Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6 qua một số bài tập tính tổng dãy số

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Như Bác Hồ nói: “Vì lợi ích mười năm phải trồng cây, lợi ích trăm năm phải trồng người” Câu nói thật có ý nghĩa Mọi người biết bước sang thời đại cách mạng khoa học kỹ thuật phát triển không ngừng lĩnh vực đời sống, người ngày phụ thuộc chi phối lẫn nhau, nhu cầu hợp tác ngày gia tăng Cùng với phát triển đó, đất nước ta ngày đổi chuyển sang kinh tế thị trường, mở cửa, giao lưu hội nhập quốc gia khác giới Để đáp ứng nhu cầu phát triển đất nước, cần phải có nhiều nhân tài, nhà khoa học giỏi, giáo sư lĩnh vực khoa học đời sống Hơn nữa, chủ trương lớn Đảng nhà nước ta giáo dục thời kỳ đổi là: Nâng cao nguồn nhân lực bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Muốn làm việc thật không dễ, đòi hỏi nỗ lực sáng tạo mệt mỏi người làm công tác giáo dục nói chung toàn thể đội ngũ giáo viên nói riêng Nhằm tạo nguồn nhân tài tương lai cho đất nước từ em ngồi ghế nhà trường cần phải theo dõi, phát tiến hành bồi dưỡng em nhằm giúp em phát huy hết khả tư sáng tạo Vì vậy, việc đào tạo hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất lực để đáp ứng nhu cầu phát triển đất nước vấn đề cần thiết nhằm tạo động lực góp phần đưa đất nước phát triển nhanh Trong năm gần đây, số học sinh giỏi, học sinh đạt giải kỳ thi nước Quốc tế ngày tăng Bộ giáo dục Đào tạo tổ chức thi Quốc gia chọn học sinh giỏi có học sinh giỏi môn Toán Trong kỳ thi Ôlympic môn Toán nước ta đạt giải thưởng cao Để có học sinh giỏi Toán, nhân tài ngành Toán học việc phát bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học từ cấp THCS việc làm quan trọng cần thiết Chính nhiệm vụ phát bồi dưỡng em học sinh giỏi từ đầu cấp nhiệm vụ hàng đầu Muốn người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú học tập cho học sinh Phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt kiến thức đó, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước toán khó mà dần tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Một toán có nhiều cách giải, toán thường nằm dạng toán khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức cách sáng tạo 1 nhiều lĩnh vực, học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong chương trình Toán THCS nói chung phần Số học nói riêng có nhiều dạng toán hay Các dạng toán Số học chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Toán chia hết; phép chia có dư; số nguyên tố; số phương; luỹ thừa; dãy số viết theo quy luật … Bài tập tính tổng dãy số có chương trình số học Song gặp toán không khó khăn phức tạp, học sinh hay bế tắc, lúng túng thường vướng mắc không giải Khả tiếp thu học sinh trình học, làm dạng toán có khác nhau.Thông qua trình giảng dạy phần tập tính tổng dãy số giáo viên phát học sinh có tố chất Các em học sinh giỏi toán có tố chất nhanh nhạy tính toán, tư duy, suy luận logic… Khi phát học sinh công việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán xây dựng hệ thống kiến thức tập thực hành phù hợp để rèn luyện phát triển khả em Sau xin trình bày SKKN “Phát bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp Trường THCS Nga Mỹ qua số tập tính tổng dãy số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Công tác phát bồi dưỡng học sinh giỏi công tác khó khăn phức tạp Vì vậy, nghiên cứu đề tài với mục đích tìm giải pháp, hình thức phát bồi dưỡng học sinh giỏi toán nhằm đạt hiệu cao Đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy, trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên Làm tốt công tác kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác lòng say mê ý chí vươn lên học tập, tu dưỡng học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bồi dưỡng học sinh giỏi việc làm cần thiết tất khối lớp nhà trường THCS, nghiên cứu phạm vi hẹp Đó bàn số biện pháp, hình thức phát bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể học sinh giỏi khối qua số tập tính tổng dãy số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp dạy học tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh Phương pháp quan sát, gợi mở, vấn đáp, truyền đạt hình thành kiến thức Phương pháp luyện tập thực hành, kiểm tra phát để củng cố kiến thức Phương pháp dạy học nêu giải vấn đề, điều tra, thảo luận hình thành kỹ cho học sinh 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Chúng ta biết lứa tuổi học sinh bậc THCS, em chuyển từ bậc Tiểu học lên lớp đặc điểm tâm sinh lý điển hình thời kỳ chuyển giao từ trẻ sang người lớn, tạo cho em nhân cách đa dạng phong phú thể số điểm sau đây: Hứng thú em phát triển mức độ cao, hứng thú học tập xuất ngày đậm nét Đây việc thuận lợi việc giảng dạy môn Toán học Từ việc tò mò thích thú dẫn tới say mê môn khoảng cách xa em Bên cạnh ý thức tự lập khả tìm tòi sâu khám phá khoa học ưu điểm điển hình học sinh THCS Tuy nhiên việc sâu vào chất khái niệm, khả phân tích tổng hợp, so sánh em lúc bộc lộ rõ nét Cùng song song với ưu điểm em bộc lộ nhược điểm sau: có hứng thú say mê, có niềm khát khao khám phá chân lý, có lòng yêu khoa học song em rụt rè e ngại, hay nản chí, lòng tin gặp phải công việc khó khăn mà thân chưa thể giải Làm để khắc phục khó khăn Điều quan trọng giáo viên nên thực quán triệt nguyên tắc tôn trọng nhân cách học sinh nên tin tưởng vào em, mạnh dạn giao phó công việc để em ngày thêm vững vàng lớn khôn Đối với tập tính tổng, có phép tính đơn nhiều tập lại có quy luật riêng Có toán thiết lập trình lặp lặp lại với kết bất biến theo nghĩa Nhiệm vụ phải tìm bất biến trình Chúng ta gọi công việc tìm kiếm quy luật trình giải toán.Tìm kiếm quy luật đường hiệu để học sinh tiếp cận, giải toán.Vậy tìm kiếm quy luật nào? Việc làm đòi hỏi khả tư học sinh Quy luật lĩnh vực quan trọng toán học nhận biết điểm giống số đưa dự đoán.Tìm kiếm quy luật tổng vấn đề đòi hỏi lực tư chúng ta, quy luật áp dụng cho trường hợp Mỗi tổng có quy luật định Do học sinh cần phân tích mối quan hệ số hạng tổng toán để từ phân tích, nghiên cứu, tìm tòi nghiên cứu tìm lời giải tối ưu Đặc biệt kỹ trình bày lời giải, kỹ tính toán Để làm toán tính tổng đòi hỏi em cần có tư bao quát, dự đoán, quy nạp, đặc biệt khả phát vấn đề Thông qua dạng toán tính tổng dãy số để bồi dưỡng đồng thời phát nhân tài Từ mà tìm 3 học sinh giỏi có đầu óc tư tốt, có khả phát vấn đề cách nhanh nhạy 2.2.Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu Toán học môn khoa học tư Mặc dù kiến thức sách giáo khoa viết cô đọng , lại gây hứng thú học sinh đặc biệt tập tính toán làm tăng tính tò mò, ham hiểu biết em Nhiều toán em vận dụng kiến thức học học để giải thuận lợi to lớn Điều thuận lợi thứ hai xuất phát từ khả tìm tòi muốn khám phá khoa học, đặc điểm nhân cách điển hình em Với môn Toán học môn khoa học tự nhiên, với xác cao tri thức, tính hợp lý kiến thức, tính suy luận logic chặt chẽ, gây tính tò mò, hứng thú học tập em Điều thuận lợi thứ ba ứng dụng khoa học công nghệ thông tin ngày sử dụng rộng rãi phổ biến đời sống, lĩnh vực, vị trí môn Toán ngày đề cao Đây điều kiện thuận lợi để em thêm yêu thích môn Trong thực tế em học sinh lớp vừa giai đoạn chuyển từ cấp Tiểu học lên cấp học bỡ ngỡ Việc tiếp thu kiến thức phần số học đặc biệt tập tính tổng dãy số học sinh chưa tốt, học sinh tiếp thu kiến thức khó khăn học sinh thụ động , độ nhạy bén chưa cao, khó hiểu, dẫn đến hứng thú thấy sợ thiếu tự tin học phần Nguyên nhân dẫn đến vấn đề là: Nhiều dạng toán tính tổng học sinh lớp Nhiều tâp tổng dài phức tạp Một số tổng viết dạng cồng kềnh biến đổi chúng đa dạng nên học sinh thấy ngợp từ đầu Ví dụ: Tính tổng 1 1 (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 20) 20 A = 1+ phải sử dụng số phép biến đổi học sinh đưa dạng thường gặp      1 − ÷ 1 − ÷ 1 − ÷ Hoặc Tổng B =  +   + +   + + + + 2006  học sinh phải biết phát tương tự đưa dạng bản.Việc tiếp cận toán khó, dẫn đến việc áp dụng để làm tập khó Trong năm học trước số học sinh hiểu làm tập tính tổng dãy số trường dạy chiếm tỉ lệ thấp Năm học 2015-2016 khảo sát với 20 em học sinh khối lớp Trường THCS Nga Mỹ làm đề toán với tập tính tổng dãy số, để đánh giá khả thực em với dạng toán Đề kiểm tra : ( Thời gian 120 phút ) Tính tổng dãy số sau: Bài A = + + + + … + 100 4 200 Bài B = + + + + +  1  1  1  1  −  +  −  +  −  + +  −   7 Bài C =       2 2 Bài D = + + + + 20 2007 Bài E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 Bài G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 1 1 + + + + 3.5 5.7 7.9 97.99 Bài H = Bài I = − 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 27 56 42 30 20 12      1 − ÷  − ÷ 1 − ÷ Bài K=  +   + +   + + + + 2006  1 1 + + + + 98.99.100 Bài 10 M = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 Thang điểm Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 1đ 1đ 1đ Kết khảo sát Số lượng 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ Điểm 0- < Điểm - 7 SL SL SL % % 1đ % 20 17 85.0 15.0 0 Từ kết đánh giá làm em học sinh nhận thấy học sinh chưa hiểu bài, chưa có kỹ trình bày bài, có em lời giải dài dòng không xác ngộ nhận chưa hiểu đề bài, có em làm sai, có em không làm Qủa khó học sinh giáo viên biện pháp truyền thụ để học sinh có cách tiếp thu rõ ràng chắn kiến thức sở kiến thức Do việc truyền thụ kiến thức chưa đủ mà giáo viên phải giúp học sinh tìm tòi, phát kiến thức dựa hiểu biết 5 kiến thức vận dụng vào giải dạng tập Đặc biệt giáo viên phát khả tiềm ẩn học sinh để có biện pháp giảng dạy phù hợp Trên thực trạng việc giảng dạy môn Toán học việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp Theo có nhiều khó khăn xác định: ”Tất học sinh thân yêu” Học sinh phải hưởng thụ khoa học tiến xã hội thông qua đường học tập.Trước phát triển vũ bão thời đại khoa học kỹ thuật, giáo viên phải biết tranh thủ ủng hộ gia đình, nhà trường tăng cho em say mê, nhiệt tình hứng thú tìm tòi khoa học Toán học khó khăn định khắc phục 2.3 Các giải phápthực 2.3.1 Phát học sinh giỏi Toán Do đặc thù môn Toán học đòi hỏi em học sinh nói chung em học sinh giỏi Toán nói riêng, muốn học giỏi môn Toán, cụ thể môn Toán lớp cần phải có lực tiếp thu kiến thức tốt, có lực sáng tạo, có khả suy luận tốt, khả tư độc lập tình khó khăn Ngoài đòi hỏi em có niềm say mê môn ham học, ham hiểu biết, có sức khỏe, điều kiện thiếu Nhưng lúc em học sinh có đầy đủ phẩm chất lực có làm phát Để tìm học sinh giỏi Toán cần đưa em vào hoạt động, tình có vần đề.Trong người người có sở trường định đó, ngủ người Cũng mỏ vàng người ta không đào không tìm thấy Chính phương pháp dạy học nêu vấn đề, tình có vấn đề để kích thích, khêu gợi đòi hỏi người suy nghĩ, tìm tòi phát huy tư đến mức độ cao nhất, chí tiềm thức giải vấn đề đặt Chính nhờ tình có vấn đề người giáo viên đưa làm nảy sinh nhu cầu cần thiết phải học hỏi, phải suy nghĩ để giải tình cách khoa học, hợp lý Trên sở giúp người giáo viên phát em có khiếu môn, có lực tiếp thu tốt, có khả tư sáng tạo Vậy làm để phát học sinh có lực phẩm chất đó? Trước hết giáo viên nắm số biểu học sinh khiếu mặt nhận thức lực sáng tạo là: tò mò, ham hiểu biết, tự giác học tập, ham thích học toán giải tập toán Các em có trí nhớ tốt, hiểu nhanh tương đối đầy đủ chắn, vận dụng để giải tập, biết liên hệ toán kiến thức có trước Trong hoạt động giải toán em có xu hướng tìm tòi lời giải gọn hơn, hay hơn, khái quát Bên cạnh giáo viên phải thực tốt phương châm “ Thầy chủ đạo, trò chủ động ”, phát huy vai trò chủ thể học sinh.Các dạy lớp phải học tốt nghĩa trò học tôt, thầy dạy tốt Học sinh phải nắm kiến thức cách chắn 6 Ngoài ra, giáo viên có câu hỏi nâng cao hơn, đòi hỏi phát triển tư duy, trí tuệ suy luận tốt học sinh Ngoài tập sách giáo khoa, giáo viên cần cho thêm nột số tập nâng cao nhằm phát học sinh có khiếu môn, bồi dưỡng thành học sinh giỏi sau Thông qua số tập tính tổng dạng đơn giản để phát học sinh có khả tư phán đoán, sau nâng dần độ khó tập để xác định học sinh giỏi cách xác Những em học sinh hợp đủ phẩm chất tuyển chọn vào đội tuyển học sinh giỏi trường 2.3.2 Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp qua số tập tính tổng dãy số 2.3.2.1 Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Sau tìm em có khả học giỏi môn Toán, giáo viên cần động viên khuyến khích, quan tâm chăm sóc ân cần học sinh, tạo không khí thoải mái để em tự phát biểu Trước hết người thầy phải biết xuất phát điểm kiến thức em để có biện pháp giảng dạy phù hợp Để chuẩn bị nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên phải nắm chương trình Toán 6, thấy tính hệ thống, logic chương trình Đồng thời giáo viên phải nghiên cứu thêm sách hướng dẫn, sách tham khảo để nắm phương pháp giảng dạy phần dạng, nội dung cần đạt kiến thức mở rộng nâng cao Giáo viên cần đầu tư suy nghĩ soạn giáo án thật tốt, giáo án phải đầy đủ nội dung, tổng hợp tất kiển thức cần thiết.Tất tập phải từ dễ đến khó, theo dạng bài, phương pháp cụ thể theo dạng Trong học giáo viên tập cho học sinh thói quen dự đoán, mò mẫm, phân tích tổng hợp cách đặt câu hỏi gợi mở cho học sinh, dẫn dắt học sinh xây dựng bước bài, biết áp dụng lý thuyết vào toán Đứng trước toán, học sinh đọc hiểu nội dung yêu cầu từ nắm đặc điểm dạng toán phân tích mối quan hệ đại lượng Học sinh chưa biết thuật giải đưa dự đoán giải toán dựa vào kiến thức hay thuật giải toán biết Bên cạnh đó,việc hướng dẫn chấm cho học sinh phải thường xuyên Nên chấm tay đôi với học sinh để học sinh dễ tiếp thu Các em thấy điểm sai, điểm mà giáo viên biết rõ mặt mạnh mặt yếu học sinh bổ sung kịp thời cho em Ngoài việc chấm tay đôi với học sinh, giáo viên cần có kế hoạch kiểm tra định kỳ cho học sinh kiểm tra 120 phút, 150 phút Nội dung kiểm tra phải có đầy đủ kiến thức từ đến nâng cao nhằm phát học sinh có tư sáng tạo tốt Qua kiểm tra đánh giá tình hình học tập em giúp em cố gắng vươn lên Giáo viên hướng dẫn cho học sinh có thói quen tự đọc thêm sách hướng dẫn nhà để bổ sung nắm kiến thức 7 Thông qua tập bồi dưỡng cho em hiếu sâu kiến thức, phát triển tư sáng tạo, cách trình bày cẩn thận khoa học đồng thời phát em học sinh giỏi 2.3.2.2 Nội dung kiến thức bồi dưỡng học sinh giỏi Các toán tính tổng theo quy luật bước nâng cao dạng toán tính tổng số hạng dãy số có quy luât em học Tiểu học Bài tập tính tổng dãy số xuyên suốt trình toán Khi dạy tập việc cung cấp cho em số phương pháp tính tổng người giáo viên phải rèn luyên thêm cho học sinh kỹ phân tích, dự đoán, tính toán Việc cung cấp kiến thức cho học sinh không nên gò bó, ạt mà giúp học sinh nắm chất, thấy phải cần thiết vận dụng Sau dạng tập sử dụng phương pháp phù hợp 2.3.2.2.1 Bài tập sử dụng phương pháp :Dự đoán quy nạp Nhận xét: Bài tập sử dụng phương pháp giúp em nhận biết, dự đoán từ trường hợp riêng cụ thể để dẫn đến kết trường hợp tổng quát Rèn luyện kỹ nắm vững kiến thức bản, khả suy luận, tính logic chặt chẽ bài, biết vận dụng linh hoạt Quy nạp trình nhận thức quy luật chung cách quan sát so sánh trường hợp riêng Học sinh cần khám phá quy luật tổng quát khẳng định chứng minh chặt chẽ Giáo viên cần cung cấp phương pháp giải dạng toán cho học sinh Muốn tính hay chứng minh mệnh đề S k (k=1;2;3…) mà ta thấy mệnh đề với 1; 2; giá trị k ta dùng phương pháp quy nạp toán học để tính chứng minh mệnh đề Các bước giải toán sau: Bước 1: Thử vài giá trị xem tính đắn mệnh đề Bước 2: Giả sử mệnh đề với n=k Nghĩa Sk Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề với n=k+1, tức Sk+1 Bước 4: Kết luận toán Bài tập Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) n∈N* (1) Hướng dẫn học sinh Đây toán tính tổng số hạng,với học sinh bình thường nhận thấy tổng số lẻ liên tiếp Nhưng học sinh phát được, tìm mối quan hệ số hạng tổng thấy số hạng tổng biểu thị dạng sau: Nhận thấy : S1 = =12 S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Từ kết thu ta tìm quy luật với trường hợp riêng 1,2,3 : Tổng số hạng dãy bình phương số 8 hạng Kết vừa tìm ngẫu nhiên, từ nhận xét từ trường hợp riêng suy quy luât tổng quát dựa tương tự Dự đoán kết quả: Sn=n2 Chính nhờ quan sát, quy nạp mà ta có quy luật tổng quát trên.Và ta chứng minh điều vừa dự đoán Giải Với n=1 S1 = =12 (đúng) Với n=2 S2 = + =22 (đúng) Vơi n=2 S3 = 1+ 3+ = = 32 (đúng) Giả sử kết với n=k tức Sk=1+3+5+…+(2k-1)=k2 Ta phải chứng minh kết với n=k+1 Tức phải chứng minh Sk+1=(k+1)2 Thật Sk+1= 1+3+5+ +(2k-1)+(2(k+1)-1) = 1+3+5+ +(2k-1)+(2k+1) = k2+(2k+1) =(k+1)2 Suy dự đoán Vậy tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) =n2 Kết luận: Qua tập củng cố cho học sinh nắm vững bước làm toán theo phương pháp quy nạp khả suy tư toán học Với toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an Làm để biết kết ( ta dự đoán,hoặc toán chứng minh cho biết kết quả) Lúc ta sử dụng phương pháp dự đoán quy nạp Từ kiến thức vững vàng khả tư tốt người giáo viên đưa thêm tập mức độ tương tự học sinh quan sát, phát tìm quy luật số tổng, chứng minh số kết sau phương pháp quy nạp toán học n(n + 1) + 2+3 + + n = n( n + 1)( 2n + 1) 12 + 2 + + n =  n(n + 1)    13+23 + + n3 =   Qua phương pháp phát học sinh có khả tư phán đoán để giáo viên lựa chọn Khi học sinh nắm tập làm phương pháp quy nạp giáo viên đưa tập mức độ cao Trong số trường hợp tính tổng dãy số, ta thông qua số phép tính vài số hạng ta dự đoán kết Phương pháp dễ dàng thực phép tính tổng, nhiên việc vân dụng phương pháp giải số toán dạng tính tổng dãy số Lí số toán việc tìm giả thiết quy nạp gặp nhiều khó khăn 9 Với kết vừa quy nạp em áp dụng để tính số tổng thông qua phương pháp 2.3.2.2.2 Bài tập sử dụng phương pháp tính tổng thông qua tổng biết Nhận xét: Đây dạng toán phát triển lực trí tuệ thao tác tư khả phân tích, so sánh, tổng hợp, trìu tượng hóa, khái quát hóa Do đòi hỏi học sinh có lực tiếp thu tốt, có khả suy luận để tìm lời giải Đây loại toán khó, không đòi hỏi em có đầy đủ kiến thức toán mà đòi hỏi em khả tư sáng tạo kỹ giải toán em làm Việc tính tổng biểu thức thông thường ( hữu hạn số hạng) ta áp dụng thứ tự quy tắc phép toán giải toán Trong số trường hợp tính tổng dãy số trường hợp khác học sinh cần tư thực Đối với số toán ta gặp tổng dãy số cần tính biểu diễn qua tổng hữu hạn tổng khác mà ta biết ta biến đổi tổng cần tính làm xuất tổng mà ta biết kết Việc làm tính tổng phức tạp thông qua tổng biết Bài tập Tính tổng sau Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) với n∈N* Hướng dẫn học sinh Học sinh biết tính tổng quen thuộc S 1= 1+ 2+3+4+…+n S2= 12+22+32+42+… +n2 Hãy quan sát tổng Sn=1.2+2.3+3.4+… +n.(n+1) tìm mối quan hệ số hạng tổng S1= 1+ 2+ 3+ 4+… +n b S2= 12+ b b b b 22+ 32 + 42+… b b b b +n2 b Sn=1.2+ 2.3+ 3.4+… +n.(n+1) Đây tổng dãy số tự nhiên hạng tử tích hai tự nhiên liên tiếp Quy luật tổng thừa số hạng tử đơn vị hay cách đơn vị Đây toán phải thực phép biết đổi để đưa tổng biết,vì học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả tư lập luận lôgic khoa học giải Học sinh tìm cách tách tổng cho thành tổng biết Ta thấy 1.2=1.(1+1)=1+12 2.3=2.(1+2)=2+22 ………………… n.(n+1)= n+n2 Như xuất hai tổng tính 10 10 n(n + 1) + 2+3 + + n = n( n + 1)( 2n + 1) 12 + 2 + + n = Giải Ta có Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1) =1(1+1)+2(1+2)+3(1+3)+…+n(n+1) =(1+2+3+…+n)+( 12+22+32+…+n2 ) n( n + 1)( 2n + 1) n( n + 1) + n.( n + 1)( n + ) = = Bài tập 3: Tính tổng sau Sn=13+33+53+…+(2n+1)3 Giải Ta cã : Sn = 13+ +33 +53 + + (2n +1 )3 S n = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )  n(n + 1)    Ta sử dụng tổng tính 13+23 + + n3 =   (2n + 1) (2n + 2) 8n (n + 1) − 4 Sn = =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) Kết luận: Để tính tổng ta thông qua việc lập hiệu tổng trung gian Qua dạng tập tìm em học sinh có kỹ tư duy, biến đổi hợp lý Giáo viên tiến hành bồi dưỡng để học sinh có quan sát tinh tế nhanh chóng phát mối quan hệ chung riêng hạng tử để có hướng giải toán Học sinh trí tưởng tượng , có khả suy luận có rõ ràng , có óc tò mò không muốn dừng lại làm theo mẫu có sẵn Ở dạng tập tìm em có ham tìm tòi, thích khám phá, có khả tư cao 2.3.2.2.3.Bài tập sử dụng phương pháp:Khử liên tiếp Nhận xét: 11 11 Phương pháp giúp học sinh hình thành cách có hệ thống dạng tập, phương pháp phương pháp phải bồi dưỡng thường xuyên suốt trình dạy Dạng toán phải dưa quy luật tăng giảm hạng tử Tuy nhiên suốt trình giảng dạy loại toán cần giúp học sinh nắm chất toán cách đưa nhiều dạng toán để học sinh thực Để giải toán dạng Loại toán tìm tổng dãy số viết theo quy luật, thường có phân số đầu số cụ thể phân số sau cho dạng tổng quát Để làm dạng toán ta cần nhận xét so sánh tử mẫu, tử hay mẫu với nhau, phân số cụ thể tổng quát, thông thường ta biến đổi để làm xuất số hạng đối Sau thu gọn ta số số hạng mà ta dễ dàng tính Dạng 1: Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử số 1, mẫu tích hai thừa số “m” đơn vị Giả sử ta cần tính tổng Sn = a1 + a2 + an mà ta biểu diễn ai: i= 1,2,3,…,n qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ Khi Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Bài tập 1 1 + + + + n(n + 1) Tính 1.2 2.3 3.4 n∈N* Hướng dẫn học sinh Học sinh quan sát có phát hạng tử tổng - Tử giống : hạng tử -Mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp ( đơn vị thừa số thứ hai mẫu hạng tử trước thừa số thứ mẫu hạng tử k Cách giải toán biến đổi phân số cho thành hiệu phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng trừ 1 1 1 1 = − ; = − = − Ta biểu diễn 1.2 2.3 ; 3.4 Mục đích ta triệt tiêu số hạng đối Từ ta tìm quy luật với hạng tử tổng quát dãy số có dạng tử mẫu tích hai số tự nhiên liên tiếp có dạng n( n + 1) (n∈N* ) 1 = − Thì ta tách sau: n( n + 1) n n + 12 12 Giải 1 = − Ta có 1.2 1 = − 3 1 = − 3.4 …… 1 = − n( n + 1) n n + Cộng vế với vế đẳng thức ta 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 1 1 1 1 − + − + − + + − n n +1 =1 2 3 1 n − = = n +1 n +1 Qua toán học sinh phát đặc điểm chung tổng hạng tử : tử giống khác 1, mẫu lượng Từ có trí tưởng tượng, suy luậnvà làm toán khoảng cách mẫu thay đổi giữ lượng Lúc em tìm quy luật chung trường hợp tổng quát b b 1 = ( − ) a( a + m) m a a + m b b b Sn = + + + a (a + m) (a + m)( a + 2m) { a + ( n − 1) m} { a + nm} Do với m=1;2;3 Sn = n=1;2;3 b 1   − ÷ m  a a + nm  Lúc Dạng 2: Khi học sinh nắm vững dạng toán giáo viên đưa tập mức độ tương tự khó Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử số Mẫu tích số tự nhiên liên tiếp Bài tập Sn = 1 + + + 1.2.3 2.3.4 n( n + 1)( n + ) n∈N* Tính tổng sau: Hướng dẫn học sinh Tổng có tương tự dạng Tử hạng tử Mẫu hạng tử tích số tự nhiên liên tiếp ( đơn vị) Trong tích thừa số thứ hai thứ mẫu hạng tử trước tích thừa số thứ hai mẫu hạng tử Lúc học sinh so sánh hạng tử tương ứng 13 13 tổng dạng với hạng tử tổng tổng dạng tìm mối liên hệ phụ thuộc với Nhận thấy 1 1 = ( − ) 1.2.3 1.2 2.3 1 1 = ( − ) 2.3.4 2.3 3.4 Từ ta tìm quy luật với hạng tử tổng quát dãy số có dạng tử mẫu tích ba số tự nhiên liên tiếp( cách đơn vị) 1 1 ( − ) n ( n + ) ( n + )( n + ) n ( n + )( n + ) Số hạng tổng quát có dạng = Giải Ta có 1 1  =  −  1.2.3  1.2 2.3  1 1  =  −  2.3.4  2.3 3.4   1 1  =  − n( n + 1)( n + 2)  n( n + 1) ( n + 1)( n + )  Cộng vế với vế đẳng thức ta 1 + + + 3 n( n + 1)( n + )  1 1 1 1  S n =  − + − + + −  2 3 n( n + 1) ( n + 1)( n + )  Sn = Sn =  1 1   −  1.2 ( n + 1)( n + 2)  Để củng cố khắc sâu kiến thức giáo viên cho học sinh làm số tâp mở rộng tương tự Qua tập 4,5 ta tổng quát lên trường hợp tính tổng dãy số mà hạng tử có dạng Tử số hạng tử a Mẫu tích “m” số tự nhiên liên tiếp đơn vị,trong tích “m-1” thừa số cuối mẫu hạng tử trước tích “m-1” thừa số thứ trước mẫu hạng tử Số hạng tổng quát dãy số có dạng tử mẫu tích số tự nhiên liên tiếp a Nếu số hạng tổng quát có dạng: 1.2.3 m Quy luật chung trường hợp tổng quát 14 14 a a 1 = ( − ) 1.2.3 m m − 1.2.3 (m − 1) 2.3.4 m Ta có Sn = a a a + + + 1.2.3 m 2.3.4 ( m + 1) n ( n + 1) ( n + ) ( n + m − 1) Sn = a  1 −  m −  1.2.3 ( m − 1) ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + m − 1)  ÷ ÷  với m=2;3;4 n=1; 2; 3…… Nhận xét: Phương pháp tập đưa theo mức độ từ dễ đến khó, mở rộng dần dần, đòi hỏi học sinh vận dụng sâu khái niệm học vận dụng cách giải cách linh hoạt, sáng tạo Qua dạng tập củng cố kiến thức cho học sinh, đồng thời phát học sinh có khả tư duy, vận dụng kiến thức vào học cụ thể Học sinh phải xác định dạng có cách giải 2.3.2.2.4 Bài tập sử dụng phương pháp: Làm trội Nhận xét: Loại toán giúp em nắm vững kiến thức bản, khả suy luận, tính lôgic chặt chẽ, vận dụng vào tập cách linh hoạt Rèn luyện kỹ tính toán, kỹ giải toán đặc biệt khả vận dụng linh hoạt kiến thức toán học để giải toán có tính phức tạp Trong số trường hợp gặp toán tính tổng dãy số viết theo thứ tự tăng (giảm) mà số hạng tổng quan hệ với là: Mỗi số hạng liền trước( liền sau) (kém) “q” lần ta nhân chia số hạng tổng cho “q” để xuất tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu Bài tập Tính tổng sau S= 71+72+ 73+74… +7n (1) Hướng dẫn học sinh Học sinh quan sát phát thấy quy luật số hạng liền sau tổng số hạng liền trước lần ta nhân số hạng tổng cho để xuất tổng dãy số có quan hệ tường minh với tổng ban đầu Giải Ta có S= 71+72+ 73+74… +7n (1) 7S=72+ 73+74 +75+… 7n+1 Trừ vế với vế (2) cho (1) ta 7S-S = 7n+1 -7 ⇒S= (2) n +1 − 15 15 Qua tập học sinh nắm cách làm suy nghĩ từ tìm hướng giải toán tổng quát Tính tổng:S n=1+a+a2+a3+a4+…+an Ta thấy quy luật số hạng liền sau tổng gấp số hạng liền trước “a” lần a n +1 − S n = + a + a + + a = a − với n∈N ; 1Sn= Tương tự giáo viên mở rộng toán Tính tổng dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 +3.4.5+….+n(n+1).(n+2) Quy luật tổng tổng hạng tử hạng tử gồm 3thừa số hạng tử đơn vị hay cách đơn vị Để tính Sn ta biến đổi Sn để xuất hạng tử đối Vậy ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu Để tách số hạng thành hiệu số nhằm triệt tiêu cặp số ta nhân số hạng tổng với Học sinh tính Công thức tổng quát: n(n + 1).(n + 2).(n + 3) A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n + 1).(n+2)= Kết luận: Qua tập phát học sinh hiểu sâu kiến thức, phát học sinh có tư sáng tạo tốt, biết vận dụng kiến thức vào giải tập, trình bày khoa học tính cẩn thận, biết kết hợp đồng thời cách bài, em học sinh giỏi Các em biết phát giải vấn đề theo đường nhanh hợp lý 2.4 Hiệu SKKN 17 17 Qua thời gian phát bồi dưỡng giỏi lớp qua số tập tính tổng dãy số, cho em học sinh làm kiểm tra đánh giá kết tiếp thu sau: Đề kiểm tra : (Thời gian 120 phút ) Tính tổng dãy số sau Bài A = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 Bài B = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 1 1 − + − + + 50 − 51 3 Bài C = 3 Bài D =1.32+3.52+5.72+…+97.992 Bài E = 1.3+5.7+9.11+……+97.101 Bài G = 1.3.5- 3.5.7+ 5.7.9- 7.9.11+ …- 97.99.101 1 1 (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 20) 20 Bài H = 1+      1 − ÷ 1 − ÷ 1 − ÷ Bài I =  +   + +   + + + + 2006  1 + + + n( n + 1)( n + 2)( n + 3) Bài K = 1.2.3.4 2.3.4.5 100 + + + + + 100 Bài 10 M = 2 Thang điểm Bài Bài Bài Bài 1đ 1đ 1đ 1đ Kết khảo sát ban đầu Số lượng 20 Bài Bài Bài 1đ 1đ Bài Bài Bài 10 1đ 1đ 1đ 1đ Điểm 0- < Điểm - 7 SL SL SL % 17 85.0 % 15.0 % 0 Kết : Sau thực SKKN Số lượng 20 Điểm 0- < Điểm - 7 SL % SL % SL % 11 55.0 35.0 10.0 18 18 Với kết kiểm tra đánh giá trên, với trình học tập tiếp thu sáng kiến nhận thấy học sinh có nhiều tiến nhận thức tư duy, sáng tạo, giải toán liên quan mà không lúng túng đa số em tiến đạt kết tốt học tập So sánh kết sau thực đề tài kết khảo sát ban đầu ta thấy lượng học sinh yếu giảm học sinh 30% Lượng học sinh khá, giỏi tăng học sinh 10% Với khảo sát đầu nhiều em không tự tìm lời giải toán (phải có gợi ý giáo viên) Nhưng thông qua kiểm tra em học sinh giỏi trình bày làm xác hơn, đánh giá nhóm học sinh, học sinh giải toán nhanh gọn dễ hiểu, học sinh hiểu đề cách giải rườm rà, học sinh hiểu không giải Các em áp dụng toán cách sáng tạo, có em đưa lời giải hay, phương pháp giải mới, bước đầu phát huy trí tuệ say mê sáng tạo Đó bước quan trọng để chọn học sinh khá, giỏi, chon học sinh có lực nhận thức môn toán thi đạt kết cao KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Để nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cần phải có số yếu tố sau: Giáo viên thật phải có lực, khiếu sư phạm,đồng thời phải có tâm huyết với nghề nghiệp, biết tôn trọng tài Tư học sinh vốn tốt,tuy nhiên em chưa thật tích cực học tập,chịu khó tìm tòi suy nghĩ Người giáo viên phải biết khơi dậy đức tính tò mò nghiên cứu, phát triển cho em có tư sáng tạo “ Từ đơn giản đến phức tạp” Phát triển tư “tổng hợp hoá, khái quát hoá” có người giáo viên thực thành công giảng dạy Mặt khác muốn đạt kết cao giảng dạy, người giáo viên phải tự trang bị cho vốn kiến thức hoàn chỉnh, khoa học, kĩ năng, kinh nghiệm vào giảng dạy môn toán Người giáo viên phải có kĩ khai thác phân loại, cụ thể hoá trừu tượng hoá không ngừng đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp với kiến thức đối tượng học sinh để phát huy tính độc lập chủ động sáng tạo học sinh học tập, không riêng môn toán mà môn khoa học khác 3.2 Kiến nghị Về phía giáo viên: Giáo viên phân công bồi dưỡng phải có kế hoạch, chương trình cụ thể, tránh dạy chay, thích dạy Giáo viên phải thật nhiệt tình, say mê, tận tụy với học sinh Không ép buộc học sinh, phải học sinh lựa chọn môn học mà yêu thích, có khiếu môn 19 19 Về phía nhà trường: Thường xuyên kiểm tra việc bồi dưỡng giáo viên Quan tâm nhiều đến công tác này, động viên kịp thời giáo viên trực tiếp dạy bồi dưỡng vật chất lẫn tinh thần Tôi mong nhận góp ý thầy cô, đồng nghiệp để đến mục đích chung cuối là: góp phần đào tạo cho xã hội người đáp ứng nhu cầu “công nghiệp hoá –hiện đại hoá” đất nước XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng năm2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Thịnh Thị Thu Huyền 20 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Tài liệu chuyên toán THCS Toán 6- Tập Tác giả: Vũ Hữu Bình (Chủ biên) – Nguyễn Tam Sơn Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả : Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều Nâng cao phát triển toán - Tập Tác giả : Vũ Hữu Bình Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Tác giả : Bùi văn Tuyên Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Số học Tác giả : Nguyễn Vũ Thanh Toán nâng cao chuyên đề toán Tác giả : Vũ Dương Thuỵ - Nguyễn Ngọc Đạm 21 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Thịnh Thị Thu Huyền Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nga Mỹ, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa T T Kết đánh giá xếp loại( A, B C) Năm học đánh giá xếp loại Phương pháp hướng dẫn dạy toán chứng minh Phòng GD&ĐT chia hết lớp B 2006-2007 Hướng dẫn học sinh lớp giải số tập Phòng GD&ĐT cách sử dụng hệ thức vi-ét B 2007-2008 C 2008-2009 C 2009-2010 C 2012-2013 B 2013-2014 Tên đề tài SKKN Một số phương pháp hướng dẫn giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp giải Phương trình nghiệm nguyên Hướng dẫn học sinh lớp có kỹ tốt giải toán cách lập hệ phương trình Hướng dẫn học sinh lớp có kỹ tốt giải số toán tính tổng theo quy luật Cấp đánh giá xếp loại ( Phòng, Sở, Tỉnh) Phòng GD&ĐT Phòng GD&ĐT Phòng GD&ĐT Phòng GD&ĐT 22 22 PHỤ LỤC PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH Họ tên: ……………………………………… ; Học sinh lớp … Trường THCS Nga Mỹ, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa Nội dung ( Thời gian làm 120 phút ) Tính tổng dãy số sau: Bài A = + + + + … + 100 200 Bài B = + + + + +  1  1  1  1  −  +  −  +  −  + +  −   7 Bài C =       2 2 Bài D = + + + + 20 2007 Bài E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 Bài G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Bài H = Bài I = − 1 1 + + + + 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 27 56 42 30 20 12      1 − ÷  − ÷ 1 − ÷ Bài K=  +   + +   + + + + 2006  1 1 + + + + 98.99.100 Bài 10 M = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 Thang điểm Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 23 1đ 1đ 1đ 1đ 23 PHỤ LỤC PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH Họ tên: ……………………………………… ; Học sinh lớp … Trường THCS Nga Mỹ, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa Nội dung (Thời gian làm 120 phút ) Tính tổng dãy số sau Bài A = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 Bài B = 12 + 32 + 52 + 72 + + 992 1 1 − + − + + 50 − 51 3 Bài C = 3 Bài D =1.32+3.52+5.72+…+97.992 Bài E = 1.3+5.7+9.11+……+97.101 Bài G = 1.3.5- 3.5.7+ 5.7.9- 7.9.11+ …- 97.99.101 1 1 (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 20) 20 Bài H = 1+      1 − ÷ 1 − ÷ 1 − ÷ Bài I =  +   + +   + + + + 2006  1 + + + n( n + 1)( n + 2)( n + 3) Bài K = 1.2.3.4 2.3.4.5 100 + + + + + 100 Bài 10 M = 2 Thang điểm Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài 10 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 24 1đ 1đ 1đ 1đ 24 ... thời phát em học sinh giỏi 2.3.2.2 Nội dung kiến thức bồi dưỡng học sinh giỏi Các toán tính tổng theo quy luật bước nâng cao dạng toán tính tổng số hạng dãy số có quy luât em học Tiểu học Bài tập. .. sinh giỏi Toán Lớp qua số tập tính tổng dãy số 2.3.2.1 Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Sau tìm em có khả học giỏi môn Toán, giáo viên cần động viên khuyến khích, quan tâm chăm sóc ân cần học. .. học Toán học khó khăn định khắc phục 2.3 Các giải phápthực 2.3.1 Phát học sinh giỏi Toán Do đặc thù môn Toán học đòi hỏi em học sinh nói chung em học sinh giỏi Toán nói riêng, muốn học giỏi môn