BÓ, ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA BÓ VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thanh Tâm 1 Tóm tắt: Bó và lí thuyết về bó là một là một công cụ được dùng phổ biến trong hình học đại số, đặc biệt là lí thuyết về đối đồng điều của bó (trên một đa tạp phức chúng ta có các đối đồng điều Grothendieck, đối đồng điều De Rham, đối đồng điều Dolbeault…). Trong bài viết này, trên cơ sở lí thuyết về bó tổng quát (xem [1]) tác giả đã trình bày về đồng điều của bó: đối đồng điều De Rham, đối đồng điều Dolbeault và đối đồng điều Grothendieck xác định trên một đa tạp phức và mối quan hệ giữa chúng. Các kết quả chính trong bài viết này nói rằng các nhóm đối đồng điều De Rham, đối đồng điều Dolbeault và đối đồng điều Grothendieck đẳng cấu với nhau nếu chúng ta xét trên một đa tạp phức đủ tốt. 1. MỞ ĐẦU Trên một đa tạp phức (xem [3]), chúng ta có rất nhiều các nhóm đối đồng điều khác nhau. Chẳng hạn, chúng ta có các nhóm đối đồng điều Grothendieck ** X H X, , đối đồng điều De Rham * dR H X, , đối đồng điều Dolbeault *,* HX … Khi đó, mối quan hệ giữa các nhóm đối đồng điều này, đặc biệt là trên các đa tạp đủ tốt là như thế nào? Nội dung của bài báo khẳng định về sự đẳng cấu của các nhóm đối đồng điều trên khi xét trên một đa tạp phức. Trong bài viết này tác giả đã sử dụng các phép giải rất quan trọng của bó, đó là phép giải nhão và phép giải mịn (xem [1]) để dẫn tới các chính trong bài viết này. Đó là hai kết quả rất quan trọng trong lí thuyết đối đồng điều của bó, nó thể hiện sự đẳng cấu của các nhóm đối đồng điều mà chúng ta vừa kể trên. Nội dung của bài viết trình bày các vấn đề: bó và một số ví dụ, các phép giải của bó và đối đồng điều của bó. 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Bó và một số ví dụ Trong mục này tôi chỉ giới thiệu sơ lược các khái niệm cơ bản về bó của các nhóm Abelian trên một không gian tô pô xác định trên trường số phức. Chi tiết hơn, có thể xem trong [1] , [2] và [3]. Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tô pô. Tiền bó F trên không gian X cho bởi, mỗi tập mở UXÌ xác định nhóm Abelian ( ) F U cùng với ánh xạ hạn chế ( ) ( ) FF: , , UV r U V U V X® " Ì thỏa mãn điều kiện mọi tập mở W VUÌÌ ta luôn có WWU V UV r r r= . 1 ThS, Trường ĐHSP Hà Nội 2 Một bó của các nhóm Abelian là tiền bó F thỏa mãn với mọi tập mở UXÌ tồn tại một phủ mở ( ) i U của U sao cho ánh xạ ( ) ( ) ( ) FF,| i iU UsU s® P a là một đẳng cấu lên nhóm con ( ) { } ij | : | | i ij i U i U j U s s s s= = . Định nghĩa 1.2. Cho hai tiền bó ,FG . Cấu xạ FG:j ® được cho bởi họ các đồng cấu nhóm ( ) ( ) ( ) FG:,U U U U Xj ®Ì Giao hoán cùng với ánh xạ hạn chế trên các bó. Mệnh đề 1.3. Cho F là tiền bó trên X. Khi đó tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một bó F + trên X thỏa mãn các điều kiện sau: i) Tồn tại cấu xạ FF:f + ® . ii) Mọi bó G và FG:y ® là cấu xạ của các tiền bó tồn tại duy nhất một cấu xạ giữa các bó FG:h + ® sao cho hf y= . Bó F + nói trên được gọi là bó liên kết của tiền bó. Từ mệnh đề trên, ta cũng thấy nếu F là bó thì F + đẳng cấu với F . Định nghĩa 1.4. Bó liên kết với tiền bó UGa , trong đó G là một nhóm Abelian cho trước, được gọi là bó hằng G trên không gian tô pô X. Định nghĩa 1.5. Cho A là bó vành. Một bó của A -mô đun trên không gian tô pô X là bó F sao cho, với mọi UX tập mở thì UF là UA -mô đun sao cho các ánh xạ hạn chế giao hoán với ánh xạ hạn chế của bó cấu trúc. Ví dụ. Cho :E X là một phân thớ véc tơ tô pô (chỉnh hình) trên X. Ta định nghĩa bó E các nhát cắt liên tục (chỉnh hình) là bó được xác định như sau: UxU x U U s:U E | E E , trong đó s là liên tục (chỉnh hình). Định nghĩa 1.6. Một bó F của A -mô đun được gọi là bó tự do nếu tồn tại số n0 sao cho bó F đẳng cấu địa phương với bó n A như bó A -mô đun. Số n ở đây được gọi là hạng của bó F , kí hiệu rankF . 2.2. Các phép giải của bó Định nghĩa 2.1. Cho F là bó A -mô đun trên một đa tạp X. Khi đó, một phức có dạng dãy các bó 03 12 dd dd 1 2 30 F F F F được gọi là một phép giải của bó F nếu nó khớp tại i F với mọi i 1 và 0 kerd F . 2.2.1. Giải de Rham của bó. Kí hiệu k A là bó trên đa tạp phức X của các k-dạng vi phân khả vi vô hạn lần, tức là với mỗi UX là tập mở, I k U f x dx :#I k, Cf A . Ở đây chúng ta kí hiệu 1k I i i dx dx dx . Khi đó từ d.d 0 nên ta có dãy phức d d d 0 1 2 0 A A A , ở đây d là vi phân ngoài trên đa tạp X. Khi đó, bởi bổ đề Poincare, địa phương trên X mọi dạng vi phân đóng đều là dạng vi phân khớp, ta có phức d d d 0 1 2 0 A A A là một phép giải của bó hằng trên đa tạp phức X. phép giải này được gọi là phép giải De Rham của đa tạp X. 2.2.2. Giải Dolbealt của bó. Cho :E X là phân thớ véc toe chỉnh hình của hạng k trên đa tạp phức X cùng với các đẳng cấu tầm thường 1k i i i :U U ,i 1.n sao cho các đồng cấu chuyển ij j ij i ij g : U U là các ánh xạ chỉnh hình. Đặt 0,q EA là C nhát cắt của phân thớ o,q X E (các dạng vi phân kiểu 0,q khả vi cấp C nhận giá trị trong E, ở đây o,q X là tập các dạng vi phân kiểu 0,q trên X khả vi cấp C . Xét trong một tầm thường 1k U UU: chỉnh hình của E thì một phần tử 0,q EA có thể được viết như 1k , , , trong đó mỗi i là một dạng vi phân kiểu 0,q trên X khả vi cấp C xác định trên U với mọi i 1.k . Khi đó, với mỗi i ,i 1.k ta có thể định nghĩa được i là một dạng vi phân kiểu 0,q 1 trên X khả vi cấp C xác định trên U với mọi i 1.k , ở đây nếu trên X ta xét hệ tọa độ địa phương z,z thì là toán tử vi phân trên X lấy theo biến z .Vì vậy ta có thể định nghĩa được 0,q 1 1kU : , , EU A là C nhát cắt của phân thớ o,q X E trên U. Bổ đề 2.2. Cho VX là tập mở bất kì và 1k U UU: là tầm thường chỉnh hình của E. Khi đó, với mọi 0,q 1 E A ta luôn có U V VUUV || . Chứng minh. Ta có thể viết 1U kU 1VUVkV : , , , : , , tương ứng là các biểu diễn của trong các tầm thường U và V . Gọi ma trận UV M là ma trận chuyển từ tầm thường U sang tầm thường V . Khi đó, từ VUUV || theo nghĩa T UV T VUUV M | | và ma trận UV M là ma trận chỉnh hình nên ta có TT 1U VV k 1V kU U M , , , , . Điều này chứng tỏ rằng U V VUUV || . Mệnh đề 2.3. Tồn tại một toán tử 0,q , 1 E 0q E: E AA sao cho trên mỗi tập mở UX ta có E U U | . Chứng minh. Mệnh đề này được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.2 nói trên và tiên đề dán của một bó. Nhận xét 2.4. Từ các tình chất của hàm chỉnh hình ta dễ dàng thấy được rằng bó xác định bởi 0,q q E 0, 1 ke Er: E AA là bó các nhát cắt chỉnh hình E trên E. Mệnh đề 2.5. Với các giả thiết như trên ta có các khẳng định sau: 1) 0,q 0,q E E E q 1 , E ., E AA 2) Mọi 0,q E ,q 0 A là dạng vi phân đóng (tức là E 0 ) đều là dạng vi phân khớp (tức là tồn tại dạng vi phân 0,q 1 E A sao cho E ). Chứng minh. 1) Dễ dàng suy ra từ tính chất của toán tử vi phân ngoài trên đa tạp X. 2) Địa phương với mỗi 0,q EA có thể viết 1k , , . Theo bổ đề Poincare, với mỗi i .,i 1n ta dễ dàng suy ra là dạng vi phân khớp. Tức là, tồn tại dạng vi phân 0,q 1 E A sao cho E . Mệnh đề 2.6. Dãy phức các bó E E E 0.0 0.1 0.2 E EE0 A A A là một phép giải của bó các nhát cắt chỉnh hình E của phân thớ chỉnh hình E. Người ta gọi phép giải này là phép giải Dolbeault của phân thớ chỉnh hình E. 2.3. Đối đồng điều De Rham và Dolbeault của bó 2.3.1. Hàm tử dẫn xuất. Cho F: AB là hàm tử khớp trái từ phạm trù A có đủ nội xạ đến phạm trù B . Khi đó, từ kết quả của lí thuyết đồng điều, tồn tại các hàm tử i F,: 0R iAB thỏa mãn các tính chất sau: i) Với mọi vật MA thì 0 R F M F M . ii) Mọi dãy khớp ngắn 0 M' M M" 0 trong phạm trù A cảm sinh dãy khớp dài trong phạm trù B có dạng 1 1 1 2 0 F M' F M F M" R M' R M R M" RF F F .F M' iii) Với mọi vật nội xạ IA thì i R I 0 iF ,1 . Định nghĩa 3.1. Vật IA được gọi là vật nội xạ trong phạm trù A nếu hàm tử Hom ,I A là hàm tử khớp. Từ tính chất, hàm tử Hom .,I A , ta dễ dàng thấy rằng vật IA là nội xạ khi và chỉ khi với mọi đơn cấu 0 M N và đồng cấu MI trong A tồn tại duy nhất đồng cấu NI sao cho . Khi đó, các hàm tử i R F,i 1 nói trên được xác định cụ thể như sau: từ tính chất phạm trù A có đủ nội xạ nên tồn tại 0 1 0 M I I là một giải nội xạ của vật M trong A . Giải này cho ta phức trong phạm trù B bởi hàm tử F, đó là 0 1 0 F M F I F I Với mỗi i0 , ta đặt i i * R F M : H FI . Từ việc xác định này ta có thể dễ dàng tính toán, kiểm tra được các i R F,i 0 là các hàm tử i F,: 0R iAB thỏa mãn ba tính chất kể trên. Định nghĩa 3.2. Cho F: AB là hàm tử khớp trái từ phạm trù A có đủ nội xạ đến phạm trù B . Khi đó, vật MA được gọi là F acyclic nếu i R M 0 iF ,1 . Một giải 0 1 0 M I I của M được gọi là giải F acyclic nếu các s I là F acyclic với mọi s0 . Mệnh đề 3.3. Cho 0 1 0 M I I là giải F acyclic của M. Khi đó i i * R M H F I iF ,0 . Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề này bằng phương pháp xây dụng công thức truy hồi theo chỉ số i, i 0 . Thật vậy, từ khớp 0 1 0 M I I kéo theo khớp ngắn 0 0 0 M I N 0,N coker M I . Khi đó 12 0 N I I là một giải F acyclic của NA . Dãy khớp 0 0 M I N 0 cảm sinh dãy khớp dài 0 1 1 0 1 2 FF0 F M F I F N R M R I R N R M FF Bởi vì s I ,s 0 là F acyclic nên is R I 0 iF ,1 . Do đó, từ khớp dài nói trên ta có i1i FFR N R M , i 1. Do hàm tử F là hàm tử khớp trái nên 12 F N ker F I F I . Vì vậy, từ 10 R M coker F I FF N ta có 12 1 1 * 01 ker F I F I R M H F I im F I F I F . Áp dụng kết quả này cho mô đun N ta có điều phải chứng minh. 2.3.2. Đối đồng điều của bó. Từ lí thuyết của bó, chúng ta đã biết hàm tử từ phạm trù các bó đến phạm trù các nhóm Abelian là một hàm tử khớp trái. Khi đó, với mỗi bó F đặt ii H X, R , i 0 FF . Các nhóm này được gọi là nhóm đối đồng điều Grothendieck của bó F . Định nghĩa 3.4. Bó F được gọi là bó nhão nếu với mọi tập mở V U X ta có ánh xạ hạn chế trên F là các toàn cấu. Mệnh đề sau có thể xem trong [1]. Mệnh đề 3.5. i) Mọi dãy khớp ngắn 0 " 0 F F F của các bó trên không gian X đều kéo theo dãy XX0 " X 0 F F F (có thể xem [1, II, Ex.1.16]). ii) Trong dãy khớp ngắn của các bó 0 " 0 F F F nếu hai trong ba bó là bó nhão thì bó còn lại cũng là bó nhão ,(có thể xem [1, II, Ex.1.16]). iii) Mọi bó nội xạ I của X O -mô đun đều là bó nhão, (có thể xem [1, III, Lemma 2.4]). Mệnh đề 3.6. Mọi bó F là bó nhão đều là bó acyclic . Chứng minh. Từ phạm trù các bó là phạm trù có đủ nội xạ nên bó F có thể nhúng vào bó I , là bó nội xạ nào đó. Khi đó ta có dãy khớp 0,0 coker F I G G F I . Từ các bó ,FI là các bó nhão nên bó G cùng là bó nhão. Theo giả thiết bó I là bó nội xạ nên i H X, 0, i 0 I , do đó ta có các đẳng cấu i1i H X, H X, , i 1 GF . (3.5.1) Do XX0 X0 F I G nên 1 H X, 0F . Từ công thức truy hồi (3.5.1) trên ta dễ dàng suy ra được i H X, 0, i 0 F . Định nghĩa 3.7. Với mỗi bó F ta gọi bó God F được định nghĩa bởi với mỗi tập mở UX , Go d x xU U FF là bó Godement của bó F . Dễ thầy bó này là một bó nhão, bởi vì các ánh xạ hạn chế từ God x God x x U x V U V ,V U F F F F là các toàn cấu. Xây dựng tương như trên đối với bó God F F ta sẽ xây dựng được bó Godement của bó God F F và cứ làm tương tự như vậy chúng ta sẽ xây dựng được một dãy phức God God God 0 F F F . Phức này dễ dàng chúng ta có thể kiểm tra được nó là một giải của bó F gồm các bó nhão. Giải này được gọi là giải Godement của bó F . Định nghĩa 3.8. Một bó F của các bó A -mô đun trên không gian X, ở đây A là bó các vành trên không gian X, được gọi là bó mịn nếu thỏa mãn tính với mọi phủ mở i Ii U của X tồn tại họ các thành phần đơn vị ii i ii I iI Uf, , f 1f A (tổng này là hữu hạn địa phương), các thành phần đơn vị này phụ thuộc vào phủ mở đã chọn. Chúng ta có thể kiểm tra được kết quả sau về bó mịn đối với bó Godement của một bó mịn cho trước. Mệnh đề 3.9. Một bó F của các bó A -mô đun trên không gian X. Khi đó, nếu F là bó mịn thì bó God F cũng là bó mịn của A -mô đun. Mệnh đề 3.10. Cho F của các bó A -mô đun trên không gian X. Khi đó, nếu F là bó mịn thì đối đồng điều bậc cao của F triệt tiêu, tức là i H X, 0, i 0 F . Chứng minh. Bởi giải Godement của bó F chúng ta có một giải các bó nhão của bó F có dạng d d d d 0 1 2 3 0 I I I I Khi đó từ tính chất của bó nhão là các bó acyclic nên k i i * k k 1 1 k ker H X, H im II FI II , ở đây kk X, II . Lấy k k 1 ker II , từ tính chất khớp địa phương của dãy * 0 I , tồn tại phủ mở I i i U của X và các k1 ii U I sao cho i Uii , Id | i . Theo giả thiết bó F là bó mịn nên tồn tại họ các thành phần đơn vị ii i ii I iI Uf, , f 1f A (tổng này là hữu hạn địa phương). Đặt k1 ii Ii fX I (ở đây nhát cắt ii f là nhát cắt của k1 I trên X, giá trị của nó trong k1 x I được cho bởi bằng ii f nếu i x U và bằng 0 nếu ngược lại). Từ tính chất tổng i iI f1 là hữu hạn địa phương nên định nghĩa k1 ii Ii fX I là hoàn toàn định nghĩa được. Khi đó chúng ta có i i i i i i i i i U I I I d d f f d f | . Vì vậy k1 k im II . Điều này chứng tỏ i H X, 0, i 0 F . Định nghĩa 3.11. Cho X là đa tạp phức, phức 2 dd 01 d X X X0 A A A , ở đây các k XA là bó các k-dạng vi phân C trên X. Ta gọi nhóm đồng điều k k 1 k i dR 1k ker X X H X, im X X AA AA là nhóm đối đồng điều De Rham của X. Mệnh đề 3.12. Cho X là C - đa tạp phức, bó là bó hằng các số thực trên X. Khi đó trên X với mọi i0 các nhóm đối đồng điều Grothendieck i H X, và đối đồng điều De Rham i dR H X, đẳng cấu với nhau. Tức là, trên không gian X ta có i d i R H X, H X, , i 0 . Chứng minh. Ta đã biết một phủ mở I U của đa tạp X bất kì đều tồn tại họ các thành phần đơn vị I f sao cho I f1 , tổng là hữu hạn địa phương. Điều này chứng tỏ các bó p A là các bó mịn của C -mô đun, ở đây C là bó các hàm khả vi C trên đa tạp X. Do đó, giải De Rham (Mục 2.1) của bó hằng trên X là giải mịn, tức là nó là giải acyclic của bó hằng . Khi đó theo Mệnh đề 3.3 ta có i i i * k k 1 k 1 k i dR H X, R H ker X X H X, , i 0. im X X A AA AA Định nghĩa 3.13. Cho X là đa tạp phức, X:E là phân thở véc tơ chỉnh hình trên X, bó E là bó các nhát cắt chỉnh hình của E . Phức Dolbeault các nhát cắt toàn cục của phân thớ véc tơ E E E E 0.0 0.1 0.2 E X E X E0 X A A A , ở đây các 0,k 0,k E X X, EAA là các k-dạng vi phân C kiểu 0,k trên X. Ta gọi nhóm đồng điều 0,k 0,k 0,q 1 0,k 1 0,k ker E X E X H X, im E X E X AA E AA là nhóm đối đồng điều Dolbeault của X. Mệnh đề 3.14. Cho X là C - đa tạp phức, X:E là phân thở véc tơ chỉnh hình trên X, bó E là bó các nhát cắt chỉnh hình của E . Khi đó, trên X với mọi q0 các nhóm đối đồng điều Grothendieck q H X,E và đối đồng điều Dolbeault 0,q H X, E đẳng cấu với nhau. Tức là, trên không gian X ta có q 0,q H X, H X, , q 0 EE . Chứng minh. Tương tự như bó p A , các bó 0,q EA là các bó mịn của của C -mô đun, ở đây C là bó các hàm khả vi C trên đa tạp X. Do đó giải Dolbealt (Mệnh đề 2.6) của bó các nhát cắt chỉnh hình E của phân thớ E là một phép giải acyclic . Vì vậy, theo Mệnh đề 3.3 ta có kết quả i i i 0,* 0,k 0,k 1 0,k 1 0 0 ,k ,i H X, R H E ker X X H X, , i 0. im X X E E A AA E AA Hệ quả 3.15. Cho X là C - đa tạp phức n chiều, X:E là phân thở véc tơ chỉnh hình trên X, bó E là bó các nhát cắt chỉnh hình của E . Khi đó, với mọi qn ta có q H X, 0E . Chứng minh. Kết quả này được suy ra trục tiếp từ Mệnh đề 3.13, cụ thể là mọi qn ta có 0,q H X, 0 E , điều này chứng tỏ rằng q H X, 0E . 3. KẾT LUẬN Bài viết này giới thiệu sơ lược về bó và lí thuyết đối đồng điều của bó. Từ đó khẳng định sự đẳng cấu của các nhóm đối đồng điều De Rham, Dolbeault và đối đồng điều Grothendieck trên một đa tạp phức. Tuy nhiên, trên đa tạp phức còn một loại đối đồng điều nữa, đó là đối đồng điều kì dị * sing H X, , xem trong [4]. Trong một cuốn sách của Claire Voisin đã chứng minh rằng trong trường hợp đa tạp X là không gian co rút được thì bốn loại đối đồng điều De Rham, Dolbeault, Grothendieck và kì dị hệ số thực * sing H X, là đẳng cấu. Vấn đề mở đặt ra là liệu trên đa tạp phức bất kì các nhóm đối đồng điều De Rham, Dolbeault, Grothendieck và kì dị có đẳng cấu với nhau hay không? TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts Mathematics: 52, Springer, New York-Heidelberg-Berlin, 1977. 2. C.A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge University Press, 1994. 3. P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, New York, 1978. 4. E. Spanier, Algebraic Topology, Tata McGraw-Hill publishing company, New Delhi, 1966. SHEAVES, COHOMOLOGY OF SHEAVES AND APPLICATIONS Pham Thanh Tam Abstract Sheaves and sheaves theory to be a tool widely used tool in algebraic geometry. In particular, theory of sheaves cohomology (Grothendieck cohomology, De Rham cohomology and Dolbeault cohomology on complex varieties). In this paper, on base of general sheaves cohomology, author studed to cohomology groups: De Rham cohomology, Dolbeault cohomology and Grothendieck cohomology on a complex varieties and their relative. The princinpal results in this paper say that the De Rham, Dolbeault and Grothendieck cohomology groups isomorphic to each other on a complex varieties. . đồng điều của bó, nó thể hiện sự đẳng cấu của các nhóm đối đồng điều mà chúng ta vừa kể trên. Nội dung của bài viết trình bày các vấn đề: bó và một số ví dụ, các phép giải của bó và đối đồng điều. BÓ, ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA BÓ VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thanh Tâm 1 Tóm tắt: Bó và lí thuyết về bó là một là một công cụ được dùng phổ biến trong hình học đại số, đặc biệt là lí thuyết về đối đồng điều. (xem [1]) tác giả đã trình bày về đồng điều của bó: đối đồng điều De Rham, đối đồng điều Dolbeault và đối đồng điều Grothendieck xác định trên một đa tạp phức và mối quan hệ giữa chúng. Các kết