Về định lý collage đối với bài toán ngược trong hình học fractal

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN SỸ THANH VỀ ĐỊNH LÝ COLLAGE ĐỐI VỚI BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG HÌNH HỌC FRACTAL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN SỸ THANH VỀ ĐỊNH LÝ COLLAGE ĐỐI VỚI BÀI TỐN NGƯỢC TRONG HÌNH HỌC FRACTAL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học TS VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2016 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chương1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Mêtric Hausdorff 1.2 Ánh xạ co, hệ hàm lặp định lý Collage 11 Chương2 ĐỊNH LÝ COLLAGE ĐỐI VỚI MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP 19 2.1 Định lý Collage hệ hàm lặp Kannan hệ hàm lặp Reich 19 2.2 Định lý Collage hệ hàm lặp gồm ánh xạ giao hoán Kết luận 26 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NĨI ĐẦU Hình học Fractal (Fractal Geometry) lĩnh vực quan trọng tốn học Nó đươc đề xuất B Mandelberot vào cuối năm 70 kỉ trước Đối tượng tập Fractal Các tập đóng vai trị quan trọng hệ động lực rời rạc, vật lí lượng tử, giải tích Wavelets, đồ thị máy tính, nén ảnh-xử lí ảnh nhiều lĩnh vực khoa học khác Nó mơ hình cho nhiều tượng tự nhiên xã hội Theo J Hutchinson, tập Fractal sinh hệ hàm lặp (Iterated Function System) Một vấn đề quan trọng thực tiễn nói chung hình học Fractal nói riêng cho trước tập Fractal, tìm hệ hàm lặp sinh tập Fractal Vấn đề gọi toán ngược (Inverse Problem) hình học Fractal Bài tốn nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong thực tiễn, việc tìm hệ hàm lặp để tập fractal sinh hệ hàm lặp tập Fractal cho trước khó Có nhiều phương pháp công cụ đưa để giải toán ngược nêu Năm 1989, M F Barnslay định lí Collage cơng cụ hữu hiệu để giải tốn Sau đó, có nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu giải tốn cách sử dụng cơng cụ H Kunze, D L Torre, K Levere, M R Galan, M I Berenguer Vì thế, để tập duyệt với nghiên cứu khoa học tìm hiểu vấn đề này, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn : Về định lý Collage tốn ngược hình học Fractal Mục đích luận văn tìm hiểu, nghiên cứu trình bày chứng minh chi tiết định lí Collage số ánh xạ co (co Bannach, co Kannan, co Reich), ánh xạ giao hoán toán tử fractal sinh số hệ hàm lặp (hệ hàm lặp Kannan, hệ hàm lặp Reich, hệ hàm lặp giao hốn) Với mục đích luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày kiến thức sở cần dùng tốn luận văn như: Mêric Hausdorff, tính chất mêtric Hausdorff, định lí Collage ánh xạ co Bannach, số loại ánh xạ co, hệ hàm lặp, tồn tập bất biến (fractal) qua hệ hàm lặp định lí Collage hệ hàm lặp gồm ánh xạ co Bannach Chương Định lý Collage số hệ hàm lặp Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết định lí Collage số ánh xạ co (co Bannach, co Kannan, co Reich), ánh xạ giao hoán toán tử fractal sinh số hệ hàm lặp (hệ hàm lặp Kannan, hệ hàm lặp Reich, hệ hàm lặp giao hoán) Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình chu đáo nghiêm khắc giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Cô, người bảo cho tác giả kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa sư phạm Toán học, quý Thầy giáo - Cơ giáo tổ Giải tích Khoa SP Tốn học trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt anh, chị, bạn lớp Cao học 22 chuyên ngành Giải tích cộng tác, giúp đỡ, động viên tác giả q trình học tập, nghiên cứu Mặc dù đẵ có nhiều cố gắng, luận văn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong q thầy cơ, bạn bè góp ý để luận văn hồn thiện Vinh, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Sỹ Thanh CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở cần dùng toàn luận văn như: loại ánh xạ co, hệ hàm lặp, mêtric Hausdorff, tính chất khơng gian mêtric Hausdorff, tốn tử Hutchinson tồn tập Fractal, cấu trúc cách xây dựng tập Fractal, định lý Collage 1.1 Mêtric Hausdorff 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn (i) d(x, y) với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; (iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi khoảng cách hay mêtric X (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Dãy (xn ) ⊂ X gọi hội tụ điểm x ∈ X với ε > tồn n ∈ N cho với n > n0 ta có d(xn , x) < ε Lúc ta kí hiệu lim xn = x hay xn → x n→∞ n → ∞ 1.1.3 Định nghĩa ([1]) (i) Cho (X, d) không gian mêtric (xn ) dãy X Dãy (xn ) gọi dãy (hay gọi dãy Cauchy) với ε > tồn n0 ∈ N, cho với n n0 , p ∈ N d(xn , xn+p ) < ε (ii) Khơng gian mêtric (X, d) đựơc gọi đầy đủ dãy X hội tụ 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Tập A ⊆ X gọi tập compact dãy (xn ) A có dãy (xnk )k hội tụ điểm x ∈ A Để xây dựng khái niệm mêtric Hausdorff ta cần kí hiệu khái niệm sau: Cho (X, d) khơng gian mêtric Kí hiệu H(X) = {A : A ⊂ X, A = ∅, A compact} Với x ∈ X, A ∈ H(X) ta định nghĩa khoảng cách từ điểm x đến tập A d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Với δ > cho trước A ⊂ X ta đặt Aδ = {x ∈ X : d(x, A) δ} Khi Aδ gọi δ − bao A Như vậy, δ − bao tâp gồm điểm cách tập A khoảng cách không δ Với cặp A, B ∈ X, ta đặt d(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} = sup inf d(a, b) a∈A b∈B Để ý lấy (X, d) = (R, |.|), ta chọn A=[0, 1], B= [2, 4] ta có d(A, B) = = d(B, A) = Do đó, hàm d khơng có tính giao hốn nên khơng phải mêtric H(X) Vì thế, ta xây dựng mêtric lớp tập sau 1.1.5 Mệnh đề ([3]) Cho (X, d) khơng gian mêtric Khi đó, ánh xạ h : H(X) × H(X) → R (A, B) → h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} mêtric Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện mêtric h Từ cách xác định d(A, B) ta có h(A, B) với A, B ∈ H(X) h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} = kéo theo, d(A, B) = d(B, A) hay A = B A, B ∈ H(X) Hiển nhiên ta có h(A, B) = h(B, A) Ta chứng minh h(A, C) + h(C, B) với A, B, C ∈ H(X) h(A, B) Trước hết ta chứng minh d(A, C) + d(C, B) với A, B, C ∈ H(X) d(A, B) Ta có inf {d(a, c) + d(c, b)} với c ∈ C d(a, B) = inf d(a, b) b∈B b∈B =d(a, c) + d(c, B) với c ∈ C Do d(a, B) = inf d(a, b) b∈B inf d(a, c) + inf d(c, b) b∈B =d(a, c) + d(c, B), với c ∈ C Vậy, ta có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) d(B, A) d(B, C) + d(C, A) Tương tự, ta có Dẫn đến h(A, B) = max{d(B, A), d(A, B))} max{d(A, C) + d(C, B), d(B, C) + d(C, A)} max{d(A, C), d(C, A)} + max{d(C, B), d(B, C)} = h(A, C) + h(C, B) Vậy, h mêtric 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Hàm h xác định Mệnh đề 1.1.4 gọi mêtric Hausdorff (H(X), h) gọi không gian mêtric Hausdorff 1.1.7 Mệnh đề ([3])Ta có h(A, B) = max{d(B, A), d(A, B)} = inf{δ : A ⊂ Bδ , B ⊂ Aδ } Chứng minh Theo định nghĩa h ta có h(A, B) = max{sup{d(a, B)}, sup{d(a, B)}} a∈A b∈B Kí hiệu Ω = {δ : A ⊂ Bδ , B ⊂ Aδ } Ta cần chứng minh h(A, B) = inf{δ : δ ∈ Ω} Đặt α = inf{δ : δ ∈ Ω} Ta chứng minh α = h(A, B) Lấy δ ∈ Ω ta có A ⊂ Bδ suy d(a, B) δ với a ∈ A, dẫn đến sup{d(a, B) : a ∈ A} δ sup{d(b, A) : b ∈ B} δ Tương tự, ta có Do đó, ta có h(A, B) δ với δ ∈ Ω Vì vậy, ta có h(A, B) = inf{δ : δ ∈ Ω} = α Bây ta chứng minh α h(A, B) Ta có sup{d(a, B) : a ∈ A h(A, B) nên d(a, B) h(A, B) với a ∈ A (1.1) 10 đó, ta có A ⊂ Bδ với δ = h(A, B) Tương tự B ⊂ Aδ , với δ = h(A, B) Suy δ ∈ Ω Vậy, ta có α h(A, B) (1.2) Từ (1.1) (1.2) ta suy h(A, B) = α 1.1.8 Mệnh đề ([1]) Nếu (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ (H(X), h) không gian mêtric đầy đủ 1.1.9 Mệnh đề ([1])Ta có tính chất sau (i) Với A, B, C ⊂ X ta ln có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) (ii) Nếu A ⊂ B ⊂ X với C ⊂ X ta có d(C, A) d(C, B); d(A, C) d(B, C) Chứng minh (i) Với c ∈ C ta có d(a, B) = inf d(a, b) b∈B inf {d(a, c) + d(c, b)} b∈B =d(a, c) + d(c, B) Do đó, ta có d(a, B) inf d(a, c) + sup d(c, B) = d(a, C) + d(C, B) c∈C c∈C Lấy suprimum hai vế bất đẳng thức theo a ∈ A ta có d(A, B) d(A, C) + d(C, B) (ii) Do A ⊂ B nên với c ∈ C ta có inf d(c, a) a∈A hay d(c, A) inf d(c, b) b∈B d(c, B) Lấy suprimum hai vế bất đẳng thức theo c ∈ C, ta có sup d(c, A) sup d(c, B) c∈C c∈C 20 Vì T ánh xạ co Kannan nên ta suy d(x, x∗ ) d(x, T (x)) + α[d(x, T (x)) + d(x∗ , T (x∗ ))] = d(x, T (x)) + αd(x, T (x)) + αd(x∗ , x∗ ) = (1 + α)d(x, T (x)) 2.1.3 Nhận xét Mệnh đề 3.3 tài liệu [6] d(x, x∗ ) 1−α d(x, T (x)) − 2α 1−α phương pháp khác dài hơn, đồng thời với α ∈ [0, ) + α − 2α Do đó, kết chúng tơi nêu hiệu việc ứng dụng định lý Collage 2.1.4 Bổ đề ([6]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Kannan liên tục với hệ số co α ∈ [0, ) Xét ánh xạ tập T : H(X) → H(X) B → T B = {T x : x ∈ B} Khi đó, T ánh xạ co Kannan với hệ số co α Chứng minh Do T ánh xạ liên tục nên B ∈ H(X) T (B) ∈ H(X) Lấy B, C ∈ H(X), ta có h(T B, T C) = max d(T B, T C), d(T C, T B) α[max d(B, T B) + d(C, T C); d(C, T C) + d(B, T B) ] = α d(B, T B) + d(C, T C) α h(B, T B) + h(C, T C) Vậy, T ánh xạ co Kannan với hệ số co α 2.1.5 Định lý ([6]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ hệ hàm lặp Kannan S = (X, (Ti )i=1,n ) với Ti : X → X ánh xạ co Kannan liên tục với 21 hệ số co αi ∈ [0, ), i = 1, n Xét ánh xạ fractal T : H(X) → H(X) n A→TA= Ti A i=1 Khi đó, T ánh xạ co Kannan với hệ số co α = max {αi } Hơn nữa, i=1,n T có điểm bất động A ∈ H(X) A = T (A) = lim T n (B) với B ∈ H(X) n→∞ Chứng minh Trước hết ta chứng minh T ánh xạ co Kannan với hệ số co α = max {αi } i=1,n Với n = 1, ta có T ≡ T1 nên theo Bổ đề 2.1.4 T ánh xạ co Kannan với hệ số co α = α1 Với n = 2, với B, C ∈ H(X) ta có h(T B, T C) = h(T1 B T2 B, T1 C T2 C) max h(T1 B, T1 C), h(T2 B, T2 C) max{α1 h(B, T1 B) + h(C, T1 C) ; α2 h(B, T2 B) + h(C, T2 C) } max{α1 , α2 } max{ h(B, T1 B) + h(C, T1 C) ; h(B, T2 B) + h(C, T2 C) } α h(B, T1 B T2 B), h(C, T1 C T2 C) = α [h(B, T B) + h(C, T C)] Vậy, với n = T ánh xạ co Kannan với hệ số co α = max {α1 , α2 } Bằng quy nạp, ta chứng minh T ánh xạ co Kannan với n ∈ N Vì T ánh xạ co Kannan theo Mệnh đề 2.1.1, tồn A ∈ n H(X) để A = T (A) = Ti A i=1 Cuối cùng, tương tự chứng minh Mệnh đề 2.1.1 với B ∈ H(X) ta dãy {Bn } = {T n (B)} hội tụ A 2.1.6 Định lý Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ cho hệ hàm lặp Kannan S = (X, (Ti )i=1,n ) với hệ số co α Khi đó, với L ∈ H(X), 22 gọi A tập bất biến hệ hàm lặp S, ta có h(L, A) (1 + α)h(L, T (L)) Chứng minh Do h mêtric nên ta có h(L, T (L)) + h(T (L), A) h(L, A) Vì A tập bất biến hệ hàm lặp S nên T (A) = A Do đó, ta có h(L, A) h(L, T (L)) + h(T (L), T (A)) Theo Định lý 2.1.5, T ánh xạ co Kannan nên h(T (L), T (A)) α[h(L, T (L)) + h(A, T (A))] = α[h(L, T (L)) + h(A, A)] = αh(L, T (L)) Vậy, h(L, A) h(L, T (L)) + αh(L, T (L)) = (1 + α)h(L, T (L)) 2.1.7 Nhận xét Định lý Collage hệ hàm lặp Kannan thiết lập Định lý 3.8 [6] Tuy nhiên, với kết thu khác h(L, A) 1−α h(L, T (L)) − 2α 1−α Vì α ∈ [0, ) nên + α Do đó, việc ứng dựng định − 2α lý Collage kết chúng tơi có ý nghĩa Hơn nữa, cách chứng minh gọn so với tài liệu [6] Tương tự hệ hàm lặp Kannan, ta có định lý Collage hệ hàm lặp Reich sau 2.1.8 Định lý ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Reich, nghĩa tồn L, M > với L + 2M < cho 23 d(T x, T y) Ld(x, y) + M [d(x, T x) + d(y, T y)] với x, y ∈ X Khi đó, T có điểm bất động p ∈ X Hơn nữa, với n ∞ x0 ∈ X dãy lặp Picard {xn }∞ n=0 = {Tx }n=0 hội tụ x với tốc độ hội tụ đánh giá d(xn , p) bn L+M d(T x0 , x) với b = 1−b 1−M Hệ sau Định lý Collage ánh xạ co Reich 2.1.9 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Reich với hệ số co L, M > 0, L + 2M < Gọi p điểm bất động T Khi đó, với x0 ∈ X, ta có d(x0 , p) L+M d(x0 , T x0 ) với b = 1−b 1−M hay d(x0 , p) 1−M d(x0 , T x0 ) − (L + 2M ) Chứng minh Theo Định lý 2.1.8, với p điểm bất động T với x0 ∈ X bất kỳ, ta có bn L+M d(xn , p) d(x0 , T x0 ) với b = 1−b 1−M 1−M d(x0 , T x0 ) = d(x0 , T x0 ) Thay n = ta có d(x0 , p) 1−b − (L + 2M ) Ta thu kết có ứng dụng tốt cách chứng minh khác sau định lý Collage ánh xạ co Reich 2.1.10 Mệnh đề Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Reich với hệ số co L, M > với L + 2M < Gọi p điểm bất động T Khi đó, với x0 ∈ X ta có d(x0 , p) 1+M d(x0 , T x0 ) = d(x0 , T x0 ) L+M 1−L 1− 1+M 24 Chứng minh Ta có d(x0 , p) d(x0 , T x0 ) + d(T x0 , p) = d(x0 , T x0 ) + d(T x0 , Tp ) p = Tp Mặt khác, T ánh xạ co Reich với hệ số co L, M nên ta có d(T x0 , Tp ) Ld(xo , p) + M [d(x0 , T x0 ) + d(p, Tp )] = Ld(xo , p) + M [d(x0 , T x0 ) + d(p, p)] = Ld(xo , p) + M d(x0 , T x0 ) Do đó, ta có d(x0 , p) d(x0 , Tx0 ) + Ld(x0 , p) + M d(x0 , T x0 ) hay 1+M d(x0 , T x0 ) d(x0 , p) 1−L 2.1.11 Nhận xét Ta có L, M > 0, L + 2M < nên 1+M 1−M < 1−L − (L + 2M ) Do đó, kết Mệnh đề 2.1.10 có ý nghĩa ứng dụng tốt so với kết qủa Mệnh đề 2.1.9 2.1.12 Bổ đề ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co Reich với hệ số co L, M Xét ánh xạ T kết hợp với T xác định T (B) = {T b : b ∈ B} từ H(X) → H(X) Khi T ánh xạ co Reich, nghĩa với B, C ∈ H(X) ta có h(T B, T C) Lh(B, C) + M h(B, T B) + h(C, T C) Tương tự chứng minh Định lý 2.1.4 ta có định lý sau 2.1.13 Định lý ([7]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ Tn , n = 1, , N ánh xạ từ H(X) vào H(X) thỏa mãn h(Tn B, Tn C) Ln h(B, C)+ 25 Mn [h(B, Tn B)+h(C, Tn C)] với B, C ∈ H(X) Ln , Mn 0, Ln +2Mn < Khi đó, ánh xạ fractal T : H(X) → H(X) N B→TB= Tn B i=1 ánh xạ co Reich với hệ số co L = max{L1 , , Ln }, M = max{M1 , , Mn }, nghĩa với B, C ∈ H(X), ta có h(T B, T C) Lh(B, C) + M [h(B, T B) + h(C, T C)] Từ Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.12 Định lý 2.1.13 ta có kết qủa sau 2.1.14 Định lý ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ (X, (Tn )N n=1 ) hệ hàm lặp Reich với Tn : X → X thỏa mãn điều kiện co Reich với hệ số co Ln , Mn , n = 1, , N Khi đó, tồn A ∈ H(X) để A = T A = N Tn A Hơn nữa, với B ∈ H(X) ta có lim h(A, T n B) = n→∞ n=1 Ta có Định lý Collage tương ứng với hệ hàm lặp Reich sau 2.1.15 Định lý Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, L ∈ H(X) (X, (Tn )N n=1 ) hệ hàm lặp Reich với tập bất biến A Khi đó, ta có h(L, A) 1+M h(L, T L) 1−L với T : H(X) → H(X) N L→TL= Tn L i=1 L = max{L1 , , LN }, M = max{M1 , , MN } Chứng minh Vì h mêtric H(X) A tập bất biến T nên ta có h(L, A) h(L, T L) + h(T L, T A) 26 Theo Định lý 2.1.12 T ánh xạ co Reich H(X) nên h(L, A) h(L, T L) + Lh(L, A) + M [h(L, T L) + h(A, T A) Vì h(A, T A) = h(A, A) = nên ta suy h(L, A) 1+M h(L, T L) 1−L 2.1.16 Nhận xét Định lý 3.3 [7] h(L, A) 1−M h(L, − L − 2M N Tn L) i=1 Nhưng với điều kiện < L, M L + 2M < 1, ta có 1−M 1+M < 1−L − L − 2M Vì thế, kết Định lý 2.1.15 có ý nghĩa ứng dụng so với kết [7] 2.2 Định lý Collage hệ hàm lặp gồm ánh xạ giao hoán Năm 1974, W F Pfeffer đưa khái niệm cặp ánh xạ giao hoán chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ dựa vào ánh xạ giao hốn với mà khơng cần khơng gian X đầy đủ f ánh xạ co Sau chúng tơi trình bày chứng minh định lý Collage hệ hàm lặp giao hoán 2.2.1 Định nghĩa ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric hai ánh xạ f, g : X → X Ánh xạ f gọi giao hoán với ánh xạ g f (g(x)) = g(f (x)) với x ∈ X 2.2.2 Mệnh đề ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric f : X → X Khi đó, f có điểm bất động tồn ánh xạ h : X → X giao hoán với f 27 Chứng minh Giả sử tồn ánh xạ h : X → X giáo hoán với f , nghĩa tồn a ∈ X h : X → X cho h(x) = a với x ∈ X, đồng thời h(f (x)) = f (h(x)) với x ∈ X Do đó, ta có a = f (a) Vậy, a điểm bất động f Ngược lại, giả sử f có điểm bất động x0 , nghĩa x0 = f (x0 ) Khi đó, xét ánh xạ h : X → X mà h(x) = x0 với x ∈ X Ta có h(f (x)) = x0 f (h(x)) = f (x0 ) Do đó, f (h(x)) = h(f (x)) với x ∈ X Vậy, h f giao hoán với Bổ đề sau cần cho việc chứng minh kết phần 2.2.3 Bổ đề ([8]) Giả sử (yn ) dãy không gian mêtric đầy đủ (X, d) Nếu tồn α ∈ [0, 1) cho d(yn+1 , yn ) αd(yn , yn−1 ) với n yn → a ∈ X, n → ∞ 2.2.4 Định lý ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ f : X → X liên tục Khi đó, f có điểm bất động tồn α ∈ [0, 1) ánh xạ g : X → X giáo hoán với f thỏa mãn (∗) g(X) ⊂ f (X) d(g(x), g(y)) αd(f (x), f (y))∀x, y ∈ X Hơn nữa, f g có điểm bất động chung (*) Chứng minh Giả sử f có điểm bất động a, nghĩa f (a) = a với a ∈ X Ta xác định ánh xạ g : X → X cho g(x) = a với x ∈ X Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.2 ta có g giao hoán với f g(x) = a = f (a) với x ∈ X nên g(X) ⊂ f (X) Với α ∈ [0, 1) với x, y ∈ X, ta có d(g(x), g(y)) = d(a, a) = αd(f (x), f (y)) Vậy (*) Ngược lại, giả sử tồn g : X → X giao hoán với f thỏa mãn (*) Ta f g có điểm bất động chung 28 Lấy x0 , x1 ∈ X cho f (x1 ) = g(x0 ) Điều xẩy g(X) ⊂ f (X) Tổng quát, chọn dãy (xn ) X cho f (xn ) = g(xn−1 ) Cũng theo (*), ta có d(f (xn+1 ), f (xn )) = d(g(xn ), g(xn−1 )) αd(f (xn ), f (xn−1 )) với n ∈ N Vậy, dãy (f (xn )) hội tụ t ∈ X hay g(xn ) hội tụ t Vì f liên tục nên từ điều kiện tồn α ∈ [0, 1) để d(g(x), g(y)) d(f (x), f (y)) ta suy g liên tục Do dó, ta có g(f (xn )) → g(t) f (g(xn )) → f (t) Lại f g giao hoán nên g(f (xn )) = f (g(xn )) với n ∈ N Do đó, f (t) = g(t) hay f (f (t)) = f (g(t)) = g(f (t)) Dẫn đến, d(g(t), g(g(t))) αd(f (t), f (g(t))) = αd(g(t), g(g(t))) Vì α < nên suy d(g(t), g(g(t))) = 0, hay g(t) = g(g(t)) = f (g(t)) Tức g(t) điểm bất động chung f g Để chứng minh điểm bất động chung nhất, ta giả sử có x = f (x) = g(x) y = g(y) = f (y) Từ giả thiết (*) ta có d(x, y) = d(g(x), g(y)) αd(f (x), f (y)) = αd(x, y) Vì α < 1, kéo theo x = y Hay, điểm bất động chung f g Từ định lý ta thu hệ sau 2.2.5 Hệ ([8]) Giả sử f g ánh xạ giao hốn khơng gian mêtric đầy đủ (X, d), f liên tục g(X) ⊂ f (X) Nếu tồn α ∈ (0, 1) số nguyên dương k cho d(g k (x), g k (y)) f, g có điểm bất động chung αd(f (x), f (y)) với x, y ∈ X 29 2.2.6 Nhận xét Nếu k = f (x) = x với x ∈ X nội dung Hệ 2.2.5 nguyên lý ánh xạ co Banach 2.2.7 Định nghĩa ([8]) 1) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ f : X → X f gọi ánh xạ giao hoán tồn ánh xạ g : X → X thỏa mãn: (i) f giao hoán với g; (ii) g(X) ⊂ f (X); (iii) Tồn α ∈ [0, 1) để d(g(x), g(y)) αd(f (x), f (y)) 2) Họ hữu hạn ánh xạ giao hoán gọi hệ hàm lặp giao hoán 2.2.8 Bổ đề ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f : X → X g : X → X ánh xạ giao hoán với f Khi đó, hai ánh xạ tập Ff , Gg : H(X) → H(X) cặp ánh xạ giao hoán (H(X), h) với hệ số co α, Ff (A) = {f (a) : a ∈ A}, Gg (A) = {g(a) : a ∈ A} Chứng minh Theo Định nghĩa 2.2.7, ta có g(X) ⊂ f (X) Lấy B, C ∈ H(X), ta có d(Gg B, Gg C) αd(Ff B, Ff C)) nên h(Gg B, Gg C) = max{d(Gg B, Gg C), d(Gg C, Gg B)} α max{d(Ff B, Ff C), d(Ff C, Ff B)} = αh(Ff B, Ff C) Mặt khác, với B ∈ H(X) giả sử hàm g : X → X cho g(x) = x0 Ff (Gg B) = Ff ({g(b) : b ∈ B}) = Ff ({x0 }) = {f (x0 )} Gf (Ff B) = Gg ({f (b) : b ∈ B}) = {g(f (b)) : b ∈ B} = {f (g(b)) : b ∈ B} = {f (x0 )} Vậy, Ff (Gg B) = Gg (Ff B) Lại g(x) = x0 với x ∈ X nên với B ∈ H(X) ta có Gg (B) = {g(b) : 30 b ∈ B} = {x0 } Ff ({x0 }) = {f (x0 )} = {f (g(x)) : x ∈ B} = {g(f (x)) : x ∈ B} = {x0 } Vậy, ta có điều phải chứng minh 2.2.9 Bổ đề ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric, gn : H(X) → H(X) ánh xạ giao hoán với hệ số αn với n = 1, , N Ta xác định ánh xạ N G : H(X) → H(X) cho G(B) = gn B Gọi fn : H(X) → H(X) ánh i=1 xạ giao hoán với gn với hệ số αn ánh xạ F : H(X) → H(X) N B → F (B) = fn B i=1 ánh xạ giao hoán với G với hệ số α = max{α1 , , αN } Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Nếu N = bổ đề hiển nhiên Nếu N = 2, ta có h(G(B), G(C)) = h(g1 (B) ∪ g2 (B), g1 (C) ∪ g2 (C)) max{h(g1 (B), g1 (C)), h(g2 (B), g2 (C))} max{α1 h(f1 (B), f1 (C)), α2 h(f2 (B), f2 (C))} = max{α1 , α2 }h(f1 (B) ∪ f2 (B), f1 (C) ∪ f2 (C)) = αh(F (B), F (C)) Dựa vào phương pháp quy nạp, ta có điều phải chứng minh Từ kết trên, ta có định lý sau tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp giao hoán 2.2.10 Định lý ([8]) Giả sử (X, {gi }i=1,n ) hệ hàm lặp ánh xạ giao 31 hoán với hệ số α Xét ánh xạ G : H(X) → H(X) N B → G(B) = gi (B) i=1 Khi đó, G ánh xạ giao hoán (H(X), h) với hệ số co α Do đó, N gi (A) A = lim Gn (B) tồn A ∈ H(X) để A = G(A) = n→∞ i=1 với B ∈ H(X) Sau định lý Collage ánh xạ fractal hệ hàm lặp giao hoán Tuy nhiên với cách chứng minh khác tài liệu 2.2.11 Định lý ([8]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Cho L ∈ H(X) hệ hàm lặp giao hoán (X, {gi }i=1,n ) Gọi A tập bất biến hệ hàm lặp Khi đó, ta có N gi (L)) h(L, h(L, A) i=1 1−α Chứng minh Ta có N h(L, A) = h(L, N gi (L)) + h( i=1 N h(L, gi (L), A) i=1 N gi (L)) + h( i=1 N h(L, N gi (L), i=1 N gi (L)) + αh( i=1 N = h(L, i=1 N gi (L)) + αh( i=1 N d(L, i=1 N fi (L), fi (A)) i=1 fi (L), A) i=1 N gi (L)) + αh( i=1 gi (A)) i=1 gi (L), A) 32 N d(L, gi (L)) + αh(L, A) i=1 Vậy, ta có N h(L, h(L, A) gi (L)) i=1 1−α 33 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày cách xây dựng mêtric Hausdoff chứng minh số tính chất Trình bày chứng minh tồn tập bất biến hệ hàm lặp gồm ánh xạ co Banach Dựa tài liệu [6], [7] [8], đưa chứng minh phiên đinh li Collage ánh xạ co Kannan, ánh xạ co Reich toán tử fractal kết hợp với hệ hàm lặp Kannan, hệ hàm lặp Reich Kết qủa chúng tơi trình bày có ý nghĩa ứng dụng so với kết trình bày [6] [7] Trình bày chứng minh chi tiết tồn tập bất biến qua hệ hàm lặp gồm ánh xạ giao hoán chứng minh phiên định lý Collage hệ hàm lặp 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M F Barnsley (1998), Fractals everywhere, Academic Press, New York [2] M I Berenguer, H E Kunze, D La Torre, and M Ruiz Galan (2015), A collage-based approach to inverse problems for constrained Variational equations, Journal of computational and Applied Mathematics, Accepted [3] J Hutchinson (1981), Fractals and self - semilarity, Indiana Univ J Math, 30, 713-747 [4] H E Kunze, D La Torre, and E R Vrscay (2009), A generalized collage method based upon the Lax-Milgram functional for solving boundary value inverse problems, Nonlinear Analysis.Theory, Methods and Applications, vol 71, No 12, pp e1337-e1343 [5] H Kunze, D La Torre, K Levere, M Ruiz Galan (2015), Inverse problems via the ‘Generalized Collage Theorem’ for vector-valued Lax Milgram-based variational problems, Mathematical Problems in Engineering, Volume 2015, Article ID 764643, pages [6] D R Sahu, A Chakraboty and P R Dubey (2010), K-Iterated function systems, Fractal, 18(1), 139-144 [7] X Shaoyuan, C Suyu and Z Zuoling (2015), Reich’s iterated function system end well-posedness via fixed point theory, Fixed Point Theory and Application-Spinger [8] S C Shrivastara and Padmavati (2011), An iterated function system for commuting mapping, International Journal of Pure and Applied Mathematics Volume 70, No 7, 975-982 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN SỸ THANH VỀ ĐỊNH LÝ COLLAGE ĐỐI VỚI BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG HÌNH HỌC FRACTAL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số:... xạ co, hệ hàm lặp định lý Collage 11 Chương2 ĐỊNH LÝ COLLAGE ĐỐI VỚI MỘT SỐ HỆ HÀM LẶP 19 2.1 Định lý Collage hệ hàm lặp Kannan hệ hàm lặp Reich 19 2.2 Định lý Collage hệ hàm lặp... tập Fractal, tìm hệ hàm lặp sinh tập Fractal Vấn đề gọi tốn ngược (Inverse Problem) hình học Fractal Bài toán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong thực tiễn, việc tìm hệ hàm lặp để tập fractal