Đồng điều kỳ dị và ứng dụng vào không gian Euclid

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong tôpô đại số, có hai lĩnh vực quan trọng là lý thuyết đồng điều và lý thuyết đồng luân. Đồng điều kỳ dị là một phần của lý thuyết đồng điều, nhằm nghiên cứu một tập nào đó các bất biến đại số của một không gian tôpô X, gọi là nhóm đồng điều H n X. Nói một cách vắn tắt, đồng điều kỳ dị được xây dựng bằng cách lấy các ánh xạ liên tục từ n-đơn hình tiêu chuẩn đến một không gian tôpô X, rồi xét nhóm Aben tự do sinh bởi tất cả các ánh xạ này, gọi là dây chuyền kỳ dị. Toán tử bờ trên một đơn hình cảm sinh một phức dây chuyền kỳ dị. Khi đó đồng điều kỳ dị là đồng điều của phức dây chuyền này. Các nhóm đồng điều nhận được là như nhau đối với mọi không gian tương đương đồng luân với nhau, đó là lý do cho việc nghiên cứu chúng. Việc xây dựng này có thể áp dụng cho mọi không gian tôpô, và vì vậy đồng điều kỳ dị có thể biểu diễn theo lý thuyết phạm trù, trong đó nhóm đồng điều trở thành một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô đến phạm trù các nhóm Aben phân bậc. Từ thế kỷ 20 đến nay, có nhiều bài toán trong đại số, hình học và tôpô đã được giải quyết trọn vẹn bởi các công cụ của tôpô đại số, trong đó vai trò của lý thuyết đồng điều nói chung và đồng điều kỳ dị nói riêng là rất quan trọng. 2 Do tính thời sự và thể hiện công cụ đắc lực của lý thuyết đồng điều cùng những ứng dụng mang tính hấp dẫn của nó, tôi quyết định chọn đề tài với chủ đề "Đồng điều kỳ dị và ứng dụng vào không gian Euclid" để tiến hành nghiên cứu. Tôi hy vọng bước đầu tìm hiểu sẽ giúp cho bản thân sự đam mê cho nghiên cứu dài lâu và hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về đồng điều kỳ dị và hy vọng tìm ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu đồng điều phức hình, đồng điều kỳ dị và ứng dụng chúng vào không gian Euclid. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết đồng điều kỳ dị. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý thuyết đồng điều, lý thuyết phạm trù hàm tử. 4. Phương pháp nghiên cứu • Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết đồng điều, đặc biệt là đồng điều kỳ dị và các ứng dụng của chúng. • Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 5. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm 4 phần : phụ lục, mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung được chia làm 3 chương: • Chương 1: Đồng điều phức hình. Chương 1 giới thiệu về phức hình, đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều, đồng luân dây chuyền và phức hình tự do. 3 • Chương 2: Đồng điều kỳ dị. Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả quan trọng về đơn hình tiêu chuẩn, phức hình kỳ dị, đồng điều kỳ dị, bất biến qua đồng luân, phân nhỏ trọng tâm và dãy Mayer-Vietoris. • Chương 3: Ứng dụng vào không gian Euclid. Chương 3 đề cập đến ứng dụng vào không gian Euclid. Cụ thể là: đồng điều của các ngăn và mặt cầu, đồng điều địa phương, bậc của một ánh xạ, các tính chất đồng điều của co rút lân cận trong R n và co rút lân cận Euclid. 6. Đóng góp của đề tài Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến đồng điều phức hình, đồng điều kỳ dị và ứng dụng vào không gian Euclid R n nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu đồng điều kỳ dị. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập. 4 Chương 1 ĐỒNG ĐIỀU PHỨC HÌNH Các khái niệm và các kết quả trong chương này có thể tìm thấy từng phần hoặc tất cả trong các tài liệu [1], [2] và [3]. 1.1 Phức hình Định nghĩa 1.1. Một phức hình K là một dãy · · · ←−K n−1 ∂ n ←− K n ∂ n+1 ←− K n+1 ←− · · · các nhóm Aben K n và các đồng cấu ∂ n , được gọi là các toán tử biên (hay toán tử bờ) thỏa mãn ∂ n ∂ n+1 = 0, với mọi số nguyên n. Ta gọi : • Các phần tử của K n là các n - dây chuyền (hay n - xích). • Các phần tử của Z n K = ker (∂ n ) = ∂ −1 n (0) là các n - chu trình. • Các phần tử của B n K = im(∂ n+1 ) = ∂ n+1 (K n+1 ) là các n - biên. Vì điều kiện ∂ n ∂ n+1 = 0 nên B n K ⊂ Z n K. Do đó ta có nhóm thương H n K = Z n K/B n K, gọi là nhóm đồng điều thứ n của phức hình K, các phần tử của nó được gọi là các lớp đồng điều n - chiều. 5 Theo định nghĩa, lớp đồng điều là lớp tương đương các chu trình, hai chu trình z n , z  n ∈ Z n K được gọi là tương đương khi và chỉ khi z n − z  n ∈ B n K. Lớp đồng điều của chu trình z được ký hiệu là [z]. Cho các phức hình K, K  , ta định nghĩa ánh xạ dây chuyền f : K  −→ K là một dãy các đồng cấu f n : K  n −→ K n sao cho ∂ n f n = f n−1 ∂  n với mọi số nguyên n. Phép hợp thành ff  : K  −→ K của hai ánh xạ dây chuyền K  f  −→ K  f −→ K được định nghĩa (ff  ) n = f n f  n . Nó cũng là một ánh xạ dây chuyền. Các phức hình và các ánh xạ dây chuyền tạo nên một phạm trù, được ký hiệu ∂AG. Ta dễ dàng thấy được rằng, ánh xạ dây chuyền f là một đẳng xạ trong phạm trù ∂AG khi và chỉ khi mỗi f n là một đẳng cấu trong phạm trù AG các nhóm Aben. Quan hệ ∂ n f n = f n−1 ∂  n kéo theo f n (Z n K  ) ⊂ Z n K và f n (B n K  ) ⊂ B n K. Vì vậy, khi chuyển qua các nhóm thương, thì mỗi đồng cấu f n cảm sinh một đồng cấu H n f : H n K  −→ H n K, (H n f) [z  ] = [fz  ] , và dễ dàng kiểm tra lại rằng H n (ff  ) = (H n f) (H n f  ) , H n (id K ) = id (H n K) . (1.1) Như vậy, đồng điều là một hàm tử, H n : ∂AG −→ AG. Nếu không có sự nhầm lẫn đáng tiếc nào xảy ra, ta sẽ viết ∂x, fx thay cho ∂ n x, f n x, và dùng ký hiệu H n f = f ∗ , do đó các tính chất hàm tử ở (1.1) được viết lại : (ff  ) ∗ = f ∗ f  ∗ , (id) ∗ = id. 6 Ví dụ 1.1. 1. Một phức hình · · · ←−K n−1 ∂ n ←− K n ∂ n+1 ←− K n+1 ←− · · · gọi là khớp nếu và chỉ nếu ker (∂ n ) = im(∂ n+1 ) với mọi số nguyên n. Do đó, một phức hình K là khớp nếu và chỉ nếu H n K = 0 với mọi số nguyên n. Như vậy, có thể xem đồng điều như một thước đo cho sự thiếu tính khớp. Một phức hình khớp thường được gọi là acyclic (tức là nó không có chu trình nào ngoài biên). 2. Một dãy G = {G n } n∈Z các nhóm (Aben) được gọi là nhóm (Aben) phân bậc. Chẳng hạn, ta thấy dãy ZK = {Z n K} các nhóm chu trình, BK = {B n K} các nhóm biên, hoặc dãy HK = {H n K} các nhóm đồng điều của một phức hình là các nhóm Aben phân bậc. Thật ra Z, B, H là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù ∂AG vào phạm trù GAG các nhóm Aben phân bậc, các cấu xạ ϕ : G −→ G  của phạm trù này là các dãy đồng cấu thông thường ϕ n : G n −→ G  n . Mỗi phức hình K là một nhóm Aben phân bậc với cấu trúc bổ sung bởi toán tử biên ∂ . Mỗi nhóm Aben phân bậc G có thể trở thành một phức hình với ∂ = 0. Điều này xác định một phép nhúng GAG ⊂ ∂AG. Cụ thể, ta có thể xem ZK, BK, HK như các phức hình với các toán tử biên triệt tiêu. Nếu G ∈ GAG thì ZG = G, BG = 0, HG = G. Nếu A là một nhóm Aben và k ∈ Z, ta có nhóm Aben phân bậc, ký hiệu (A, k) như sau: (A, k) n = A nếu n = k, và bằng 0 nếu n = k, tức là (A, k) chỉ tập trung vào số chiều k ,và bằng A ở đó. Điều này xác định được một phép nhúng AG ⊂ GAG. 7 3. Nếu  K λ  λ∈Λ là một họ các phức hình, ta định nghĩa tổng trực tiếp ⊕ λ K λ ∈ ∂AG như sau:  ⊕ λ K λ  n = ⊕ λ  K λ n  , ∂  c λ  =  ∂c λ  , (1.2) tức là ta lấy tổng trực tiếp tại mỗi chiều và toán tử biên ∂ : ⊕ λ K λ n −→ ⊕ λ K λ n−1 sẽ tác động lên từng thành phần. Dễ dàng có được: Z  ⊕ λ K λ  = ⊕ λ ZK λ , B  ⊕ λ K λ  = ⊕ λ BK λ , H  ⊕ λ K λ  ∼ = ⊕ λ HK λ . (1.3) Tương tự với tích trực tiếp  . Nói chung, ta sẽ chuyển các khái niệm từ các nhóm Aben AG vào các phức hình ∂AG bằng cách áp dụng theo từng chiều. Các khái niệm khác như: hạt nhân, đối hạt nhân, thương, đơn cấu, dãy khớp phép chuyển là hoàn toàn tương tự. 4. Nón ánh xạ Đây là một khái niệm kỹ thuật hữu ích. Nếu f : K −→ L là một ánh xạ dây chuyền, ta định nghĩa một phức hình mới Cf, gọi là nón ánh xạ như sau: (Cf) n = L n ⊕ K n−1 , ∂ Cf (y, x) =  ∂ L y + fx, −∂ K x  . (1.4) Kiểm tra được ∂ Cf ∂ Cf = 0 : ∂∂ (y, x) = ∂ (∂y + fx, −∂x) = (∂∂y + ∂fx − f∂x, ∂∂x) = (0, 0) . Nếu L = 0, khi đó f = 0 và lúc này ta ký hiệu Cf = K + , được gọi là treo của K, với : (K + ) n = K n−1 , ∂ K + = −∂ K . Rõ ràng H n K + = H n−1 K, thực ra là H (K + ) = (HK) + . 8 Ta có một dãy khớp ngắn : 0 −→ L ι −→ Cf κ −→ K + −→ 0 (1.5) các ánh xạ dây chuyền, được cho bởi : ιy = (y, 0), κ (y, x) = x. Rõ ràng, dãy khớp ngắn trên chẻ ra tại mỗi số chiều, nhưng nhìn chung sẽ không có ánh xạ dây chuyền nào chẻ ra (chẳng hạn như với K = L = (Z, 0) và f = id). Nón ánh xạ của id : K −→ K được gọi là nón của K, và được ký hiệu là CK. Khi đó, dãy khớp ngắn (1.5) trở thành : 0 −→ K ι −→ CK κ −→ K + −→ 0. (1.6) Nhận xét 1.1. Với K, L là các phức hình, ta xây dựng một phức hình mới Hom (K, L) như sau: [Hom (K, L)] n =  v∈Z Hom (K v , L n+v ) , tức là mỗi phần tử của Hom (K, L) n là một dãy f= {f v : K v −→ L n+v } v∈Z các đồng cấu. Ta định nghĩa : ∂ (f) = {∂ ◦ f v − (−1) n f v−1 ◦ ∂} v∈Z , nó hoàn toàn thỏa mãn ∂ (∂ (f)) = 0. Khi đó : 1. Z o Hom (K, L) bao gồm tất cả các ánh xạ dây chuyền từ K −→ L. 2. Nếu g : L −→ L  là một ánh xạ dây chuyền thì Hom (K, g) : Hom (K, L) −→ Hom (K, L  ) , {f} v → {gf v } , cũng là một ánh xạ dây chuyền và nón ánh xạ của nó CHom (K, g) ∼ = Hom (K, Cg). Tương tự cho ánh xạ dây chuyền K  −→ K. 9 1.2 Đồng cấu nối, dãy đồng điều khớp Định nghĩa 1.2. Nếu K là một phức hình, và K  n ⊂ K n , n ∈ Z là một dãy các nhóm con sao cho ∂ (K  n ) ⊂ K  n−1 với mọi n thì · · · ∂  ←− K  n ∂  ←− K  n+1 ∂  ←− · · · , ∂  = ∂ | K  là một phức hình và ánh xạ bao hàm i : K  −→ K là một ánh xạ dây chuyền (do định nghĩa ∂  ). Lúc này, K  được gọi là phức hình con của K. Chuyển qua các nhóm thương, đồng cấu ∂ n cảm sinh đồng cấu: ∂ n : K n /K  n −→ K n−1 /K  n−1 , và ∂ n ∂ n+1 = 0. Phức hình nhận được K/K  =  K n /K  n , ∂ n  gọi là phức hình thương. Phép chiếu tự nhiên p : K −→ K/K  (gán tương ứng cho mỗi x ∈ K lớp kề [x] = x + K  ∈ K/K  ) là một ánh xạ dây chuyền (do định nghĩa của ∂). Ví dụ 1.2. Cho f : K −→ L là một ánh xạ dây chuyền, thì hạt nhân ker(f) là phức hình con của K, ảnh im(f) là phức hình con của L, với (ker (f)) n = ker (f n ), (im (f)) n = im(f n ). Đồng thời theo định lý đồng cấu ta có K/ ker (f) = im(f). Nhận xét 1.2. Dãy 0 −→ K  i −→ K p −→ K/K  −→ 0 các ánh xạ dây chuyền trong Định nghĩa 1.2 là dãy khớp. Tức là với mỗi số nguyên n, dãy 0 −→ K  n i −→ K n p −→ (K/K  ) n −→ 0 (1.7) là dãy khớp. 10 Ngược lại, nếu dãy 0 −→ K  i −→ K p −→ K  −→ 0 (1.8) là một dãy khớp ngắn các ánh xạ dây chuyền tại mỗi chiều thì K  ∼ = i (K  ) và K  ∼ = K/i (K  ), do đó sai khác phép đẳng cấu thì dãy khớp ngắn của (1.8) đều có dạng (1.7). Mệnh đề 1.1. Nếu 0 −→ K  i −→ K p −→ K  −→ 0 là một dãy khớp ngắn các ánh xạ dây chuyền thì dãy HK  i ∗ −→ HK p ∗ −→ HK  cũng là một dãy khớp. Chứng minh. Ta phải chỉ ra được im(i ∗ ) = ker(p ∗ ). Do pi = 0, ta có p ∗ i ∗ = (pi) ∗ = 0 ∗ = 0, do đó im(i ∗ ) ⊂ ker(p ∗ ). Ngược lại, cho [z] ∈ ker(p ∗ ), tức là pz = ∂  x  với x  nào đó thuộc K  . Chọn x ∈ p −1 (x  ). Khi đó p (z − ∂x) = ∂  x  − ∂  px = ∂  x  − ∂  x  = 0, do đó z − ∂x = iz  với z  nào đó thuộc K  . Hơn nữa, i∂  z  = ∂iz  = ∂ (z − ∂x) = 0, do đó ∂  z  = 0 vì i là đơn cấu. Như vậy, z  là một chu trình, và i ∗ [z  ] = [iz  ] = [z − ∂x] = [z], tức là [z] ∈ im(i ∗ ). Tuy nhiên, nói chung thì i ∗ không nhất thiết là một đơn cấu và p ∗ không nhất thiết là toàn cấu. Một ví dụ minh họa rõ điều này đó là khi ta xét dãy 0 −→ (Z, 0) i=ι −→ C (Z, 0) p=κ −→ (Z, 1) −→ 0 của (1.6) thì người ta đã chỉ ra rằng H C (Z, 0) = 0, ker(i ∗ ) = (Z, 0), H (Z, 1) = (Z, 1) = im(p ∗ ). [...]... 2.3 được áp dụng với các cặp không gian (2.3) 28 2.3 Đồng điều kỳ dị Định nghĩa 2.4 Các nhóm đồng điều kỳ dị của không gian X (tương ứng của cặp không gian (X, A)) được định nghĩa chính là các nhóm đồng điều của các phức hình kỳ dị SX (tương ứng S (X, A)) Ta viết HX = HSX, H (X, A) = HS (X, A) Các nhóm H (X, A) còn được gọi là nhóm đồng điều tương đối của X mod A để phân biệt nhóm đồng điều tuyệt đối... γ∗ vào ker γ∗ Các nhóm này vì thế là hàm tử của X ∈ Top, được gọi là nhóm ˜ đồng điều thu gọn của X và được ký hiệu Hq X = ker (γ∗ : Hq X −→ Hq P ) ˜ Nếu q = 0 thì Hq X = Hq X (do (2.7)) Chú ý 2.3 Nếu X khác rỗng thì ánh xạ bất kỳ ι : P −→ X là nghịch đảo phải của γ, do đó γ∗ ι∗ = id Điều này dẫn tới ˜ H0 X = im (ι∗ )0 ⊕ ker (γ∗ )0 = Z ⊕ H0 X, tức là tại số chiều 0 đồng điều thu gọn và đồng điều không. .. - đơn hình kỳ dị, các phần tử c ∈ Sq X được gọi là các q - dây chuyền kỳ dị của X Theo định nghĩa của nhóm Aben tự do, thì mỗi c ∈ Sq X được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các q - đơn hình kỳ dị, c = cσ σ, với cσ là hệ số nguyên Ta sẽ không phân biệt giữa một đơn hình kỳ dị σ và dây chuyền c khi hệ số khác không duy nhất là cσ = 1 Với q < 0 ta đặt Sq X = 0 Ta xây dựng một đồng cấu q j... tương đương đồng luân, (Z, 0) là một hạng tử trực tiếp của SP và hạng tử trực tiếp khác là đồng luân không ˜ Đặc biệt ker (η∗ ) = ker (γ∗ ) = HX Vì vậy, sự nguy hiểm khi nhầm lẫn giữa hai phép bổ sung γ, η là không quan trọng Mệnh đề 2.5 Nếu X là một không gian con lồi khác rỗng của không gian Euclid Rn thì phép bổ sung η : SX −→ (Z, 0) là một tương đương ˜ đồng luân, cụ thể HX = 0 32 Chứng minh Phương... (2.9) Từ đó ta dễ dàng chứng minh được rằng ∂q+1 Pq = id − Pq−1 ∂q với q > 0, và ∂1 P0 = id − P η tức là {Pq } là một đồng luân id , (2.10) 0 P η Rõ ràng η P = id Vậy η là một tương đương đồng luân Hệ quả 2.1 Nếu Y ⊂ Rn là một không gian con khác rỗng bất kỳ thì ∂∗ : Hq (Rn , Y ) ∼ Hq−1 Y = ˜ Chứng minh (Rn , Y ) là cặp không gian thỏa Y = ∅ nên theo Mệnh đề 2.4 ta có dãy đồng điều khớp thu gọn của cặp... ∼ HL = Chứng minh Nếu ϕ : HK −→ HL là một đẳng cấu, nó có thể được biểu diễn bởi một ánh xạ dây chuyền f : K −→ L và vì vậy f là một tương đương đồng luân bởi Mệnh đề 1.10 Điều ngược lại nằm trong Hệ quả 1.4 Hệ quả 1.6 Nếu K là một phức hình tự do và HK cũng là tự do thì K HK 23 Chương 2 ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ Các khái niệm và các kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu [3] và [5] 2.1... hình kỳ dị của X, và được ký hiệu là SX 26 Chứng minh Với đơn hình kỳ dị σ, ta có j (−1) σεj ∂∂σ = ∂ j (−1) σεj εk j,k j+k = j+k = (−1) j+k σεj εk + j≤k (−1) σεk εj−1 j>k Trong tổng thứ hai ta thay k bởi j và j bởi k + 1 thì các số hạng tương ứng của hai tổng triệt tiêu nhau Vì vậy ∂∂ triệt tiêu trên cơ sở {σ}, do đó ∂∂ = 0 Nếu f : X −→ Y là một ánh xạ liên tục và σ : ∆q −→ X là một đơn hình kỳ dị. .. Z), tức là S là một hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù các phức hình, S : Top −→ ∂AG 27 Chú ý 2.1 Bây giờ ta sẽ khái quát những khái niệm trên vào cặp không gian tôpô (X, A) Nếu i : A −→ X là ánh xạ bao hàm thì ánh xạ i : SA −→ SX là một đơn cấu, do đó SA có thể được xem như phức hình con của SX Thương S (X, A) = SX/SA được gọi là phức hình kỳ dị tương đối của (X, A) Nếu phép chiếu tự... cặp (X, P ) ˜ chứng tỏ rằng κ∗ : H0 X ∼ H0 (X, P ) = 31 Nếu (X, A) là cặp các không gian với A = ∅ thì ta có các ánh xạ γ ι (X, A) −→ (P, P ) −→ (X, A) và γι = id Điều này dẫn tới ι γ∗ ∗ H (P, P ) −→ H (X, A) −→ H (P, P ) và γ∗ ι∗ = id, tức là ˜ H (X, A) = im (ι∗ ) ⊕ ker (γ∗ ) = H (P, P ) ⊕ H (X, A) Như vậy, ι∗ ánh xạ dãy đồng điều của cặp (P, P ) thành một số hạng trực tiếp của dãy đồng điều (X, A),... tương đương đồng luân Chứng minh Ta chứng tỏ: I Nếu phép bao hàm ι : L −→ Cf, ιy = (y, 0) là đồng luân không thì f có một nghịch đảo đồng luân phải g : L −→ K, f g id II Nếu phép chiếu κ : Cf −→ K + , κ (y, x) = x là đồng luân không thì f có một nghịch đảo đồng luân trái h : L −→ K, hf id 0, 18 Mà theo giả thiết thì nón ánh xạ f : K −→ L co rút được, tức là Cf 0, nên ta có ι I Đặt S : ι 0 và κ 0 Do đó . 3: Ứng dụng vào không gian Euclid. Chương 3 đề cập đến ứng dụng vào không gian Euclid. Cụ thể là: đồng điều của các ngăn và mặt cầu, đồng điều địa phương, bậc của một ánh xạ, các tính chất đồng. nghiên cứu đồng điều phức hình, đồng điều kỳ dị và ứng dụng chúng vào không gian Euclid. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết đồng điều kỳ dị. Phạm vi nghiên. thuyết đồng điều và lý thuyết đồng luân. Đồng điều kỳ dị là một phần của lý thuyết đồng điều, nhằm nghiên cứu một tập nào đó các bất biến đại số của một không gian tôpô X, gọi là nhóm đồng điều