Bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức cauchy đảo ngược

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TỐN

NGUYÊN THỊ THANH LOAN

BAT DANG THUC CAUCHY

VA BAT DANG THUC CAUCHY DAO NGƯỢC

KHĨA LUẬN TĨT NGHIỆP ĐẠI HOC

Chuyên ngành: Đại số

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, khĩa luận tốt nghiệp của em đã hồn thành

Để hồn thành được đề tài nghiên cứu này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thây cơ giáo trong khoa đã tạo điều kiện cho em trong quá trình

tìm kiếm tài liệu và đặc biệt là lời cảm ơn sâu sắc với thầy Nguyễn Huy

Hưng người đã trực tiếp hướng dẫn khĩa luận cho em

Lần đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học, do khả năng

cịn hạn chế và thời gian nghiên cứu khơng cĩ nhiều, khĩa luận tốt

nghiệp của em chắc chắn cịn nhiều thiếu sĩt.Em rất mong nhận được sự

đĩng gĩp ý kiến của các thầy cơ và các bạn sinh viên Em xin chan thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Khĩa luận tốt nghiệp là nghiên cứu của riêng em, do chính em

nghiên cứu và hồn thành dưới sự giúp đỡ của giảng viên hướng dẫn-

thầy Nguyễn Huy Hưng, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả của mình khơng trùng với bất cứ kết quả của tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên

Trang 4

MỤC LỤC

I/I952.10005.- H)H)L., 1 ET.o o6 8 1

2 Mục dich nghién iu cceesscssssseccsssseeecsssseeccssnseecessnseesesseseessseees 1 3 Đối tượng nghiên COU oe csessesescessceesesecseseseceesesecatsncavevescavseeneess 1 4 Phương pháp nghiÊn CỨU - 5 c5 S22 3v gen 1

CHƯƠNG 1 BẤT ĐĂNG THỨC CAUCHY 752-555: 2

1.1 Bất đẳng thức Cauchyy . ¿- 2 + x eE+E£EsEkckerkrkreerxrkersreeree 2

1.1.1 Với hai số khơng âm ccccccSccecrrirerrsrrrirrrerrrrree 2

1.1.2 Với n số khƠngg ÂÊHHt cv ersrEkrkrkersrererrrersreree 3 1.1.3 Bat đẳng thức Cauchy mở rộng hay định lý tổng quát về trung bình cộng và rung bình nhÂn ẳ Teisesei 3 1.2 Chứng minh bất đăng thức Cauchy cho n số khơng âm 3 1.2.1 Chứng minh của PỌWd - «cà che se nvea 3 1.2.2 Chứng mình bằng quy nạp tốn hỌc -ccccecscecescse 4 INð, j8 01 19 n 6 1.2.4 Một cách chứng trình kháC c c cv 5x sa 8 1.3 Ung dụng của bất đẳng thức Cauchyy -. 2-5 zs+xezreecee 9

1.3.1 Chứng mình bất đẳng thức c5 Scctìersrkcrekerereeeree 9

L312 Ti CUC tr cecccccccseccccccccusccccccsseeseccccusececcusseseceesescecseceuceseseueusseess 19

1.3.3 Gidi phuong trinh, hé phuong trinh, bat phuong trinh, hé bat DRUONG CHINN eeccccccsscccccesscccesssseccsssnseccessseccssseseceeseeeessaseesenauesesennaess 25

1.3.4 Ứng dụng trong vật Ìý .- 55s cxceteseketsrsterersrsrseeeecee 32 510/9) €275 37

BÁT ĐĂNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC 37

Trang 5

2.2.2 Các bất đẳng thức Cauchy đảo ngược với ma trận và hàm tốn tỨ (NƠI (ÏÏỆHH - - cọ ni pc ree 40 2.3 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho chuẩn bất biến đơn vị và ỨNE ỤNE .- G1 ng c0 ph 44

Định lý Ơ: Gà LH TH ng HH nọ ng nh 44

2.4 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược với nhiều hơn hai ma trận .49

Trang 6

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Bất đăng thức Cauchy là một trong những bất đắng thức cỗ điển hay và quan trọng bậc nhất Khơng chỉ được sử dụng nhiều trong chứng minh bất đăng thức, nĩ cịn cĩ nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của Tốn học Ngược lại, bất đắng thức Cauchy đảo ngược lại là van dé khá mới, chưa nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Bản thân em cũng cĩ đam mê và thực sự quan tâm tới hai bất đăng thức này

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các cách chứng minh bất đắng thức Cauchy, những ứng dụng cụ thể của bất đắng thức Cauchy và bat đăng thức Cauchy đảo

nguge

3.Đối tượng nghiên cứu

Bat dang thitc Cauchy va Cauchy đảo ngược 4.Phương pháp nghiên cứu

-_ Đọc, nghiên cứu tài liệu - Tổng hợp kiến thức

Trang 7

CHƯƠNG 1 BAT DANG THUC CAUCHY 1.1.Bất dang thức Cauchy

Bất đắng thức Cauchy là bất đăng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực khơng âm được phát biểu như sau:“Trung bình cộng của n số thực khơng âm luơn lớn hơn hoặc bang trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đĩ bằng nhau”

1.1.1 Với hai số khơng âm

Cho hai số khơng âm a, bta luơn cĩ:

a” > ab

Dau dang thtrc xay ra khi va chikhi a=b

Hệ quả 1:

Nếu hai số dương thay đổi nhưng cĩ tơng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đĩ bằng nhau

Chung minh

Cho 2 s6a, b>0, S=atb, S khơng đơi

2

= 2Jab < 8 = ab< >

4 ab = a @a=b

Y nghia hinh hoc:

Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ cùng chu vi, hình vuơng cĩ diện

Trang 8

That vay, cho a, b>0, P=ab, P khơng đơi =—>a+b> 2/P

=a+b=2NJP ©a=b

Ý nghĩa hình học:

Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ cùng diện tích, hình vuơng cĩ chu

vi nhỏ nhất

1.1.2 Với n số khơng âm

Cho n số khơng âm 4,, đ, , đ„, ta luơn cĩ:

n

Dấu đẳng thức xảy ra khi va chikhia, =a, = =a,

1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy mớ rộng hay định lý tổng quát về trung bình cộng và trung bình nhân

Cho n sơ khơng âm 4ø, @,, a, va n so thực dương 7ƒ¡ D;: .Khi đĩ:

Địa + Dạđ; + + P đ, nuinh

P.+p;+ + P, |

Dấu đăng thức xảy ra khi va chikhia, =a, = = a, 1.2.Chứng mỉnh bất dang thức Cauchy cho n số khơng âm

1.2.1 Chứng mình của Polya

đa +a,+ +d

Đặt u= ? gọi ƒ(x)=e"”—x

= /@Œ)=e*!~1

Trang 9

Bảng biên thiên: x - 00 1 +00 f'(x)4 _ f (x) +00 — „ TC +00

ƒ(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x =1 và ƒ(1)=0 Do đĩ,x <<” ” với mọi

số thực x (1)

Xét một dãy các sỐ thực khơng âma,, a,, , a, Áp dụng bất dang

Trang 10

a +d,+d1 +d đ +d,+ +d a a= 1 2 pil '— 1 2 “:x=—>0 n+] n b n+1 (<) —(z+1)“+n>0 b b n+l n n+1

<a" —b" (a, t+a,t+ +4a,,,)+nb"" 20

n+l +a,+ +@a@ => (4 2 | >b"(a,+a,+ +a,,,)—nb™ n+1 > b"(a,+a,+ 4+a,,,—nb) A, +4, + +4,.n 1 2 ) (1)

Ta chứng minh bắt đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n:

e Vớin =1, bất đăng thức hiển nhiên đúng

e Giả sử bất đẳng thức đúng vớin = k, tức là ta cĩ:

k

ATA TAT > a,a, 4,,

k

Theo bat dang thức (1) ta cĩ:

k+1 k

A+, tut den) 5 (ata tt a

= Gh k+1 * k Từ đĩ ta suy ra : k+1 2 a¡đ, đ, đ, ¡ a,+d, +a,,, k+Ì]

Trang 11

1.2.3 Chứng mình của Cauchy - Néu a, =a, = = a, thi:

4a +a.,+ +q “————>*=a.= thaa; 4, n —=Bắt đẳng thức đúng -Các a,( =1,n) là khác nhau e Voi n=2, taco: a, #a,>a,—a, #0

> (a,-a,) >0< a; -2a,a, +a; >0 © a; + 2a,a, +a; >4a,a,

2 a,t+a

e Với n=2", k nguyên dương, ta chứng minh băng quy nạp tốn

hoc theo k Véi k=1thi n=2,bat đăng thức đã được chứng mính ở

trường hợp trên.Giả sử mệnh đề đúngvới ø = 2*, ta chứng minh mệnh đề đúng với w = 2“”' Ta cĩ:

Dy $y tot Ay đu, Tu, 4e † đái

a,+ a, Teen F Oye _ 2* 2*

2k+1 7 2

2k 2k

, fa,a, 4,, + 2) la, oot ote

Trang 12

Ở bắt đăng thức (2), dấu đẳng thức chỉ xảy ra nếu 2 giá trị trung bình

bằng nhau Vì khơng phải tất các a, ( =1, 2) đều bằng nhau nên dau

đăng thức khơng thể xảy ra cả ở (1) và (2)

q q eos a

1 2 2k+I k+1

> ———m >2“ [aya; 4

—=Bắt đăng thức đúng với n = 2“

—Bát đẳng thức Cauchy đúng với mọi =2“, k nguyên dương e Với n<2* , k nguyên dương: Nếu n khơng phải một hảm mỗ tự

nhiên cơ số 2 thì nĩ sẽ luơn nhỏ hơn một số nào đĩ biểu diễn theo hàm

mũ tự nhiên cơ số 2 vì chuỗi số 2,4,8 , 2# , khơng bị chặn trên Khơng mất tính tơng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn

hơn z,nếu cĩ n số ta cĩ thể biểu diễn giá trị trung bình cộng / và cĩ mở rộng như sau:

Ta cĩ:

m

yet ante tan)

Trang 13

Như vậy ta cĩ: /,>aa, d, 4” => LM" >a,a, a, => dao, Định lý được chứng minh 1.2.4 Một cách chứng mình khác x ã, +đ, + g Dat A, = B, = |a,4; 4, k k+1 Ta chứng minh rằng: l2] < l2 k Bi, Ta cĩ : k+1 k+1 KA, + Gay [#2] _ k +1 By By a k+1 kị k+_—*# =| 4 ÁA | [Ác B, k+1 Gnas _ A k ˆ B.} a,,\k+1 % As , Vol a= >0, ta cĩ: k

kta k+1 a—-l k+1 a-l a-1

Trang 14

k+1 k Beat B, >A"2B" >A,2B, a,+a,t+ +a > ne > \la,4; 4, 1.3 Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy 1.3.1 Chứng mình bất đẳng thức

Đứng trước một bài tốn chứng minh bắt đẳng thức, ta cĩ khá nhiều phương pháp cĩ thể sử dụng để giải, một trong những phương pháp đĩ là

sử dụng các bất đắng thức cơ điển Bất đẳng thức Cauchy là một trong

những bất đăng thức cơ điển được sử dụng rất hiệu quả và linh hoạt Ta xét một số ví dụ

Bài 1:Chứng minh rằng với các số dương a, b, cbat ky ta cĩ:

ab bc ca _a+b+c

a+b bic cha 2

Trang 15

Cộng vệ với vệ ta được:

ab + bc + ac < _a+b b+c a+c a+b+c + + =

a+b b+c ate 4 4 4 2

Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉikhi a=b=c

Nhận xét: Để chứng minh bất đẳng thức đề bài cho, ta đã chứng minh 3 bất đẳng thức riêng là :

ab cath bc cote ac cate

atb 4 bie 4 ate 4

Với một loạt ví dụ dưới đây, ta sẽ thấy rằng, cách chứng minh sử

dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bất đăng thức riêng, từ đĩ

suy ra bất đăng thức cần chứng minh là cách làm khá quen thuộc và hiệu

quả

Bài 2:

Cho tam giác ABC các cạnh a, b, cvaa+b+c=2S Ching minh rằng: ab + bc + ca > 4S (® S-c S-a S-b Giai S=x+y+z x:=S-c>0 ă =S—a>0 4U Trể

Dat )y=5-a ta co b=x+y

z=S-b>0

c=yt+z

x+zl(x+ x+ +Z x+z +

6) £9Œ29), NOT) VOD Gyan

Xx y <

c©“+““+Ÿ >x+y+z

x y 2

Trang 16

2 Xe So Pex 9, x »y xy zx Xx a+ > 2x y < + “»2y x Xx Tương tự, ta cĩ: Cộng vệ với về, ta cĩ: of 4 BB) san vy 22 x y 2 © “+ ““S+“ >x+y+zđúng x yy ã Vay (*) dung Bai 3:

Cho a, b, c dương thỏa mãn a* +b’ +c? =1.Chtmg minh rang:

a + b + C > 3.3 (*)

bic c+a ath 2

Giải

É) Tai = ie Ẻ 3

a’ b c 3-2

=> + + >

a(i-a?) b(1-b’) c(1-c?) 2

Vi 2a’, l—a” dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số

2 2 2 ,

2a’, 1-a’, 1-a’ taco:

Trang 17

z¿(=e)(i-+)<|2# Ha ©2ø(L~s?} << 4 2 ©zˆ(I-a}Ÿ sa =4) : 343 2ù-2) a) = WB (1) Tương tự ta cĩ: > b? 3/3, b(1-b") 2? (2 c 3/3 2 (ise) ae (3) Cộng về với về các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta cĩ: 2 2 2 e + P ¬+ ⁄ : > N38 (92 452402) -38 a(l-a’) b(1-b*) c(i-c?) 2 2 Bai 4:

Với A, B, C là 3 gĩc 1 tam giác bất kỳ, chứng minh rằng:

Poet + + cE > + 1

- 2 - 2 - 2 A B C

sn°A sin°B sin°C cos’ cos cos?

2 Giải

Dosin? A, sin?Ø, sin?C >0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cĩ:

Trang 18

2 > 2

_ py C

[cos ¢ cos 3 cos’

2 2

Dau dang thitc xay ra khi:

11 sin? Asin? B snA=snB @A=B8B A-B_ a 1 cos Tuong tu: 1 + 1 > > 2 sinB sinC cos” — 2A

1 1 > 2

+ 2

n2 inˆ B

sin CC sinˆ A cos?

Cộng vệ với về các bât đăng thức, ta được:

1 1 1 1 1 1

` 2 + ` 2 + ` 2 2

sin’ A sin’B sinC COs 2 cos’ — cos* — 2A 2B 2C

2 2

Dấu dang thitc xay ra khi va chikhi A= B=C, hay tam giác ABC

déu

Đơi khi cùng một bài tốn bất đăng thức, ta cĩ thể sử dụng bất đăng thức Cauchy để chứng minh theo nhiều cách khác nhau

Bài 5:

Cho a, b, c, đ >0 thỏa mãn: l+a 1+b Il+e Il+d + Ị + I + Ị >3 (*)

Chimg minh rang: abcd < sĩ (**)

(VD Toan Rumani)

Trang 20

C= =c= =“_ (0<ôl)

l+c C

ơ (0<D<1)

l+d D

(*) @A+B+C+D23

@ry GAL BIO D, 1

A B C D 81

<> (1- A)(1- B)(1 C)(1-D)< —

D

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

(1-A)(1-B)(1-c) <{ AASB AEC) =P

Trang 21

©l+b+c+d+bc +bd +cd +bcd +l1+a+c+d+ac+ad +cd + acd +l+a+b +d+ab+ ad +bd + abd +] +a+b+c+ab +bc + ác + qbc

>3(I+ø+b+c+d+ab +ác + dd +bc + bả + cả + abc + abd + bed + acd + abcd )

Ap dung bat dang thirc Cauchy:

ab+ac+ad+bce+bd+cd >= 6 a’b*c'd’ abc + abd + bcd + acd 3> 44|a°b°c1đ”

—VP() >6Âla°b°c34 + 84[a*b°c343 + 3abcd

Trang 22

Lire er gE ire oe ira ¬]

Vl+a + + Lee bac CE b l+a ith l+c +e <at+b+c+d+4 c>(4a+xlb+ale+alđÌÏ <a+b+c+d+4

&atb+c+d +2Vab + 2VJac +2Vad + 2Vbc + 2Vbd +2Ved <atbt+ct+d+4 <> Vab + Jac + Jad +VJbc + Vbd + Ved <2 (1)

Áp dụng bắt đắng thức Cauchy cho về trái:

Jab + Vac + Jad +Vbc + Vbd + Ved > aba? = 64/abcd (1) > 64/abcd <2 Vabcd < 1 3 <> abcd < TL 81

Bai 6:Cho n s6 duonga,, i=1, n Chimg minh rang:

(a, +4, tot) Rab tt El ad, a, a n Giải Áp dụng bắt đăng thức Cauchy: 4 +a,+ +4, 2 xfa,a, 4, 1 1 1 11 1 —+—+ +—>đn;|—— — : a, a, q,, a, a, a,

Nhân về với về ta cĩ điều phải chứng minh

Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉkhi ø = a„ = = đ,

Nhận xét: Bắt đăng thức này được chứng mính đơn giản nhưng nĩ lại được sử dụng khá nhiều trong các bài tốn chứng minh bất đẳng thức Ở đây ta đưa ra 2 ví dụ cụ thể

Trang 23

Bài 7:

Cho a, ð, c >0 thỏa mãnz+b +c =1 Chứng minh rằng:

a b C 3 + + <— (*) a+l b+1 c+l 4 Giai ®ss3-| I + l + 53 a+1l b+1 c+l1) 4 <© I + I + I >? (#*) a+l b+1 c+l 4 Ta cĩ: (3+a+b+c) ¬— so a+1 b+1 c+l => Ị + | + Ị >? a+l b+1 c+l1 4 (**) dung do do (*) dung Bai 8: Cho ø, b, c>0 Chứng minh rằng: 1 1 1 1/1 1 1 + + <—| —+-—4+-

2a+b+c a+2b+c at+b+2c 4\a b c

Giải Ta cĩ: (aa+b+e)[2— + I }>4 2a b+c => 2a+b+c> 1 1 —+ 2a b+c 1 l( 1 1 1; 1 #1f1 1 1 1 1 & ——— <-| —+ <—| —+-—} —+-— | |<—+4+— + — 2a+b+c 4\2a bt+e 4) 2a 2\b c 8a 16b lốc

Tuong tu:

Trang 24

1 coy 1 1 1 _— — 1

a+2b+c 16a 8b lốc

1 < 1 1 1

< + + — a+b+2c 16a 16b &c

Cộng về với về ta cĩ:

A

1 1 1 1f1 1 1

2a+b+c a+2b+e * a+b+2c “2(2*»*z) 1.3.2 Tìm cục trị

Bất đẳng thức Cauchy cĩ ứng dụng trong bài tốn tìm giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của hàm số, giải một số lớp bài tốn cực trị về hàm số như tìm khoảng cách nhỏ nhất, lớn nhất, diện tích, chu vi lớn nhất, nhỏ nhất

của hình tạo bởi các điểm

Trang 25

c—2=2 a

=f “2| z+E+2]e a~3=3<‹4b= 2\4/2 43 2

b-4=4 C

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

*ax+b cx+d trong đĩ a, b, c, đ là các hăng SỐ Ta cĩ: bc bc [Ta at td Vax+b = Teale < ở d l3 Ì Do đĩ: Bài 3:

a Trong các hình chữ nhật cĩ chu vi bằng 8, hãy chỉ ra hình cĩ diện

tích lớn nhất

b Trong các hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 9, hãy chỉ ra hình cĩ

Trang 26

Giải

a Trong các hình chữ nhật cĩ cùng chu vi, hình vuơng cĩ diện tích

lớn nhất.Do đĩ hình cần tìm là hình vuơng cĩ chu vi bằng 8 tức hình

vuơng cĩ cạnh bằng 2

b Trong các hình chữ nhật cĩ cùng diện tích, hình vuơng cĩ chu vi

nhỏ nhất.Do đĩ hình cần tìm là hình vuơng cĩ diện tích bằng 9 tức hình

vuơng cĩ cạnh bằng 3

Bài 4:Tìm giá trị nhỏ nhât của hàm sơ:

y=x? + véixe (0,40) x Giải Ta cĩ: 2 ] NT nan -ẽ.ẽnn nh ` 3 x x 3 3 x x 227 => = 3 etpit “nh XI 3 x ox =3 ox=if .Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y= x(2—x) với x = [0,2] Giải Ta cĩ: y=x(2-x) =23x(2—x)(2—x)(2—x)

Với x [0,2], 3x và 2— xkhơng âm, áp dụng bất đắng thức Cauchy

cho 4 sơ:

Trang 27

4 4 y sq] CoCo) -3(3) _27 3 4 3\ 2 16 Vy =“ œ3x=2—x 16 1 Ox= 2

Nhận xét: Trong hầu hết các trường hợp ta phải dùng kĩ thuật tách dé

tạo ra một tích hoặc tổng là hằng SỐ

Bài 6:

Tìm giá trị lớn nhật, nhỏ nhât của hàm sơ:

- 2014 2014 a y=sin" “x+cos” "x, xe€ 05]

Giai Ta cĩ:

23 2

sin’ x <1 cos“x<]

|sinx|<1 >4 _ „„ _„ ¡ |eos|<1> " ,

sin” “x <sin’ x cos x<cos’x

=> sin’ x + cos” x < sin? x+cos’ x =1 x=0

> Vig =1S ya

x=— 2

Dé tim gid tri nhỏ nhất, ta áp dụng bất đắng thức Cauchy cho 1007

sơ như sau:

| ft 1 1 1007 sin* x sin” x+ 51007 + + 51007 > 100754Ìsn x 2109 "5007 = 51006 1 1 1 1 1007cos? x 2014 2014

Trang 28

Cộng vệ với về ta cĩ: 1006 1006 1007 1007 - 2014 2014 2 2 _

sin X+cos” “x+ 21007 + 21007 > 51006 (sin x+cos x)= sms

1

> Ymin — 21006 > sin? x= 07 = cost xy

2 2 1 — 7

<> sin” x = cos TEV OXRT

Bai 7:

2 —

Cho hàm số y=' **—3 x—2 (C)

a Tìm hai điểm A, 8 thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để

khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất

b Tim M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từM đến giao diém

của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Giải

Tiệm cận đứng: x = 2 Tiệm cận xiên: y = x +3

a Giả sử 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là

Trang 29

2 =(x, táJ [on] XX, = (x, +n) [0s ] XX Áp dụng bắt đẳng thức Cauchy cho 2 86x, x,: x+x,) >4xx (x, ;) 122 = AB’ > 4x,x, n } 5 = ce +2+ = XX, XX, Xi Xy

Tiếp tục sử dung bat đẳng thức Cauchy ta cĩ:

Vy hai diém A, B cé hoanh d6 tuong tng 1a 2 - 7" 2+ a

b Giao điểm của hai đường tiệm cận là: 7 (2.5)

Giả sửM cĩ tọa độ M (x„ y„)., khoảng cách từM tới 7 được cho bởi:

2 _ 2 2

MP =(, s3) +[S 5 =Š g 0,~2°4|x.—2+ |

x, —2 x, —2

MI? =(x,-2)° +(x, -2) +2+ a 5 =2+2(x, -2} + G yy

Trang 30

" tồn tại hai điểm M e(C) cĩ hồnh độ tương ứng là

dé MI nhỏ nhất

ap a

1.3.3 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bắt phương trình

Bất đăng thức Cauchy cịn được sử dụng để giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình khơng mẫu mực Bài 1: Giải phương trình: 2 NT +3x7+3x-2 ~*~ 43,1 2 2 Giai 5x° + 3x7 +3x-2=(x +x+1)(5x-2) Vi x +x4+1>0 nén V5x° +3x’ +3x-2 c6 nghia khiSx—22>0

Trang 31

Cả hai giá trịx=l, x=3 đều thỏa mãn 5x—2>0 nên phương trình cĩ hai nghiệm là x =], x =3 Bài 2: Giải phương trình: 2” +4 +2561 =3.16” Giải Áp dụng bất đăng thức Cauchy: x +2x4 +32 2” +4" +2564 > 38/2" 4" 256 = 34/27 "2 =3.2 3

Với x>0, áp dụng bất đăng thức Cauchy lần nữa ta cĩ:

5 4 a > 64 = 4x3 x +2x7 432 2 44" 42564>3.2 3 >3.2 =3.16" 2° =4* =2561 PT <> , <éẰ>x=2 x =2” =32

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất x =2 Bài 3:

Giải phương trình:

x—y? +2x+4y-+1=2,[(2? +2x+3)(—y? +4y-2)

Giai

x 4+2x4+3=(x+1) +2>05-y? +4y-220

Trang 32

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất (x, y) = (—1, 2)

Trang 33

Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm (+, y) =(5, 1)=(-1, -5)

Bài 5: Giải hệ phương trình: fi Ne (E23 ) xyz = (2) Giai Từ phương trình (1) để fe 2 5 xác định thì +, Y, Z cùng dấu Kết hợp điều kiện xác định ở phương trình (2) ta cĩ x, y, z cùng dương Áp dụng bất đắng thức Cauchy ta cĩ:

(1)<©x=y=z

Thay vào phương trình (2):

Vx =l1ex=1

Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhatx = y = z =1

Bài 6:

Trang 34

Vx—V —1 ty x42 -1<2

Gial Điều kiện: x>1

Với điều kiện x>1, v|x—Ax°—1, 4|x+AÍx?—1 đều khơng âm, áp

dụng bất đắng thức Cauchy:

\x—x|x?—1+4|x+A|x°—1 >2 J ~ Ve -1alx+ x -1=2

—>VT >2

Bất phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi:

Chỉ cĩ nghiệm x=1 théa man điều kiện nên bất phương trình cĩ

nghiệm duy nhất là x =1 Bài 7: Giải hệ bất phương trình: 6x?4|x°—6x+5 = (x° + 4)(x? +2x-6) (1) x42 > 14% (2) Xx Xx GIải 2

X, x luơn cùng dâu, từ phương trình (2) ta cĩ:

Trang 35

2

14450 +4259 52 +2 05250

Xx x x

>x+4>0

Về trái phương trình (1) khơng âm, do đĩ: =>(x°+4)(x?+2x-6)2>0 => x°+2x-6>0 x<-1-J7 ~ ve => x>-14+ V7 x-1>0 => x°+x-5>0

Áp dụng bất đăng thức Cauchy cho 2 s6 x-1, x7 +x—5 taco:

2) x° -—6x4+5 = 2(x-1)( 1)( x +x— 5)< (x- 1)+ (x +x-5) =x" +2x-6

We 3

Áp dụng bắt đẳng thức Cauchy cho 3 số, > 4 taco:

3 3

ax? 39 Cast tide od

=> 6x" V8 —6x45 V3 - 6x45 <(x° +4)(x?+2x-6) —6x+5

=> 6x7? Vx? -6x45 =(x° +4)(x?+2x-6) > 2 -

>x=2

Giá trịx=2 thỏa mãn phương trình thứ hai, do đĩ hệ bất phương trình cĩ nghiệm duy nhất x =2

Bai 8:

Giải phương trình lượng giác:

Trang 36

Giải

Áp dụng bất đăng thức Cauchy cho 4 số ta cĩ:

4 4 4 12

sin® ID) 1] 1] > 44lsin” 2| 3) 4 in? 2x

2 2 2 2 8

4 4 4 12

cos! 2x+( 5 (5) (5) > 44 cos! 2x{ ] 4 cos? 2x

2 2 2 2 8 Cộng về với về ta cĩ: T s 1Ý 4 2, 5 4 sin”2x+cos” 2x + 6| — | >—(sin“2x+cos“2x)=— 2 8 8 c>sinŠ2x+cos82x+2 >2 8 8 3 8 1

& sin’ 2x+cos axe

1 4

— PT sin! 24= cos" 24=(3

4 2 1

& sin’ 2x=cos x= 5

oot sin24x=4 4 4 & cos4x =0 7r œ4x=+kz (keZ) cx=Z+!# (kez) 8 4

Vậy nghiệm của phương trình là x = s1 W (keZ/)

Trang 37

1.3.4 Ung dung trong vat ly

Cùng với bất đẳng thức Bunhia-copxki, bất đăng thitc Cauchy thường được áp dụng để tìm cực trị cho các bài tốn về điện và bài tốn va chạm trong cơ học Bài 1: Cho mạch như hình vẽ: E,r | | LÌ Rx —

E =12V,r =4O, R là biến trở Tìm , để cơng suất mạch ngồi đạt cực

đại Giai Cường độ dịng điện: ï = r+R, Céng suat: 2 2 2 2 p=&, | : J&- 5 é = : -5_ r+R, r x 2 2 Retr i = | y véiy = IR +

E khơng đổi, P lớn nhất khi và chỉ khi y nhỏ nhất.Theo bất đẳng

Trang 38

(i+ 22 Re R TM =4 >y>4 Yạ, =4 ©-/R, “ S8,=r=4@ E2 12 = Fax = Ge = ge = 9 OW) Bai 2: Cho mạch như hình vẽ: A B U¿; =200AÍ2sin(100w) — (V) _4 L==Œ1), C=), R là biến trở

a Tim Ư, để cơng suất trên R, cực đại khi r=0

b Tim R, dé cong suất trên ®, cực đại với r >0 bất kì GIải

a o=100n

Cam khang: Z,;=a@L=100 (Q)

Trang 39

(Z,-Z„}

x

U khong déi, P dat gid trị lớn nhất khi và chỉ khi y nhỏ nhất Theo

VỚIy=_ + bất đắng thức Cauchy: 2 2 R.+—Zc) »; R.:-Zc) -;lz, —z | = 200 R x R ô 2 _ _(Z,-ZÂ) = mạ = 200 © Đ, =2” © R=100 (Q2) x 2 2 2 >P = ự _.“09 = 200 (W) 2|Z,-Z,| 2.100

Vậy cơng suất trén R, dat cyc dai khi R, =100 Q

b Tương tự phân trên ta cĩ:

Tổng trở: Z = \(®, + r) + (Z, —c ý U \(R, +r) +(Z,-Ze) Cường độ dịng điện: 7 = U- Cơng suất: 2 2 2 P=I'R, = (R,+r} +(Z¿—Zc) 7 2 (Z,-Z.) +r ˆ 2 c“— y R,+2r+ x

voiy=R, +274 2e) TỶ Zo) +r

Trang 40

khơng đơi, r khơng đơi, P đạt được khi và chỉ khi y nhỏ nhất Theo bất đăng thức Cauchy:

_ 2 2 _ 2 2

: AZT yal (Ze) 1 _ofloo oF = const

Vậy cơng suất trên #, đạt cực đại khi Ä, = (Z, —Øc y +rˆ, Bài 3:

Cĩ hai điện tích điểm g,=9,=q>0 dat tai hai diém A, B trong khong khi (e=1) Cho biét AB = 2đ Xác định cường độ điện trường tại

M trên đường trung trực AB, cách đường thắng AB một khoảng x

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	3,86 MB