BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG TRÚC QUỲNH MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHẶT VÀ NGƯỢC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG TRÚC QUỲNH MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHẶT VÀ NGƯỢC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG TRÚC QUỲNH MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHẶT VÀ NGƯỢC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Bảo Trân i Lời cam đoan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS Nguyễn Bảo Trân Trong trình nghiên cứu hoàn thành đề tài này, tác giả tham khảo số tài liệu liệt kê phần Tài liệu tham khảo Tác giả xin khẳng định kết đề tài trung thực thầy hướng dẫn tác giả cho phép sử dụng đưa vào luận văn Quy Nhơn, ngày 26 tháng năm 2022 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Đặng Trúc Quỳnh ii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Bảo Trân - Giảng viên khoa Toán Thống kê - Trường Đại học Quy Nhơn, người trực tiếp hướng dẫn tác giả Thầy tận tâm, định hướng hỗ trợ tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, phòng Đào tạo sau đại học, phòng Hành - Tổng hợp, phịng Kế hoạch - Tài chính, khoa Tốn Thống kê q Thầy - Cơ giảng viên giảng dạy lớp Phương pháp toán sơ cấp K23 tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả thực luận văn Trường Đại học Quy Nhơn Trong thời gian ngắn hồn thành luận văn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận lời góp ý, phê bình q báu từ q thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, ngày 26 tháng năm 2022 Học viên: Đặng Trúc Quỳnh Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu iv Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm lồi 1.2 Bất đẳng thức Cauchy, khai triển nhị thức Newton Chương MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHO TRUNG BÌNH CỦA HÀM LŨY THỪA NGUYÊN DƯƠNG CỦA HAI SỐ DƯƠNG 2.1 Một biểu diễn Dn pa, bq 2.2 Một số đánh giá cho Dn pa, bq 13 Chương MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHO TRUNG BÌNH CỦA HÀM LŨY THỪA CỦA BỘ SỐ DƯƠNG 3.1 Một số đánh giá cho Dn iii 22 23 iv 3.2 Một số đánh giá cho Dα với α ě 34 Chương MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI 42 4.1 Một số đánh giá cho bất đẳng thức Cauchy 42 4.2 Một số đánh giá cho bất đẳng thức hàm lồi 49 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 v Danh mục ký hiệu • N: Tập hợp số tự nhiên • R: Tập hợp số thực • R` : Tập hợp số thực dương • Rn` : Tập hợp số thực dương có n thành phần • Cnk : Số tổ hợp chập k tập hợp gồm n phần tử • f , f : đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai hàm số Mở đầu Chúng ta biết bất đẳng thức Cauchy (như phát biểu đây) áp dụng rộng rãi toán học đời sng x1 ` x2 ` ă ă ă ` xn ? n x1 x2 ă ă ă xn , xi ą 0, @i “ 1, , n n (1) Thật vậy, dùng để giải nhiều tốn kinh điển đời sống, ngồi có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều bất đẳng thức quan trọng khác Cauchy-Schwarz, Holder, Mincowski, Chính tầm quan trọng bất đẳng thức này, nên trở thành phần thiếu chương trình tốn học phổ thơng, chí bậc trung học sở BĐT Cauchy xuất từ lâu, nghiên cứu rộng rãi, nhiên nhiều vấn đề thú vị đáng quan tâm Ta biết bất đẳng thức (1) sinh bất đẳng thức không phần quan trọng phổ biến khác là: với k P N, k ě số xi ą 0, i “ 1, , n ta có xk1 ` xk2 ` ă ă ă ` xkn x1 ` x2 ` ă ă ă ` xn k p q (2) n n Trong nhiều toán liên quan đến bất đẳng thức (2), thường áp dụng cách trực tiếp để giải toán BĐT khác với cách biến đổi cách chọn "điểm rơi" (tức điểm mà bất đẳng thức trở thành đẳng thức) cách phù hợp Điều có nghĩa tập trung vào dấu "ě" (2) dấu ” “ ” chúng xảy x1 x2 ă ă ă xn ą Tuy nhiên, thực tế với ràng buộc khách quan, giá trị xi , i “ 1, , n nhận chung giá trị, ví dụ tồn số α ą cho Sk px1 , , xn q “ ÿ pxi ´ xj q2 ą α ą (3) 1ďiďj ďn Khi ta có Dk px1 , , xn q : x1 ` x2 ` ă ¨ ¨ ` xn k xk1 ` xk2 ` ¨ ¨ ¨ ` xkn ´p q ą n n Tuy nhiên việc kết luận Dk px1 , , xn q ą chưa thực xác đáng Câu hỏi đặt là: Có tồn số β ą (phụ thuộc vào α) cho Dk px1 , , xn q ě β hay không? Tương tự có câu hỏi ngược lại là: Nếu Dk px1 , , xn q ě γ ą có tồn số µ ą cho Sk px1 , , xn q ě µ hay không? Mục tiêu luận văn giải câu hỏi Cụ thể luận văn giới thiệu trình bày số đánh giá cho trung bình hàm luỹ thừa nguyên dương hai số dương từ mở rộng đánh giá cho số dương Ngồi ra, tác giả cịn trình bày nghiên cứu liên quan đến câu hỏi đề cập số vấn đề liên quan Đưa số ước lượng bất đẳng thức Cauchy số đánh giá cho bất đẳng thức hàm lồi Ngoài mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo luận văn bố cục thành bốn chương Sau nội dung cụ thể mà luận văn trình bày Chương trình bày kiến thức liên quan để phục vụ cho chương 2-4 luận văn như: hàm lồi, bất đẳng thức Cauchy, định lý giá trị trung bình Cauchy, cơng thức khai triển nhị thức Newton Chương trình bày số đánh giá cho trung bình hàm luỹ thừa nguyên dương hai số dương Cụ thể trình bày biểu diễn Dn pa, bq, số đánh giá cho Dn pa, bq Chương trình bày số đánh giá cho Dα pa1 , a2 , , ak q với α ě 2, k P N, mở rộng cho định lý chương Chương áp dụng số kết hai chương trước để đưa số ước lượng bất đẳng thức Cauchy số đánh giá cho bất đẳng thức hàm lồi Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành cho việc trình bày kiến thức sở cần thiết phục vụ cho chương sau liên quan đến số kiến thức hàm lồi, định lý giá trị trung bình Cauchy, khai triển nhị thức Newton 1.1 Hàm lồi Định nghĩa 1.1 [1] Cho X không gian tuyến tính thực f : X Đ R :“ R Y t`8u; ta nói f lồi @x, y P X, @λ P r0, 1s : f pλx ` p1 ´ λqy q ď λf pxq ` p1 ´ λqf py q Định lý 1.1 [1] Cho X khơng gian tuyến tính thực f : X Đ R Ta có f lồi điều sau @n P N, @x1 , , xn P X, @λ1 , , n P r0, 1s, ` ă ¨ ¨ ` λn “ : f pλ1 x1 ` ă ă ă ` n xn q f px1 q ` ă ă ă ` n f pxn q Định lý 1.2 [1] Cho I Ă R khoảng mở, lồi R f : I Ñ R hàm khả vi cấp I Khi f lồi f ptq ě với t P I ... 23 iv 3.2 Một số đánh giá cho Dα với α ě 34 Chương MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI 42 4.1 Một số đánh giá cho bất đẳng thức Cauchy ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG TRÚC QUỲNH MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ CHẶT VÀ NGƯỢC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp... kiến thức liên quan để phục vụ cho chương 2-4 luận văn như: hàm lồi, bất đẳng thức Cauchy, định lý giá trị trung bình Cauchy, công thức khai triển nhị thức Newton Chương trình bày số đánh giá