M ỤC LỤC
2.6. Một số ứng dụng của đối đồng điều
Trong các phần trước chúng tơi đã khảo sát một cách chi tiết về các nhĩm đối đồng điều và đối đồng điều de Rham xuất phát từ hai hướng khác nhau. Một hướng từ lãnh vực tơ pơ vi phân và hướng cịn lại từ lãnh vực tơ pơ đại số. Một số nhĩm đối đồng điều của một số các khơng gian quen thuộc đã được tính và cĩ kết quả tường minh.
Trong phần này chúng tơi muốn hướng luận văn văn sang việc ứng dụng lý thuyết đối đồng điều vào một số các lãnh vực khác nhau của tốn học. Trước hết chúng tơi trình bày ứng dụng của lý thuyết đối đồng điều vào lãnh vực khá phổ biến đĩ là định lý Brower về điểm bất động. Việc chứng minh định lý nổi tiếng này đã thực hiện từ lâu và bằng nhiều phương pháp khác nhau.,
Chẳng hạn sử dụng định lý ánh xạ co trong giải tích cĩ vẻ là chứng minh cổ điển nhất bằng cách xây dựng một dãy cơ bản thắt dần và do đĩ hội tụ về điểm bất động.
Trong lãnh vực tơ pơ đại số sử dụng các nhĩm cơ bản chúng ta cũng chứng minh định lý này bằng phương pháp phản chứng.
Trong luận văn này chúng tơi trình bày phương pháp chứng minh định lý Brower về điểm bất động bằng cách sử dụng các nhĩm đối đồng điều.
Cho f B: n →Bn là một ánh xạ trơn. Khi đĩ f cĩ một điểm bất động, tức là tồn tại một điểm x B∈ n sao cho f x( )=x.
Chứng minh.
Giả sử ngược lại, tức là f x( )≠ ∀x x, . Khi đĩ tồn tại một đường thẳng duy nhất lx qua hai điểm x và f x( ), lx cắt biên quả cầu Sn−1 của Bntại hai điểm. Cho g x( ) là điểm giao nhau gần x hơn f x( ). Ta thấy rằng g là một ánh xạ trơn Bn →Sn−1 và
( ) ( ( ))
g x = +x t x f x− với duy nhất t≥0, mà ta tìm được bằng cách giải phương trình bậc hai (theo t) x t x f x+ ( − ( )2 =1. Nếu x S∈ n−1 thì g x( )=x, do đĩ sự hợp thành Sn−1⊂ι Bn g→Sn−1 là ánh xạ đồng nhất. Áp dụng Hn−1 vào ta được sự hợp thành * * 1( 1) g 1( ) 1( 1) n n n n n n H − S − H − B ι H − S − ≅ → → ≅ . là ánh xạ đồng nhất.
Do Hn−1( ) 0Bn = nên điều này mâu thuẩn với giả thiết. □
Sau đây chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm về các ứng dụng của các nhĩm đối đồng điều trong lãnh vực hình học.
Để chứng minh định lý này chúng tơi muốn giới thiệu một ánh xạ gọi là ánh xạ xuyên tâm đối A S: n−1→Sn−1 cho bởi A x( )= −x.
Yêu cầu:
Nhắc lại rằng một phần tử sinh của Hn−1(Sn−1) là đại diện bởi dạng σ' xác định bởi ' 1 1 1 1 ( ,..., ) det ... p n n p v v v v σ − − =
, ở đây p và các vi là các vec tơ trong n.
Ảnh của phần tử sinh này dưới A* là đại diện bởi dạng A* 'σ cho bởi
1 ' 1 1 ( ) * 1 * 1 1 1 ( * ') ( ,..., ) ' ( ,..., ) det ( 1) ( ,..., ) ... n p n A p n p n n p v A v v A v A v v v v σ − σ σ − − − − = = = − − .
Bây giờ ta cĩ thể xúc tiến chứng minh định lý như sau.
Định lý 2.6.2. Tồn tại một trường vec tơ v trên hình cầu Sn sao cho v p( ) 0≠ với mỗi
n
p S∈ nếu và chỉ nếu n là số lẻ.
Chứng minh.
Giả sử Sn nhận được một trường véc tơ v như vậy. Bằng cách chuẩn hố v tại mỗi điểm, ta giả sử v p( ) 1= . Do đĩ ta xem v là một hàm v S: n →Sn sao cho p và v p( ) là trực giao tại mỗi điểm p.
Ta định nghĩa một đồng luân F S: n×[0,1]→Sn cho bởi
( , ) cos( ) sin( ) ( ).
F p t = πt p+ πt v p
Khi đĩ F p( ,0)= p và F p( ,1)= −p, nghĩa là F là một đồng luân trơn giữa ánh xạ đồng nhất trên Sn và A. Vì các ánh xạ đồng luân cảm sinh cùng một ánh xạ trên đối đồng điều, ta suy ra 1 ( 1)= − n+1. Do đĩ n phải là số lẽ.
1 2 2 1 4 3 2 2 1
( ,..., k) ( , , , ,..., k, k )
v p p = −p p −p p −p p −
Rõ ràng v p( ) 0≠ với mọi p S∈ n. □
Như vậy nếu sử dụng lý thuyết về đối đồng điều, định lý được chứng minh đơn giản hơn rất nhiều so với các chứng minh trực tiếp.
Nhận xét:
Ban đầu chúng tơi nghĩ rằng lý thuyết đối đồng điều cĩ nhiều ứng dụng trong tốn học xuất phát từ việc nĩ được xây dựng từ các kiến thức về tơpơ đại số.
Tuy nhiên khi đi sâu vào hướng này, chúng tơi sử dụng lý thuyết đối đồng điều sử dụng chủ yếu để phân loại các khơng gian. Do đĩ trong một khoảng thời gian khiêm tốn để xúc tiến đề tài về một lãnh vực khá mới mẻ chúng tơi chưa cĩ điều kiện để tìm hiểu nhiều hơn về các ứng dụng của nĩ.
Với hai ứng dụng mà chúng tơi tìm hiểu được cho thấy lý thuyết đối đồng điều thật sự cĩ ý nghĩa để tìm hiểu về bản chất của một số các khơng gian mà chúng ta ít cĩ cơ hội am hiểu cấu trúc của nĩ. Lấy ví dụ cụ thể là các khơng gian xạ ảnh thực và phức sau đây.
Ví dụ:
1. = =
≅
nếu 0 hoặc nếu là số lẻ
( ) 0 khác k n k k n n H RP 2. ≤ ≤ ≅ nếu là số chẵn và 0 2 ( ) 0 khác k n k k n H CP
Vấn đề là tại sao cùng là đối đồng điều n−chiều nhưng kết quả lại phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của số chiều của khơng gian xạ ảnh. Về điều này chúng tơi đã cĩ giải
thích như trên. Vấn đề là với cấu trúc của nhĩm đối đồng điều như vậy liệu ta cĩ thể tìm hiểu chi tiết hơn các tính chất của khơng gian xạ ảnh hay khơng. Đối với chúng tơi đây là một vấn đề thú vị mà chúng tơi sẽ tiếp tục sau khi hồn thành bản luân văn này.
KẾT LUẬN
Ý tưởng của đối đồng điều de Rham là để phân loại sự khác nhau của các dạng đĩng trên một đa tạp. Thực hiện việc phân loại này là nĩi rằng hai dạng đĩng α và
β trong Ωk( )M là đối đồng điều nếu chúng khác nhau bởi một dạng khớp, nĩi cách khác α β− là khớp . Việc Phân loại này gây ra một quan hệ tương đương trên các khơng gian của các dạng đĩng trong Ωk( )M . Từ đĩ người ta xác định nhĩm đối đồng điều de Rham thứ k, k ( )
dR
H M là tập các lớp tương đương, nghĩa là tập hợp các dạng đĩng trong Ωk( )M theo các dạng khớp.
Đối đồng điều De Rham đã truyền cảm hứng cho rất nhiều ý tưởng tốn học, bao gồm cả lý thuyết đối đồng điều Dolbeault, lý thuyết đối đồng điều Hodge, và định lý chỉ số Atiyah-Singer. Tuy nhiên, ngay cả trong bối cảnh cổ điển hơn, các định lý đĩ đã lấy cảm hứng từ một số phát triển. Chẳng hạn, lý thuyết Hodge đã chứng minh rằng cĩ một đẳng cấu giữa các đối đồng điều bao gồm các dạng điều hịa và đối đồng điều de Rham bao gồm các dạng đĩng theo các dạng khớp. v.v...
Việc thực hiện luân văn này đã giúp tơi cĩ nhiều cơ hội tiếp xúc với các lý thuyết hiện đại về tơ pơ và đại số. Tuy nhiên vì thời gian cĩ hạn nên chúng tơi chỉ dừng lại ở chỗ tìm hiểu và chứng minh lại theo sự hiểu biết của mình các kết quả mà chúng tơi cho rằng rất phong phú. Chúng tơi tin rằng sau khi bảo vệ xong luận văn này, khi đã cĩ nhiều thời gian hơn chúng tơi tiếp tục lãnh vực đã chọn để cĩ một kiến thức tốt hơn nhằm cĩ cơ sở hồn thành tốt nhiệm vụ chuyên mơn của mình tại đơn vị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Văn Đồnh – Tạ Mân (2009), Nhập mơn Tơ pơ đại số , Nxb Đại học Sư phạm.
2. Nguyễn Viết Đơng – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều , Nxb Đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
3. Lê Hồn Hố (2011), Phép tính vi phân trên khơng gian Bannach, Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
4. Nguyễn Hà Thanh (2012), Bài giảng Đa tạp khả vi, Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
Tiếng Anh
5. Bjorn Jahren (May 26, 2011), De Rham Cohomology, Oslo University.
6. Carl Gladish (Ocotober 10, 2008), de Rham Cohomology Essentials, Mew York University. 7. Daniel Litt (2007), The Poincare Lemma and de Rham Cohomology, Harvard University. 8. Elleard Felix Webster Heffern (2009), Homology and Cohomology, Oxford Press.
9. Jacob Lurie (Spring 2013), A Survey of Elliptic Cohomology, Standford University. 10. N.E.Steenrod (November 2010), Cohomology Operations, Priceton, New Jersey.
11. Patrick Hafkenscheid (2013), De Rham Cohomology of smooth manifolds, Amsterdam University.
12. Patrick Greene (May 2009), De Rham Cohomology, Connections, And Characteristic Classes, University of Southern California.
13. Peter J.Kahn (August 26, 2004), Differential Forms and Algebraic Topology, Cornell University.
14. Raoul Bott & Loring W.Tu (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Springer. 15. Sholomo Sternberg (1999), Lectures on Differential Geometry, Harvard University. 16.Theodore Voronov (Spring 2011), Differentiable Manifolds, Manchester University. 17. Will Merry (2007), Algebraic Topology, Cambridge Mathematical University.