SKKN một số kỹ NĂNG cơ bản tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT của dãy số TRONG bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 11 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 11- THPT Người thực hiện: Phạm Công Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC Mục lục 1.Mở đầu ……………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài …………………………………………………………… ………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………………………….……… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………….………………………….…… …… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………… …………………………………….…… …… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………… ……… … 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……….………… ………… …… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …… … 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………… … 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy ……………… …………… 2.3.2 Kỹ sử dụng dãy số phụ ……………………………………… ………… 2.3.3 Kỹ sử dụng Quy nạp ………………………………………………….… 2.3.4 Kỹ sử dụng phép lượng giác …………………… …………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………… … Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………………………….… 3.1 Kết luận ………………………………………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………………… Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên ………………………………………………………………………………………… Trang 2 2 2 3 14 16 19 20 20 20 21 21 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Ông cha ta đúc kết: “Hiền tài nguyên khí quốc gia” Bồi dưỡng học sinh giỏi bước để đào tạo nhân tài cho đất nước, nhiệm vụ quan trọng nhà trường Do năm nhà trường có đội ngũ thầy giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn nhà trường tiêu chí quan trọng công tác thi đua trường THPT địa bàn tỉnh Thanh Hóa Đối học sinh giỏi nói chung học sinh giỏi mơn tốn nói riêng cần người học sinh phải có tố chất, tư lơgic sáng tạo, có kỹ cần thiết để xử lý vấn đề toán học Hiện công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường quan tâm Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường, gặp khơng khó khăn, chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệ học sinh đạt giải mơn tốn cấp hai khơng có Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác có xuất tốn dãy số với tốn tìm số hạng tổng qt dãy số, khiến cho học sinh lúng túng, chưa có kỹ giải toán Mặt khác chuyên đề dãy số trình bày hạn chế sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinh tiếp cận vấn đề Mặt khác tài liệu tham khảo dãy số hạn chế, trọng mặt phương pháp, chưa rõ chất thật vấn đề, chưa trọng rèn luyện kỹ để tìm cơng thức tổng qt dãy số Do dẫn đến học sinh khơng nắm vũng kỹ đó, dẫn đến khơng giải tốn Xuất phát từ thực trạng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tìm cơng thức tổng qt dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 - THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Mục đích nghiên cứu đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, chất lượng học sinh giỏi Giúp em học sinh làm tốt tốn tìm số hạng tổng qt dãy số kỳ thi học sinh giỏi cấp, kỳ thi THPT quốc gia sau Góp phần làm cho em thấy hay, đẹp môn toán, tạo động lực giúp em học tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số tốn dãy số, từ trang bị cho em học sinh giỏi lớp 11 số kỹ giải tìm cơng thức tổng qt dãy số chương trình mơn toán bậc THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp điều tra tham dò khả làm tập học sinh - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin - Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để thực đề tài tác giả dựa sở lý thuyết sau : a) Phương pháp quy nạp toán học b) Cấp số cộng - Dãy số un cấp số cộng u n u n d với n * , d số khơng đổi gọi cơng sai cấp số cộng - Nếu dãy số un cấp số cộng u n u1 n d n u1 un - Nếu dãy số un cấp số cộng tổng S n u1 u u n c) Cấp số nhân - Dãy số un cấp số nhân u n u n q với n * , q số không đổi gọi công bội cấp số nhân - Nếu dãy số un cấp số nhân u n u1 qn - Nếu dãy số un cấp số nhân với q tổng Sn u u n u qn 1 q d) Các công thức lượng giác đẳng thức lượng giác 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn xã vùng đồi phía tây bắc có huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp huyện, tỷ lệ học sinh giỏi Thực trạng năm học 2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 đề thi thử THPT quốc gia xuất số toán dãy số, khiến em học lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho công thức truy hồi, khơng thể tìm số hạng tổng qt được, trí máy tính cầm tay khó giải Trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi thấy phần mà em sợ nhất, mà lại xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa nói riêng kỳ thi học sinh giỏi cấp lớp 11 nói chung Hầu qua kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát dãy em bỏ trống, làm Những đòi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm biện pháp để giúp đỡ em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải dãy số, làm tròn trách nhiệm người thầy cô giáo Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 chuyên đề dãy số, tác giả tổng hợp kỹ để giải toán tìm số hạng tổng quát dãy số 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy u1 Ví dụ u Cho dãy số un xác định u n1 un * n, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Ta thấy hệ số số hạng un un nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu u1 un * Lời giải Từ giả thiết u n u n n với n nên ta có u u1 u3 u 2 un un1 n Cộng vế với vế ta u n u1 (1 n 1) n ( n 1) Vậy un 2 n ( n 1) Nhận xét Nhờ cộng dồn vế mà ta xác định số hạng tổng qt dãy số cách nhanh chóng Ví dụ Cho dãy số un xác định u1 u un n1 n * n 1, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Ta thấy hệ số số hạng un un nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu u1 un Lời giải Từ giả thiết u n u n 3n n với n * nên ta có u u1 4.1 u u 32 4.2 u n u n 3n 4( n 1) Cộng vế với vế ta 33 3n 1) 4(1 n 1) n u n u (3 32 1 (3 32 33 n 1) 4(1 n 1) n 1 Vậy u n 3n 1 4n ( n 1) n n ( n 1)(2 n 1) Ví dụ Cho dãy số un 3n ( n 1)(2 n 1) u1 xác định un1 n u nn 3.2 n 2.3n , n * Tìm u2018 [3] Định hướng vai trò chưa Ta thấy hệ số số hạng un ,un ta cần phải đưa vai trị bình đẳng un ,un nên ta mũ n dùng kỹ cộng dồn vế tốn giải Lời giải Ta có u n n u nn 3.2n 2.3n u nn u nn 3.2n 2.3n u u 3.21 2.31 u u 3.22 2.32 u nn u nn 11 3.2n 2.3n Suy ra: u n u 3.(21 2 n ) 2.(31 32 n 1) n 1 2n 2.3 3n 3.2n 3n Vậy u2018 2018 3.22018 32018 2.3.2 Kỹ sử dụng dãy số phụ Lựa chọn dãy số phụ cho dãy cấp số cộng cấp số nhân Để thực điều tác giả trang bị cho học sinh số kỹ để xây dựng dãy số phụ sau : - Đồng hệ số - Nâng lên lũy thừa, chia vế… u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định * u 3u n 4, n1 n 3.2 Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Ta thấy hệ số số hạng un u n khác nên dùng kỹ cộng dồn vế khơng thể triệt tiêu số hạng dãy Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Vậy để thiết kế dãy số phụ ? Từ hệ thức truy hồi u n 3u n ta cần tìm số a cho u n a 3(u n a) Thật u n a 3(u n a ) u n 3u n 2a , đồng ta có a a Vậy ta có u n 3(un 2) nên cần đặt u n , suy 3vn Ta có cấp số nhân Bài toán giải (1) Lời giải Ta có u n 3u n u n 3(u n 2) Đặt u n (1) trở thành 3vn Nên cấp số nhân với công bội q số hạng đầu v1 Ta có số hạng tổng quát 3n 3n * Do u n 3n Vậy un 3n với n Nhận xét Nhờ thiết kế dãy số phụ mà toán giải nhanh chóng, cho lời giải đẹp Ta tổng quát hóa dãy số un xác định (2.1) u1 a u n bu n c Ví dụ u1 Cho dãy số un xác định u un n1 n 1, * n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số cộng Từ hệ thức truy hồi u n u n n u n a ( n 1) b ( n 1) u n an bn Ta cần tìm số a , b cho u n a ( n 1) b ( n 1) u n an bn a ( n 1) b ( n 1) u n an bn u n u n 2a a Đồng hệ số ta có a b b 2 n1 n Ta có u ( n 1) 2( n 1) u n 2n nên cần đặt Thật u n suy vn Ta có 2an a b v u n n n2 2n , cấp số cộng Bài toán giải (1) Lời giải Ta có u n u n n u n ( n 1) 2( n 1) u n n 2n Đặt u n n 2n (1) trở thành vn Nên cấp số cộng với 2.1 công sai d số hạng đầu v u 12 1 Ta có số hạng tổng quát v Do u n v n 2 n n 2 n n n * Vậy u n n n với n dãy số un có dạng tổng quát Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un (2.2) u1 a xác định un1 un f(n) Trong f ( n ) đa thức bậc k theo n cách đặt u n g ( n ) , với g ( n ) đa thức bậc k theo n có hệ số tự u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định u n1 3u n * n 1, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Hệ số số hạng un un khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi u n 3u n n Ta cần tìm số a , b cho u n a ( n 1) b 3(u n an b) Thật u n a ( n 1) b 3(u n an b ) u n u n 2an a 2b 2a a Đồng hệ số ta có a 2b b Ta có u n 3( n 1) 3(u n 3n 2) nên cần đặt u n 3n , suy 3vn Ta có cấp số nhân Bài toán giải Lời giải Ta có u n 3u n n u n 3( n 1) 3(u n (1) 3n 2) Đặt u n 3n (1) trở thành 3vn Nên cấp số nhân với công bội q số hạng đầu v1 3.1 Ta có số hạng tổng quát v 6.3n 2.3n Do u n v 3n 2.3n 3n n n n * Vậy u n 3n với n dãy số un có dạng tổng quát Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un (2.3) Trong b f ( n ) đa thức bậc k u1 a xác định u n bu n f ( n ) theo n cách đặt u n g ( n ) , với g ( n ) đa thức bậc k theo n u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định n * u 2u n1 n 3, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Hệ số số hạng un un khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi u n 2un 3n Ta cần tìm số a , b cho u n a.3n 2(u n a.3n ) Thật u n a.3n 2(u n a.3n ) u n 2u n a.3n Đồng hệ số ta có a n1 n Ta có u n 2(un ) nên cần đặt u n 3n , suy 2vn Ta có cấp số nhân Bài tốn giải Lời giải Ta có u n 2u n 3n u n 3n 2(un 3n ) (1) cấp số nhân với Đặt u n 3n (1) trở thành 2vn Nên công bội q số hạng đầu v1 u1 Ta có số hạng tổng quát 5.2n * Do u n 3n 5.2 n 3n Vậy un n 3n với n Nhận xét Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta giải nhanh tốn Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát xác định u1 a (2.4) n , với d b bu n c.d u n1 Ví dụ u1 Cho dãy số un xác định u n1 tổng quát un tính giới hạn lim n 3n un Định hướng 4u n 3.4 n * , n Tìm số hạng [2] Đây đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019 Nếu làm ví dụ : Thật u n a.4n 4(u n a.4n ) u n 4un ( vô lý ) nên không tìm giá trị a Điều khiến học sinh lúng túng, theo nhận xét trường hợp d b nên áp dụng cách làm giống ví dụ Sử u u dụng kỹ chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho 4n ta n1 n 4 Ta có u4nn , suy vn 34 Ta có cấp số cộng Bài toán giải u Lời giải Ta có u n 4u n 3.4n un (1) n1 4n3 n1 n 4n1 Đặt vn (1) trở thành vn 41 Do u n u1 số hạng đầu v với công sai d n 3n n 4n1 2n (3n 1) Vậy u n lim n 2 n Vì lim Mà lim n 3n Ta có lim u 2 n n n 3n (3n 1)4 n1 lim n Ta có n suy lim 4n 9( n 1) 4n Vậy u n n 1(3n 1) với n * lim cấp số cộng Nên Ta có v n1 ( n 1) n n2 4n n (1 3) n 32C2 u 3n (3n 1) với n * n n 3n 4n n 9( n 1) n với n n Nhận xét Từ hệ thức truy hồi động tác chia hai vế 4n ta đưa tốn khó tốn giải Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số un có dạng tổng quát xác định n1 u1 a n (2.5), cách chia cho b u n bu n c.b u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định u un n1 un * , n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây hệ thức truy hồi dạng phân số nên để đưa toán ta chọn dãy số ,un nghịch đảo Lời giải un Ta có vn 1 u n Khi u un n1 un v n1 v v 1n 3( v ) n 2 (1) trở thành y n n1 vn1 vn 3vn v n1 Đặt yn công bội q số hạng đầu y1 v1 3v n (1) 3yn Nên yn cấp số nhân với 1 1 u1 2 Ta có số hạng tổng quát yn 3n Do v y 1 2.3n 1 u 2 Vậy un với n * n n n 2.3 n 1 2.3n 1 2 n Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát u1 a xác định u n1 bun (2.6), cách đặt cu n d u1 Ví dụ Cho dãy số un un xác định u 4un n1 * , n 6un Tìm số hạng tổng quát un [3] Định hướng Để giải toán ta cần định hướng để học sinh đưa dãy số có dạng (2.6) Đặt u n m thay vào hệ thức truy hồi ta 4( v m ) m 5m (6 m 4)v v n1 m n 6( n m) 6( m) Để đưa dạng (2.6) ta cần chọn m cho 6m 5m , chẳng hạn chọn m Bài toán giải tương tự Lời giải Đặt u n m thay vào hệ thức truy hồi ta 4( v m ) m 5m (6 m 4)v m 6( v m) n 6( m ) Ta chọn m cho 6m 5m v 1 Khi đặt u n ta dãy số un xác định n n v Ta có y n Khi yn1 n1 2( yn Đặt w n yn yn y n1 v 6) n 2 với n y yn 8.2 n 1 2n u1 v1 * yn1 yn (1) 2wn Nên wn cấp số nhân w y 2n n n n Do y n w n n1 (1) trở thành w n Ta có số hạng tổng quát w n yn với công bội q số hạng đầu Vậy un 6u 1 vn * , n v n 12 un 2n 6 Nhận xét Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số un có dạng tổng quát u1 a xác định u b cun (2.7) n1 d eun Bằng cách đặt u n m , chọn m đưa dạng (2.6) u1 Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định sau u 2; u2 * n 5u n 6u n , n 10 u Tính lim n [2 ] 3n Định hướng Đây dãy số mà hệ thức truy hồi số hạng có hệ số khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Giả sử u n a.u n b (u n a.u n ) , đồng hệ số ta tìm a , b Bài toán đến giải Lời giải Giả sử u n a.u n b (u n a.u n ) b a a Đồng hệ số ta có Trường hợp Với un ab b a ta có (b a )u n abun a 2 b b u n 2un 3(u n 2u n ), n Suy dãy u n 2un cấp số nhân có cơng bội q v 3n v 3n (5 2.2) 3n (1) n1 Trường hợp Với a ta có b u n 3u n 2( u n 3u n ), n Suy dãy wn u n 3un nhân có cơng bội q w (5 3.2) 2n n w2 n n1 Từ (1) (2) ta có hệ u n 2un Suy lim un lim 3n 12n n (2) 3n n1 u n1 n u n 3un cấp số lim 1 n1 n n 3 Nhận xét Nhờ đồng hệ số mà ta giải tốt tốn đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát xác định ( 2.8) u1 a ; u b 3 * u n cu n du n ( n) Bằng cách đồng hệ số, chọn dãy số phụ Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định sau u1 1, u2 u * n 4u n 4u n , n Tìm số hạng tổng quát un [2] 11 Định hướng Đây dãy số mà hệ thức truy hồi số hạng có hệ số khác Do cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Giả sử u n a.u n b (u n a.u n ) , đồng hệ số ta tìm a , b Bài toán đến giải Lời giải Giả sử u n a.u n b (u n a.u n ) b a Đồng hệ số ta có a un (b a )u n ab b u n 2u n 2(u n 2u n ), n Suy dãy u n 2un nhân có cơng bội q v n v n (3 2.1) 2n Do u n 2u n u n1 n1 n1 abun cấp số un (1) n 2n1 Đặt yn (1) trở thành y n y n Nên yn cấp số cộng với n u1 công sai d số hạng đầu y 2 Ta có số hạng tổng quát y n ( n 1).1 n n un Do u n n y n n n ( n 1) Vậy u n n u1 16 Ví dụ 10 Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u n 14 ( n 1) với n 15( n.u n 1) n * * , ( n) Tìm số hạng tổng quát un [2] Định hướng Ta thấy có xuất un tương ứng với n un tương ứng với n nên tìm cách đưa chúng lại gần nhau, làm xuất dãy số phụ 15( n.u n 1) Lời giải Ta có: u n 14 n ( n 1)u n 15 n.u n 14 n Đặt nu n v1 16 (1) trở thành: 15vn 14n Đặt wn n w1 15 (2) trở thành: wn 15wn Từ ta có un 15n n (u n1 14)( n 1) 15( n.u n n 15 (1) 1) (2) n wn cấp số nhân có w1 15,q 15 wn 15n n 12 ïì u1 = Ví dụ 11 Cho dãy số u xác định í n ïïỵ 9u = u n +1 n + + 1+ 2u n ( , " n ẻ Ơ* ) Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số tính limun [2] Định hướng Để dấu bậc hai công thức truy hồi ta đặt dãy số phụ xn với xn 2un Bài toán chuyển dạng giải n Lời giải Đặt x1 2u , n * x n x2 Ta có xn hay un 2 Thay vào giả thiết, ta được: x x 8x Suy ra: xn +1 = xn + " n ẻ Ơ* ( Do xn , n * ) = + 2u n , " n Î ¥ * n n1 Hay 3( x n 2) x n n n * Do u n 3n 1 n ) cấp số nhân với công bội q ; y n * Suy ra: x , n * , n x n1 Ta có: ( y Từ y y n 3x n n* Đặt y x , n n n 3n n1 2n , n, limun ì Ví dụ 12 Cho dãy số 3n * ï ïu =5 un xác định sau í * ï ï Tìm số hạng tổng qt un [2] ỵï u u = u n - 2u n +1,(" n Ỵ ) n +1 n Định hướng Từ cơng thức truy hồi thực phép chia vế cho u n 1;un ( Do u n 0, n u n 1u n u n 2u n u n (2 u n ) u n u dạng dãy số n1 * ) Đây u n Lời giải Ta có u n 1u n u n 2u n 1 un 0, n Đặt un * ) 1 2( u n1 u n (2 u n ) u n un u n1 ( Do un (1) 1) (1) trở thành 2vn Nên cấp số nhân với 13 công bội q số hạng đầu v1 u n 1 với n * n 3.2 3.2n Nhận xét Chỉ cần động tác chia hai vế công thức truy hồi cho un ta thiết kế dãy số phụ cách nhanh chóng 2.3.3 Kỹ sử dụng Quy nạp 6.2 n1 1 Ta có số hạng tổng qt 3.2 Do un Vậy un Tính vài số hạng đầu, phán đốn cơng thức tổng qt, chứng minh quy nạp u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định u n1 un * ,( n) Tìm số hạng tổng quát un [1 ] Định hướng Việc thiết kế dãy số phụ để tạo thành dãy cấp số cộng hay cấp số nhân việc làm khó khăn Do ta cần chuyển hướng sang việc tính tốn vài số hạng đầu Chẳng hạn u1 ; u2 ; u3 2 2 3 Đến phát quy luật dãy số Bài toán giải ; u3 2 ;…… ……, un n Lời giải Ta có u1 ; u2 3 n n 2 Ta chứng minh un Với n u1 n , ( đúng) Giả sử (1) với n k 1tức uk n* (1) k k k Ta cần chứng minh (1) với n k 1tức uk k 1 k k 2 Thật uk Vậy un n với n* k k uk n Nhận xét Nhờ sử dụng quy nạp mà ta xác định số hạng tổng qt dãy số cách nhanh chóng Ví dụ u1 11 Tính u2019 [1 ] * Cho dãy số un xác định 10u n u n1 n,( n) Định hướng Bài toán sử dụng dãy số phụ để giải,nhưng chứng ta tính vài số hạng đầu xem có điều xảy khơng? 14 Lời giải Cách ( Sử dụng quy nạp) Phân tích: u1 11 10 u 10u 10.11 102 10 2 u 10u 18 10.102 17 1003 103 3 (1) Ta dự doán u n 10n n , n * Với n u1 11( đúng) Giả sử (1) với n k 1tức u k 10k k Ta cần chứng minh (1) với n k 1tức u k 10 k k Thật u k 10u k k 10(10 k k ) k 10 k k 1( điều phải chứng minh ) Vậy u n 10n n với n * Do u2019 102019 2019 Cách ( sử dụng dãy số phụ ) (2) cấp số nhân với u n 10u n n u n ( n 1) 10(u n n) Đặt u n n (2) trở thành 10vn Nên công bội q 10 số hạng đầu v1 u1 10 Ta có số hạng tổng quát v 10.10 n 10n Do u n n v n 10n n n Vậy u n 10n n với n * Do u2019 102019 2019 u n 10un n u n n 10 u n n Nhận xét Cả hai cách làm điều có hay riêng nó, giáo viên cần trang bị cho em kỹ cần thiết này, phát triển tư linh hoạt sáng tạo Ví dụ Cho dãy số un xác định sau u1 1, u2 u * n 4u n 4u n , n Tìm số hạng tổng quát un [2 ] Định hướng Bài toán giải cách sử dụng dãy số phụ Tuy nhiên nghĩ đến sử dụng quy nạp Lời giải Ta có u (1 1).2 ; u (2 1).20 u 4u 4u 4.3 4.1 (3 1).21 u 4u 4u 4.8 4.3 20 (4 1).22 Ta dự doán u n ( n 1)2n , n * Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n u1 1( đúng) Giả sử (1) với n k 1tức u k ( k 1).2k Ta cần chứng minh (1) với n k 1tức u k ( k 2).2k (1) Thật u k 4u k 4u k 4( k 1).2 k k 2k ( k 1).2k k.2k k (2k k ) k (k 2) Vậy u n ( n 1)2n , n * Nhận xét Ta thấy sử dụng quy nạp ngắn lại khó khăn cách phán đốn cơng thức tổng qt, chí khơng tìm ra.Cịn sử dụng dãy số phụ dài thực cách trôi chảy 2.3.4 Kỹ sử dụng phép lượng giác Những dãy số có cơng thức truy hồi có dạng giống gần giống với công thức lượng giác ta liên tưởng đến kỹ sử dụng phép lượng giác để tìm số hạng tổng quát dãy số u Ví dụ Cho dãy số u xác định Tìm số hạng tổng n u * 2u n1 1,( n) n quát un [1 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy giống cơng thức nhân đơi hàm số côsin cos a 2cos a 1, ta liên hệ đến phép lượng giác Lời giải Từ giả thiết ta có 2 u cos cos cos cos ; u2 2cos ; u3 2cos 6 Ta dự đoán chứng minh quy nạp un Với n 1thì u1 cos 2n * ,n (1) ( đúng) cos Giả sử (1) với n k tức uk cos 2k Ta cần chứng minh (1) với n k tức uk cos 2k cos 2n , n * 3 Nhận xét Nhờ phép lượng giác mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Bài tốn khơng dùng phép lượng giác khó khăn, chí khơng giải u Ví dụ Cho dãy số un xác định Tìm số hạng Thật u k 2u k2 2cos 2 k cos 2k Vậy un 3 u n1 3u n 4u n * ,( n) tổng quát un [1 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy giống cơng thức nhân ba hàm số sin sin 3a 3sin a 4sin3 a , ta liên hệ đến phép lượng giác 16 Lời giải Ta có u u 3sin ; u2 3sin sin 4 4sin 3 sin 4 4sin ; sin n 32 ….Ta dự đoán u sin 4 * ,n 3n (1) Sử dụng quy nạp chứng minh Giả sử (1) với n k tức uk sin 3k k tức uk Ta cần chứng minh (1) với n sin 3k Thật u k 3u k 4u k 3sin 4sin 3k 3k Vậy un k sin 3n , n sin * u Ví dụ Cho dãy số un xác định Tìm số 2 un2 u n1 * ,( n) hạng tổng quát un [3 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy xuất biểu thức un2 ta nghĩ đến cơng thức sin cos2 a , ta liên hệ đến phép lượng giác Lời giải u1 2 ; u2 sin Ta dự đoán un sin ,n n1 sin n ,n Ví dụ Cho dãy số un * 2(1 cos ) sin * 2.6 Chứng minh quy nạp ta un Hay un sin sin Vậy un sin n , n u2 xác định ,n n1 * * u n 12 u n ,( n) * Tìm số hạng tổng quát un [1 ] Định hướng 17 Xuất phát từ u2 2 2cos un cơng thức truy hồi đặt a u n2 2cos a 2cos2 Bài toán đến giải 2cos a Lời giải Ta có u1 2 u22 2cos Ta dự đoán un ,n n1 2cos 2cos 2cos 24 22 2(1 cos ) 2cos 2 2 * Chứng minh quy nạp ta un Vậy un 2cos , n * 2cos n1 ,n * n1 Nhận xét Nhờ sử dụng lượng giác mà ta giải tốt toán, cho lời giải ngắn gọn súc tích u3 un Ví dụ Cho dãy số un xác định * un ,( n) (1 2)un Tính u2003 [4 ] Định hướng Nhìn vào công thức truy hồi ta thấy giống công thức cộng tang tan( a b) tan a tan b ta có tan Bài tốn đến xuất tan a tan b hướng giải u n tan Lời giải Ta có tan nên un tan un u3 tan ; u Ta dự đoán u n tan tan tan tan( tan tan , n* n ) 38 Bằng quy nạp ta chứng minh u n tan n ,n * 18 Vậy u2003 2002 tan tan ( 2) , n * 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đối với hoạt động giảng dạy thân đồng nghiệp Đề tài thân áp dụng thành công lớp 11C1, đặc biệt học sinh giỏi tham gia đội tuyển mơn tốn 2017-2018 2018-2019, đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế Đề tài giáo viên tổ toán- tin, giáo viên ôn đội tuyển học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao dãy số áp dụng giảng dạy lớp phụ trách đem lại kết tương đối khách quan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp thân đồng nghiệp trao dồi kiến thức kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn để tiến Từ ngày nâng cao chất lượng giáo dục giảng dạy nhà trường, góp phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục toàn ngành b) Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh giỏi học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho em kỹ để tìm số hạng tổng quát dãy số Các em khơng cịn sợ tốn dãy số, hình thành cho em niềm đam mê học tập, chủ động tiếp thu hình thành hướng tư giải tốn dãy số nói riêng tốn học nói chung Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu kết hoàn toàn khả quan Kết kiểm tra đội tuyển toán lớp 11C1 năm học 2018-2019 +Chưa áp dụng đề tài Lần kiểm tra Số học sinh Số học sinh làm câu dãy Tỉ lệ số 7 +Áp dụng đề tài Lần kiểm tra Số học sinh 01 02 01 14.3% 28.6% 16.7% Số học sinh làm câu dãy Tỉ lệ số Đề thi HSG thức 7 5 04 05 04 05 05 57.1% 71.4% 80 % 100 % 100 % 19 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận : Đề tài tổng hợp tổng hợp kỹ để tìm cơng thức tổng qt dãy số, đưa cách giải dạng dãy tổng qt thơng qua ví dụ phong phú đa dạng, định hướng, phân tích so sánh cách giải Đề tài cịn áp dụng rộng rãi cho học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia Đề tài nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị : i) Đối với Sở giáo dục : Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai sáng kiến có chất lượng toàn tỉnh đến trường THPT để chúng tơi học hỏi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy ii) Đối với nhà trường : Cần tăng cường cơng tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi chuyên môn, xây dựng chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng lực toán cho em học sinh Đề tài chắn không tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Phạm Công Dũng 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] : Tác giả sáng tác [2] : Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa trường THPT tỉnh Thanh Hóa [3] : Nguồn mạng internet [4] : Đề thi 30-4 lớp 11 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Công Dũng Chức vụ đơn vị công tác: Chủ tịch Cơng đồn, Tổ trưởng chun mơn Trường THPT Hậu Lộc Cấp đánh giá TT Tên đề tài SKKN Lượng giác hóa số tốn phương trình, bất đẳng thức tích phân Một số phương pháp điển hình tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp- Hình học 12 Nâng cao hiệu giải hệ phương trình đại số thông qua số kỹ Nâng cao hiệu giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hình học 11 nâng cao thông qua số kỹ Hướng dẫn học sinh yếu giải số tốn trắc nghiệm khách quan giải tích lớp 12 - THPT xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp Sở C 2006-2007 Cấp Sở C 2008-2009 Cấp Sở C 2011-2012 Cấp Sở B 2013-2014 Cấp Sở C 2016-2017 21 ... sinh giỏi lớp 11 chuyên đề dãy số, tác giả tổng hợp kỹ để giải tốn tìm số hạng tổng quát dãy số 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy u1 Ví dụ u Cho dãy số un xác định u n1 un * n, n Tìm số hạng tổng. .. có Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác có xuất toán dãy số với toán tìm số hạng tổng quát dãy số, khiến cho học sinh lúng túng, chưa có kỹ giải tốn Mặt khác chuyên đề dãy. .. luyện kỹ để tìm cơng thức tổng qt dãy số Do dẫn đến học sinh khơng nắm vũng kỹ đó, dẫn đến khơng giải tốn Xuất phát từ thực trạng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tìm công thức tổng quát dãy