nhập môn về tôpô phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Kiều Tuyết Vân NHẬP MÔN VỀ TÔPÔ PHÂN LÁ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Kiều Tuyết Vân NHẬP MÔN VỀ TÔPÔ PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Error! Bookmark not defined Chương 0:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 1:CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ PHÂN LÁ 1.1.PHÂN BỐ KHẢ TÍCH TRÊN ĐA TẠP VI PHÂN 1.1.1.Định nghĩa 1.1.2.Mệnh đề 1.2.PHÂN LÁ 1.2.1.Định nghĩa A.Connes 1.2.2.Định nghĩa I.Tamura 1.2.3.Nhận xét 10 1.2.4.Phân cho phân thớ tác động nhóm 11 1.3.CÁC VÍ DỤ 12 1.4.TÔPÔ PHÂN LÁ 18 1.4.1.Không gian phân 18 1.4.2.Kiểu tôpô phân 20 Chương 2:ĐỘ ĐO HOÀNH TRÊN ĐA TẠP PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC………… 21 2.1.KHÁI NIỆM ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC 21 2.1.1.Đa tạp hoành 21 2.1.2.Tập hoành Borel 23 2.1.3.Mệnh đề 24 2.1.4.Độ đo hoành phân – phân đo 24 2.2.SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ ĐỘ ĐO THÔNG THƯỜNG 25 Chương 3:PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO 27 3.1.BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K – BIỂU DIỄN 27 3.1.1.Biểu diễn phụ hợp 27 3.1.2.K – biểu diễn nhóm Lie 28 3.1.3.Các MD – nhóm MD – đại số 28 3.2.LỚP MD4 – ĐẠI SỐ VÀ MD4 - NHÓM 28 3.2.1.Mệnh đề 29 3.2.2.Định lý 29 3.2.3.Nhận xét 31 3.3.LỚP MD5 – ĐẠI SỐ VÀ MD5 – NHÓM BẤT KHẢ PHÂN VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN HOẶC CHIỀU 32 3.3.1.Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất chiều giao hoán MD5 – nhóm liên thông tương ứng 32 3.3.2.Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất chiều giao hoán MD5 – nhóm liên thông đơn liên tương ứng 33 3.4.PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CÁC K – QUỸ ĐẠO 36 3.4.1.Định nghĩa 36 3.4.2.Nhận xét………………………………… 36 3.4.3.Bổ đề 37 3.4.4.Nhận xét 37 3.4.5.Bổ đề 37 3.4.6.Mệnh đề 37 3.4.7.Hệ 38 3.4.8.Hệ 38 3.4.9.Nhận xét 38 3.4.10.Chú ý 38 3.5.BỨC TRANH CÁC K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MDn – NHÓM ĐƠN LIÊN BẤT KHẢ PHÂN ( n = 4,5 ) ĐÃ XÉT 38 3.5.1.Bức tranh K – quỹ đạo MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân 38 3.5.2.Bức tranh K – quỹ đạo MD5 – nhóm đơn liên bất khả phân xét……………… 41 3.6.LỚP CÁC MDn – PHÂN LÁ 51 3.6.1.Định lý 51 3.6.2.Chú ý 51 3.6.3.Chứng minh định lý 51 3.6.4.Định lý 54 3.7.PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MD4 – PHÂN LÁ 55 3.7.1.Định lý 55 3.7.2.Chứng minh định lý 55 3.7.3.Nhận xét 59 THAY LỜI KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ad : Biểu diễn phụ hợp G  Aff  : Đường thẳng affin phức Aut : Nhóm Lie tự đẳng cấu  − tuyến tính  BV : σ − đại số Borel V  : Trường số phức * : Trường số phức khác End  : Đại số đồng cấu  − tuyến tính   : Phân bố xác định phân y : Phân thớ y  ∂ : Phân cảm sinh từ  lên ∂V F, X : Giá trị dạng tuyến tính F trường vectơ X G : Nhóm Lie GLn (  ) : Nhóm ma trận vuông thực khả nghịch cấp n G4,2,1 : MD4 – nhóm tương ứng với MD4 – đại số 4,2,1  G : Nhóm Lie tương ứng với đại số Lie   : Đại số Lie nhóm Lie G * : Không gian đối ngẫu   : Ideal bất khả phân  *  : Không gian đối ngẫu   = [ ,  ] : ideal dẫn xuất  4,2,1 : MD4 – đại số với ideal dẫn xuất – chiều, trường hợp phân loại gen( Z ) : Không gian vectơ có sở Z h3 : Đại số Lie Heisenberg – chiều JU : Định thức ma trận Jacobi Matn (  ) : Đại số ma trận vuông thực cấp n Λ : Độ đo hoành ΩF : K – quỹ đạo G qua F  (G ) : Tập K – quỹ đạo G  : Trường số thực * : Trường số thực khác .h3 : Đại số Lie kim cương thực SG : Hệ vi phân sinh phân bố G (U , ϕ ) : Bản đồ phân V : Đa tạp trơn (V ,  ) : Phân ∂V : Bờ V V : Không gian phân (V ,  )  [ X ,Y ] : Móc Lie X Y XG : Đa trường vectơ không triệt tiêu G LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân ngành hình học đời phát triển từ kỷ XX Các phân xuất khảo sát lời giải hệ khả tích phương trình vi phân thường Nhưng công trình G.Reeb năm 1952, phân thật trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học Đối với phân (V ,  ) , vấn đề toàn cục đáng quan tâm nghiên cứu không gian V  nó, không gian thương đa tạp phân V thu điểm Khá nhiều ví dụ phân tôpô V  không tách, chí có tôpô tầm thường Mặt khác, nhiều ví dụ phân cho thấy vấn đề cần phải lưu ý là: đa tạp V phân (V ,  ) compact, không compact Do khó nói tính chất toàn cục không compact L từ thông tin địa phương cho phân bố xác định phân Trong L compact, nhiều kết hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương phân thớ tiếp xúc sang bất biến toàn cục L Như vậy, nghiên cứu tôpô phân lá, điều cần quan tâm trước tiên “ số lượng” không compact không gian Nói cách khác, cần tìm cách trang bị cho không gian độ đo thích hợp A.Connes đưa khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hơp với không gian phân Phương pháp quỹ đạo Kirillov cho phép thu phân tạo thành từ K – quỹ đạo vị trí tổng quát nhóm Lie Đối với phân kiểu đó, không gian lại có liên hệ trực tiếp với không gian K – quỹ đạo nhóm xét Đặc biệt quan tâm đến lớp MDn – nhóm Các MD – nhóm đơn giản phương diện phân tầng K – quỹ đạo Do không gian K – quỹ đạo đơn giản Tuy nhiên việc phân loại chúng đề cập với MDn – nhóm 4, chiều (tức n = hay n = 5) Các không gian phân tạo thành từ K – quỹ đạo chiều cực đại MDn – nhóm (bất khả phân) gọi đơn giản MDn – phân Có thể nói, lý thuyết tôpô phân hướng nghiên cứu đặc biệt thuộc ngành hình học – tôpô có nhiều ứng dụng vật lý, học Bởi thế, chọn đề tài nghiên cứu phân lá, đặc biệt MDn – phân nhằm mục đích giới thiệu cho bạn đọc biết kiến thức tôpô phân số hướng nghiên cứu đại phân Do đề tài mang tên “Nhập môn tôpô phân lá” Về nội dung, luận văn gồm: Lời nói đầu, chương lời kết luận Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ nhằm nhắc lại kiến thức có liên quan đến nội dung luận văn Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ PHÂN LÁ nhằm giới thiệu chủ yếu định nghĩa Connes so sánh đối chiếu với định nghĩa Tamura kèm theo ví dụ Chương 2: ĐỘ ĐO HOÀNH TRÊN ĐA TẠP PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC Mục đích chương nêu khái niệm độ đo hoành phân đo được, sau mối liên hệ độ đo hoành độ đo thông thường Chương 3: PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT LỚP NHÓM LIE GIẢI ĐƯỢC Đây phần luận văn, nội dung chủ yếu trình bày lớp MD – nhóm k – quỹ đạo – chiều số chiều cực đại, lấy số MD điển hình, đồng thời phát biểu chứng minh MD – phân Do hạn chế thời gian kiến thức nên trình thực không tránh khỏi sai sót hạn chế Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Anh Vũ giảng dạy cho thời gian qua, tạo kiến thức quý báu tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện để luận văn hoàn thành Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, ban chủ nhiệm khoa giảng dạy thời gian qua, chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng sau đại học tạo điều kiện để thực luận văn Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 ĐA TẠP VI PHÂN 0.1.1 Đa tạp tôpô Cho M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm M gọi đa tạp tôpô m – chiều x ∈ M tồn lân cận mở U x đồng phôi ϕ : U → ϕ (U ) (⊂  ) m Cặp (U , ϕ ) gọi đồ địa phương lân cận x ( hay đồ địa phương xung quanh x ) Hệ A = {(Uα , ϕα )}α gọi atlat M {Uα }α phủ mở M 0.1.2.Chuyển đồ - phép đổi tọa độ * Giả sử M đa tạp tôpô m – chiều (U , ϕ ) đồ địa phương xung quanh x0 với : ϕ :U → m x  ϕ ( x) = ( x1 ( x), x ( x), , x m ( x) ) Ta thu m hàm xi : U →  x  xi ( x) (i = 1, m ) Ta gọi (U , x1 , x , , x m ) hệ tọa độ địa phương xác định đồ (U , ϕ ) Đôi ta đồng (U , ϕ ) với (U , x1 , x , , x m ) Với x ∈ U , ( x1 ( x), x ( x), , x m ( x) )(∈  m ) gọi tọa độ x hệ tọa độ địa phương xét * Giả sử (Uα , ϕα ) , (U β , ϕ β ) hai đồ địa phương M với Uα ∩ U β ≠ ∅ Đặt ϕ βα ϕ β  ϕα−1 : ϕα (Uα ∩ U β ) → ϕ β (Uα ∩ U β ) = ϕ βα gọi phép chuyển đồ (hay đổi tọa độ) từ (Uα , ϕα ) sang (U β , ϕ β ) 0.1.3 Cấu trúc vi phân đa tạp tôpô – định nghĩa đa tạp khả vi Cho M đa tạp tôpô m - chiều ( quỹ đạo – chiều) 3.6 LỚP CÁC MDn – PHÂN LÁ ( n = 4, ) Các MDn – nhóm ( n = 4, 5) ( không giao hoán) phương diện phân tầng quỹ đạo đơn giản Theo số chiều, nhóm gồm hai tầng K – quỹ đạo: tầng quỹ đạo – chiều tầng quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng quỹ đạo chiều cực đại nhóm liên thông ta thấy: quỹ đạo đa tạp liên thông, đôi không giao có số chiều Điều gợi cho ta nghĩ đến phân Các tạo thành gọi MDn – phân ( n = 4, 5) Cụ thể có khẳng định sau đây: 3.6.1 Định lý ( Xem [1]) Giả sử G MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân, G họ K – quỹ đạo chiều cực đại VG = ∪ {Ω / Ω ∈ G } Khi (VG , G ) phân đo Chúng ta gọi phân MD4 – phân liên kết với G 3.6.2 Chú ý Từ định lý mô tả K – quỹ đạo MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân thấy tập hợp K – quỹ đạo – chiều MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân G đóng không gian đối ngẫu  * đại số Lie  nhóm Bởi phần bù VG đa tạp mở  * Hơn nữa, từ định lý dễ thấy tất G có dạng G4,n , (1 ≤ n ≤ ) VG vi phôi Do đó, tiện ( ký hiệu VG 4,n , , G4,n , ) (V ,  ) ,1 ≤ n ≤ Chẳng hạn (V n n , G4,2,1( λ ) , G4,2,1(λ ) ) ký hiệu (V ,  ( ) ) ( λ ∈  ) Tương tự cho trường hợp lại * 2,1 λ 3.6.3 Chứng minh định lý Để chứng tỏ (VG , G ) phân đo được, ta tiến hành theo hai bước sau: Bước 1: Chỉ phân bố khả tích ( mà ký hiệu G ) VG cho K – quỹ đạo đa tạp liên thông tối đại Bước 2: Trang bị cho (VG , G ) độ đo hoành Đối với bước 1, ta trực tiếp hệ vi phân SG gồm trường vectơ VG sinh phân bố G Tương tự ký hiệu G , nếu= G G4,n , (1 ≤ n ≤ ) SG ký hiệu Sn , Chẳng hạn SG 4,3,1( λ1 ,λ2 ) ký hiệu S3,1( λ ,λ ) ( λ1 , λ2 ∈ * ) Sau ta đưa cụ thể hệ SG MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân G  X1 ( x, y, z , t ) = ( z , 0, 0, ) , z , t ) ( 0, 0, 0, − z ) X ( x, y= S1,1 :   X ( x, y, z , t ) = ( 0, 0, z , ) S1,2 :  , z , t ) ( 0, 0, 0, − z ) X ( x, y= đa tạp V1 ≅  × * ×   X1 ( x, y, z , t ) = ( 0, λ y, z, )  S2,1( λ ) ( λ ∈ * ) : X ( x, y, z, t ) = ( −λ y, 0, 0, )  X3 ( x, y, z , t ) = ( − z , 0, 0, )  X1 ( x, y, z , t ) = ( 0, y, y + z, )  S 2,2 : X ( x, y, z , t ) = ( − y, 0, 0, ) X  ( x, y, z , t ) =( −( y + z ), 0, 0, ) đa tạp V2 ≅  × (  ) ×  *  X1 ( x, y + iz , t ) = ( 0, ( y + iz ) eiϕ , )  S 2,3(ϕ ) (ϕ ∈ ( 0, π ) ) : X ( x, y + iz , t ) = ( − y cos ϕ + z sin ϕ , 0, )  ( − y sin ϕ − z cos ϕ , 0, ) X3 ( x, y + iz , t ) = đa tạp V2 ≅  × * ×   X1 ( x, y, z , t ) = ( 0, 0, 0,1)  X ( x, y, z , t ) = (1, 0, 0, ) S 2,4 :  X3 ( x, y, z , t ) = ( 0, y, z , ) X ( x, y, z , t= ) ( 0, − z, y, )  đa tạp V2 ≅  × (  ) ×  * X1 ( x, y, z , t ) = ( λ1 x, λ2 y, z, )  , z , t ) ( 0, 0, 0, −λ1 x )  X ( x, y= S3,1( λ1 ,λ2 ) ( λ1 , λ2 ∈ * ) :  , z , t ) ( 0, 0, 0, −λ2 y )  X3 ( x, y=  X ( x, y= , z , t ) ( 0, 0, 0, − z )  X1 ( x, y, z , t ) = ( λ x, x + λ y , z , )  , z , t ) ( 0, 0, 0, −λ x ) X ( x, y= : z , t ) ( 0, 0, 0, − x − λ y ) X3 ( x, y,= X ( x, y= , z , t ) ( 0, 0, 0, − z )  S3,2( λ ) ( λ ∈ * ) X1 ( x, y, z , t ) = ( x, x + y, y + z , )  , z , t ) ( 0, 0, 0, − x )  X ( x, y= : z , t ) ( 0, 0, 0, − x − y )  X ( x, y,=  X ( x, y , = z , t ) ( 0, 0, 0, − y − z )  S3,3 đa tạp V3 ≅ (  ) ×  *  X1 ( x, y, z ,= t ) ( ( x + iy ) eiϕ , λ z , )  X ( x, y, z , t ) =( 0, 0, − x cos ϕ + y sin ϕ ) * S3,4( λ ,ϕ ) ( λ ∈  , ϕ ∈ ( 0, π ) ) :  X3 ( x, y, z , t ) =( 0, 0, − x sin ϕ − y cos ϕ )  z , t ) ( 0, 0, −λ z )  X ( x, y , = đa tạp V3 ≅ (  ×  ) ×  * S 4,1 S 2,4  X1 ( x, y, z , t ) = ( − y, x, 0, )  : X ( x, y, z , t ) = ( 0, z , 0, y ) X ( − z, 0, 0, − x )  ( x, y , z , t ) =  X1 ( x, y, z , t ) = ( − x, y, 0, )  : X ( x, y, z , t ) = ( 0, z , 0, x )  ( − z, 0, 0, − y ) X ( x, y , z , t ) = đa tạp V4 ≅ (  ) ×  * Dễ dàng kiểm chứng hệ SG liệt kê có hạng hai, ngoại trừ hệ S2,4 có hạng Hơn K – quỹ đạo Ω từ G đa tạp tích phân liên thông tối đại phân bố sinh hệ SG tương ứng Bởi (VG , G ) phân MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân G Để thực bước 2, trước hết ta chứng tỏ G định hướng cách đa trường vectơ XG ∈ C ∞ ( ∧ dim  G ) không triệt tiêu khắp nơi G Sau ta G độ đo Lebegues µ VG bất biến XG Lúc đó, theo mệnh đề 2.2.2, lớp tương đương ( theo quan hệ tỉ lệ nghịch hàm số) cặp ( XG , µ ) cho ta độ đo hoành phân (VG , G ) Bởi (VG , G ) phân đo Đầu tiên, đưa XG cho G Một lần nữa, để đơn giản XG 4,n , ký hiệu X n , (1 ≤ n ≤ ) Chẳng hạn X3,4( λ ,ϕ ) XG 4,3,4( λ ,ϕ ) ( λ ∈  ,ϕ ∈ ( 0, π ) ) * X1,1 = X1 ∧ X X1,2 = X1 ∧ X 2 X 2,1( = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 , λ ∈ * λ) X 2,2 = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 X 2,3(ϕ ) = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 , ϕ ∈ ( 0, π ) X 2,4 = X1 ∧ X ∧ X3 ∧ X X3,1( λ ,λ ) = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 + X1 ∧ X ; λ1 , λ2 ∈ * X3,2( λ ) = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 + X1 ∧ X ; λ ∈ * X3,3 = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 + X1 ∧ X X3,4( λ ,ϕ ) = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 + X1 ∧ X ; λ ∈ * , ϕ ∈ ( 0, π ) X 4,1 = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 + X ∧ X3 X 4,2 = X1 ∧ X + X1 ∧ X3 + X ∧ X3 Việc kiểm chứng XG ∈ C ∞ ( ∧ dim  G ) khác khắp nơi hiển nhiên G Tính bất biến XG độ đo Lebegues µ rõ ràng tương đương với tính bất biến K – biểu diễn G  * Phép tính toán đơn giản cho ta Jacobien JU phép biến đổi K ( expU)  * ,U ∈  , đồng Bởi µ K – bất biến 3.6.4 Định lý Giả sử G MD5 – nhóm liên thông đơn liên nhóm G5,3,1( λ1 ,λ2 ) , G5,3,2( λ ) , λ , λ1 , λ2 ∈  \ {0,1} ; G5,3,3( λ ) , G5,3,4 , G5,3,5( λ ) , λ ∈  \ {0} ; G5,3,6( λ ) , λ ∈  \ {0,1} ; G5,3,7 , G5,3,8( λ ,ϕ ) , λ ∈  \ {0} , ϕ ∈ ( 0, π ) ; G5,4,1( λ ,λ ,λ ) , G5,4,2( λ ,λ ) , G5,4,3( λ ) , G5,4,4( λ ) , G5,4,5 , G5,4,6( λ1 ,λ2 ) , G5,4,7( λ ) , G5,4,8( λ ) , G5,4,9( λ ) , G5,4,10 , λ , λ1 , λ2 , λ3 ∈  \ {0,1} ; G5,4,11( λ1 ,λ2 ,ϕ ) , G5,4,12( λ ,ϕ ) , G5,4,13( λ ,ϕ ) , λ , λ1 , λ2 ∈  \ {0} , ϕ ∈ ( 0, π ) ; G5,4,14( λ , µ ,ϕ ) , λ , µ ∈ , µ > 0, ϕ ∈ ( 0, π ) ; G họ K- quỹ đạo chiều cực đại VG := ∪ {Ω / Ω ∈ G } Khi (VG , G ) lập thành phân đo Chúng ta gọi phân MD5 – phân liên kết với G 3.7 PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MD4 – PHÂN LÁ Một điều đáng lưu ý 12 họ MD4 – phân tất chúng khác kiểu tôpô Thực chúng gồm kiểu tôpô phân Cụ thể là: 3.7.1 Định lý ( phân loại tôpô MD4 – phân lá).(xem [1]) Có (i) kiểu tôpô MD4 – phân lá: {(V ,  )} ,{(V ,  )} ,{(V ,  ( ) ) , λ ∈  , (V ,  )} ,{(V ,  ( ) ) ,ϕ ∈ ( 0, π )} ,{(V ,  )} {(V ,  ( ) ) , (V ,  ( ) ) , (V ,  ) ; λ , λ , λ ∈  } ,{(V ,  ( ) ) , λ ∈  ,ϕ ∈ ( 0, π )} ,{(V ,  )} , {(V ,  )} Chúng ta ký hiệu kiểu bởi:  ,  ,  , ,  * 1,1 3,1 λ1 , λ2 4,2 1,2 2,1 λ 2,2 2,3 ϕ * 3 3,3 * 3,4 λ ,ϕ 4,1 Các MD4 – phân kiểu 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 cho phân thớ (ii) (tầm 3,2 λ 2,4 thường với thớ liên thông) tương ứng đáy  × * ,  ∪  ,  × S ,  + × , { pt} , S ; { pt} không gian điểm (iii) Các MD4 – phân kiểu 7 , 8 , 9 cho tác động (liên tục) thích hợp nhóm Lie cộng, giao hoán  tương ứng lên đa tạp phân V3 ≅ (  ×  ) × , V4 ≅ (  ) ×  * * 3.7.2 Chứng minh định lý (i) Nhắc lại hai phân tương đương tôpô có đồng phôi đa tạp phân mà chuyển thành Xét ánh xạ h2,1( λ ) , h2,2 : V2 → V2 cho công thức sau: ( h2,1( λ ) ( x, y, z , t ) = x, sign ( y ) y λ , z, t ) ( x, y, z − y ln y , t ) , y ≠  h2,2 ( x, y, z , t ) =  y=0 ( x, 0, z , t ) , ( x, y, z, t ) ∈V2 ≅  × (  ) * × , λ ∈ * Rõ ràng ánh xạ h2,1( λ ) , h2,2 ( λ ∈ * ) đồng phôi Hơn dễ dàng kiểm tra h2,1( λ ) , h2,2 tương ứng chuyển 2,1( λ ) , 2,2 thành 2,1(1) ( λ ∈ * ) Bởi ( ) phân V2 , 2,1( λ ) , (V2 , 2,2 ) kiểu tôpô với (V2 , 2,1(1) ) ; tức kiểu tôpô với ( ) Tương tự, thấy phân V2 , 2,3(ϕ ) , (ϕ ∈ ( 0, π ) ) kiểu với phân    V2 ,   π   kiểu với nhờ đồng phôi chuyển thành sau đây:  2,3   2   h2,3(ϕ ) : V2 → V2 , ( h2,3(ϕ ) ( x, reiθ , t ) = x, e( ln r + iθ )ie− iϕ ,t ) Với ( x, reiθ , t ) ∈ V2 ≅  × * × , ϕ ∈ ( 0, π ) ( ) Sự tương đương tôpô phân V3 , 3,1( λ ,λ ) , (V3 , 3,2( λ ) ) , (V3 , 3,3 ) , λ1 , λ2 , λ ∈ * , ( ) phân V3 , 3,4( λ ,ϕ ) , λ ∈ * , ϕ ∈ ( 0, π ) nhận cách tương tự nhờ đồng phôi sau đa tạp phân tương ứng: h3,1( λ1 ,λ2 ) , h3,2( λ ) , h3,3 : V3 → V3 ( h3,1( λ1 ,λ2 ) ( x, y, z , t ) = sign ( x ) x ( λ1 , sign ( y ) y λ2 , z, t ) h3,2( λ ) ( x, y, z , t ) = x , y, z , t với: x = sign ( x ) x λ  λ 1    y =  sign  y − λ x ln x  y − λ x ln x , x ≠  sign ( y ) y λ ,x =0  z = z t = t ) ( ) h3,3 ( x, y, z , t ) = x , y, z , t với: x = x y =  y − x ln x , x ≠ ,x =0  y   z − y.ln x − ( y − x ln x ) ln y − x ln x , x ≠ & y ≠ x.ln x  z=  z − y.ln x , x ≠ & y= x.ln x  z ,x =0    t = t ( x, y, z, t ) ∈ V3 ≅ (  ) ×  ; * h3,4( λ ,ϕ ) : V3 → V3 − iϕ   h3,4( λ ,ϕ ) ( reiθ , z , t ) =  e(ln r +iθ )ie , sign( z ) z λ , t  ,   đó: ( reiθ , z, t ) ∈ V3 ≅ (  ×  ) × ; λ ∈ * , ϕ ∈ ( 0, π ) * Sự không tương đương tôpô phân kiểu 2 , 2 , , 9 rõ ràng Do phần đầu định lý chứng minh (ii) Từ định lý tranh K – quỹ đạo minh họa hình học chúng phần dễ thấy phân kiểu 1 , 2 5 phân thớ tầm thường tương ứng đáy  × * ,  ∪  { pt}      (V3 , 3,1(1,1) ) tương ứng có kiểu 3 , 4 2,3   2  Để ý phân (V2 , 2,1(1) ) ,  V2 ,  π  6 Xét ánh xạ sau đây: p2,1(1) : V2 ≅  × (  ) ×  ≅  × S ×  + ×  →  × S , * p2,1(1) = ( x, s, u , v) ( x, s ); ( x, s, u, v) ∈  × S ×  + ×  p2,3 π : V2 ≅  × * ×  →  + ×  , ( 2) p2,3= x, reiθ , t ) (r , x); π ( ( 2) ( x, re , t ) ∈  ×  ×  iθ * p3,1(1,1) : V3 ≅ (  ) ×  ≅ S ×  + ×  → S * p3,1(1,1) ( s= , u , v ) s; ( s , u , v ) ∈ S ×  + ×  Rõ ràng ánh xạ phép ngập Hơn phân thớ tầm thường p2,1(1) : V2 →  × S , p2,3 π : V2 →  + × , p3,1(1,1) : V3 → S tương ứng xác định phân ( 2) V ,    2,3(π )  , (V3 , 3,1(1,1) ) Bởi phân kiểu 3 , 4 , 6   (V ,  ) , 2,1(1) phân thớ tương ứng đáy  × S ,  + × , S Như phần (ii) định lý khẳng định (iii) Sau cùng, xét tác động (liên tục) ρ3,4 , ρ 4,1 , ρ 4,2 nhóm Lie (cộng) giao hoán  lên đa tạp phân V3 ≅ V4 sau: ρ3,4 :  × V3 → V3 ρ3,4 ( ( r , s ) , ( x + iy, z , t ) ) =+ ( ( x iy ) eis , zes , t + r ) Với ( r , s ) ∈  , ( x + iy, z, t ) ∈V3 ≅ (  ×  ) * × ρ 4,1 :  × V4 → V4 ( ρ 4,1 ( r , s ) , ( x, y, z, t ) ) = ( x , y, z , t ) , đó: x = x cos r − y sin r − sz , y = x sin r + y cos r − sz , z = z t = t − s ( x + y ) cos r + s ( y − x ) sin r + s z Với ( r , s ) ∈  , ( x, y, z, t ) ∈V4 ≅ ( 3 ) * × ρ 4,2 :  × V4 → V4 ( ρ 4,2 ( r , s ) , ( x, y, z, t ) ) = ( x , y, z , t ) , đó:   yz = x e − s  x + r , 2  x +y +z    xz y e s  y + r = ,  2  x +y +z   z = z x2 + y xyz + r t = t + r 2 2 x +y +z ( x2 + y + z ) Với ( r , s ) ∈  , ( x, y, z, t ) ∈V4 ≅ ( 3 ) * × Dễ kiểm chứng tác động ρ3,4 , ρ 4,1 , ρ 4,2 nêu sinh phân  V3 , 3,4 1,π  , (V4 , 4,1 ) , (V4 , 4,2 ) Bởi phân kiểu 7 , 8 , 9 ( 2)   cho tương ứng ρ3,4 , ρ 4,1 , ρ 4,2 Định lý chứng minh hoàn toàn 3.7.3 Nhận xét Như vậy, có 12 họ MD4 – phân lá, ta có kiểu tôpô MD4 – phân 1 , 2 , , 9 Hơn kiểu đầu chúng phân thớ với thớ liên thông Chi tiết thấy phân kiểu 1 , 2 , 3 , 6 phân thớ với thớ đơn liên ( vi phôi với  ) Còn phân kiểu 4 , 5 phân thớ với thớ liên thông không đơn liên; thớ 5  × (  ) ×  thớ 4 vi phôi với *  × S Ba kiểu phân thớ lại cho tác động (liên tục)  lên đa tạp phân THAY LỜI KẾT LUẬN Qua nội dung luận văn, ta cảm nhận tôpô phân ngành mẻ, có tính hấp dẫn, thú vị nhiều ứng dụng, đặc biệt học vật lý Nhưng để tìm hiểu vận dụng vấn đề không đơn giản.Trong suốt nội dung trình bày, cố gắng nghiên cứu tôpô phân thông qua việc phát biểu định nghĩa phân lá, so sánh định nghĩa với đưa ví dụ minh họa Đồng thời, luận văn giới thiệu độ đo hoành phân lá, khái niệm A Connes đưa đặc biệt thích hợp với không gian phân Sau giới thiệu số kết Lê Anh Vũ lớp MD4 – phân lá, tức phân tạo thành từ K – quỹ đạo chiều cực đại lớp đặc biệt nhóm Lie giải chiều Tuy nhiên, hạn chế thời gian, kiến thức nhiều tài liệu tham khảo,…nên chưa có nhìn sâu sắc tôpô phân lá, chưa sâu tìm hiểu góp phần giải vấn đề mở lớp MD5 – nhóm, MD5 – đại số MD5 – phân Trong tương lai, mong muốn hy vọng tiếp tục đề tài nghiên cứu vấn đề Đối với tất MD5 – đại số MD5 – nhóm liên thông đơn liên xét, cần phân loại tôpô MD5 – phân tương ứng Xây dựng lượng tử hóa biến dạng MD5 – nhóm phân loại Phân loại MD5 – đại số với ideal dẫn xuất thứ không giao hoán để hoàn thành việc phân loại triệt để lớp MD5 – đại số Giải vấn đề tương tự làm cho MD5 – đại số MD5 – nhóm xét cho MD5 – đại số MD5 – nhóm lại Tiếp tục xét lớp MDn với n ≥ đồng thời xét trường hợp n tổng quát TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Anh Vũ, Không gian phân tạo K_quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4,Luận án phó tiến sĩ toán lý, Viện toán học Việt Nam, Hà Nội, 1990 Tiếng Anh [2] A.Connes, A survey of foliations and operator algebras Proc Symp, Pure Math, 1982 [3] A A Kirillov, Elements of the Theory of Prepresentations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York, 1976 [4] Do Ngoc Diep (1999), Method of Nocommutative Geometry for Group C*algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416 [5] Karin Erdmann and Mark J Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer – Verlag London Limited 2006 [6] Le Anh Vu and Duong Quang Hoa, The Geometricaly Picture of K-orbits of Connected and Simply connected MD5-Groups such that thier MD5-algebras have 4-dimensional commutative derived Ideals, Scientific journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh city, N 12(46) (2007), 16-28 [7] Le Anh Vu and Duong Minh Thanh, The geometry of K_orbits of a subclass of MD5_groups and foliation formed by their generic K_orbits, Contributions in Math And App.,Proceeding of the International Conference in Math And App., December 2005, Bangkok, Thailand, A Special Volume Published by East – West J Math (2006),169 – 184 [8] Vu Le Anh and Hoa Duong Quang, The topology of foliations formed by the generic K_orbits of a subclass of the indecomposable MD5_groups, Science in China Series A: Mathematics Feb 2009 vol 52, No 2, 351 – 360 [9] VU, L A.; SHUM, K P., Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific, 2008, 353-371 [10] G.Reeb, Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci Indust 1183, Hermann, Paris, 1952 [11] I Tamura, Tôpô phân lá, Nhà xuất “Mir”, Matxcva, 1979 ( tiếng Nga) DANH SÁCH CHỈ MỤC I Ideal bất khả phân 32,33 Ideal dẫn xuất 37 A Ánh xạ mũ 40,41,42 B K K – biểu diễn 30,31,40 Bản đồ phân 12,25 K – quỹ đạo 30,31,40 Bất biến 31 Kiểu tôpô phân 22 Biểu diễn đối phụ hợp 31 Không gian 21 Biểu diễn phụ hợp 30,31 Không gian đối ngẫu 31 Borel 27 Không gian tiếp xúc 10 Đa tạp hoành 25,26 L Đa tạp liên thông tối đại 11 Lá Đa tạp tích phân 10 Đa tạp phân 11, 12,13 M Đa trường vectơ 58 MD – đại số 31 Đại số bất khả phân 32,33,36 MD – nhóm 31 Đại số Lie Heisenberg 32,34 32 Đại số khả phân MD − đại số 33 Đẳng biến Borel MD − nhóm 31 28 Độ đo hoành MD – phân 57 25,28,29 D E Exponential N 42 G Giá trị riêng 11,12,13 Nhát cắt 28 Nhóm kim cương thực 45 42 P Phân bố khả tích 10,11 Phân bố xác định phân 11 Phân hoạch 11, 14 Tập hoành Borel 27 Phân 10,11,12 Tịnh tiến phải 31 Phân cảm sinh 13 Tịnh tiến trái 31 Phân cho phân thớ 14 Tôpô thương 22 Tôpô tự nhiên 22 Phân cho tác động nhóm 14 Phân đo 25,28,57 Tự đẳng cấu 40 Phân thớ 10 Tương đương tôpô 64 Phân thớ tiếp xúc 10 V Q Quỹ đạo Kirillov Vi phôi giải 31 S Siêu phân 13 Song ánh Borel 28 T Tấm 12 Tấm mẫu 28 [...]... các lá của phân lá Một vấn đề toàn cục khác về các phân lá là việc xét không gian các lá của một phân lá Không gian các lá V /  của phân lá (V ,  ) là không gian thương của không gian tôpô V khi thu các lá về một điểm a/ Nhận xét • Tôpô trên V /  nói chung là “ xấu” có thể không tách, thậm chí là tôpô tầm thường • Ta có phép chiếu tự nhiên pr : V → V /  x  pr ( x) := Lá đi qua x ” • Nếu phân lá. .. không Hausdorff 1.4.2 Kiểu tôpô của các phân lá Hai phân lá (V1 , 1 ) , (V2 , 2 ) được gọi là tương đương ( tôpô ) hay cùng kiểu tôpô phân lá nếu có một đồng phôi ϕ :V1 → V2 sao cho ϕ chuyển mỗi lá của 1 thành một lá của 2 Theo quan điểm tôpô, các vấn đề địa phương cũng như toàn cục của các phân lá cùng kiểu tôpô là hoàn toàn như nhau Nói riêng, các không gian lá của các phân lá tương đương luôn đồng... 1) 1.4 TÔPÔ PHÂN LÁ Như một hệ quả trực tiếp của ĐN 2, tất cả các phân lá cùng chiều trên cùng một đa tạp vi phân đều có cấu trúc địa phương như nhau Tuy nhiên chúng có thể rất khác nhau theo quan điểm toàn cục Bài toán của “ Tôpô phân lá ” là nghiên cứu trên quan điểm tôpô các vấn đề toàn cục về các phân lá Chẳng hạn như sự tồn tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của tất cả các lá, … 1.4.1... ∂ là một phân lá k – chiều, đối chiều (n – k – 1 ) trên ∂V Ta gọi ∂ là phân lá cảm sinh từ  lên ∂V Đặc biệt dim  = k = n − 1 (n − k = 1) tức là  là phân lá đối chiều 1 hay siêu phân lá trên V Lúc này mỗi lá của ∂ chính là một thành phần liên thông của ∂V Khi ∂V liên thông thì ∂V là lá duy nhất của ∂ 3 Mỗi phân lá theo ĐN 1 đều là một phân lá theo ĐN 2 Cụ thể xét (V ,  ) là phân lá k – chiều,... các lá của nó Ta có: (i) { Lα } là một phân hoạch của V ( F 1 thỏa mãn ) (ii) Kiểm tra được (F 2 ) thỏa mãn Tuy nhiên tồn tại những phân lá theo ĐN 2 nhưng không là phân lá theo ĐN 1 1.2.4 Phân lá được cho bởi phân thớ hoặc tác động nhóm Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) p : V → B sao cho mỗi thớ của nó là và chỉ là một lá của phân lá (V ,  ) thì ta bảo rằng phân lá (V ,  ) được cho bởi phân. .. TRÊN ĐA TẠP PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC Nhiều ví dụ về phân lá cho thấy một vấn đề cần phải lưu ý là: mặc dù đa tạp phân lá V của phân lá (V ,  ) compact, nhưng các lá của nó có thể không compact  n−k  k × pt V k U U Hình 2.1 Ví dụ đơn giản nhất là phân lá Kronecker của xuyến 2-chiều V =  2  2 cho bởi phương trình vi phân dx = θ dy , ở đó θ ∉  , rõ ràng là: 1) Mặc dù V compact, các lá Lα , α ∈... bày khái niệm về phân lá, cụ thể là đưa ra 2 định nghĩa thông dụng nhất của phân lá và một số ví dụ cơ bản về phân lá Một số các ví dụ sẽ chỉ ra rằng hai định nghĩa về phân lá đã nêu không tương đương Chương này được trình bày dựa trên cơ sở của các tài liệu tham khảo [2], [10], [11], … 1.1 PHÂN BỐ KHẢ TÍCH TRÊN ĐA TẠP VI PHÂN 1.1.1 Định nghĩa Giả sử V là một đa tạp con trơn và TV là phân thớ tiếp... học vi phân không giao hoán nổi tiếng của A Connes Các kết quả về MD – phân lá 4 chiều là khá trọn vẹn Tuy nhiên, các kết quả về các MD – phân lá 5 chiều vẫn còn khá khiêm tốn và còn nhiều vấn đề vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu Bởi thế, về phân loại tôpô các phân lá, chúng tôi sẽ chỉ giới thiệu phân loại tôpô lớp các MD – phân lá 4 chiều 3.1 BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K – BIỂU DIỄN 3.1.1 Biểu diễn phụ hợp... gian A của các lá Lα , α ∈ A có thể không là Hausdorff và thực tế là tôpô thương có thể tầm thường (tôpô thô) Nói một cách khác, đối với mỗi phân lá, các lá của nó nói chung không compact Do đó khó có thể nói gì về tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá Trong khi đó nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển... là không tầm thường 1.2 PHÂN LÁ 1.2.1 Định nghĩa của A.Connes ( xem [2]) (ĐN 1) Một phân lá (V ,  ) là một cặp gồm đa tạp trơn V cùng một phân bố khả tích  trên nó Đa tạp V gọi là đa tạp phân lá, còn  gọi là phân bố xác định phân lá Số chiều dim  , số đối chiều codim  : = dimV – dim  lần lượt được gọi là số chiều, số đối chiều của phân lá (V ,  ) Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại