Đồng điều kì dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Đồng điều kì dị” tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm LỜI CẢM ƠN Tôi xin cảm ơn thầy Trần Huyên – người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau Đại học thầy Khoa Tốn – Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường suốt khoảng thời gian thực luận văn Qua tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ tơi thời gian thực khóa luận TP Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng năm 2019 HỌC VIÊN Võ Quang Phú MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ Phạm trù 2 Hàm tử hiệp biến hàm tử phản biến Biến đổi tự nhiên hàm tử hiệp biến biến đổi tự nhiên hàm tử phản biến 10 §2 ĐỒNG LUÂN 12 Đồng luân 12 Hai ánh xạ liên tục đồng luân 12 Mệnh đề 2.3 12 Mệnh đề 2.4 13 Phạm trù không gian topo lớp đồng luân ánh xạ liên tục 13 Một số ví dụ đồng luân 15 §3 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU CÁC PHỨC 17 Phức đồng điều phức 17 Phức – Phức thương 25 Dãy khớp ngắn phức 26 Phức nhóm aben 29 Chương 2: ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 33 §1 ĐƠN HÌNH KÌ DỊ 33 Đơn hình mẫu 33 Đơn hình kì dị 37 Phép biến đổi affin 37 Đơn hình kì dị affin 39 Bờ đơn hình mẫu 41 Biên đơn hình kì dị 42 Biên đơn hình affin 43 Biên lặp 43 §2 ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 46 Toán tử bờ 46 Dây chuyền n chiều không gian X 46 Phức kì dị 47 Đồng điều kì dị 52 Không gian acyclic 53 §3 ĐỒNG LUÂN DÂY CHUYỀN CẢM SINH TỪ CÁC ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỒNG LUÂN 56 Không gian co rút 56 Mệnh đề 3.3 57 Bổ đề 3.4 63 Bổ đề 3.5 63 Bổ đề 3.6 65 Định lý 3.5 68 Hệ 3.6 69 TỔNG KẾT 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 MỞ ĐẦU Đồng điều công cụ dùng để đo mức độ mà dãy nửa khớp chệch so với dãy khớp Trong Topo đại số người ta dùng phương tiện đồng điều kì dị để nghiên cứu số bất biến đại số không gian Topo X Để xây dựng đồng điều kì dị, trước tiên người ta đưa khái niệm đơn hình kì dị cách xác lập ánh xạ liên tục từ đơn hình mẫu n chiều vào khơng gian Topo xây dựng tổng hình thức chúng tạo nên dây chuyền kì dị Chính đơn hình kì dị mơ tả cho tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh không gian topo tương ứng Đề tài mà chọn nhằm làm sáng tỏ điều Do vậy, đề tài này, chúng tơi quan tâm đến ánh xạ liên tục đồng luân phép biến đổi dây chuyền cảm sinh từ chúng Luận văn trình bày gồm hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở phạm trù, hàm tử, đồng luân, hai ánh xạ liên tục đồng luân, phức phạm trù phức Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương 2: Là phần luận văn, chương chúng tơi tập trung nghiên cứu đơn hình mẫu, đơn hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị đưa mối tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh khơng gian topo tướng ứng Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, nhà khoa học, bạn học viên, người quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ Phạm trù 1.1 Định nghĩa 1.1 Một phạm trù C bao gồm: i) Một lớp vật, ký hiệu Ob  C  mà vật ký hiệu X , Y , Z Nếu khơng gây nhầm lẫn ta ghi C thay cho Ob  C  ii) Với cặp vật có thứ tự X ,Y có tập cấu xạ từ X vào Y mà ta ký hiệu Mor  X , Y  mà   Mor  X , Y  X gọi miền nguồn  Y gọi miền đích  Nếu   Mor  X , Y  ta viết  Y  : X  Y hay X  iii) Với ba có thứ tự vật X , Y , Z có ánh xạ từ Mor  X , Y   Mor Y , Z  vào Mor  X , Z  gọi phép hợp thành Ảnh cặp cấu xạ  ,    Mor  X , Y   Mor Y , Z  ký hiệu   hay  gọi tích   Đồng thời luật hợp thành phải thỏa điểu kiện: PT1 Với   Mor  X , Y  ,   Mor Y , Z  ,   Mor  Z ,W            tùy ý (tính chất kết hợp) PT2 Với vật X , Y , tồn cấu xạ đồng id X : X  X cấu xạ đồng idY : Y  Y cho với cấu xạ   Mor  X , Y   id X   idY    1.2 Đẳng xạ Ta cần tới cấu xạ đặc biệt đưa định nghĩa đây: 1.2.1 Nghịch đảo trái nghịch đảo phải cấu xạ Định nghĩa 1.2 Nếu   Mor  X , Y  ,   Mor Y , X  cấu xạ phạm trù C thỏa   id X  gọi nghịch đảo trái   gọi nghịch đảo phải  1.2.2 Đẳng xạ Định nghĩa 1.3 Cho   Mor  X , Y  cấu xạ phạm trù C Nếu tồn đồng thời  t  Mor Y , X  nghịch đảo trái   p  Mor Y , X  nghịch đảo phải   gọi đẳng xạ Hơn ta có t  t idY  t  p    t   p  id X  p   p Vậy nghịch đảo trái nghịch đảo phải ký hiệu  1 Vậy  1  t   p 1.2.3 Hai vật đẳng xạ Định nghĩa 1.4 Hai vật X , Y phạm trù C gọi đẳng xạ, ký hiệu X Y , tồn đẳng xạ   Mor  X , Y  1.3 Ví dụ phạm trù Bây giờ, ta đưa hai ví dụ phạm trù mà liên quan luận văn 1.3.1 Phạm trù Top không gian topo ánh xạ liên tục + Lớp vật lớp không gian topo + Với hai không gian topo X Y cấu xạ từ X đến Y ánh xạ liên tục từ X vào Y + Hợp thành hai ánh xạ liên tục  : X  Y ,  : Y  Z tích  : X  Z theo nghĩa thông thường 1.3.2 Phạm trù Ab nhóm giao hốn đồng cấu nhóm + Lớp vật lớp nhóm aben + Với hai nhóm aben X Y cấu xạ từ X đến Y đồng cấu nhóm từ X vào Y 58 Vậy u  x0en01  1  x0  u ' u ' điểm thuộc đơn hình affin  n  1  chiều  n1 cho u '  Với điểm u '  v'  x x1 en1   n1 enn11  x0  x0 x x1 en   n1 enn11  n1 tồn điểm  x0  x0 x x1 en   n1 enn  n cho:  x0  x0  x1  n01  v '   n01    x0 en0   xn1 n  x x en   e1n1   n1 enn11  u '  x0   x0  x0 Vậy với điểm u  n1 , u  x0en01   xn1enn11 với xi  0, i  0, , n  tồn điểm u ' n1, u '  điểm v '  x0   xn  x x1 en1   n1 enn11  x0  x0 x x1 en   n1 enn thuộc  n cho:  x0  x0     snT x0en01  1  x0  u '  snT  u     snT en 1  , x0  , x0    x x n  x0 w  1  x0  T  en   n 1 en  , x0    x0    x0  , x0  w  x0 w  1  x0  T  v ' , u  en01   w , u  en01 Trong v ' điểm thuộc  n cho  n01  u '  v ' Vậy với u   n 1 ta có: snT  u   x0 w  1  x0  T  v ' v ' điểm thuộc  n cho  n01  u '  v ' 59 Như vậy, điểm u   n 1 cho u  x0en01   xn1enn11 , u  en01 thuộc đoạn thẳng nối en01 với u ' với u '  x x1 en1   n1 enn11 ảnh snT  u  u  x0  x0 thuộc vào đoạn thẳng nối điểm w với điểm v '   n cho  n01  u '  v ' Hơn với t  0;1 ta có:     x1 snT  ten01  1  t  u '  snT  ten01  1  t    x1  tw  1  t  T    x0   x0 e1n1   e1n 1   xn 1 n 1   e   x0 n 1   xn1 n1  e   tw  1  t  v '  x0 n1  Vậy snT biến đoạn thẳng nối điểm en01 với điểm u ' đơn hình affin  n  1  chiều  n1 lên đoạn thẳng nối điểm w với điểm T  v ' tập lồi C cách tuyến tính Như snT liên tục điểm u n1 mà u  en01 Bây giờ, ta chứng minh snT liên tục điểm u  en01 Ta có đơn hình affin  n tập compact mà đơn hình kì dị T :  n  C ánh xạ liên tục nên T  n tập compact Do T  n tập compact nên T  n tập đóng bị chặn   Với dãy uk   x0k en01  x1k e1n1   xnk1enn11 k  en01 Khi cho uk  k  k   x0k  Khi x0k  hay nói cách khác  x0k  đó, ta có x0k   x k  xk đó, ta có dãy v 'k    k en0   n1k enn    n T  v 'k   T  n mà T  n tập  x0  1  x0 k  bị chặn nên T  v 'k  dãy bị chặn Ta có dãy T  v 'k  bị chặn  x0k    k  nên  x0k T  v 'k     Do snT uk   x0k w   x0k T  v 'k   w 60 Vậy snT liên tục en01 , snT ánh xạ liên tục từ đơn hình affin  n  1  chiều  n1 vào tập lồi C nên snT :  n1  C đơn hình kì dị khơng gian C Bây giờ, ta chứng minh họ đồng cấu nhóm sn : Sn C   Sn1 C  , n   xây dựng đồng luân co rút phép biến đổi dây chuyền  S  C      : Ta xét phức mở rộng S  C    n1 n   S nC   1 2    S0C   S1C      Xét phép biến đổi dây chuyền đồng 1:  S C            S0C   S1C   1 S0C   S1C     :    S C     S nC     S nC   Ta cần chứng minh phép biến đổi dây chuyền đồng đồng luân dây chuyền   với phép biến đổi dây chuyền từ phức mở rộng S  C   Ta xét họ đồng cấu nhóm sn : S nC  S n 1C , n   vào xây dựng đồng cấu f :  S0C cho f 1  T0 với T0 : 0  C đơn hình kì dị    chiều cho T e00  w với w  C cho trước trên, ta có sơ đồ sau:      f    S 0C  S 0C  n  S n 1C   sn1 n  S n 1C    n1 S nC  sn  n1 S nC  S n 1C  S n 1C  Với n  , với đơn hình kì dị  chiều T bất kì, ta có:  1s0  f   T   1s0 T   f  T   1s0 T   f 1  1s0 T   T0 Ta có: d1  s0T   e00    s0T  11  e00   sT  e10   w  T0 e00  Vậy d1  s0T   T0 61  Ta có: d0  s0T   e00   s0T 10  e00   s0T  e11   0.w  1   T    1 e00   T  e00   Vậy d  s0T   T Suy 1  s0T   d0  s0T   d1  s0T   T  T0 Do đó:  1s0  f   T   1s0 T   T0  T  T0  T0  T  1T  Vậy  1s0  f    u   1 u  với dây chuyền u  S0C Do 1s0  f   Với n  với đơn hình kì dị n  chiều T  SnC bất kì, ta có:   n1sn  sn1 n  T    n1sn T   sn1 n T  Với điểm u  x0en0   xnenn   n cho x0  , ta có: d0  snT   x0en0   xnenn    snT   n01  x0en0   xnenn   snT  x0e1n1   xnenn11   x0  0.w  1   T   1 en0   xn n  e  n   T  x0en0   xnenn  Đặt biệt với u  en0 , ta có:           d0  snT  en0  snT  n01 en0  snT e1n1  0.w  1  T en0  T en0 Vậy d0  snT  u   T  u  với điểm u   n Do d  snT   T với đơn hình n  chiều T  SnC Với số tự nhiên i  , với điểm u  x0en0   xnenn   n cho x0  , ta có: sn1diT  x0en0   xnenn   sn1 T  ni   x0en0   xnenn   x1  x0 w  1  x0  T  ni    x0 en01   xn n1  e   x0 n1  62  x1  x0 w  1  x0  T    x0 en0    xi i 1 xi 1 i 1 x en  en   n enn   x0  x0  x0  Hơn nữa, ta có: di 1  snT   x0en0   xnenn    snT   ni 11  x0en0   xnenn   snT  x0en01   xi eni 1  xi 1eni 21   xnenn11   x1  x0 w  1  x0  T    x0 en0    xi i 1 xi 1 i 1 x en  en   n enn   x0  x0 1 n  Đặt biệt với en0 , ta có: sn1  diT   en0   w di 1  snT   en0    snT   ni 11  en0   snT  en01   w Vậy với số tự nhiên n  , ta có: di 1  snT   sn 1diT , với đơn hình kì dị n  chiều T Khi đó, sn 1 đồng cấu nên ta có: n 1 n 1 n 1  n1  snT     1 di  snT   T    1 di  snT   T    1 sn1  di 1T  i i 0 i 1 i 1 i 1 i 1  n  i  T  sn 1    1 diT   T  sn 1 nT  i 0  Vậy:   n1sn  sn1 n  T    n1sn T   sn1 n T   T  sn1 nT  sn1 n T   T  1T  Suy   n 1sn  sn 1 n   c   1 c  với dây chuyền n  chiều c  SnC Vậy với n  , ta có  n1sn  sn1 n  Ta có:  n1sn  sn1 n  với số tự nhiên n  1s0  f   nên họ đồng cấu  f , sn : SnC  Sn1C , n   đồng luân dây chuyền hai biến đổi  dây chuyền từ phức mở rộng S  C    Hơn với số nguyên k  , ta có vào 63  f  k     kf 1    kT0   k T0   k.1  k Vậy  f    Ta có hai biến đổi dây chuyền từ phức mở rộng S  C   vào đồng ln với  f  Vậy đồng cấu nhóm f :  S0C sn : SnC  Sn1C, n  0,1, đồng luân co rút phép biến đổi dây chuyền  S  C      Do phép biến đổi dây chuyền S  C   có đồng luân co rút nên theo Định lý * 3.20, Chương 1, nhóm đồng điều thỏa mãn tính chất sau: H 0C  H nC  n  Vậy không gian C không gian acyclic Bổ đề 3.4 Cho không gian topo X I  0,1 Khi ta có b, t : X  X  I ánh xạ liên tục cho b  x    x;0  t  x    x;1 b đồng luân với t đồng luân ánh xạ đồng X  I Chứng minh Xét ánh xạ đồng id : X  I  X  I , với x  X , ta có: id  x,0    x,0   b  x  id  x,1   x,1  t  x  Hơn ta có id : X  I  X  I ánh xạ liên tục với t  0;1 , id  x, t  ánh xạ liên tục nên id : b t : X  X I Bổ đề 3.5 Cho I  0,1 , với khơng gian topo X bất kì, ta xét bX , t X : X  X  I ánh xạ liên tục cho bX  x    x;0  t X  x    x;1 với x  X họ ánh xạ S bX  : S  X   S  X  I  , X Top 64 S t  : S  X   S  X  I  , X  Top phép biến đổi tự nhiên từ hàm tử X S vào hàm tử T mà ta định nghĩa Định lý 2.7 Định lý 2.8 §2, Chương Chứng minh Ta có S , T : Top  Ab hàm tử đó, với khơng gian topo X bất kì, ta có S  bX  phép biến đổi dây chuyền từ phức kì dị S  X  vào phức kì dị S  X  I  gồm họ đồng cấu nhóm Sn  bX  : Sn X  Sn  X  I  , n  Khi với Y khơng gian topo bất kì, g : X  Y ánh xạ liên tục từ X vào Y , ta xét sơ đồ sau: SX   X   SX I S b S g S Y  S  g  1  Y   S b (3.5.1) S Y  I  Với số tự nhiên n bất kì, với đơn hình kì dị n  chiều T  Sn X , ta có: Sn  g 1 Sn  bX T    g 1 bX T    g 1T ,0    gT ,0  Hơn ta có: Sn  bY  Sn  g  T  Sn  bY  gT  bY gT   gT ,0  Vậy Sn  g 1 Sn  bX T   Sn  bY  Sn  g  T , T  Sn  X  Do Sn  g 1 Sn  bX   S n  bY  Sn  g  với số tự nhiên n Vậy sơ đồ (3.5.1) giao hốn Vây với khơng gian topo X , Y với ánh xạ liên tục g : X  Y , ta có sơ đồ  3.5.1 giao hoán Vậy b : S  T phép biến đổi tự nhiên Tương tự, ta có S , T : Top  Ab hàm tử đó, với khơng gian topo X bất kì, ta có S  t X  phép biến đổi dây chuyền từ phức kì dị S  X  vào phức kì dị S  X  I  gồm họ đồng cấu nhóm Sn  t X  : Sn X  Sn  X  I  65 Khi với Y khơng gian topo bất kì, g : X  Y ánh xạ liên tục từ X vào Y , ta xét sơ đồ sau: SX   X   SX I S t S g S Y  S  g  1 Y   S t (3.5.2) S Y  I  Với số tự nhiên n bất kì, với đơn hình kì dị n  chiều T  Sn X , ta có: S n  g  1 S n  t X T    g  1 t X T    g  1T ,1   gT ,1 Hơn nữa, ta có: Sn  tY  Sn  g  T  Sn  tY  gT  tY gT   gT ,1 Vậy Sn  g 1 Sn  t X T   Sn  tY  Sn  g  T , T  S n  X  Do Sn  g 1 S n  t X   S n  tY  S n  g  với số tự nhiên n Vậy sơ đồ (3.5.2) giao hoán Vây với không gian topo X , Y với ánh xạ liên tục g : X  Y , ta có sơ đồ  3.5.1 giao hốn Vậy t : S  T phép biến đổi tự nhiên Bổ đề 3.6 Cho không gian topo X I  0,1 Khi ta có b, t : X  X  I ánh xạ liên tục cho b  x    x;0  t  x    x;1 tồn đồng luân dây chuyền u : S  t  S  b  Chứng minh Để xây dựng đồng luân u họ đồng cấu un : Sn  X   Sn 1  X  I  , n , ta thiết lập điều rộng ta xây dựng đồng thời họ phép biến đổi dây chuyền u  u X : S  X   S  X  I  với tất không gian topo cho có tính chất tự nhiên Nghĩa là, với khơng gian topo X bất kì, ta có sơ đồ sau giao hốn với khơng gian topo Y với ánh xạ liên tục g : X  Y 66 SX  uX   SX I S g S Y  S  g  1 uY   (3.6.1) S Y  I  Theo Bổ đề 3.5, ta thấy họ ánh xạ bX , t X : X  X  I phép biến đổi tự nhiên hàm tử Bây ta xây dựng phép biến đổi dây chuyền u qui nạp theo n Đối với n  , đơn hình kì dị  chiều thực chất điểm T  e00   X Để có   u0T , ta chọn đơn hình 1 chiều xác định đẳng thức u0T  x0e10  x1e11   T  e00  , x1        Ta có: d0  u0T   e00   u0T 10  e00   u0T  e11   T  e00  ;1  t T  e00   S t T  e00  Vậy d  u0T   S  t  T  Ta có: d1  u0T   e00   u0T 11  e00   u0T  e10   T  e00  ;0  b T  e00   S b  T  e00  Vậy d  u0T   S  b  T Suy  '1  u0T   d  u0T   d1  u0T   S  t  T  S  b  T Nghĩa là,  '1 u0  S  t   S  b  Bây ta u0 có tính chất tự nhiên tức ta cần sơ đồ sau giao hoán S0  X  u0   S0  X  I  S0  g  S0 Y  S  g  1 u0   (3.6.2) S0 Y  I  Với đơn hình kì dị  chiều T  S0  X  bất kì, với c  x0e10  x1e11   n ta có:    S0  g 1 u0T  x0e10  x1e11   S0  g 1 T  e00  , x1  gT  e00  , x1 Hơn nữa, ta có:  67  u0  S0 g  T   x0e10  x1e11   u0 gT  x0e10  x1e11   gT  e00  , x1  Vậy S0  g 1 u0T  u0 S0 g Do u0 có tính chất tự nhiên Khi n  , giả sử ánh xạ um xây dựng cho tất m  n , nói riêng S  t   S  b    'n un 1  un 2 n 1 , n  ta xem un2  Gọi J n :  n   n ánh xạ đồng đơn hình mẫu Ta xác định un J n  Sn1  n  I  Bờ J n lúc phải thỏa điều kiện sau:  'n 1  un J n   S  t  J n  S  b  J n  un 1 n J n Khi c  S  t  J n  S  b  J n  un 1 n J n dây chuyền Sn  n  I  Ta có:  'n c   'n S  t  J n   'n S  b  J n   'n un 1 n J n  S  t   n J n  S  b   n J n   'n un1 n J n   S t   S b   'n un1  n J n Mà theo giả thiết qui nạp, ta có S  t   S  b    'n un 1  un  2 n 1 Vậy,  'n c  un2 n1 n J n  Suy c  Ker 'n Ta có  n  I tập lồi khơng gian Ơ – clit nên n  I acyclic Vì n  I acyclic nên H n  n  I   với n  Ta có c  Ker 'n nên c  H n  n  I  , c  , tức c  Im  'n1 Do c  Im  'n1 nên tồn dây chuyền a  Sn1  n  I  cho  'n1 a  c Đặt un J n  a , ta có:  'n1  un J n    'n1  a   c  S  t  J n  S  b  J n  un1 n J n Bây giờ, với đơn hình kì dị T : n  X khơng gian X , T  TJ n  S T  J n Khi đặt uT  S T  1 uJ n  S T  1 a , T 1: n  I  X  I cho T 1 u, k   T  u  , k  với điểm u n với số thực k  0;1 68 Ta có:  'n1 uT   'n1  S T 1 a   S T 1  'n1 a  S T 1 c  S T 1  S t  J n  S b  J n  un1 n J n   S T 1 S  t  J n  S T 1 S  b  J n  S T 1 un 1 n J n Do t tự nhiên theo Bổ đề 3.5 nên ta có S T 1 S  t   S  t  S T  Do b tự nhiên theo Bổ đề 3.5 nên ta có S T  1 S  b   S  b  S T  Do un 1 tự nhiên theo giả thiết quy nạp nên ta có S T  1 un1  un1S T  Vậy ta có:  'n 1 unT  S T 1 S  t  J n  S T 1 S  b  J n  S T 1 un 1 n J n  S  t  S T  J n  S  b  S T  J n  un1S T   n J n  S  t  T  S  b  T  un 1 n S T  J n  S  t  T  S  b  T  un1 nT với đơn hình kì dị n  chiều T  Sn X Vậy  'n 1 un  un 1 n  S  t   S  b  Như vậy, tồn đồng luân dây chuyền u : S  t  S  b  Định lý 3.5 Nếu f0 f1 : X  Y ánh xạ liên tục đồng luân với nhau, biến đổi dây chuyền cảm sinh S  f  , S  f1  : S  X   S Y  đồng luân dây chuyền với Chứng minh Do f0 f1 : X  Y nên tồn đồng luân F : X  I  I cho F  x,0   f F  x,1  f1 Xét ánh xạ liên tục b, t : X  X  I cho b  x    x,0  t  x    x,1 , ta có Fb  f Ft  f1 69 Gọi S  F  : S  X  I   S Y  biến đổi dây chuyền từ phức kì dị S  X  I  vào phức kì dị S  Y  cảm sinh từ ánh xạ liên tục F Theo Bổ đề 3.4, ta có đồng luân dây chuyền u : S  t  S  b  Xét họ đồng cấu sn : X  Y , n   cho bởi: un n1   sn  Sn1  F  un : Sn X  Sn1  X  I    Sn1Y S F Khi đó, với đơn hình kì dị n  chiều T  Sn X , ta có:  'n1 sn  sn1n T   'n1 snT  sn1nT   'n1 Sn1  F  unT  Sn  F  un1nT Hơn ta có S  F  phép biến đổi dây chuyền nên ta có:  'n 1 Sn 1  F   Sn  F   ''n 1 Vậy, ta có:  'n1 sn  sn1n T  Sn  F   ''n1 unT  Sn  F  un1nT  Sn  F   ''n1 un  un1n T Ta có họ đồng cấu un : Sn X  Sn  X  I  , n   đồng luân dây chuyền hai phép biến đổi dây chuyền S  t  S  b  nên  ''n 1 un  un 1 n  S  t   S  b  Do đó:   'n1 sn  sn1n T  Sn F  S t   S b T   Sn FS t   Sn FS b T   Sn f  Sn f1 T Vậy   'n 1 sn  sn 1 n  T   S n f  S n f1  T với đơn hình kì dị n  chiều T  Sn X Vậy  'n1 sn  sn1 n  Sn f  Sn f1 Do họ đồng cấu sn : Sn X  Sn 1Y , n   định nghĩa đồng luân dây chuyền hai phép biến đổi dây chuyền Sf Sf1 Vậy hai phép biến đổi dây chuyền S  f  , S  f1  : X  Y đồng luân dây chuyền với Hệ 3.6 Nếu ánh xạ liên tục f0 , f1 : X  Y đồng luân với đồng cấu cảm sinh H  f  , H  f1  : H  X   H Y  70 Chứng minh Ta có f0 , f1 : X  Y đồng luân với nên theo Định lý 3.5, ta có S  f  S  f1  Do S  f  S  f1  nên theo Định lý 3.13 Chương ta có H  f   H  f1  71 TỔNG KẾT Luận văn trình bày phức kì dị, từ đưa định nghĩa đồng điều kì dị mối liên hệ đồng điều kì dị đồng luân Cụ thể: Luận văn trước tiên trình bày định nghĩa đơn hình kì dị n  chiều ánh xạ liên tục từ đơn hình mẫu n  chiều vào khơng gian topo Rồi từ xây dựng nên nhóm aben tự sinh đơn hình kì dị n  chiều Bằng cách thiết lập toán tử bờ mà chúng cảm sinh nên đồng cấu nhóm aben tự sinh đơn hình kì dị, thiết lập phức mà ta gọi phức kì dị Đồng điều kì dị đồng điều phức kì dị Luận văn tiếp tục chứng minh mối tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh khơng gian topo tướng ứng Cụ thể, ta có hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với phép biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh khơng gian topo tướng ứng đồng ln với Đó kết mà luận văn muốn làm sáng tỏ 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002 [2] Joseph J Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Second Edition, Springer, 2009 [3] Trần Huyên, Nguyễn Viết Đông, Đại số đồng điều, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc Gia TPHCM, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, 2003 [4] Henri Cartan – Samuel Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press, 1956 [5] Saunders Mac Lane, Homology, Classics in Mathematics, 1975 [6] A Dold, Lectures on algebraic, Springer, 1972 [7] Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Second Edition, Springer – Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1980 [8] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân, Nhập môn Tôpô Đại số (Đồng điều đồng luân), Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2015 [9] William S Massey, Singular homology theory, Springer, 1980 ... 29 Chương 2: ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 33 §1 ĐƠN HÌNH KÌ DỊ 33 Đơn hình mẫu 33 Đơn hình kì dị 37 Phép biến đổi affin 37 Đơn hình kì dị affin ... cứu đơn hình mẫu, đơn hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị đưa mối tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh khơng gian topo tướng... gian X 46 Phức kì dị 47 Đồng điều kì dị 52 Không gian acyclic 53 §3 ĐỒNG LUÂN DÂY CHUYỀN CẢM SINH TỪ CÁC ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỒNG LUÂN