Chương 3:PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K– QUỸ ĐẠO
3.1.BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K– BIỂU DIỄN
V của phân lá (V,) compact, nhưng các lá của nó có thể không compact.
Hình 2.1
Ví dụ đơn giản nhất là phân lá Kronecker của xuyến 2-chiều 2 2
V = cho bởi phương trình vi phân dx=θdy, ở đó θ∉, rõ ràng là:
1) Mặc dù V compact, các lá Lα, α ∈A vẫn có thể không là compact.
2) Không gian A của các lá Lα, α ∈A có thể không là Hausdorff và thực tế là tôpô thương có thể tầm thường (tôpô thô).
Nói một cách khác, đối với mỗi phân lá, các lá của nó nói chung không compact. Do đó khó có thể nói gì về tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá. Trong khi đó nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L.
Như vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều cần quan tâm trước tiên là “số lượng “ các lá không compact trong không gian lá. Nói cách khác là cần tìm cách trang bị cho không gian các lá một độ đo thích hợp. Để giải quyết vấn đề này, năm 1982, A. Connes [1] đã đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp với không gian lá của các phân lá.
Chương này nhằm trình bày lại các khái niệm về độ đo hoành và phân lá đo được của A.Connes [2]. Độc giả cần tìm hiểu chi tiết hơn có thể tham khảo tài liệu [2].
2.1. KHÁI NIỆM ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC
2.1.1. Đa tạp con hoành.
U U V k pt × k n k−
Giả sử (V,) là một phân lá. Đa tạp con N của V gọi là đa tạp con hoành của phân lá (V,) nếu ∀ ∈x N, T Vx( ) chẻ ra thành tổng trực tiếp Tx( )N ⊕x.
Hình 2.2
Khi đó hiển nhiên dimN =codim. Hơn nữa có thể chọn một bản đồ phân lá (U,ϕ)
quanh mỗi x∈N sao cho các tấm của U tương ứng 1 – 1 với các điểm của N∩U: tức là mỗi tấm trong U cắt N tại một và chỉ một điểm.
Ví dụ