơng bội q = ⇒ wn+1 = 2n−1 w2 = 2n−1 (5 − 3.2) = −2 n−1 (2) n −1  un+1 − 2un = ⇒ un = 3n−1 + 2n −1 Từ (1) (2) ta có hệ  n −1 un+1 − 3un = −2  1  n   3n−1 + 2n−1   un  = Suy lim  n ÷ = lim  ÷ = lim  +  ÷ ÷ ÷ 3n 3 3        Nhận xét Nhờ đồng hệ số mà ta giải tốt toán đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số ( un ) có dạng tổng quát xác định u1 = a ; u2 = b ( 2.8)  * un+ = cun +1 + dun (∀n ∈ ¥ ) Bằng cách đồng hệ số, chọn dãy số phụ u1 = 1, u2 = * un + = 4un +1 − 4un , ( ∀n ∈ ¥ ) Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định sau  Tìm số hạng tổng quát un [2] 11 Định hướng Đây dãy số mà hệ thức truy hồi số hạng có hệ số khác Do cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Giả sử un+ + a.un+1 = b(un+1 + a.un ) , đồng hệ số ta tìm a, b Bài toán đến giải Lời giải Giả sử un+ + a.un+1 = b(un +1 + a.un ) ⇔ un+ = (b − a )u n+1 + abu n b − a = a = −2 ⇔ Đồng hệ số ta có  ab = −  b = un+2 − 2un+1 = 2(un+1 − 2un ), ∀n ≥ Suy dãy vn+1 = un+1 − 2un cấp số nhân có cơng bội q = ⇒ vn+1 = 2n−1 v2 = 2n−1 (3 − 2.1) = 2n−1 Do un+1 = 2un + 2n−1 ⇔ (1) Nên ( yn ) cấp số cộng với u công sai d = số hạng đầu y1 = = 2 1 n +1 Ta có số hạng tổng quát yn = + (n − 1) = 4 n +1 n = 2n−2 (n + 1) Vậy un = 2n−2 (n + 1) với n ∈ ¥ * Do un = 2n yn = Đặt yn = un 2n un+1 un = + 2n+1 2n (1) trở thành yn+1 = yn + u1 = 16  Ví dụ 10 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  15(n.un + 1) ,(∀n ∈ ¥ * ) un +1 + 14 = n +1 Tìm số hạng tổng quát un [2] Định hướng Ta thấy có xuất un+1 tương ứng với n + un tương ứng với n nên tìm cách đưa chúng lại gần nhau, làm xuất dãy số phụ Lời giải Ta có: un +1 + 14 = (n + 1)un+1 = 15n.un − 14n + 15(n.un + 1) ⇔ (un+1 + 14)(n + 1) = 15(n.un + 1) n +1 (1) Đặt = nun ⇒ v1 = 16 (1) trở thành: vn+1 = 15vn − 14n + ⇔ vn+1 − ( n + 1) = 15 ( − n ) (2) Đặt w n = − n ⇒ w1 = 15 (2) trở thành: wn+1 = 15wn ⇒ ( w n ) cấp số nhân có w1 = 15, q = 15 ⇒ w n = 15n Từ ta có un = 15n + n n 12 ìï u1 = ï Ví dụ 11 Cho dãy số ( un ) xác định í ïï 9un+1 = un + + + 2un , ( " n ẻ Ơ * ) ợ Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số tính lim un [2] Định hướng Để dấu bậc hai công thức truy hồi ta đặt dãy số phụ ( xn ) với xn = + 2un Bài toán chuyển dạng giải Lời giải Đặt xn = + 2un , ∀n ∈ ¥ * ⇒ x1 = xn2 − 2 Thay vào giả thiết, ta được: xn2+1 − = xn2 − + + xn ⇔ ( 3xn +1 ) = ( xn + ) Ta có xn2 =1 + 2un , " n ẻ Ơ * hay un = * Suy ra: xn+1 = xn + " n ẻ Ơ ( Do xn ≥ , ∀n ∈ ¥ * ) Hay 3( xn+1 − 2) = xn − ∀n ∈ ¥ * Đặt yn = xn − , ∀n ∈ ¥ * Ta có: ( yn ) cấp số nhân với công bội q = ; y1 = 1 Từ yn = y1 n−1 = n−1 , ∀n ∈ ¥ * Suy ra: xn = + n−1 , ∀n ∈ ¥ * 3 1  * Do un =  + n1 + n ữ , n Ơ , lim un = 2 3  ìï ïï u1 = Ví dụ 12 Cho dãy số ( un ) xác định sau í ïï * ïỵ un+1un = un - 2un+1 ,( " n ẻ Ơ ) Tỡm s hng tổng quát un [2] Định hướng Từ công thức truy hồi thực phép chia vế cho un+1; un un+1un = un − 2un +1 ⇔ un+1 (2 + un ) = un ⇔ = + ( Do un > 0, ∀n ∈ ¥ * ) Đây un+1 un dạng dãy số = + ( Do Lời giải Ta có un+1un = un − 2un+1 ⇔ un+1 (2 + un ) = un ⇔ un +1 un 1 + = 2( + 1) un > 0, ∀n ∈ ¥ * ) ⇔ (1) un+1 un Đặt = + (1) trở thành vn+1 = 2vn Nên ( ) cấp số nhân với un 13 + = Ta có số hạng tổng quát u1 1 = = 6.2n−1 = 3.2n Do un = Vậy un = với n ∈ ¥ * n n − 3.2 − 3.2 − Nhận xét Chỉ cần động tác chia hai vế công thức truy hồi cho un+1 ta thiết kế dãy số phụ cách nhanh chóng 2.3.3 Kỹ sử dụng Quy nạp Tính vài số hạng đầu, phán đốn cơng thức tổng qt, chứng minh quy nạp u1 =  Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  u = − ,(∀n ∈ ¥ * ) n +  un  Tìm số hạng tổng quát un [1 ] Định hướng Việc thiết kế dãy số phụ để tạo thành dãy cấp số cộng hay cấp số nhân việc làm khó khăn Do ta cần chuyển hướng sang việc tính tốn vài số hạng đầu Chẳng hạn u1 = ; u2 = − = ; u3 = − = 3 2 Đến phát quy luật dãy số Bài toán giải n +1 Lời giải Ta có u1 = ; u2 = − = ; u3 = − = ;…… ……, un = 3 n 2 n +1 Ta chứng minh un = , ∀n ∈ ¥ * (1) n Với n = u1 = ( đúng) k +1 Giả sử (1) với n = k ≥ tức uk = k k +2 Ta cần chứng minh (1) với n = k + tức uk +1 = k +1 k k +2 n +1 = Thật uk +1 = − = − Vậy un = với n ∈ ¥ * uk k +1 k +1 n Nhận xét Nhờ sử dụng quy nạp mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng u1 = 11 u2019 [1 ] Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  * Tính un+1 = 10un + − 9n,(∀n ∈ ¥ ) Định hướng Bài tốn sử dụng dãy số phụ để giải,nhưng chứng ta tính vài số hạng đầu xem có điều xảy không? công bội q = số hạng đầu v1 = 14 Lời giải Cách ( Sử dụng quy nạp) Phân tích: u1 = 11 = 10 + u2 = 10u1 + − = 10.11 − = 102 = 102 + u3 = 10u2 + − 18 = 10.102 − 17 = 1003 = 103 + Ta dự doán un = 10n + n , ∀n ∈ ¥ * (1) Với n = u1 = 11 ( đúng) Giả sử (1) với n = k ≥ tức uk = 10k + k Ta cần chứng minh (1) với n = k + tức uk +1 = 10k +1 + k + Thật uk +1 = 10uk + − 9k = 10(10 k + k ) + − 9k = 10 k +1 + k + ( điều phải chứng minh ) Vậy un = 10n + n với n ∈ ¥ * Do u2019 = 102019 + 2019 Cách ( sử dụng dãy số phụ ) un+1 = 10un + − 9n ⇔ un+1 − (n + 1) = 10(un − n) (2) Đặt = un − n (2) trở thành vn+1 = 10vn Nên ( ) cấp số nhân với công bội q = 10 số hạng đầu v1 = u1 − = 10 Ta có số hạng tổng quát = 10.10n−1 = 10n Do un = + n = 10n + n Vậy un = 10n + n với n ∈ ¥ * Do u2019 = 102019 + 2019 un +1 = 10un + − 9n ⇔ un +1 − ( n + 1) = 10 ( un − n ) Nhận xét Cả hai cách làm điều có hay riêng nó, giáo viên cần trang bị cho em kỹ cần thiết này, phát triển tư linh hoạt sáng tạo u1 = 1, u2 = Tìm số * un + = 4un +1 − 4un , ( ∀n ∈ ¥ ) Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định sau  hạng tổng quát un [2 ] Định hướng Bài toán giải cách sử dụng dãy số phụ Tuy nhiên nghĩ đến sử dụng quy nạp Lời giải Ta có u1 = = (1 + 1).2 −1 ; u2 = = (2 + 1).20 u3 = 4u2 − 4u1 = 4.3 − 4.1 = = (3 + 1).21 u4 = 4u3 − 4u2 = 4.8 − 4.3 = 20 = (4 + 1).22 Ta dự doán un = (n + 1)2n−2 , ∀n ∈ ¥ * (1) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n = u1 = ( đúng) Giả sử (1) với n = k ≥ tức uk = (k + 1).2k −2 Ta cần chứng minh (1) với n = k + tức uk +1 = (k + 2).2k −1 15 Thật uk +1 = 4uk − 4uk −1 = 4(k + 1).2k −2 − 4k 2k −3 = (k + 1).2k − k 2k −1 = 2k −1 (2k + − k ) = 2k −1 (k + 2) Vậy un = (n + 1)2n−2 , ∀n ∈ ¥ * Nhận xét Ta thấy sử dụng quy nạp ngắn lại khó khăn cách phán đốn cơng thức tổng qt, chí khơng tìm ra.Còn sử dụng dãy số phụ dài thực cách trôi chảy 2.3.4 Kỹ sử dụng phép lượng giác Những dãy số có cơng thức truy hồi có dạng giống gần giống với cơng thức lượng giác ta liên tưởng đến kỹ sử dụng phép lượng giác để tìm số hạng tổng quát dãy số  u1 = Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  Tìm số hạng tổng u = 2u − 1,(∀n ∈ ¥ * ) n  n+1 quát un [1 ] Định hướng Từ cơng thức truy hồi ta thấy giống cơng thức nhân đôi hàm số côsin cos 2a = 2cos a − , ta liên hệ đến phép lượng giác Lời giải Từ giả thiết ta có 2π π π 2π π 2π − = cos = cos ; u3 = 2cos − = cos u1 = = cos ; u2 = 2cos 6 3 2n− π Ta dự đoán chứng minh quy nạp un = cos , n∈¥* (1) π Với n = u1 = cos ( đúng) 2k −2 π n = k ≥ Giả sử (1) với tức uk = cos 2k −1π Ta cần chứng minh (1) với n = k + tức uk +1 = cos 2k −2 π 2k −1π 2n−2 π − = cos Thật uk +1 = 2uk2 − = 2cos Vậy un = cos ,n∈¥* 3 Nhận xét Nhờ phép lượng giác mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Bài tốn khơng dùng phép lượng giác khó khăn, chí khơng giải  u1 = Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  Tìm số hạng u = 3u − 4u ,(∀n ∈ ¥ * ) n n  n+1 tổng quát un [1 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy giống cơng thức nhân ba hàm số sin sin 3a = 3sin a − 4sin a , ta liên hệ đến phép lượng giác 16 π 3π π 3π = sin ; = sin ; u2 = 3sin − 4sin 4 4 3π 32 π 3n−1π 3π ….Ta dự đốn un = sin , n∈¥* (1) u3 = 3sin − 4sin = sin 4 4 Sử dụng quy nạp chứng minh π Với n = u1 = sin ( đúng) 3k −1π Giả sử (1) với n = k ≥ tức uk = sin 3k π n = k + Ta cần chứng minh (1) với tức uk +1 = sin k −1 3k −1π π 3k π 33 Thật uk +1 = 3uk − 4uk = 3sin − 4sin = sin 4 3n−1π Vậy un = sin , n∈¥*  u1 =  Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  Tìm số − − un2  un+1 = ,(∀n ∈ ¥ * )   Lời giải Ta có u1 = hạng tổng quát un [3 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy xuất biểu thức − un2 ta nghĩ đến cơng thức − sin α = cos a , ta liên hệ đến phép lượng giác π 2π π − − sin 2(1 − cos ) Lời giải u1 = = sin ; π 6 u2 = = = sin 2 2.6 π Ta dự đoán un = sin n−1 , n ∈ ¥ * π Chứng minh quy nạp ta un = sin n−1 , n ∈ ¥ * π π Hay un = sin n , n ∈ ¥ * Vậy un = sin n , n ∈ ¥ * 3  u1 = Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  Tìm số hạng tổng * u = + u ,( ∀ n ∈ ¥ )  n  n+1 quát un [1 ] Định hướng 17 π công thức truy hồi đặt = 2cos a + un = + 2cos a = 2cos Bài toán đến giải Xuất phát từ u1 = = un = 2cos a π π = 2cos = 2cos 2 π π π u2 = + 2cos = 2(1 + cos ) = 2cos 2 π Ta dự đoán un = 2cos n+1 , n ∈ ¥ * π Chứng minh quy nạp ta un = 2cos n+1 , n ∈ ¥ * π Vậy un = 2cos n+1 , n ∈ ¥ * Nhận xét Nhờ sử dụng lượng giác mà ta giải tốt toán, cho lời giải ngắn gọn súc tích u1 =  Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định  un + − * u = ,( ∀ n ∈ ¥ )  n+1 + (1 − 2)un  Tính u2003 [4 ] Định hướng Nhìn vào công thức truy hồi ta thấy giống công thức cộng tang tan a + tan b π tan(a + b) = ta có − = tan Bài toán đến xuất − tan a.tan b hướng giải π un + tan π Lời giải Ta có tan = − nên un+1 = π − tan un π π tan + tan π = tan( π + π ) u1 = = tan ; u2 = π π − tan tan π π Ta dự đoán un = tan  + ( n 1) ữ, n Ơ * π Bằng quy nạp ta chứng minh un = tan  + ( n − 1) ÷, n ∈ ¥ * 8 3 Lời giải Ta có u1 = = 18  π 2002π  π π  * Vậy u2003 = tan  + ÷ = tan  + ÷ = −( + 2) , n ∈ ¥  3 3 4 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đối với hoạt động giảng dạy thân đồng nghiệp Đề tài thân áp dụng thành công lớp 11C1, đặc biệt học sinh giỏi tham gia đội tuyển môn tốn 2017-2018 2018-2019, đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế Đề tài giáo viên tổ toán- tin, giáo viên ôn đội tuyển học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao dãy số áp dụng giảng dạy lớp phụ trách đem lại kết tương đối khách quan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp thân đồng nghiệp trao dồi kiến thức kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn để tiến Từ ngày nâng cao chất lượng giáo dục giảng dạy nhà trường, góp phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục toàn ngành b) Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao cơng tác dạy học học sinh giỏi học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho em kỹ để tìm số hạng tổng quát dãy số Các em khơng sợ tốn dãy số, hình thành cho em niềm đam mê học tập, chủ động tiếp thu hình thành hướng tư giải tốn dãy số nói riêng tốn học nói chung Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu kết hoàn toàn khả quan Kết kiểm tra đội tuyển toán lớp 11C1 năm học 2018-2019 +Chưa áp dụng đề tài Số học sinh Số học sinh làm câu dãy Tỉ lệ Lần kiểm tra số 01 14.3% 02 28.6% 01 16.7% +Áp dụng đề tài Số học sinh Số học sinh làm câu dãy Tỉ lệ Lần kiểm tra số 04 57.1% 05 71.4% 04 80 % 05 100 % Đề thi HSG 05 100 % thức 19 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận : Đề tài tổng hợp tổng hợp kỹ để tìm cơng thức tổng quát dãy số, đưa cách giải dạng dãy tổng qt thơng qua ví dụ phong phú đa dạng, định hướng, phân tích so sánh cách giải Đề tài áp dụng rộng rãi cho học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia Đề tài nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị : i) Đối với Sở giáo dục : Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai sáng kiến có chất lượng tồn tỉnh đến trường THPT để học hỏi rút kinh nghiệm trình giảng dạy ii) Đối với nhà trường : Cần tăng cường cơng tác sinh hoạt Tổ nhóm chun môn để trao đổi chuyên môn, xây dựng chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng lực toán cho em học sinh Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu xót để hoàn thiện tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2019 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Phạm Công Dũng 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] : Tác giả sáng tác [2] : Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa trường THPT tỉnh Thanh Hóa [3] : Nguồn mạng internet [4] : Đề thi 30-4 lớp 11 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Công Dũng Chức vụ đơn vị cơng tác: Chủ tịch Cơng đồn, Tổ trưởng chun môn Trường THPT Hậu Lộc Kết Cấp đánh giá đánh giá Năm học xếp loại TT Tên đề tài SKKN xếp loại đánh giá (Phòng, Sở, (A, B, xếp loại Tỉnh ) C) Lượng giác hóa số tốn phương trình, bất đẳng thức Cấp Sở C 2006-2007 tích phân Một số phương pháp điển hình tìm tâm bán kính mặt cầu Cấp Sở C 2008-2009 ngoại tiếp hình chóp- Hình học 12 Nâng cao hiệu giải hệ phương trình đại số thông qua số kỹ Cấp Sở C 2011-2012 Nâng cao hiệu giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hình học 11 Cấp Sở B 2013-2014 nâng cao thông qua số kỹ Hướng dẫn học sinh yếu giải số toán trắc nghiệm khách Cấp Sở C 2016-2017 quan giải tích lớp 12 - THPT 21 ... có Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác có xuất toán dãy số với toán tìm số hạng tổng quát dãy số, khiến cho học sinh lúng túng, chưa có kỹ giải tốn Mặt khác chuyên đề dãy. .. luyện kỹ để tìm cơng thức tổng qt dãy số Do dẫn đến học sinh khơng nắm vũng kỹ đó, dẫn đến khơng giải tốn Xuất phát từ thực trạng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tìm công thức tổng quát dãy. .. Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh giỏi học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho em kỹ để tìm số hạng tổng quát dãy số Các em khơng sợ tốn dãy số, hình