SKKN một số kỹ NĂNG cơ bản tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT của dãy số TRONG bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 11 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11- THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH

GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11- THPT

Người thực hiện: Phạm Công Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

M C L CỤC LỤC ỤC LỤC

Trang

1.Mở đầu ……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… ………… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……….……….…… …… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu ………… ……….…… …… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ……… ……… … 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……….………… ………… …… 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …… …. 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… … 3

2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy ……… ……… 3

2.3.2 Kỹ năng sử dụng dãy số phụ. ……… ………… 5

2.3.3 Kỹ năng sử dụng Quy nạp. ……….… 14

2.3.4 Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác. ……… ……… 16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……… … 19

3 Kết luận, kiến nghị ……….…. 20

3.1 Kết luận ……… 20

3.2 Kiến nghị ……… 20

Tài liệu tham khảo ……… 21

Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên ……… 21

1.1 Lý do chọn đề tài.

Ông cha ta đã đúc kết: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” Bồi dưỡng họcsinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước, là nhiệm vụ quantrọng của mỗi nhà trường Do đó hằng năm mỗi nhà trường đều có đội ngũ thầy

cô giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn củamỗi nhà trường là tiêu chí quan trọng trong công tác thi đua giữa các trườngTHPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa

Đối học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi môn toán nói riêng thì cầnngười học sinh phải có tố chất, tư duy lôgic và sáng tạo, có những kỹ năng cầnthiết để xử lý những vấn đề về toán học Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinhgiỏi cũng được nhà trường hết sức quan tâm Trong quá trình bồi dưỡng họcsinh giỏi tại trường, gặp không ít khó khăn, đó là chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệhọc sinh đạt giải môn toán ở cấp hai hầu như không có Trong kỳ thi học sinhgiỏi lớp 11 của tỉnh Thanh Hóa cũng như các tỉnh khác có sự xuất hiện của bàitoán dãy số với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khiến cho học sinhlúng túng, chưa có kỹ năng giải toán Mặt khác chuyên đề dãy số được trình bàyrất hạn chế trong sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinhkhi tiếp cận vấn đề Mặt khác tài liệu tham khảo về dãy số còn hạn chế, chỉ chútrọng về mặt phương pháp, chưa chỉ rõ bản chất thật sự của vấn đề, chưa chútrọng rèn luyện kỹ năng để tìm ra công thức tổng quát của dãy số Do đó dẫnđến học sinh không nắm vũng các kỹ năng đó, dẫn đến không giải quyết bài toán

được Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ

năng cơ bản tìm công thức tổng quát của dãy số trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 11 - THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu :

Mục đích nghiên cứu của đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, nhất làchất lượng học sinh giỏi Giúp các em học sinh có thể làm tốt bài toán tìm sốhạng tổng quát của dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kỳ thiTHPT quốc gia sau này Góp phần làm cho các em thấy cái hay, cái đẹp củamôn toán, tạo động lực giúp các em học tốt hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số bài toán về dãy số, từ đó trang bị cho các em họcsinh khá giỏi lớp 11 một số kỹ năng giải cơ bản khi tìm công thức tổng quát củadãy số trong chương trình môn toán bậc THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phương pháp điều tra tham dò khả năng làm bài tập của học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Thống kê, tổng hợp, phân tích các dạng toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Để thực hiện đề tài tác giả đã dựa trên những cơ sở lý thuyết cơ bản sau :

a) Phương pháp quy nạp toán học

b) Cấp số cộng

2

- Dãy số  u là cấp số cộng n  u n1 u n d với   n *, trong đó d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.

- Dãy số  u là cấp số nhân n  u n1 u q n với   n *, trong đó q là số khôngđổi gọi là công bội của cấp số nhân

- Nếu dãy số  u là cấp số nhân thì n 1

1 n n

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn 6 xã vùng đồi phía tây bắc cóhuyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp, chất lượngđầu vào thấp nhất huyện, tỷ lệ học sinh khá giỏi ít Thực trạng trong năm học2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 và trong đề thi thử THPT quốc giaxuất hiện một số bài toán về dãy số, khiến các em học lúng túng và không biếtphải xử lý như thế nào Nhất là những dãy số cho bởi công thức truy hồi, khôngthể tìm ra số hạng tổng quát được, những bài này thậm trí máy tính cầm tay cũngkhó giải quyết Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy đây là phần màcác em sợ nhất, mà nó lại xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi của tỉnh ThanhHóa nói riêng và các kỳ thi học sinh giỏi các cấp lớp 11 nói chung Hầu nhưqua các bài kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát của dãy thì các em bỏtrống, hoặc nếu làm được chỉ những bài hết sức cơ bản Những bài đòi hỏi tưduy và kỹ năng thì các em không xử lý được Do đó cần tìm ra những biện pháp

để giúp đỡ các em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải về dãy số, làm tròn trách nhiệmcủa mỗi người thầy cô giáo Giúp các em tự tin hơn trong giải toán, làm cho các

em đam mê học tập đạt hiệu quả cao

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 về chuyên đềdãy số, tác giả đã tổng hợp được 4 kỹ năng cơ bản để giải bài toán tìm số hạngtổng quát của dãy số

2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy

Ví dụ 1 Cho dãy số  u n xác định

1

* 1

Định hướng

Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường Ta thấy

hệ số của các số hạng của u n và u n1 đều bằng nhau nên ta liên tưởng đến việc

Ta thấy hệ số của các số hạng của u n và u n1 đều bằng nhau nên ta liên tưởng

đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu còn u1 và u n.

Lời giải Từ giả thiết 1 3n 4 1

Ta thấy hệ số của các số hạng của u n,u n1 bằng nhau nhưng vai trò chưa như

nhau do đó ta cần phải đưa về vai trò bình đẳng của u n,u n1 nên ta mũ n và

4

dùng kỹ năng cộng dồn vế thì bài toán được giải quyết.

Lựa chọn một dãy số phụ sao cho dãy đó là một cấp số cộng hoặc một cấp

số nhân Để thực hiện điều này tác giả đã trang bị cho học sinh một số kỹ năng

cơ bản để xây dựng một dãy số phụ như sau :

Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường Ta thấy

hệ số của các số hạng của u n và u n1 khác nhau nên dùng kỹ năng cộng dồn vế

thì không thể triệt tiêu các số hạng của dãy Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ

để đưa về một cấp số nhân Vậy làm sao để thiết kế một dãy số phụ ?

Từ hệ thức truy hồi u n1 3u n 4 ta cần tìm số a sao cho u n1a3(u n a).Thật vậy u n1a3(u na) u n13u n 2a, đồng nhất ta có 2a 4 a2 Vậy ta có u n1 2 3(u n 2) nên chỉ cần đặt v n u n 2, suy ra v n1 3v n Ta có

 v n là một cấp số nhân cơ bản Bài toán được giải quyết.

Lời giải Ta có u n13u n  4 u n1 2 3(u n 2) (1)Đặt v n u n 2 thì (1) trở thành v n13v n Nên  v n là một cấp số nhân với công

bội q 3 và số hạng đầu v 1 3 Ta có số hạng tổng quát 3.3n 1 3n

Nhận xét Nhờ thiết kế dãy số phụ mà bài toán được giải quyết nhanh chóng,

cho lời giải đẹp Ta có thể tổng quát hóa dãy số  u n xác định

Ví dụ 2 Cho dãy số  u n xác định

1

* 1

u  u  n  u   n  n u  n  n (1)Đặt v n u n  n2 2n thì (1) trở thành v n1 v n Nên  v n là một cấp số cộng với

công sai d 0 và số hạng đầu 2

Hệ số của các số hạng của u n và u n1 khác nhau Do đo cần lựa chọn một dãy số

phụ để đưa về một cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi u n1 3u n 6n1

Lời giải Ta có u n13u n 6n 1 u n13(n1) 2 3(  u n 3n2) (1)Đặt v n u n 3n2 thì (1) trở thành v n1 3v n Nên  v n là một cấp số nhân với

công bội q 3 và số hạng đầu v  1 1 3.1 2 6 

n n

v u  thì (1) trở thành v n1 2v n Nên  v n là một cấp số nhân với

công bội q 2 và số hạng đầu v1u1 3 5 Ta có số hạng tổng quát 5.2n 1

n



Nhận xét Bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên ta có thể giải quyết nhanh

bài toán Ta có thể tìm số hạng tổng quát u n của dãy số  u n có dạng tổng quát

 

[2]

Định hướng

Đây là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019

là trường hợp d b nên không thể áp dụng cách làm giống ví dụ 4 được Sử

dụng kỹ năng chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho 4n1 ta được 1

 



Nhận xét Từ hệ thức truy hồi chỉ bằng động tác chia hai vế 4n1 ta có thể đưa bài toán khó về bài toán cơ bản có thể giải quyết được Ta có thể tìm số hạng tổng quát u n của dãy số  u n có dạng tổng quát xác định

2

,3

n n

n v n  thì (1) trở thành y n1 3y n Nên  y n là một cấp số nhân với

công bội q 3 và số hạng đầu 1 1

Để giải bài toán này ta cần định hướng để học sinh đưa về dãy số có dạng (2.6).

Đặt u n v n m thay vào hệ thức truy hồi ta được

Lời giải Đặt u n v n m thay vào hệ thức truy hồi ta được

12

,

2 6

n n

với công bội q 2 và số hạng đầu 1 1

Nhận xét Nhờ đồng nhất hệ số mà ta có thể giải quyết tốt bài toán trong đề thi

học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 Ta có thể tìm số hạng tổng quát u n của dãy số  u n có dạng tổng quát xác định

Ta thấy có sự xuất hiện của u n1 tương ứng với n 1 và u n tương ứng với n nên

tìm cách đưa chúng lại gần nhau, làm xuất hiện dãy số phụ

(1) trở thành: v n115v n  14n 1 v n1 n1 15v n  n (2)Đặt wn v n  n w115

n u

n



12

Ví dụ 11 Cho dãy số  u xác định n

1

* 1

n n

x

u  Thay vào giả thiết, ta được: 2 2  2  2

công bội q 2 và số hạng đầu 1

1

1

1 6

v u

Nhận xét Chỉ cần động tác chia hai vế của công thức truy hồi cho u n1 ta có thể

thiết kế dãy số phụ một cách nhanh chóng

21

công bội q 10 và số hạng đầu v1u1 1 10

Nhận xét Cả hai cách làm điều có cái hay riêng của nó, giáo viên cần trang bị

cho các em những kỹ năng cần thiết này, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo

Ví dụ 3 Cho dãy số  u n xác định như sau

Nhận xét Ta thấy nếu sử dụng quy nạp ngắn hơn nhưng lại khó khăn trong cách

phán đoán công thức tổng quát, thậm chí không tìm ra.Còn sử dụng dãy số phụtuy dài hơn nhưng sẽ thực hiện một cách trôi chảy

2.3.4 Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác.

Những dãy số có công thức truy hồi có dạng giống hoặc gần giống với công

thức lượng giác thì ta liên tưởng đến kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác đểtìm ra số hạng tổng quát của dãy số

Ví dụ 1 Cho dãy số  u n xác định 1

1

32

cos2a2cos a 1, chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác

Lời giải Từ giả thiết ta có

n n



 , n  * (1)Với n 1thì 1 cos

k k

2cos3

k k

n n



 ,n *

Nhận xét Nhờ phép thế lượng giác mà ta đã xác định được số hạng tổng quát

của dãy số một cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Bài toán này nếu không dùng phép thế lượng giác thì rất khó khăn, thậm chí không giải được

Ví dụ 2 Cho dãy số  u n xác định 1

1

22

Lời giải Ta có 1 2 sin

u    ; 3

2

33sin 4sin sin

u       ;

2 3

4

n n

12

2 2 1

2

n n

2 6

u   , n * Hay sin

Định hướng

u   , n * Vậy 2cos 1

1 tan

8

n n

n

u u

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

a) Đối với hoạt động giảng dạy của bản thân và đồng nghiệp

Đề tài được bản thân áp dụng thành công ở lớp 11C1, đặc biệt là đối với họcsinh khá giỏi tham gia đội tuyển môn toán 2017-2018 và 2018-2019, được đồngnghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao trong công tác giảng dạy và bồidưỡng học sinh giỏi môn toán bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy đã gópphần nâng cao chất lượng giờ dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đápứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế

Đề tài đã được các giáo viên trong tổ toán- tin, nhất là các giáo viên ôn độituyển học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao về dãy số ápdụng giảng dạy ngay tại lớp mình phụ trách và đem lại kết quả tương đối kháchquan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp bản thân và đồng nghiệp có thểtrao dồi kiến thức và kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn nhau để cùng tiến bộ Từ

đó ngày càng nâng cao chất lượng giáo dục và giảng dạy của nhà trường, gópphần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục của toàn ngành

b) Đối với học sinh :

Đề tài có tính hiệu quả và thực tiễn cao trong công tác dạy học đối với họcsinh khá giỏi và học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho các em những kỹnăng cơ bản để tìm số hạng tổng quát của dãy số Các em bây giờ không còn sợcác bài toán về dãy số, hình thành cho các em niềm đam mê trong học tập, chủđộng tiếp thu bài và hình thành những hướng tư duy mới trong giải toán về dãy

số nói riêng và toán học nói chung Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu được kếtquả hoàn toàn khả quan

Kết quả kiểm tra đội tuyển toán lớp 11C1 năm học 2018-2019

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận :

Đề tài đã tổng hợp đã tổng hợp 4 kỹ năng cơ bản để tìm công thức tổng quátcủa dãy số, đưa ra cách giải các dạng dãy tổng quát thông qua các ví dụ phongphú và đa dạng, định hướng, phân tích và so sánh các cách giải Đề tài còn cóthể áp dụng rộng rãi cho học sinh khá giỏi ôn thi THPT quốc gia Đề tài có thểnghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh vàđồng nghiệp

3.2 Kiến nghị :

i) Đối với Sở giáo dục :

Kính mong Sở giáo dục và đào tạo tiếp tục chỉ đạo công tác nghiên cứu khoahọc, triển khai những sáng kiến có chất lượng trong toàn tỉnh đến các trườngTHPT để chúng tôi học hỏi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

ii) Đối với nhà trường :

C n t ng căng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về ường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi vềng công tác sinh ho t T nhóm chuyên môn ạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về ổ nhóm chuyên môn để trao đổi về để trao đổi về trao đổ nhóm chuyên môn để trao đổi về ềi vchuyên môn, xây d ng các chuy n ựng các chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng ến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng đề ồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng ưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng b i d ng h c sinh gi i ọc sinh giỏi để bồi dưỡng ỏi để bồi dưỡng để trao đổi về ồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng ưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng b i d ng

n ng l c toán cho các em h c sinh ăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về ựng các chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng ọc sinh giỏi để bồi dưỡng Đề ài chắc chắn không tránh khỏi những t i ch c ch n không tránh kh i nh ngắc chắn không tránh khỏi những ắc chắn không tránh khỏi những ỏi để bồi dưỡng ữngthi u xót v ến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng ài chắc chắn không tránh khỏi những để trao đổi về ho n thi n h n n a tác gi r t mong ài chắc chắn không tránh khỏi những ện hơn nữa tác giả rất mong được sự bổ sung và ơn nữa tác giả rất mong được sự bổ sung và ững ả rất mong được sự bổ sung và ất mong được sự bổ sung và được sự bổ sung vàc s b sung vựng các chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng ổ nhóm chuyên môn để trao đổi về ài chắc chắn không tránh khỏi nhữnggóp ý chân th nh c a các ài chắc chắn không tránh khỏi những ủa các đồng nghiệp./ đồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡngng nghi p./.ện hơn nữa tác giả rất mong được sự bổ sung và

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 5 năm 2019 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Tác giả

Phạm Công Dũng

TÀI LIỆU THAM KHẢO :

20