Một số định lý fredholm đối với bài toán biên 2 điểm tuyến tính cấp hai với kì dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Bùi Nam Phong MỘT SỐ ĐỊNH LÝ FREDHOLM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ĐIỂM TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Bùi Nam Phong MỘT SỐ ĐỊNH LÝ FREDHOLM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ĐIỂM TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI KÌ DỊ Chun đề: To n Giải í h Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy, cô giáo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, bạn học viên Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình bạn bè động viên giúp đỡ nhiều suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng nhiều luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ toán học với đề tài “Một số định lý Fredholm toán biên điểm tuyến tính cấp hai với kì dị” thực với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, khơng chép Nội dung luận văn tham khảo, trình bày lại kết nhà toán học: I.T.Kiguradze A.G.Lomtatidze từ tài liệu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 03 năm 2017 Học viên thực Đặng Bùi Nam Phong MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU .1 Chƣơng ĐỊNH LÝ FREDHOLM CHO BÀI TỐN DIRICHLET KHƠNG CHÍNH QUY BẬC HAI 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Các kết bổ trợ .5 1.3 Định lý tồn nghiệm cho toán (1.1) (1.2) với điều kiện (1.4) (1.6) 23 Chƣơng ĐỊNH LÝ FREDHOLM THỨ BA CHO BÀI TỐN DIRICHLET KÌ DỊ BẬC HAI .30 2.1 Giới thiệu toán 30 2.2 Các kết bổ trợ 31 2.3 Định lý tính giải toán (2.1) (2.2) toán (2.10) (2.2) có nghiệm khơng tầm thường 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Danh mụ Với x  ký hiệu  x  x  , ta đặt  x   C  I  tập hợp hàm liên tục u : I  Với I      Với u  C  a, b , ta định nghĩa chuẩn u a ,b  max u  t  : t   a, b Cloc  a, b   tập hợp hàm u :  a, b   , liên tục với đạo hàm cấp  a   , b    với   đủ nhỏ Cloc  a, b  tập hợp hàm u :  a, b   , liên tục tuyệt đạo hàm cấp  a   , b    với   đủ nhỏ Lloc   a, b   tập hợp hàm p :  a, b   mà khả tích Lebesgue a   , b    với   đủ nhỏ  : Lloc   ,     Lloc   ,    toán tử định nghĩa:    p  t   exp     p  d     a b   t  Nếu   p   Lloc  a, b  ta định nghĩa:  a  p  t     p  t      p  d t a  Nếu   p   Lloc  a, b ta định nghĩa:  ab  p  t   Với a, b   p  t   t a   p  d    p  d b t , ta đặt u  a    lim u  x  u  b    lim u  x  xa xb MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vi phân hàm xuất từ kỉ 18 cơng cụ tốn học cho tốn vật lí, học hình học Tuy nhiên cuối thể kỉ 19, phương trình vi phân hàm biết đến áp dụng cụ thể chưa có nghiên cứu mang tính hệ thống chúng Đầu kỉ 20, quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt việc ứng dụng khí, sinh học kinh tế Ở thời điểm đó, nhà tốn học theo hướng nghiên cứu xây dựng nên lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm lý thuyết cịn tồn ngày Vào thập niên 1970, phát triển lớn việc xây dựng lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân hàm đề xuất tảng cho lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân hàm xây dựng Các cơng cụ giải tích hàm tơ pơ công cụ hiệu để nghiên cứu lĩnh vực Tuy nhiên việc nghiên cứu tốn biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm thành cơng phần Vẫn cịn nhiều khó khăn việc nghiên cứu phương trình vi phân hàm trường hợp phương trình tuyến tính Vào năm đầu kỉ 20, nhờ định lý Fredholm mà xuất hướng tiếp cận toán Dirichlet Trong năm gần đây, nỗ lực nghiên cứu thành công trường hợp số tốn biên cho phương trình vi phân hàm Đặc biệt cơng trình nghiên cứu tác giả I Kiguradze A Lomtatidze, điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải giải lớp thật rộng toán biên cho phương trình vi phân hàm phát Phương pháp sử dụng phương pháp đánh giá nghiệm kỹ thuật bất đẳng thức vi phân Để hiểu rõ phương trình vi phân hàm số định lý Fredholm, định chọn đề tài“Một số định lý Fredholm tốn biên điềm tuyến tính cấp với kì dị” 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, tơi trình bày lại số kết I Kiguradze A Lomtatidze báo “Fredholm’s alternative for the second-order singular Dirichlet problem” “Fredholm’s third therorem for the second-order singular Dirichlet problem”về tính giải tốn biên khơng quy tuyến tính cấp hai Cụ thể xem xét tồn nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai: u  p  t  u  q  t  với điều kiện biên u  a   0, p, q  LLoc u b    a, b   PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, chủ yếu thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, đọc hiểu Từ tơi tổng hợp trình bày thành luận văn hoàn chỉnh Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Luận văn tài liệu tham khảo cho học viên cao học nghiên cứu sinh muốn tìm hiểu sâu phương trình vi phân Chƣơng ĐỊNH LÝ FREDHOLM CHO BÀI TỐN DIRICHLET KHƠNG CHÍNH QUY BẬC HAI 1.1 Giới thiệu toán Xét toán biên cho phương trình tuyến tính cấp 2: u  p  t  u  q  t  (1.1) với điều kiện biên u(a)  0, p, q  Lloc u(b)  (1.2)  a, b  Trong trường hợp này, phương trình (1.1) toán (1.1)(1.2) gọi kỳ dị Theo kết I Kiguradze A Lomtatidze [9] tính giải tốn biên khơng quy tuyến tính cấp hai, cụ thể theo định lý Green p thỏa   s  a b  s  p  s  ds   b (1.3) a tốn (1.1) (1.2) có nghiệm với q thỏa mãn   s  a b  s  q  s  ds   b (1.4) a toán nhất: u  p  t  u (1.10) u(a)  0, u(b)  có nghiệm tầm thường Thế chiều ngược lại kết khơng phải lúc Xét toán Dirichlet phương trình Euler: u  với ,  t  a  u, u(a)  0, u(b)  số thực Bài toán tương ứng (1.5): u   t  a  u, u(a)  0, u(b)  (1.5) Khi   , toán (1.5) có nghiệm tầm thường Thật vậy, phương trình nhất: u   t  a  u có nghiệm tổng quát u  t   c1 t  a  c2 t  a , k1  k2  , k1   k2 k k k1 , k2 nghiệm phương trình đặc trưng: k2  k   Khi cho t  a , điều kiện biên u  a   nên c1  Bên cạnh đó, u  b   nên c2  Vậy toán (1.5) có nghiệm tầm thường tốn (1.5) có nghiệm Tuy nhiên với p  t    t  a  p khơng thỏa điều kiện (1.3) Thật  b a  s  a  b  s  p  s  ds   b a  b  s   ds sa s b    b  a  ln  s  a   s  s a    b  a  ln  b  a    b  a      b  a  limln  s  a  s a Do limln  s  a    nên s a   s  a b  s  p  s  ds   b a Mâu thuẫn với điều kiện (1.3) □ Ví dụ dẫn ta đến vấn đề liệu ta mở rộng điều kiện (1.3) mà không làm thay đổi kết tìm khơng? Vậy mục đích chương để chứng minh ta thay điều kiện (1.3) điều kiện   s  a b  s   p  s  ds   b a  (1.6) 36  u  t   0 , t   a,     u t u t       Do .u0  t   u  t   0  u0  t   t u   ds  t  a ,    với   u0   u02  s  (2.15) Theo bổ đề 2.2.1, từ (2.15) ta có     , t   a,  t a  a .u0  t   u  t   1 u0  t   với 1  0 2ro2  b  a  Bất đẳng thức với điều kiện u0  a   u  a   dẫn đến lim t a u0  t  t a 0 (2.16) Mặt khác theo bổ đề 1.2.6 tồn M  cho  t  a  u  t   M , t   a,  (2.17) Theo (2.16) (2.17), ta có lim u  t .u0  t   lim  t  a  u  t  t a t a theo (2.11) ta nhận lim u  t .u0  t    t a  Với    a,  thỏa u0  t  t a 0 37 u  t  u0  t   0 , t   a,  Rõ ràng u  a ,b u0  t   0 u u t   a ,b   0 , t   a,  Dẫn đến  t  a  , t   a,0  Tuy nhiên bất đẳng thức (2.16) dẫn đến   , mâu thuẫn Vậy ta có lim  u  t  u0  t   u  t  u0  t    t a  Giới hạn lại lập luận chứng minh tương tự □ Bổ đề 2.2.4 Giả sử p thỏa (2.3) tốn (2.10)(2.2) có khơng nhiều nghiệm bội khơng tầm thường Chứng minh: Với u0 v0 nghiệm không tầm thường (2.10) Theo kết bổ đề 2.2.3( với u  v0 q  ), ta có lim  u0  t  v0  t   u0  t  v0  t    t a  Mặt khác rõ ràng u t  v t   u t  v t   q t  v t   , t   a, b  0 0 nên u0  t  v0  t   u0  t  v0  t   C , t   a, b Do 38 u0  t  v0  t   u0  t  v0  t   , t   a, b (2.18) Chọn t0   a, b  cho u0  t0   Rõ ràng u0  t0   khơng u0  Từ (2.18) dẫn đến v0  t0   Cũng ta có v0  t0   Đặt   u0  t0  v0  t0  w t   u0  t   v0  t  , t   a, b Hiển nhiên w nghiệm (2.10) w  t0   Theo (2.18) dẫn đến w  t0   Suy w  u0  v0 □ Bổ đề 2.2.5 Giả sử p thỏa (2.3) toán (2.10) (2.2) có nghiệm khơng tầm thường u0 Nếu toán (2.1) (2.2) với q thỏa (2.4) giải  q  s  u  s  ds  b (2.5) a Chứng minh: Với u0 nghiệm không tầm thường (2.10) (2.2) u nghiệm toán (2.1) (2.2) Đặt f  t   u  t  u0  t   u  t  u0  t  , t   a, b  39 f   t    u  t  u0  t   u  t  u0  t    u  t  u0  t   u  t  u0  t   u  t  u0  t   u  t  u0  t   u  t  u0  t   u  t  u0  t   u0  t  u  t   u  t  p  t    q  t  u0  t  , t   a, b  Do  a b f   s ds  t  a b q  s  u0  s  ds t nên ab f   f t      a b q  s  u0  s  ds , t   a, b  (2.19) t Theo bổ đề 2.2.3, bổ đề 2.2.1 điều kiện (2.4) từ (2.19), ta có ab f     a b a ab q  s  u0  s  ds f      a b q  s  u0  s  ds b nên a b  q  s  u  s  ds    q  s  u  s  ds  a b a q  s  u0  s  ds  b b a (2.5) thỏa □ 40 Bổ đề 2.2.6 Giả sử p thỏa (2.3), tốn (2.10) (2.2) có nghiệm khơng tầm thường u0 Khi r  cho với q thỏa (2.4), (2.5) n  n0 , nghiệm u tồn n0  toán:   u   p  t    p  t     u  q  t  , n   u  a   , u b  có ước lượng u t   r   s  a b  s  q  s  ds , t a,b b a Chứng minh: Sử dụng phản chứng, giả sử với n , tồn kn  n , qn  Lloc un  Cloc  a, b  thỏa  b  s  a  b  s  qn  s  ds   ,  q  s  u  s  ds  0, b n a a   un  t    p  t    p  t     un  t   qn  t  , t   a, b  kn   un  a   ; un  b   b un  a ,b n   s  a b  s  q  s  ds n a Đặt  a, b  41 un  t   un un  t  , qn  t    a ,b un qn  t  , t   a, b   a ,b Ta có   un  t    p  t    p  t     un  t   qn  t  , t   a, b  kn   (2.20) un  a   ; un  b   un  b a ,b 1 (2.21)  s  a  b  s  qn  s  ds  a n (2.22)  q  s u  s  ds  b n (2.23) a Theo bổ đề 1.2.6 với q  t    p  t    un  t   qn  t  theo (2.21), ta có kn   t  a  b  t  un  t   b  a   n 1 n   s  a b  s   p  s  ds b  a   s  a b  s  q  s  ds, t   a,b  b n ( 2.24) a Trong theo bổ đề 1.2.7 với q  t    p  t    un  t   qn  t  , tồn a0   a, b  , kn  b0   a, b    cho a0   un  t    t  a    s  a   p  s    un  s   qn  s  ds  , t   a, a0  kn   a 42 (2.25) b   un  t    b  t    b  s   p  s    un  s   qn  s  ds  , t  b0 , b  kn   b0 Theo (2.21) (2.24), dãy un n1 bị chặn đồng liên tục  a, b  nên theo  bổ đề Arzela-Ascoli, khơng tính tổng qt, giả sử lim un  t   v0  t   a, b  (2.26) n   với v0  C  a, b  ab lim un    c0 n   (2.27) Theo (2.20) , ta có ab  ab ab un  t   u n    t   un           a b        p   p  u   q             d  ds, t   a, b  n    n a  b  k n       t s Do theo (2.21), (2.22), (2.26) (2.27), ta có ab  ab v0  t   v0    t   c0      Do v0  Cloc  a, b    a b    p   v0   d  ds, t   a, b  a b     t s v0 nghiệm phương trình (2.10) Mặt khác, theo (2.21), (2.22), (2.25) (2.26) v0  t     t  a  , t   a, a0  v0  t     b  t  , t  b0 , b  43 v0 nghiệm toán (2.10) (2.2) Theo (2.22) (2.25) rõ ràng tồn n1  , a1   a, a0  b1  b0 , b  cho un  t   1, t  a, a1   b1, b, n  n1 Do un a ,b   1với n  n1 Theo (2.26), ta có v0 a ,b   nên v0 nghiệm 1 1 khơng tầm thường tốn (2.10) (2.2) Theo bổ đề 2.2.4 tồn   cho v0  t   u0  t  , t   a, b Hơn nữa, theo bổ đề 2.2.5 với q  t   (2.28)  p  t    un  t   qn  t  , (2.21), (2.22), (2.24) kn  (2.28), ta có   p  s  u  s  v  s  ds  b  a n (2.29) Với    a, b     ,b tùy ý theo (2.26) ta có lim n  b  p  s    un  s  v0  s  ds  a  b a  p  s   v02  s  ds (2.30) Theo (2.3), (2.28) bổ đề 2.2.1, hàm  p  v0 khả tích  a, b  Theo (2.21), ta có   a  p  s   un  s  v0  s  ds    a  p  s   v0  s  ds   p  s  u  s  v  s  ds    p  s  b  b  n   v0  s  ds 44 Do từ (2.29) ta có   a  p  s    un  s  v0  s  ds      p  s   un  s  v0  s  ds    p  s  u  s  v  s  ds  b   n Suy            p  s   u  s  v  s  ds    p  s    un  s  v0  s  ds  n  a  a  p  s    un  s  v0  s  ds   p  s    v0  s  ds    p  s  u  s  v  s  ds b     p  s  b   n v0  s  ds với (2.30)  b a Vì  p  s   v02  s  ds    a  p  s   v0  s  ds    p  s  b   v0  s  ds   tùy ý nên ta có  b a  p  s    v02  s  ds  Theo giả thiết v0 khơng tầm thường nên  p   hay p  t   , t   a, b  Tuy nhiên trường hợp tốn (2.10) (2.2) có nghiệm tầm thường Mâu thuẫn □ 2.3 Định lý tính giải đƣợc toán (2.1) (2.2) toán (2.10)(2.2) có nghiệm khơng tầm hƣờng Định lý 2.3.1 Giả sử p thỏa (2.3) toán (2.10) (2.2) có nghiệm khơng tầm thường u0 tốn (2.1) (2.2) với q thỏa (2.4) giải  q  s  u  s  ds  b a thỏa mãn (2.5) 45 Chứng minh: Điều kiện ần: Kết chứng minh bổ đề 2.2.5 Điều kiện đủ: Với u0 nghiệm không tầm thường (2.10) (2.2) , q  Lloc điều kiện (2.5) thỏa Với n0   a, b  thỏa (2.4) r  theo giả thiết bổ đề 2.2.6, với n  n0 tốn:   u   p  t    p  t     u; n   u  a   0, u b  có nghiệm tầm thường Do   n 1 p t  p t           n  p  t    n  (2.31) dẫn đến điều kiện (2.3) nên theo định lý 1.3.1 với n  n0 bất kỳ, tốn :   u   p  t    p  t     u  q  t  , u  a   0, u  b   n   (2.32) có nghiệm un Theo bổ đề 2.2.6, bất đẳng thức un  t   M , t   a, b  , n  n0 M r   s  a b  s  q  s  ds b a Mặt khác theo giả thuyết bổ đề 1.2.6, (2.31), (2.33) ta có (2.33) 46  t  a b  t  un t   M1 , t   a, b  , n  n0  M1  M  b  a     s  a b  s   p  s   ds   a   b (2.34)   s  a b  s  q  s  ds b a Theo (2.33) (2.34) dãy un n1 bị chặn đồng liên tục  a, b  Do  theo bổ đề Arzela-Ascoli, khơng tính tổng qt, giả sử lim un  t   u  t   a, b  n  (2.35)  với u  C  a, b  ab lim un    c0 n   (2.36) Bằng tính tốn trực tiếp, ta có ab  ab ab un  t   u n    t   un           a b        p     p      un    qn    d  ds, t   a, b  a  b  n        t s từ (2.35),(2.36), ta có ab  ab u t   u    t   c0      Do u  Cloc   a b    p  u   q  d            ds, t   a, b  a b     t s  a, b  u nghiệm phương trình (2.1) Với a0   a, b  , b0   a0 , b    thỏa giả thiết bổ đề 1.2.7 Không tính tổng qt, ta xem an  a0 bn  b0 với n  n0 Theo bổ đề 1.2.7 (2.33), ta có 47  un  t     M  t  a    t   a, a0  M  s  a    p  s    qn  s   ds  t  a  a  n   t  b  a0 t M     p  s    qn  s   ds  ,  n    un  t     M  b  t    t  b0 , b  t  b  s   M   p  s    qn  s   ds   b  t   n  M     p  s    qn  s   ds  , b0  n    t Do đó, theo (2.35) ta có  u t     M t  a      s  a  q  s  ds  t  a   a0  u t     M b  t     t  b0  t a t  q  s  ds  , t   a, a0   t b  b  s  q  s  ds  b  t   q  s  ds  , t  b0 , b  Suy ra: u  a   0; u  b   Vậy u thỏa (2.2) u nghiệm toán (2.1) (2.2) □ 48 KẾT LUẬN Nội dung luận văn xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn biên khơng suy biến cho phương trình vi phân cấp hai tuyến tính tốn có nghiệm tầm thường tồn nghiệm tốn có nghiệm khơng tầm thường Cụ thể xét tốn biên khơng quy cho phương trình tuyến tính cấp hai: u  p  t  u  q  t  , (1.1) với điều kiện biên : u  a   0, p, q  LLoc u  b   0, (1.2)   a, b   Bài toán tương ứng (1.1) (1.2) là: u  p  t  u  t  (1.10) u  a   0; (1.2) u b   Trong cơng trình [7], [9], tác giả xây dựng điều kiện đủ để tốn (1.1) (1.2) có nghiệm Các điều kiện là:   s  a b  s  p  s  ds  , (1.3)   s  a b  s  q  s  ds   (1.4) b a b a Nội dung luận văn mở rộng điều kiện (1.3) (1.4) cho tồn nghiệm toán (1.1) (1.2) Cụ thể trình bày lại số kết I.Kiguradze A Lomtatidze [9] [10] 49 Nội dung luận văn gồm chương: Chương Đây nội dung luận văn Trong chương 1, mở rộng điều kiện (1.3)(1.4) cho tồn nghiệm toán (1.1) (1.2) tốn (1.10) (1.2) có nghiệm tầm thường Các kết mệnh đề 1.2.1, bổ đề 1.2.7, bổ đề 1.2.8 định lý 1.3.1 Bên cạnh đó, tốn (1.1) (1.2) có nghiệm ta đánh giá nghiệm thơng qua định lý 1.3.2 Chương Dựa kết chương 1, mở rộng thêm điều kiện tồn nghiệm tốn (1.1)(1.2) tốn (1.10)(1.2) khơng có nghiệm tầm thường Các kết bổ đề 2.2.6, định lý 2.3.1 Từ vấn đề đưa luận văn, câu hỏi đặt kết có cịn hay khơng cho phương trình vi phân phi tuyến tính bậc hai hay phương trình vi phân tuyến tính bậc cao Chính vậy, thơng qua kết đạt luận văn này, tác giả mong muốn mở rộng tiếp tục nghiên cứu vấn đề nêu Tuy nhiên, với hạn chế thân thời gian có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót nhầm lẫn Tác giả mong Q Thầy, Cơ ngồi Hội đồng đóng góp bảo để giúp cho luận văn hoàn thiện 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Arnold V.I., Levi M (1997), Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin Birkhoff G., Rota G.C (1978), Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, New York Boyce W.E., DiPrima R.C (2004), Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 8th Edition, Wiley, New York Chicone C.(1999), Ordinary Differential Equations with Applications, SpringerVerlag, Berlin Gogiberidze N.V., Kiguradze I (1974), “Concerning the disconjugacy of second order singular linear differential equations”, Differencial’nye Uravnenija, 10(4), pp 2064-2067 Hartman P (1964), Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, NewYork Kiguradze I., Shekhter B (1998), “Singular boundary value problems for secondorder ordinary differential equations”, Journal of Soviet Mathematics, 43(2), pp.2340-2417 Jones D.S., Sleeman B.D (2003), Differential Equations and Mathematical Biology, Chapman & Hall/CRC Press, Florida Lomtatidze A., Kiguradze I (1984), “On certain boundary-value problems for second-order linear ordinary differential equations with singularities”, Journal of Mathematical Analysis and Application, 101(2), pp.325-347 10 Lomtatidze A., Oplustil Z (2014), “Fredholm alternative for the second-order singular Dirichlet problem”, Boundary Value Problems, 2014(13), pp.1-15 11 Lomtatidze A., Oplustil Z (2014), “Fredholm’s third theorem for the secondorder singular Dirichlet problem”, Boundary Value Problems, 2014(59), pp.112 ... CHÍ MINH Đặng Bùi Nam Phong MỘT SỐ ĐỊNH LÝ FREDHOLM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ĐIỂM TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI KÌ DỊ Chun đề: To n Giải í h Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... 23 Chƣơng ĐỊNH LÝ FREDHOLM THỨ BA CHO BÀI TOÁN DIRICHLET KÌ DỊ BẬC HAI .30 2. 1 Giới thiệu toán 30 2. 2 Các kết bổ trợ 31 2. 3 Định lý tính giải toán (2. 1) (2. 2)... hợp tốn (2. 10) (2. 2) có nghiệm tầm thường Mâu thuẫn □ 2. 3 Định lý tính giải đƣợc tốn (2. 1) (2. 2) tốn (2. 10) (2. 2) có nghiệm không tầm hƣờng Định lý 2. 3.1 Giả sử p thỏa (2. 3) tốn (2. 10) (2. 2) có nghiệm