nhập môn không gian phân thớ và phân thớ vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Lan Anh NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ VÀ PHÂN THỚ VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Lan Anh NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ VÀ PHÂN THỚ VECTƠ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÝ HIỆU CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ 1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ 1.1.1.Mở đầu 1.1.2.Định nghĩa 1.1.3.Nhận xét 1.2.NHÁT CẮT 1.2.1.Định nghĩa 1.2.2.Tính chất 1.2.3.Ví dụ 1.3.HỌ HÀM DÁN 1.3.1Định nghĩa 1.3.2.Tính chất 1.3.3.Đẳng cấu phân thớ đáy 1.4.ĐỊNH LÝ DÁN 1.4.1.Định lý 1.4.2.Nhận xét 12 1.4.3.Các ví dụ 12 1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG 14 CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ 18 2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ 18 2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ 19 2.3.NHÁT CẮT 19 2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 21 2.5.PHÂN THỚ PHỨC 23 2.6.PHÂN THỚ CON 26 2.7.PHÂN THỚ VECTƠ LIÊN KẾT VỚI ĐA TẠP VÀ CÁC VÍ DỤ 30 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 LỜI MỞ ĐẦU Khái niệm không gian phân thớ lần xuất vào khoảng năm 1922 – 1925 công trình E.Cartan lý thuyết liên thông Trong lớp không gian phân thớ, phân thớ vectơ đóng vai trò quan trọng nhờ mà lý thuyết đối đồng điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học, xây dựng Những nghiên cứu nghiêm túc phân thớ bắt đầu Poincare nghiên cứu không gian phủ không tầm thường Cấu trúc phân thớ xuất nhiều nghiên cứu đa tạp khả vi Sau đó, lớp đặc trưng định nghĩa thời gian dài, chúng công cụ việc nghiên cứu Các lớp đặc trưng Stieffel Whitney giới thiệu Stieffel Whitney vào năm 1935 phân thớ tiếp xúc đa tạp trơn Whitney xét đến phân thớ mặt cầu Kể từ lý thuyết không gian phân thớ trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng tôpô đại số công cụ thay việc nghiên cứu hình học vi phân Đúng tên gọi đề tài, nghiên cứu phần không gian phân thớ phân thớ vectơ Luận văn chia làm hai chương Chương I trình bày định nghĩa tổng quát không gian phân thớ, nhát cắt, họ hàm dán, định lý dán toán mô tả lớp đẳng cấu tầm thường địa phương, định lý dán cho phép ta xây dựng không gian phân thớ đáy B cách “dán” phân thớ tầm thường Chương II trình bày định nghĩa phân thớ vectơ, nhóm cấu trúc vectơ GL(n, K), nhát cắt, phép toán phân thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ liên kết với đa tạp Do khả trình độ có hạn, luận văn chắn nhiều sai sót Rất mong cảm thông, góp ý bảo quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp Nhân dịp xin cảm ơn chân thành Thầy, Cô trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ suôt trình học tập Đặc biệt, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Anh Vũ, người trực tiếp đề tài, hướng dẫn hoàn thành luận văn Tp HCM, ngày 06 tháng 11 năm 2011 Người thực Nguyễn Thị Lan Anh MỘT SỐ KÝ HIỆU 𝜉 Không gian phân thớ 𝜉̅ 𝒜 Atlas không gian phân thớ B Đáy hay không gian sở F Thớ mẫu 𝑆𝑛 Mặt cầu đơn vị n chiều 𝑣 (𝑆 𝑛 ) Phân thớ pháp mặt cầu 𝑆 𝑛 𝑇 (𝑆 𝑛 ) Phân thớ liên hợp phân thớ phức 𝜉 Phân thớ tiếp xúc mặt cầu 𝑆 𝑛 𝑠 (𝜉 ) Tập nhát cắt 𝜉 𝑇𝑥 𝑀 Phân thớ tiếp xúc đa tạp M x G Nhóm đồng phôi F 𝐾 Kí hiệu không gian thực ℝ không gian phức ℂ 𝑛� Phân thớ tầm thường n chiều 𝜈 (𝑋 ) Phân thớ chuẩn tắc đa tạp X Tập ánh xạ liên tục từ B vào K Df Ánh xạ vi phân ánh xạ f TM Phân thớ tiếp xúc đa tạp M 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) Tập ma trận vuông 𝑛 × 𝑛 không gian 𝐾 H1(B,G) Đối đồng điều bậc B với hệ tử G 𝐶𝐾 𝐵 CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ Chương trình bày khái niệm tính chất không gian phân thớ (tầm thường địa phương) Định lý chương Định lý dán Nhờ định lý dán, ta dựng phân thớ cách “dán” phân thớ tầm thường lại Điều đáng nhấn mạnh đa phần phân thớ cho phép dán họ hữu hạn phân thớ tầm thường (tích trực tiếp) Để trình bày chương này, tham khảo chủ yếu tài liệu “Fibre Bundles” ([10]) D Husemoller Do khuôn khổ hạn chế luận văn, số tính chất giới thiệu mà không đưa chứng (thường phức tạp) Bạn đọc quan tâm tham khảo tài liệu dẫn D Husemoller 1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ 1.1.1.Mở đầu Định nghĩa phân thớ tầm thường địa phương đưa để mô tả lại ý tưởng số trường hợp hình học vi phân Ta xét số ví dụ sau: a) Mặt trụ tròn xoay xem hợp rời họ đường thẳng liên tục xuất phát từ điểm x thuộc đường tròn S1 b) Dải Mobius 𝑇 ∶= 𝑆1 × ℝ = � ℝ𝑥 , ℝ𝑥 ≈ ℝ 𝑥∈𝑆 [ ]2 𝑀 = 0; �(0; 𝑦) ≡ (1; − 𝑦) = � 𝐼𝑥 , 𝐼𝑥 ≈ [0,1] 𝑥∈𝑆 c) Mặt Xuyến hai chiềuđược biểu diễn hợp rời đường tròn (kinh tuyến) ứng với điểm x thuộc đường tròn khác (vĩ tuyến) d) Cho M đa tạp khả vi nhúng vào không gian Euclide ℝ𝑁 TM tập vectơ tiếp xúc đa tạp M xem nhúng vào ℝ𝑁 × ℝ𝑁 Khi đó, TM hình dung hợp không gian 𝑇𝑥 𝑀 gồm tất vectơ tiếp xúc với đa tạp M x 𝑇𝑀 ∶= � 𝑇𝑥 𝑀 , 𝑇𝑥 𝑀 ≈ ℝ𝑁 , Mỗi không gian ví dụ có điểm chung: - 𝑥 ∈ 𝑀 Không gian tách thành hợp không gian mà thường gọi “thớ” - Các “thớ” không gian tôpô mà thường gọi “thớ mẫu” Các “thớ” đánh số không gian mà thường gọi “đáy” hay “cơ sở” - Xét toàn thể, nói chung không gian tích trực tiếp “đáy” với “thớ mẫu” Tuy nhiên xét địa phương (một vùng nhỏ đáy), tất không gian tích trực tiếp Dựa vào đặc điểm ta đưa định nghĩa phân thớ tầm thường địa phương 1.1.2.Định nghĩa Cho ba không gian tôpô E, B, F vàánh xạ liên tục p: E → B Bộ ba 𝜉 = (E, p, B) gọi phân thớ tầm thường địa phương (hay đơn giản phân thớ) với thớ mẫu F tính chất “tầm thường địa phương” sau thoả mãn:∀𝑥 ∈ 𝐵, ∃𝑈(lân cận mởcủa x B) ≈ đồng phôi 𝜑 ∶ 𝑈 × 𝐹 �� 𝑝−1 (𝑈) (là tập mở E) làm cho tam giác giao hoán 𝑝𝑟𝑈 = 𝑝�𝑝−1(𝑈) ∘ 𝜑 𝜑 𝑈 × 𝐹 �⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑝−1 (𝑈) 𝑝𝑟𝑈 𝑝�𝑝−1(𝑈) 𝑈 𝑝𝑟𝑈 : 𝑈 × 𝐹 → 𝑈(phép chiếu tự nhiên) (𝑥, 𝑓) ↦ 𝑝𝑟𝑈 (𝑥, 𝑓) ∶= 𝑥 Đồng phôi𝜑 thoả điều kiện gọi đồng phôi theo thớ E gọi không gian toàn thể hay không gian phân thớ Khi không sợ nhầm lẫn ta thường dùng E để 𝜉; p gọi phép chiếu phân thớ; B gọi sở hay đáy phân thớ F gọi thớ mẫu Với 𝑥0 ∈ 𝐵, 𝑝−1 (𝑥)(≈ 𝐹 )được gọi làthớ tại𝑥0 ; 𝜑được gọi đồng phôi toạ độ địa phươngxung quanh𝑥0 ∈ 𝐵; cặp (𝑈, 𝜑) gọi làbản đồ địa phương phân thớ𝜉 xung quanh 𝑥0 ∈ 𝐵 Họ {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 đồ địa phương không gian phân thớ𝜉= (E, p, B) gọi atlas 𝜉nếu {𝑈𝛼 }𝛼 phủ mở B Như vậy, tất phân thớ có atlas 1.1.3.Nhận xét - Phép chiếu p phân thớ toàn ánh - Đặc biệt 𝜑: 𝐵 × 𝐹 → 𝐸 = 𝑝−1 (𝐵)(B đóng vai trò U định nghĩa) ta bảo phân ≈ thớ tầm thường Đương nhiên lúc 𝜑 đồng phôi theo thớ Nói cách khác, phân thớ tầm thường sai đồng phôi theo thớ với tích trực tiếp đáy thớ mẫu Ví dụ: Mặt trụ phân thớ tầm thường ≈ 𝑝: 𝑇 ∶= 𝑆1 × ℝ → 𝑆1 với đồng phôi 𝜑: 𝑆1 × ℝ → 𝑝−1 (𝑆1 ) 1.2.NHÁT CẮT 1.2.1.Định nghĩa Cho ξ = (E, p, B) không gian phân thớ Ánh xạ liên tục s: B → Eđược gọi làmột nhát cắt ξnếu p s = IdB 𝑠 𝐵 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸 𝐼𝑑𝐵 𝑝 𝐵 𝑝𝑠(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐵; 𝑠(𝑥) = 𝑒 ∈ 𝑝−1 (𝑥) ⊂ 𝐸 Nói cách khác, nhát cắt phân thớ 𝜉= (E, p, B) ánh xạ liên tục𝑠: 𝐵 → 𝐸mà 𝑠(𝑥) ∈ 𝑝−1 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵 1.2.2.Tính chất a) Một nhát cắt phân thớ tích (𝐵 × 𝐹, 𝑝, 𝐵) có dạng𝑠(𝑥) = (𝑥, 𝑓(𝑥)) 𝑓: 𝐵 → 𝐹là ánh xạ liên tục xác định nhát cắt𝑠 Thật vậy: Giả sử có ánh xạ 𝑠: 𝐵 → 𝐵 × 𝐹 𝑥 ↦ 𝑠(𝑥) ∶= �𝑠 ′ (𝑥), 𝑓 (𝑥)� 𝑠 ′ : 𝐵 → 𝐵, 𝑓: 𝐵 → 𝐹là ánh xạ xác định 𝑠 𝑝 𝑠(𝑥) = 𝑠′(𝑥) Do 𝑠 nhát cắt nên 𝑝 𝑠(𝑥) = 𝑥 = 𝑠 ′ (𝑥) ⟺ 𝑠(𝑥) = �𝑥, 𝑓 (𝑥)�, ∀𝑥 ∈ 𝐵∎ Tính chất cho thấy tồn song ánh từ tập nhát cắt phân thớ tích(𝐵 × 𝐹, 𝑝, 𝐵) tập ánh xạ liên tục 𝐵 → 𝐹 b) Trong ngôn ngữ địa phương, 𝑠 thể sau: Giả sử𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 atlas 𝜉 = (E, p, B) 𝑠|𝑈𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝜉𝛼 = 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) ≈ 𝑈𝛼 × 𝐹 𝑥 ↦ 𝑠|𝑈𝛼 (𝑥) ∶= 𝜑𝛼 (𝑥, 𝑓) ( f phụ thuộc vào x,𝛼, 𝑠) ta 𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐹 cho 𝑠(𝑥) = 𝜑𝛼 (𝑥, 𝑓) Ta viết lại 𝑠|𝑈𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) 𝑙𝑡 1−1 𝑥 ↦ 𝑠𝛼 (𝑥) ∶= 𝑓, ∀𝛼 𝑥 ↦ 𝑠|𝑈𝛼 (𝑥) ∶= 𝜑𝛼 �𝑥, 𝑠𝛼 (𝑥)� �𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐹� �⎯⎯� 𝑠 (thoả mãn điều kiện𝑠𝛼�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ 𝑠𝛽�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ) 𝛼 𝑙𝑡 Ta gọi họ �𝑠𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐹� biểu diễn địa phương 𝑠 ứng với 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 𝛼 1.2.3.Ví dụ Kí hiệu (𝑥, 𝑦)là tích vô hướng thông thường ℝ𝑛 ‖𝑥 ‖ = �(𝑥, 𝑥) chuẩn vectơ • Phân thớ tiếp xúc 𝑇(𝑆 𝑛 )của mặt cầu 𝑆 𝑛 ⊂ ℝ𝑛+1 xác định 𝑇(𝑆 𝑛 ) = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆 𝑛 × ℝ𝑛+1 : (𝑏, 𝑥) = 0} • Phân thớ pháp 𝑣 (𝑆 𝑛 )của mặt cầu xác định 𝑣 (𝑆 𝑛 ) = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆 𝑛 × ℝ𝑛+1 : 𝑥 = 𝑘𝑏, 𝑘 ∈ ℝ} 𝑗 𝑗 𝑦𝛽 = 𝑦𝛽 (𝑥𝛼1 , … , 𝑥𝛼𝑛 ) Nếu 𝑥𝛼𝑘 = 𝑥𝛼𝑘 (𝑡 ) hàm xác định đường cong 𝛾 (𝑡 ) 𝜉𝛼𝑘 𝑑𝑥𝛼𝑘 (0) = 𝑑𝑡 Do đường cong 𝑓 ∘ 𝛾 (𝑡 ) định nghĩa hàm 𝑗 𝑗 𝑦𝛽 = 𝑦𝛽 �𝑥𝛼1 (𝑡 ), … , 𝑥𝛼𝑛 (𝑡 )� vectơ 𝐷𝑓 (𝜉 )được xác định 𝑛 𝐷𝑓(𝜉 ) = � 𝑑𝑦𝛽1 𝑑𝑡 (0), … , 𝑑𝑦𝛽𝑚 𝑛 𝑑𝑡 (0)� 𝜕𝑦𝛽𝑚 𝑑𝑥𝛼𝑘 𝑑𝑥𝛼𝑘 ( ) ( ) ( ) (0)� = �� 𝑘 𝑥0 , … , � 𝑘 𝑥0 𝜕𝑥𝛼 𝑑𝑡 𝜕𝑥𝛼 𝑑𝑡 𝑘=1 𝜕𝑦𝛽1 𝑘=1 = 𝑛 𝜕𝑦𝛽1 �� 𝑘 (𝑥0 )𝜉𝛼1 𝜕𝑥𝛼 𝑘=1 𝑛 ,…,� 𝑘=1 𝜕𝑦𝛽𝑚 𝜕𝑥𝛼𝑘 (𝑥0 ) 𝜉𝛼𝑚 � (2.11) Từ (2.11) suy thứ ánh xạ 𝐷𝑓 định nghĩa tốt 𝐷𝑓 không phụ thuộc vào lựa chọn đường cong 𝛾 vectơ tiếp xúc 𝑥0 , thứ hai 𝐷𝑓 tuyến tính theo thớ 𝐷𝑓 gọi ánh xạ vi phân f Nhận xét Xét hàm khả vi biến 𝑓: ℝ1 → ℝ1 Phân thớ tiếp xúc đa tạp ℝ1 đẳng cấu với ℝ1 × ℝ1 = ℝ2 Do ta có vi phân 𝐷𝑓 ∶ ℝ1 × ℝ1 → ℝ1 × ℝ1 Mặt khác vi phân cổ điển có dạng (𝑥, 𝜉 ) ↦ (𝑥, 𝑓′(𝑥)𝜉 ) 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 Do 𝐷𝑓 (𝑥, 𝑑𝑥) = (𝑥, 𝑑𝑓) Vì định nghĩa vi phân 𝐷𝑓 𝑓 khái niệm tổng quát vi phân cổ điển hàm Tính chất: Vi phân 𝐷𝑓 có tính chất sau: (a) (b) (c) 𝐷 (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝐷𝑓) ∘ (𝐷𝑔), 𝐷 (𝐼𝑑 ) = 𝐼𝑑, Nếu 𝑓 vi phôi 𝐷𝑓 đẳng cấu, (d) Nếu 𝑓 nhúng chìm 𝐷𝑓 đơn cấu theo thớ 2.7.5.Xét đa tạp khả vi Y đa tạp 𝑋 ⊂ 𝑌 Phép bao lồng 𝑗: 𝑋 ↪ 𝑌 ánh xạ khả vi thỏa vi phân 𝐷𝑗 đơn cấu theo thớ, 𝐷𝑗: 𝑇𝑋 → 𝑇𝑌 Khi đa tạp X có hai phân thớ vectơ,đó là𝑗 ∗ (𝑇𝑌) (là hạn chế phân thớ tiếp xúc đa tạp Y đa tạp X) phân thớ 𝑇𝑋 Theo định lý 4, phân thớ 𝑗 ∗ (𝑇𝑌) phân tích thành tổng trực tiếp hai số hạng sau : 𝑗 ∗ (𝑇𝑌) = 𝑇𝑋⨁𝜂 Phần bù 𝜂 gọi phân thớ chuẩn tắc đa tạp 𝑋 ⊂ 𝑌 Mỗi thớ phân thớ 𝜂 điểm 𝑥0 gồm vectơ tiếp xúc Y mà trực giao với không gian tiếp xúc 𝑇𝑥0 (𝑋 ) Phân thớ chuẩn tắc kí hiệu 𝜈(𝑋 ⊂ 𝑌) 𝜈 (𝑋 ) Rõ ràng khái niệm phân thớ chuẩn tắc định nghĩa không đa tạp mà phép nhúng chìm 𝑗: 𝑋 → 𝑌 Ta biết với đa tạp compact X có phép bao lồng vào không gian Euclide ℝ𝑁 , số N đủ lớn Cho phép bao lồng 𝑗: 𝑋 → ℝ𝑁 , 𝑗 ∗ (𝑇ℝ𝑁 ) = 𝑇𝑋⨁𝜈(𝑋 ⊂ ℝ𝑁 ) � Phân thớ 𝑇ℝ𝑁 tầm thường 𝑇𝑋⨁𝜈 (𝑋 ) = 𝑁 (2.12) Trong trường hợp phân thớ 𝜈(𝑋 ) gọi phân thớ chuẩn tắc đa tạp X (bất kể phép bao lồng) Chú ý: phân thớ chuẩn tắc 𝜈(𝑋 ) đa tạp X không Phân thớ phụ thuộc vào không gian ℝ𝑁 số chiều N Nhưng đẳng thức (2.12) phân thớ �1 Khi Cho 𝜈1 (𝑋 ) phân thớ chuẩn tắc khác thỏa 𝑇𝑋⨁𝜈1 (𝑋 ) = 𝑁 𝜈 (𝑋 )⨁𝑇𝑋⨁𝜈1 (𝑋 ) = 𝜈(𝑋 )⨁𝑇𝑋⨁𝜈1 (𝑋 ) ⇒ �⨁𝜈1 (𝑋 ) �1 = 𝑁 ⇒ 𝜈 (𝑋 )⨁𝑁 𝜈(𝑋 ) ≅ 𝜈1 (𝑋 ) (trong trường hợp phân thớ tầm thường) Ví dụ 1: Xét đường tròn 𝑆1 _1 chiều Xác định hai đồ 𝑆1 : 𝑈1 = {−𝜋 < 𝜑 < 𝜋} 𝑈2 = {0 < 𝜑 < 2𝜋} 𝜑 tham số góc hệ tọa độ cực mặt phẳng Trên 𝑈1 , lấy hàm 𝑥1 = 𝜑, −𝜋 < 𝑥1 < 𝜋, 𝑈2 lấy hàm 𝑥2 = 𝜑, < 𝑥2 < 2𝜋 Trong tập giao 𝑈1 ∩ 𝑈2 gồm hai thành phần liên thông 𝑉1 = {0 < 𝜑 < 𝜋}, 𝑉2 = {𝜋 < 𝜑 < 2𝜋} Khi hàm chuyển có dạng Theo (2.10) ta có 𝑥1 = 𝑥1 (𝑥2 ) = � < 𝑥2 < 𝜋, 𝑥2 , 𝑥2 − 2𝜋, 𝜋 < 𝑥2 < 2𝜋 𝜑12 (𝑥, 𝜉 ) = 𝜉 ⇒ Hàm chuyển 𝜑12 hàm đồng 𝜕𝑥1 =𝜉 𝜕𝑥2 ⇒ Phân thớ tiếp xúc 𝑇𝑆1 = 𝑆1 × ℝ1 , nói cách khác 𝑇𝑆1 phân thớ tầm thường chiều Ví dụ 2: Xét mặt cầu 𝑆 _2 chiều mặt phẳng phức mở rộng 𝑆 = ℂ1 ∪ {∞} Ta định nghĩa hai đồ 𝑆 𝑈1 = ℂ1 𝑈2 = (ℂ1 \{0}) ∪ {∞} Xác định tọa độ phức 𝑧1 = 𝑧trên 𝑈1 𝑧2 = 𝑈2 𝑧 Khi hàm chuyển tập giao 𝑈1 ∩ 𝑈2 có dạng 𝑧1 = Và phân thớ vectơ có hàm chuyển tương ứng 𝜑12 (𝑧, 𝜉 ) = 𝜉 𝑧2 𝜕𝑧1 = −𝜉 = −𝜉𝑧 𝜕𝑧2 𝑧2 Dạng thực của ma trận 𝜑21 cho 𝑦2 − 𝑥2 𝜑12 (𝑥, 𝑦) = � 2𝑥𝑦 −2𝑥𝑦 � 𝑦2 − 𝑥2 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Trong tọa độ cực 𝑧 = 𝑒 𝑖𝛼 , ta 𝜑12 (𝜌, 𝛼) = 𝜌2 � cos 2𝛼 sin 2𝛼 − sin 2𝛼 � cos 2𝛼 Phân thớ tiếp xúc 𝑇𝑆 không phân thớ tầm thường Thật 𝑇𝑆 phân thớ tầm thường có hàm giá trị ma trận ℎ1 : 𝑈1 → 𝐺𝐿(2, ℝ) ℎ2 : 𝑈2 → 𝐺𝐿 (2, ℝ) (2.12) thỏa mãn 𝜑12 (𝜌, 𝛼 ) = ℎ1−1 (𝜌, 𝛼 ) ∘ ℎ2 (𝜌, 𝛼 ) Các đồ (𝑈1 , 𝜑1 ), (𝑈2 , 𝜑2 ) co rút hàm ℎ1 , ℎ2 đồng luân với ánh xạ Do hàm chuyển 𝜑12 (𝜌, 𝛼) phải đồng luân với hàm Nhưng mặt khác, cố định 𝜌 hàm 𝜑12 xác định ánh xạ 𝑆1 → 𝑆𝑂(2) = 𝑆1 với tham số 𝛼, ánh xạ có bậc Vì ánh xạ không đồng luân với ánh xạ 2.7.6 Xét phân thớ vectơ 𝑝: 𝐸 → 𝑋 với đáy X đa tạp khả vi Giả sử hàm chuyển sau ánh xạ khả vi 𝜑𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) Khi không gian toàn thể E đa tạp khả vi dim 𝐸 = dim 𝑋 + 𝑛 Nếu {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼 atlas đa tạp X atlas đa tạp E xác định sau 𝑉𝛼 = 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) = 𝑈𝛼 × ℝ𝑛 Tọa độ địa phương 𝑉𝛼 xác định họ tọa độ địa phương 𝑈𝛼 với tọa độ Đềcác thớ Tính khả vi hàm 𝜑𝛽𝛼 suy tính khả vi phép biến đổi tọa độ Một câu hỏi tự nhiên đặt ra:Đối với phân thớ vectơ đa tạp khả vi X liệu có tồn atlas không gian toàn thể từ hàm chuyển khả vi𝜑𝛽𝛼 không? Câu trả lời nằm định lý sau: 2.7.7 Định lý 7: Cho 𝑝: 𝐸 → 𝑋 phân thớ vectơ n chiều X đa tạp khả vi compact Khi tồn atlas {𝑈𝛼 } X đồng phôi tọa độ 𝜑𝛼 : 𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) cho hàm chuyển sau khả vi:𝜑𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) Chứng minh Xét atlas đủ tốt phân thớ 𝑝 đồng phôi tọa độ 𝜓𝛼 : 𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) Các hàm chuyển liên tục: 𝜓𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) Vấn đề ta thay đồng phôi 𝜓𝛼 thành đồng phôi tọa độ𝜑𝛼 thỏa hàm chuyển 𝜑𝛽𝛼 khả vi Nói cách khác, ta tìm hàm ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) thỏa tích ℎ𝛽−1 (𝑥) ∘ 𝜓𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 (𝑥) khả vi Cho {𝑈𝛼′ } atlas thỏa mãn �𝛼′ ⊂ 𝑈𝛼 𝑈𝛼′ ⊂ 𝑈 Ta xây dựng hàm ℎ𝛼 (𝑥) phương pháp quy nạp theo số 𝛼, ≤ 𝛼 ≤ 𝑁 không tính tổng quát, ta giả sử tất hàm 𝜓𝛽𝛼 (𝑥) có giới hạn, �𝜓𝛽𝛼 (𝑥)� ≤ 𝐶 Cho 0 có hàm khả vi 𝑔(𝑥) xác định V ta có |𝑔(𝑥) − 𝑓 (𝑥)| < 𝜀, 𝑥 ∈ 𝑉 Hơn nữa, hàm 𝑓 (𝑥) khả vi lân cận tập compact K’ lân cận K’ hàm g chọn có tính chất 𝑔 (𝑥 ) ≡ 𝑓 (𝑥 ) Áp dụng bổ đề cho việc xây dựng hàm 𝜑𝛽𝛼 Theo bổ đề tồn hàm khả vi𝜑12 xác �1′ ∩ 𝑈 �2′ thỏa mãn định lân cận tập 𝑈 ‖𝜑21 (𝑥) − 𝜓21 (𝑥)‖ < 𝜀 Giả sử ta chọn hàm khả vi 𝜑𝛽𝛼 (𝑥) xác định lân cận tập �𝛽′ với ∀𝛼 < 𝛽 ≤ 𝛽0 thỏa �𝛼′ ∩ 𝑈 𝑈 �𝜑𝛽𝛼 (𝑥) − 𝜓𝛽𝛼 (𝑥)� < 𝜀 𝜑𝛾𝛼 (𝑥) = 𝜑𝛾𝛽 (𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼 (𝑥), ∀𝛼 < 𝛽 < 𝛾 ≤ 𝛽0 Hàm 𝜑1,𝛽0 +1 (𝑥) xây dựng tương tự cách xây dựng𝜑12 Giả sử hàm 𝜑𝛽0 +1,𝛼 (𝑥), ∀𝛼 ≤ 𝛼0 ≤ 𝛽0 xây dựng thỏa mãn điều kiện đối chu trình 𝜑𝛽0 +1,𝛼 (𝑥) = 𝜑𝛽0 +1,𝛼′ (𝑥) ∘ 𝜑𝛼′,𝛼 (𝑥), 𝛼, 𝛼 ′ ≤ 𝛼0 Khi hàm cần tìm 𝜑𝛽0 +1,𝛼0+1 (𝑥) xác định lân cận tập �𝛼′ +1 ∩ 𝑈 �𝛽′ +1 , ∀𝛾 ≤ 𝛼0 công thức �𝛾′ ∩ 𝑈 𝑈 0 𝜑𝛽0 +1,𝛼0 +1 (𝑥) = 𝜑𝛽0 +1,𝛾 (𝑥) ∘ 𝜑𝛼−10+1,𝛾 (𝑥) Do hàm cần tìm 𝜑𝛽0 +1,𝛼0+1 (𝑥) xác định lân cận hợp thỏa điều kiện �𝛼′ +1 ∩ 𝑈 �𝛽′ +1 � �𝛾′ ∩ 𝑈 𝑉 = � �𝑈 0 𝛾≤𝛼0 �𝜓𝛽0 +1,𝛼0+1 (𝑥) − 𝜑𝛽0 +1,𝛼0+1 (𝑥)� < 2𝐶𝜀 (2.13) Theo bổ đề hàm mở rộng𝜑𝛼0+1,𝛽0 +1 (𝑥) từ tập đóng lân cận tập V thành �𝛽′ +1 thỏa mãn điều kiện (2.13) �𝛼′ +1 ∩ 𝑈 lân cận tập 𝑈 0 Bằng phương pháp quy nạp, họ hàm 𝜑𝛽𝛼 xác định với tính chất �𝜓𝛽𝛼 (𝑥) − 𝜑𝛽𝛼 (𝑥)� < (2𝐶 )𝑁 𝜀 = 𝜀 ′ Ta cần xây dựng hàm ℎ𝛼 thỏa điều kiện 𝜑𝛽𝛼 (𝑥) = ℎ𝛽−1 (𝑥) ∘ 𝜓𝛽𝛼 (𝑥) ∘ ℎ𝛼 (𝑥) Hay ℎ𝛼 (𝑥) = 𝜓𝛼𝛽 (𝑥) ∘ ℎ𝛽 (𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼 (𝑥) (2.14) Ta xây dựng hàm ℎ𝛼 phương pháp quy nạp Đặt ℎ1 (𝑥) ≡ Giả sửcác hàm ℎ𝛼 (𝑥), ≤ 𝛼 ≤ 𝛼0 xây dựng thỏa điêu kiện (2.14) ‖1 − ℎ𝛼 (𝑥)‖ < 𝜀, 𝛼 < 𝛼0 Khi hàm ℎ𝛼0+1 (𝑥) xác định công thức (2.14) lân cận tập Trên tập V, có bất đẳng thức �𝛼′ ∩ 𝑈 �𝛼′ +1 𝑉= �𝑈 𝛼 Dĩ nhiên, hàm giá trị có dạng ma trận Jacôbi, nghĩa ℎ𝛼 : 𝑈𝛼 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) ℎ𝛼 ( 𝑥 ) = � 𝜕𝑦𝛼𝑘 𝑗 𝜕𝑥𝛼 � hàm 𝑦𝛼𝑘 = 𝑦𝛼𝑘 (𝑥𝛼1 , … , 𝑥𝛼𝑛 ) biến đổi tọa độ tính định hướng cho trước đa tạp X Nhưng tổng quát điều không ta cần tìm hàm ℎ𝛼 Chú ý, ta có hệ hàm phù hợp đổi hệ tọa độ mà bảo toàn dấu det ℎ𝛼 Do đó, chọn hàm sau: ±1 ℎ�𝛼 (𝑥) = � ⋮ 0 ⋮ … … ⋱ … 0 �, ⋮ dấu số hạng trùng với dấu det ℎ𝛼 thành phần liên thông đồ (𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 ) , hàm chuyển 𝜓�𝛼𝛽 (𝑥) = ℎ�𝛼 (𝑥) ∘ 𝜑𝛼𝛽 (𝑥) ∘ ℎ�𝛽−1 (𝑥) Thỏa mãn điều kiện det 𝜓𝛼𝛽 > Nói cách khác, hàm ℎ�𝛼 (𝑥) phép biến đổi tọa độ định thức Jacôbi 𝑦𝛼1 = ±𝑥𝛼1 𝑦𝛼2 = 𝑥𝛼2 ……… 𝑦𝛼𝑛 = 𝑥𝛼𝑛 atlas mà xác định định hướng đa tạp X tìm thấy KẾT LUẬN Qua luận văn này, tác giả thật bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu, trình bày vấn đề Luận văn trình bày vấn đề không gian phân thớ phân thớ vectơ, định nghĩa không gian phân thớ tổng quát, định lý dán, ví dụ không gian phân thớ, toán mô tả lớp đẳng cấu phân thớ tầm thường địa phương, định nghĩa phân thớ vectơ, phép toán phân thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ vectơ liên kết với đa tạp, có nêu sơ công thức bất biến hàm ẩn, hàm Morse, đa tạp định hướng,… Tuy nhiên hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi nhiều từ đóng góp đạo quý thầy cô hội đồng Tác giả mong muốn nghiên cứu sâu không gian phân thớ, phân thớ vectơ ứng dụng nó, điển lý thuyết đối đồng điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học tương lai không xa CHỈ DẪN THUẬT NGỮ Nhát cát, nhát cắt không Ánh xạ vi phân trang40 Ảnh ánh xạ trang 32 Atlas trang 6,36 Bản đồ trang 6,36 Cái kéo ngược trang 25 Cấu trúc đa tạp khả tích trang 37 Cấu trúc đa tạp khả vi lớp Ck trang 37 Cấu trúc đa tạp phức khả tích trang 37 Dịch chuyển dọc đa tạp trang 48 Đa tạp định hướng trang 49 Đáy (cơ sở) trang Đẳng cấu phân thớ trang 10 Điểm tới hạn trang 49 Định lý dán trang 10 Đối chu trình 1_chiều trang 20 Đối dây chuyền 0_chiều trang 19 Đối dây chuyền 1_chiều trang19 Đối đồng trang 20 Đồng cấu phân thớ trang 10 Đồng phôi theo thớ trang Đồng phôi tọa độ trang 36 Giá trị quy trang 48 Hàm chuyển đồ trang 36 Hàm dán trang Hàm Morse trang 49 Hàm tọa độ đa tạp trang 36 Hệ tọa độ địa phương đa tạp trang 36 Không gian phân thớ trang Không gian tiếp xúc trang 39 Không suy biến trang 49 Nhân ánh xạ trang 32 trang7,23 Nhóm cấu trúc phân thớ vectơ trang 23 Phân thớ trang 31 Phân thớ chuẩn tắc trang 41 Phân thớ vectơ phức trang 28 Phân thớ phức liên hợp trang 30 Phân thớ tiếp xúc trang9,39 Phân thớ vectơ trang 21 Phức hóa phân thớ vectơ trang 29 Thớ mẫu trang Thực hóa phân thớ vectơ trang 29 Tích tenxơ trang26 Tổng Whitney (tổng trực tiếp) trang 26 Trường vectơ pháp tuyến trang Trường vectơ tiếp xúc trang Vectơ pháp tuyến trang Vectơ tiếp xúc trang 8,38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2008) , Tôpô đại cương, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân (2007), Nhập môn Tôpô đại số, NXB Đại học sư phạm [3] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số, NXB Giáo dục [4] Kelley J (1973), Tôpô đại cương, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội (Bản dịch từ tiếng Anh) Tiếng Anh [5] Cones A., Moscovici H (1990), Cyclic Cohomology, TheNovikovConjecture and Hyperbolic Groups – Topology [6] Sullivan D (1970), Geometric Topology, MIT [7] Luke G., Mishchenko A (2000), Vector bundles and theirapplication, Kluwer Academic Publishers [8] Allen Hatcher (2002), Algebraic Topology, Cambridge University, London [9] Allen Hatcher (2003), Vector Bundles and K- Theory [10] Dale Husemoller (1966), Fibre Bundles, Spring – Verlag, McGraw – Hill [1] Atiyah M.F (1963), Vector bundles and The Kunneth formula, Topology [12] Atiyah M.F., Hirzebruch F (1961), Vector bundles andhomogeneous spaces in differential geometry – Amer Math Soc Proc Symp Pure Math [13] Steenrod N.F (1951), Thetopology of fiber bundles, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [14] Potier J.L (1997), Lectures on Vector Bundles, Cambridge University Press, Great Britain [15] Bott R (1959), The stable homotopy of the classical groups, Ann Math [16] MacLane S.(1963), Homology, Springer – Verlag, Germany [...]... triển các vectơ {𝑓1 , … , 𝑓𝑛 } về cơ sở {𝑒1 , … , 𝑒𝑛 } Đối với không gian V sự khai triển là 𝑓𝑘 = � 𝑧𝑗𝑘 𝑒𝑗 , Và đối với không gian V’ sự khai triển là Do vậy ta có mệnh đề 1.∎ 𝑗 𝑓𝑘 = � 𝑧̅𝑗𝑘 𝑒𝑗 𝑗 2.6.PHÂN THỚ CON 2.6.1.Định nghĩa: Phân thớ ′ = (E′ , p′ , B′) được gọi là phân thớ con của phân thớ ξ = (E, p, B) nếu E′ là không gian con của không gian E, B′ là không gian con của không gian B và p′ = p�E′... cấu phân thớ tầm thường địa phương trên B với thớ mẫu 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹 ).∎ CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ Phân thớ vectơ là trường hợp đặc biệt của phân thớ tổng quát khi thớ mẫu là một không gian vectơ n chiều và các đồng phôi tọa độ địa phương không chỉ là đồng phôi theo thớ mà còn là đồng phôi tuyến tính Số chiều của phân thớ là số chiều của thớ mẫu Các phân thớ vectơ đóng vai trò trung tâm trong K-lý thuyết... phức, thuộc nhóm 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) Một phân thớ vectơ với nhóm cấu trúc 𝐺𝐿 (𝑛, ℂ) được gọi là phân thớ vectơ phức Cho 𝜉 là một phân thớ vectơ thực Trong phân thớ vectơ 𝜉⨁𝜉, xét cấu trúc của một phân thớ vectơ phức bởi đồng cấu: 𝐼: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 (𝑣1 , 𝑣2 ) ↦ 𝐼(𝑣1 , 𝑣2 ) = (−𝑣2 , 𝑣1 ), 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑝−1 (𝑥) (2.3) Phân thớ vectơ phức được định nghĩa bởi (2.3) được gọi là phức hóa của phân thớ và được kí hiệu là 𝑐𝜉 Ngược... phân thớ con, 𝜉0 là phân thớ con của phân thớ 𝜉1 và 𝜉 là phân thớ con của phân thớ 𝜉2 Chứng minh Giả sử các phân thớ vectơ 𝜉1 và 𝜉2 được trang bị với tích vô hướng Đầu tiên ta chứng minh ý 2 của định lý 4, đó là ánh xạ 𝑝 = 𝑝2 |𝐸 : 𝐸 → 𝐵 xác định một phân thớ vectơ Ta cần chứng minh rằng ∀𝑥0 ∈ 𝐵 có một bản đồ 𝑈 ∋ 𝑥0 và một hệ các nhát cắt liên tục 𝜎1 , … , 𝜎𝑘 : 𝑈 → 𝐸hình thành một cơ sở trong mỗi không. .. Phân thớ phức 𝜉 ̅ được gọi là phân thớ phức liên hợp với phân thớ phức 𝜉 Chú ý các phân thớ 𝜉 và 𝜉 ̅ đẳng cấu như là phân thớ vectơ thực, nghĩa là phép đẳng cấu tương thích đối với nhóm cấu trúc lớn 𝐺𝐿(2𝑛, ℝ), nhưng không đẳng cấu đối với nhóm cấu trúc 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) Do vậy ta có công thức 𝑐𝑟𝜉 = 𝜉⨁𝜉 ̅ Mệnh đề 1: Cho 𝜑�𝛽𝛼 : 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) là các hàm chuyển của một phân thớ vectơ phức 𝜉 Khi đó phân thớ vectơ. ..Điểm (𝑏, 𝑥)của không gian phân thớ 𝑇(𝑆 𝑛 ), (tương ứng, không gian phân thớ 𝑣 (𝑆 𝑛 ))chính là vectơ tiếp xúc(tương ứng, vectơ pháp tuyến) của mặt cầu tại𝑏 Mỗi nhát cắt của 𝑇(𝑆 𝑛 )chính là một trường vectơ( tiếp xúc) của 𝑆 𝑛 , còn nhát cắt của 𝑣 (𝑆 𝑛 ) gọi là trường vectơ pháp tuyến trên 𝑆 𝑛 1.3.HỌ HÀM DÁN 1.3.1Định nghĩa Cho 𝜉= (E, p, B) là không gian phân thớ với thớ mẫu F và 𝒜 = {(𝑈𝛼 , 𝜑𝛼 )}𝛼... trúc phân thớ phức (2.3) trên phân thớ vectơ phức 𝜉 thì ta được phân thớ vectơ thực Phép toán này được gọi là thực hóa của một phân thớ vectơ phức và được kí hiệu là 𝑟𝜉 Rõ ràng 𝑟𝑐𝜉 = 𝜉⨁𝜉 Phép toán được mô tả như trên tương ứng với nhóm đại diện sau: 𝑐: 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) → 𝐺𝐿(𝑛, ℂ); 𝑟: 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) → 𝐺𝐿(2𝑛, ℝ) Nếu 𝜉 là một phân thớ phức, thì điều đó có nghĩa là 𝜉 là một phân thớ vectơ thực được trang bị cấu trúc phân. .. niệm và tính chất cơ bản nhất của phân thớ vectơ Đặc biệt là các khái niệm và tính chất về nhóm cấu trúc, các phép toán trên phân thớ vectơ. Để trình bày chương này, chúng tôi tham khảo chủ yếu tài liệu “Vectorbundles and their application” ([7]) của Luke G., Mishchenko A 2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ 2.1.1 Định nghĩa:Cho B là không gian tôpô và F ≡ K n (K làtrường ℝ hay ℂ) với tôpô tự nhiên Một phân thớ. .. 0 và 𝑥 = (𝑏,𝑏) 𝑏 + 𝑣𝑏 (𝑥) Đặt 𝜑𝛼 (𝑏, 𝑥) = �𝑏, 𝑣𝑏 �𝑢𝛼 (𝑥)��, ta có đẳng cấu 𝜑𝛼 : 𝑈𝛼 × ℝ𝑛 → 𝑝−1 (𝑈𝛼 ) ≅ thỏa mãn điều kiện𝜑|{𝑏}×𝐾𝑛 : {𝑏} × ℝ𝑛 �� 𝑝−1 (𝑏) ⊂ 𝑇 là đẳng cấu tuyến tính Ví dụ 2 - Mỗi đa tạp vi phân thực n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là một không gian vectơ thực n chiều - Mỗi đa tạp vi phân phức n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là phân thớ vectơ phức n chiều 2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ... cấu trúc phân thớ phức bởi đồng cấu𝐼: 𝜉 → 𝜉 Theo định nghĩa, phân thớ vectơ 𝑐𝑟𝜉 là một phân thớ vectơ thực mới 𝜂 = 𝜉⨁𝜉 với cấu trúc của phân thớ vectơ phức được xác định bởi đồng cấu: 𝐼1 : (𝑣1 , 𝑣2 ) ↦ 𝐼1 (𝑣1 , 𝑣2 ) = (−𝑣2 , 𝑣1 )(2.4) 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 Ánh xạ (2.4) xác định một cấu trúc phức mới trong phân thớ 𝜂 mà nói chung khác với cấu trúc phức được định nghĩa bởi ánh xạ 𝐼 Triển khai phân thớ 𝜂 theo cách ... không gian phân thớ phân thớ vectơ, định nghĩa không gian phân thớ tổng quát, định lý dán, ví dụ không gian phân thớ, toán mô tả lớp đẳng cấu phân thớ tầm thường địa phương, định nghĩa phân thớ. ..