M ỤC LỤC
2.5. Đối đồng điều cĩ giá compact
Với đối đồng điều de Rham ta tìm được một bất biến vi phơi của các đa tạp trơn. Tuy nhiên đối đồng điều de Rham khơng đưa ra được bất kỳ loại khả vi nào giữa các đa tạp co rút được. Đây là lý do ta sẽ giới thiệu một thay đổi nhỏ của đối đồng điều de Rham.
Định nghĩa 2.5.1. Một hàm f M: → được gọi là cĩ giá compact nếu
{ }
supp( ) :f = p∈M: ( )f p ≠0 là compact.
Định nghĩa 2.5.2. Γcn(M)⊂ Γn(M) là tập tất cả các n−dạng cĩ giá compact (hoặc các hàm hệ số cĩ giá compact).
Xét trường hợp thơng thường Γ•(M),Γc•(M) cũng hình thành một phức dây chuyền với tốn tử vi phân. Ta kí hiệu nhĩm đối đồng điều thứ n của nĩ là Hcn(M). Nhĩm này được gọi là nhĩm de Rham cĩ giá compact thứ n.
Nhưng tại sao định nghĩa này cĩ sự khác biệt với đối đồng điều de Rham thơng thường? Rốt cuộc, tất cả các dạng vi phân đĩng cĩ giá compact cũng đĩng trong tập các dạng vi phân. Sự khác biệt chính là khi một dạng vi phân là khớp, phản đạo hàm của nĩ cần cĩ giá compact.
Ta cĩ nhận xét rằng trên các đa tạp trơn compact tất cả các dạng vi phân đều cĩ giá compact, vì vậy các định nghĩa trên trùng nhau Γqc(M)= Γq(M). Một vấn đề đặt ra một cách tự nhiên là phải chăng đối đồng điều de Rham cĩ giá compact vẫn bất biến đồng luân. Sau đây ta sẽ chứng minh rằng giả định đĩ hồn tồn khơng đúng.
Bổ đề 2.5.1. 1 ( ) c H ≅. Chứng minh Cho 1 : c( ) I H → là ánh xạ ω∫ω. Ánh xạ này hồn tồn được xác định vì R ( ) ( ) R df df dx dx f R f R dx dx ∞ −∞ = − = − − ∫ ∫ , và vì f cĩ
giá compact nĩ bằng 0 bên ngồi tập compact nào đĩ của (các tập compact bị chặn trong khơng gian Hausdorff) do đĩ f R( )= f(−R)=0 với R đủ lớn.
Ánh xạ trình bày là tồn ánh vì nĩ xác định bởi một hàm trơn cĩ giá compact mà lấy tích phân bằng 1.
Ta kiểm tra tính đơn ánh tức là chứng tỏ nếu ∫ω=0 thì ω =dη. Với ω = fdx ta định nghĩa hàm sau
( ) x ( ) .
F x f t dt
−∞
=∫
Rõ ràng dF = fdx=ω.
Ta cịn chứng minh F x( ) cĩ giá compact. Nếu ta chọn R đủ lớn ta cĩ
( ) R ( ) ( ) 0 F R f R dt ∞ f t dt −∞ −∞ =∫ =∫ = . Cũng nếu ta chọn r<0 đủ lớn ta cĩ ( ) r ( ) r 0 0 F r f t dt −∞ −∞ =∫ =∫ = . Do đĩ F cĩ giá compact.
Vậy ta đã chứng minh được I là một đẳng cấu. □
Với kết quả trên ta cĩ nhận xét là đối đồng điều de Rham cĩ giá compact thì khơng bất biến đồng luân. Thật vậy, ta biết rằng ≅{*} nhưng vì tập một điểm là tập hợp compact nên các nhĩm de Rham cĩ giá compact của nĩ là giống với các nhĩm de Rham thơng thường. Vì nhĩm này khác với các nhĩm cĩ giá compact của nên đồng điều de Rham cĩ giá compact thì khơng bất biến đồng luân.
Ta biết rằng khơng cĩ các 2 – dạng vi phân trên một đa tạp trơn 1 – chiều. Do đĩ các nhĩm đối đồng điều de Rham giá compact cĩ bậc cao hơn số chiều của đa tạp bằng 0. Ta sẽ tính các nhĩm đối đồng điều cao nhất của khơng gian Euclide.
Mệnh đề 2.5.1. ( ) , 0 n n c H ≅ n≥ (vì 0 là compact). Chứng minh.
Ta chứng minh tương tự như bổ đề trên.
Nếu ω là một n−dạng vi phân cĩ giá compact ở đây ∫nω=0 thì ω=dη, với η cĩ giá compact. Chứng minh khẳng định này bằng phương pháp qui nạp.
Ta biết mệnh đề đúng với n=1.
Giả sử mệnh đề đúng với n= −m 1. Xét một m−dạng cĩ giá compact ω trên m
mà lấy tích phân bằng 0. Vì ω cĩ giá compact và n là một T4 - khơng gian ta cĩ các quả cầu mở quanh B và B' sao cho supp( )ω ⊂ ⊂ ⊂B B B'. Hơn nữa, theo bổ đề Poincare cho đối đồng điều de Rham chính quy tồn tại η0 sao cho dη0 =ω. Xét:
0 0 ' ' ' 0 m B B d B ω ω η η ∂ =∫ =∫ =∫ =∫ . Vì 1 \ m m B S −
và η0 là một (m− −1) dạng mà lấy tích phân bằng 0, ta biết rằng η0 là khớp trên m\B theo giả thiết quy nạp.
Như vậy ta tìm được một γ sao cho η0 =dγ , ở đây γ là một (m− −2) dạng trên m\B. Nếu ta lấy ψ là một hàm bằng 1 trên n \B'và cĩ giá compact trong m\B, ta cĩ
0 d( )
η η= − ψγ là một hàm trơn trên m
, hơn nữa cịn thoả mãn dη =dη0 =ω. Vì 0
( )
dψγ =dγ η= trên m\ '
B nên nĩ cĩ giá compact. □
Như vậy ta đã tính được các nhĩm de Rham cĩ giá compact cao nhất. Bây giờ ta muốn tính các nhĩm khác.
Do đã cĩ nhận xét ở phần trước, tất cả các nhĩm cĩ hệ số cao hơn số chiều của đa tạp bằng 0. Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các nhĩm cĩ hệ số nhỏ hơn số chiều của đa tạp đĩ cũng bằng 0.
Mệnh đề 2.5.2. Hcp(Rn)=0,với tất cả 0≤ <p n.
Trước hết ta xét p=0. Vì chỉ cĩ các 0 – dạng vi phân f trong đối đồng điều de Rham thơng thường mà df =0 là các hàm hằng. Tuy nhiên chỉ cĩ hàm f ≡0 cĩ giá compact với n>0. Do đĩ 0
( n) 0
c
H = . □