nhập môn về đối đồng điều, đối đồng điều de rham và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Quang Thái NHẬP MƠN VỀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU, ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU DE RHAM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Quang Thái NHẬP MƠN VỀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU, ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU DE RHAM VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Hình học tơ pơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU DE RHAM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN 1.1 Tốn tử d 1.2 Vi phân ngồi 1.3 Dây chuyền phép lấy tích phân 1.4 Đối đồng điều − chiều đối đồng điều n − chiều 16 1.4.1 Đối đồng điều − chiều 16 1.4.2 Đối đồng điều p − chiều hình cầu .17 1.4.3 Đối đồng điều n − chiều đa tạp 20 CHƯƠNG 2: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU DE RHAM CỦA CÁC ĐA TẠP TRƠN 27 2.1 Dây chuyền, đối dây chuyền 27 2.1.1 Dây chuyền 27 2.1.2 Đối dây chuyền 30 2.1.3 Một vài bổ đề hữu ích 30 2.2 Đối đồng điều de Rham 32 2.2.1 Định nghĩa .33 2.2.2 Bất biến đồng ln 34 2.2.3 Dãy Mayer-Vietoris 37 2.3 Tính đối đồng điều de Rham số đa tạp quen thuộc 39 2.4 Định lý de Rham 46 2.4.1 Đồng điều kỳ dị .46 2.4.2 Đối đồng điều kỳ dị 47 2.4.3 Đồng cấu de Rham 48 2.5 Đối đồng điều có giá compact 52 2.6 Một số ứng dụng đối đồng điều 56 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Trong tốn học đối đồng điều de Rham cơng cụ thuộc hai lãnh vực tơpơ đại số tơpơ vi phân, có khả thể thơng tin tơpơ đa tạp trơn theo dạng đặc biệt phù hợp với việc tính tốn việc thể cụ thể lớp đối đồng điều Đó lý thuyết đối đồng điều dựa tồn dạng vi phân với tính chất định Lý thuyết đối đồng điều xem nhập mơn cho khái niệm thống tơpơ đại số Sử dụng lý thuyết đối đồng điều đối đồng điều DeRham thực việc tính nhóm de Rham tơpơ đại số dễ dàng Thơng qua việc nghiên cứu tính nhóm đối đồng điều số đa tạp quen thuộc, tác giả hi vọng nâng cao hiểu biết lý thuyết đối đồng điều, bước đầu nắm bắt số phương pháp nghiên cứu tơpơ đại số Như nói, đối đồng điều de Rham đối đồng điều dựa dạng vi phân đa tạp trơn Nó sử dụng đạo hàm ngồi ánh xạ biên để đưa nhóm đối đồng điều bao gồm dạng đóng theo modulo dạng khớp Sự tồn dạng khớp ánh xạ đẹp đẽ tơ pơ, vị cho dạng đóng xây dựng cách lấy tích phân chúng đa tạp đó, đa tạp có tính chất tơ pơ cho phép tích phân Việc đòi hỏi dạng đóng khớp đa tạp có cấu trúc tồn cục Luận văn mơ tả mối liên hệ lý thuyết đa tạp trơn hình học vi phân Chúng tơi chọn đề tài nhận thấy có liên quan nhiều với tơpơ đại số tơpơ vi phân, chí nói tạo nên cầu tự nhiên hai lãnh vực Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN THÁI SƠN Trong q trình làm luận văn, thầy ln động viên hướng dẫn tác giả tiếp cận với xu hướng tốn học đại tìm hiểu giải tốn gần kinh điển tơ pơ đại số Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy trực tiếp giảng dạy lớp hình học tơ pơ khố 22 gởi lời q mến đến Tiến sĩ NGUYỄN HÀ THANH, thầy nhiệt tình giúp đỡ tác giả học tập sống Xin gởi lời cám ơn chân thành đến khoa Tốn – Tin, Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học cơng nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh ngày 20 tháng năm 2013 CHƯƠNG 1: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU DE RHAM CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN Trong chương trước hết chúng tơi giới thiệu tốn tử d nghiên cứu tính chất Trong phần tiếp theo, chúng tơi sử dụng tốn tử d để tìm hiểu dây chuyền vi phân, định nghĩa tích phân đa tạp Phần lại chương chúng tơi dành nhiều thời gian đề cập đến đối đồng điều De Rham dạng vi phân định lý hữu ích khác giải tích đa tạp 1.1 Tốn tử d Định lý 1.1.1 Cho M đa tạp khả vi Khi tồn ánh xạ d từ dạng đại số ngồi lớp C k vào dạng đại số lớp C k −1 cho: 1) d (ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2 2) Nếu ω1 dạng bậc r d (ω1 ∧ ω2= ) dω1 ∧ ω2 + (−1)r ω1 ∧ dω2 3) Nếu f hàm khả vi đa tạp M , df vi phân hàm f xác định df = ∑ ∂f dxi ∂x i 4) d ( df ) = Chứng minh Ta cần chứng minh định lý hệ trục tọa độ Thật vậy, tồn dω U với thu hẹp ω U ω lân cận U (U , h ) đồ đa tạp M đẳng thức, ( dω = ) ( dω = ) ( dω U ∩ V ) U U ∩V V U ∩V Ta suy dω có nghĩa phần giao xác định dạng vi phân tồn đa tạp M Ta chứng minh tốn tử d tồn thoả điều kiện nêu Thật vậy, giả sử tồn ánh xạ d thoả điều kiện định lý Khi đồ, dạng tích phân ngồi viết dạng tổ hợp tuyến tính dạng fdx i1 ∧ ∧ dx p i Theo tính chất 2), 3) 4) nêu định lý ta có: ( ) d fdx i1 ∧ ∧ dx p = df ∧ dxi1 ∧ ∧ dx p i i Vậy ánh xạ d Bây ta chứng minh tồn ánh xạ d Nếu = ω ∑ i1 < = (U ; )  Vì ta cần I : H dH (U ) → H (U ; ) đẳng cấu Lấy ∆ ={0} , H dR0 (U ) chứa tất hàm f : M →  ta tính I [= f ][σ ] σ*f ∫= (f =  σ )(0) f ∆0 □ Do f ∈  nên U de Rham Bổ đề 2.4.3.4 Cho {U i }i∈I tập hợp tập de Rham,mở rời M ,  i∈I U i de Rham Chứng minh Ta biết H dRp ( i∈I U i ) ≅  i∈I H dRp (U i ) , điểu tương tự mơ tả cho H p ( i∈I U i ; ) ≅  i∈I H p (U i ; ) Theo bổ đề mơ tả tính tự nhiên đồng cấu de Rham sơ đồ sau giao hốn; H dRp (U i ) H ≅  → i∈I I↓ H ( U i ;  ) p i∈I i∈I p dR (U i ) ≅↓  →  H p (U i ; ) □ ≅ i∈I Bổ đề 2.4.3.5 Cho U V tập đa tạp trơn M , U ,V U ∩ V de Rham U ∪ V de Rham 51 Chứng minh Xét dãy Mayer-Vietoris cho đối đồng điều de Rham đối đồng điều kỳ dị tương ứng; ↓ H dRp (U ∪ V ) ↓ H (U ) ⊕ H dRp (V ) ↓ p dR H dRp (U ∩ V ) ↓ p +1 H dR (U ∪ V ) ↓ ↓ I  → H p (U ∪ V ; ) ↓ p ≅  → H (U ; ) ⊕ H p (V ; ) ↓ ≅  → H p (U ∩ V ; ) I  → H p +1 ↓ (U ∪ V ; ) ↓ Ta áp dụng bổ đề năm để có H dRp (U ∪ V ) ≅ H p (U ∪ V ; ) □ Điều chứng tỏ U ∪ V de Rham Định lý 2.4.3.2 (de Rham) I : H dRp ( M ) → H p ( M ; ) đẳng cấu Chứng minh Ta cần tất đa tạp trơn de Rham Theo bổ đề 2.4.3.3, 2.4.3.4 2.4.3.5 ta suy đa tạp trơn de Rham □ 2.5 Đối đồng điều có giá compact Với đối đồng điều de Rham ta tìm bất biến vi phơi đa tạp trơn Tuy nhiên đối đồng điều de Rham khơng đưa loại khả vi đa tạp co rút Đây lý ta giới thiệu thay đổi nhỏ đối đồng điều de Rham 52 Định nghĩa 2.5.1 Một hàm f :M → gọi có giá compact supp( f ) := { p ∈ M : f ( p) ≠ 0} compact Định nghĩa 2.5.2 Γcn ( M ) ⊂ Γ n ( M ) tập tất n − dạng có giá compact (hoặc hàm hệ số có giá compact) Xét trường hợp thơng thường Γ• ( M ), Γ•c ( M ) hình thành phức dây chuyền với tốn tử vi phân Ta kí hiệu nhóm đối đồng điều thứ n H cn ( M ) Nhóm gọi nhóm de Rham có giá compact thứ n Nhưng định nghĩa có khác biệt với đối đồng điều de Rham thơng thường? Rốt cuộc, tất dạng vi phân đóng có giá compact đóng tập dạng vi phân Sự khác biệt dạng vi phân khớp, phản đạo hàm cần có giá compact Ta có nhận xét đa tạp trơn compact tất dạng vi phân có giá compact, định nghĩa trùng Γcq ( M ) = Γ q ( M ) Một vấn đề đặt cách tự nhiên phải đối đồng điều de Rham có giá compact bất biến đồng ln Sau ta chứng minh giả định hồn tồn khơng Bổ đề 2.5.1 H c1 () ≅  Chứng minh Cho I : H c1 () →  ánh xạ ω  ∫ ω Ánh xạ hồn tồn xác định ∞ df ∫−∞ dx dx= ∫ R −R df dx= f ( R ) − f (− R ) , f có dx giá compact bên ngồi tập compact  (các tập compact bị chặn khơng gian Hausdorff) f ( R) = f (− R) = với R đủ lớn 53 Ánh xạ trình bày tồn ánh xác định hàm trơn có giá compact mà lấy tích phân Ta kiểm tra tính đơn ánh tức chứng tỏ ∫  ω = ω = dη Với ω = fdx ta định nghĩa hàm sau F ( x) = ∫ x −∞ f (t )dt Rõ ràng dF = fdx = ω Ta chứng minh F ( x) có giá compact Nếu ta chọn R đủ lớn ta có F ( R) = F= (r ) R ∞ −∞ −∞ f ( R)dt ∫ = f (t )dt ∫= ∫ r −∞ f (t = )dt Cũng ta chọn r[...]... nhau ta suy ra deg( f ) = x f 1 (y) = 0 neỏu f 1 ( y ) = signJ x ( f ) Túm li nu M l mt a tp liờn thụng thỡ nhúm i iu iu n chiu ca nú l 26 CHNG 2: I NG IU DE RHAM CA CC A TP TRN Trong chng 1 chỳng tụi tỡm hiu v chng minh c mt s kt qu v i ng iu De Rham ca cỏc a tp liờn thụng da vo i ng iu De Rham ca cỏc dng vi phõn cú giỏ compact Trong chng ny chỳng tụi tip tc tỡm hiu v i ng iu De Rham ca cỏc... khp Vỡ vy M f *( ) l mt ng cu t H cn ( M 2 ) vo cỏc s thc Vỡ H cn ( M 2 ) l 1chiu nờn nú l phộp nhõn no ú ca ng cu M Do ú ta 2 cú ng thc M1 f * = deg( f ) nhng cha khng nh c M2 deg( f ) l mt s nguyờn kim tra deg( f ) l mt s nguyờn ta th li deg( f ) = x f 1 ( y ) signJ x ( f ) = 0 neỏu f 1 ( y ) = Ta cú nhn xột rng tng trong ng thc trờn l hu hn: f l ỏnh x riờng kh vi do ú f 1 ( y ) l... = f * f= Vỡ vy f * l dng khp Nhn xột : Cỏi kộo li trong nh ngha trờn c kớ hiu l H dRp ( M )( f ) 2.2.2 Bt bin ng luõn Ta ó xỏc nh c mt s cỏc nn tng ca nhúm i ng iu de Rham l tng i rừ rng nhng vn cha cú th tớnh toỏn i ng iu De Rham ca mt s khụng gian m ta s cp di Vỡ vy chỳng tụi tỡm hiu thờm v cỏc bt bin ng luõn thun tin trong tớnh toỏn cỏc nhúm ny u tiờn ta chng minh bt bin ng luõn Nh ó bit,... Cho M 1 , M 2 l cỏc a tp n chiu liờn thụng v nh hng, f l mt ỏnh x riờng kh vi t M 1 M 2 Khi ú tn ti mt s nguyờn gi l bc ca f v kớ hiu l deg( f ) sao cho M1 f * = deg( f ) , M2 vi bt k n dng cú giỏ compact trờn M 2 Vi bt k giỏ tr chớnh quy y M 2 deg( f ) = x f 1 ( y ) signJ x ( f ) = 0 neỏu f 1 ( y ) = õy signJ x ( f ) l hm du ca nh thc Jacobi ca f i vi cỏc h trc ta dng ti x v... chu trỡnh, v mt dng khp l mt i b Khụng gian thng ca khụng gian cỏc p dng úng theo cỏc p dng khp c gi l nhúm i ng iu (De Rham) p chiu ca M v kớ hiu l H p ( M ) nh ngha 1.3.6 Cho S l mt n hỡnh p chiu v l mt dng vi phõn bc p Dng S *( ) c nh ngha trong lõn cn no ú ca n hỡnh Euclide p chiu p Gi s rng = S *( ) a i1 i p dx i1 dx p õy x1 , , x n l cỏc ta c s trờn E n Ta i nh ngha = a s... cỏc dng vi phõn cú giỏ compact Trong chng ny chỳng tụi tip tc tỡm hiu v i ng iu De Rham ca cỏc a tp trn tng quỏt hn Trc ht chỳng tụi trỡnh by mt s ni dung c bn v tụ pụ i s cú liờn quan Sau ú vỡ i ng iu de Rham c kho sỏt nh l mt trng hp c bit ca lý thuyt ng iu, do ú thy ht tm quan trng ca nú chỳng tụi s xỳc tin tỡm hiu khỏi nim ny tng bc 2.1 Dõy chuyn, i dõy chuyn Trong phn ny chỳng tụi s khụng cp v... C 0 khi ú vi mi n tn ti mt ng cu ni : H n (C ) H n +1 ( A) , sao cho dóy sau l khp, H n 1 (C ) H n ( A) H n ( B) H n (C ) H n +1 ( A) * * n = ( ), * H n ( ) ú * H= 2.2 i ng iu de Rham 32 Bõy gi ta ỏp dng lý thuyt i ng iu c bn trỡnh by trờn vo trng hp cỏc a tp 2.2.1 nh ngha Ta s dng cỏc mụ-un vo trong trng hp ny l cỏc khụng gian vect thc, tc l cỏc khụng gian vect hoc cỏc k... minh Nhn xột rng n ( M ) l mt khụng gian vect thc, do ú l mt module v d l mt ỏnh x tuyn tớnh Ngoi ra d d = 0 nờn Im(d ) Ker (d ) Do ú ta thit lp nờn mt i dõy chuyn nh ngha 2.2.1.2 Nhúm i ng iu de Rham th p bng vi cỏc nhúm i ng iu th p ca i dõy chuyn trong b trờn Ta ký hiu nhúm ny l p H dR (M ) 33 B 2.2.1.2 Cho M v N l cỏc a tp trn v f : M N l mt ỏnh x trn khi ú cỏi kộo li chuyn cỏc dng úng... cm sinh mt ỏnh x nh x song tuyn tớnh IC p ( M ) ì Cp ( M ) cho bi C cm sinh mt ỏnh x song tuyn tớnh IH p ( M ) ì HCp ( M ) Mt nh lý c bn trong tụ pụ i s m chỳng tụi s trỡnh by chng hai (nh lý de Rham) mụ t rng cp ỏnh x song tuyn tớnh ny l khụng k d; ú l cú th xem H p ( M ) l khụng gian i ngu trờn H p ( M ) C th, cỏc khụng gian H p v IH p , c nh ngha theo cỏc s hng ca cỏc dng vi phõn, do ú ph... Bõy gi ta chng minh nh lý Cho y1 , , y n 1 l cỏc ta c s trờn Brn 1 Cho i l ỏnh x Brn 1 Brn xỏc nh bi 17 x i ( y1 , , y n 1 ) = y i x n ( y1 , , y n 1 )= 0,1 i n 1 õy y1 , , y n 1 l cỏc ta Euclide trờn Brn 1 Do ú j i *(dx= ) dy j ,1 j n 1 v i *(dx n ) = 0 Ta kớ hiu p l ỏnh x t Brn lờn Brn 1 xỏc nh bi y i ( x1 , , x n = ) xi ,1 i n 1 *( ) ) i = *(d ) 0 Ta cú d ( i= Bng quy np, i *(=) ... tìm hiểu chứng minh số kết đối đồng điều De Rham đa tạp liên thơng dựa vào đối đồng điều De Rham dạng vi phân có giá compact Trong chương chúng tơi tiếp tục tìm hiểu đối đồng điều De Rham đa tạp... lý thuyết đối đồng điều dựa tồn dạng vi phân với tính chất định Lý thuyết đối đồng điều xem nhập mơn cho khái niệm thống tơpơ đại số Sử dụng lý thuyết đối đồng điều đối đồng điều DeRham thực... lý de Rham Một lý thuyết đồng điều thơng dụng tơ pơ đại số đồng điều kỳ dị Đồng điều bước vào giới tơ pơ đại số Một câu hỏi đặt cách tự nhiên đồng điều kỳ dị có mối quan hệ với đối đồng điều de