ỨNG DỤNG VÀO KHÔNG GIAN EUCLID
3.6 Co rút lân cận Euclid (ENRs)
Mệnh đề 3.18. Nếu X ⊂ Rn là một co rút lân cận thì X có dạng X = C ∩O với C là tập đóng và O là tập mở.
Chứng minh. Cho O là một tập mở của Rn mà X là một co rút của O. Phép co rút có thể được xem như một ánh xạ r :O −→ O
và X = {P ∈ O |rP = P} rõ ràng là một tập đóng trong O, do đó X = X ∩O.
Các tập hợp có dạng C∩O được gọi là đóng địa phương. Chúng có thể được nhìn nhận như các tập con đóng của không gian Euclid theo như bổ đề sau.
Bổ đề 3.4. Mỗi tập con đóng địa phương X của Rn đồng phôi với một tập con đóng của Rn+1.
Chứng minh. Nếu O ⊂ Rn là một tập mở thì
j : O −→Rn ×R, j(P) = (P,1/d(P,Rn −O)), d = khoảng cách,
là một phép nhúng O vào trong Rn+1 (phép chiếu (P, t)7→ P là một nghịch đảo của j) mà ảnh của nó là đóng, thật vậy
jO ={(Q, t) ∈ Rn ×R| t·d(Q,Rn −O) = 1}. Nếu X ⊂ O là đóng
trong O thì jX ≈ X là đóng trong jO, và do đó đóng trong Rn+1. Bổ đề 3.5. Các tính chất sau của X ⊂ Rn là tương đương.
(i) X là tập đóng địa phương, tức là X = C∩O với C là tập đóng, O là tập mở.
(ii) Mỗi điểm P ∈ X có một lân cận U trong Rn sao cho X∩U là đóng trong U.
(iii) Mỗi điểm P ∈ X có một lân cận compact trong X, tức là X là compact địa phương.
Chứng minh. (iii) ⇒ (ii) : Cho P ∈ X, K ⊂ X là một lân cận compact trong X của P, như vậy K = X ∩V với V là lân cận nào đó trong Rn. Đặt U = ˚V, thì X ∩U = K ∩U là đóng trong U.
(ii) ⇒ (i): Với mỗi P ∈ X và lân cận U = UP như trong (ii) thì ta có X∩U = X∩U, do đó X =X∩(S P UP) = S P X ∩UP = X∩(S P UP), điều này chứng minh được (i).
(i) ⇒ (iii): Cho P ∈ X = C ∩O, cho K ⊂ O là một lân cận compact của P trong Rn thì K ∩X = K ∩C là một lân cận compact của P
trong X.
Từ tính chất (iii) của Bổ đề 3.5 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.9. Nếu X ⊂ Rm là đóng địa phương và Y ⊂ Rn
Mệnh đề 3.19. Nếu X ⊂ Rm là một co rút lân cận và Y ⊂ Rn
đồng phôi với X thì Y là một co rút lân cận.
Chứng minh. Theo giả thiết X là một co rút lân cận nên ta có X −→i U −→r X, ri =id,
với j : U −→⊂ Rm là tập mở. Đặc biệt, X là đóng địa phương
(theo Mệnh đề 3.18). Hơn nữa, h : Y ≈ X, do đó theo Hệ quả 3.9 thì Y đóng địa phương, tức là Y =C ∩O là một tập con đóng của một tập mở O
nào đó. Khi đó tồn tại một ánh xạ g : O −→Rm sao cho g | Y = jih. Khi đó tập g−1U là mở (mở trong O do đó mở trong Rn)
và h−1rg :g−1U −→ Y là một phép co rút.
Theo Mệnh đề 3.19 thì tính chất của một co rút lân cận
của một không gian Euclid là nội tại, nó không phụ thuộc vào phép nhúng. Định nghĩa 3.5. Một không gian tôpô Y được gọi là co rút lân cận Euclid (ENR) nếu tồn tại một co rút lân cận X ⊂ Rn đồng phôi với Y. Khi đó nếu có bất kỳ X0 ⊂ Rk khác đồng phôi với Y thì X0 là một co rút lân cận.
Chẳng hạn, Sn−1 là một co rút của Rn − {0}, Bn là một co rút của Rn, do vậy tập con bất kỳ của Rk mà đồng phôi với Sn−1 hoặc Bn là một co rút lân cận.
Mệnh đề 3.20. Cho X là một ENR. Nếu f0, f1 :Y −→X là các ánh xạ và B ⊂ Y là một tập hợp con sao cho f0 | B = f1 | B thì tồn tại một lân cận mở W của B trong Y và một phép đồng luân Θ : f0 | W ' f1 | W với Θt | B = f0 | B với mọi t.
Chứng minh. Ta có X −→i O −→r X với O mở trong Rn và ri= id. Cho W ⊂ Y bao gồm tất cả các điểm y ∈Y sao cho toàn bộ đoạn từ if0(y) đến if1(y) nằm trong O. Rõ ràng W là mở và B ⊂ W.
Định nghĩa Θ : W ×[0,1] −→X bởi
Θ (y, t) =r[(1−t)if0(y) +tif1(y)].
Chẳng hạn, hai phép chiếu f0, f1 : X ×X −→ X đồng nhất trên
đường chéo B = {(x1, x2) ∈ X ×X |x1 = x2}, kết luận của Mệnh đề 3.20 cho trường hợp này được gọi là sự co rút địa phương đều.
Hệ quả 3.10. Nếu B ⊂ X là các ENR thì B là một co rút lân cận
trong X (hiển nhiên). Nếu r : V −→ B là một phép co rút thì B có một lân cận mở W trong V sao cho i(r | W) ' j với i :B −→V, j : W −→V là các phép bao hàm.
KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về đồng điều kỳ dị và ứng dụng vào không gian Euclid, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau:
• Tổng quan và hệ thống một cách đầy đủ các khái niệm và kết quả về phức hình, đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều, đồng luân dây chuyền và phức hình tự do.
• Trình bày một cách đầy đủ và chi tiết các khái niệm và kết quả quan trọng về đơn hình tiêu chuẩn, phức hình kỳ dị, đồng điều kỳ dị, bất biến qua đồng luân, phân nhỏ trọng tâm, định lý Khoét, dãy Mayer-Vietoris và một số tính chất liên quan.
• Tìm hiểu và nghiên cứu các ứng dụng trong không gian Euclid của các khái niệm và các kết quả trong Chương 2, cụ thể là đồng điều của các ngăn và mặt cầu, đồng điều địa phương, bậc của một ánh xạ, các tính chất đồng điều của co rút lân cận trongRn và co rút lân cận Euclid. Đặc biệt là trình bày chứng minh Định lý cơ bản của Đại số bằng phương pháp tôpô đại số. Với những gì đã khảo sát được, luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hy vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về lý thuyết đồng điều và đồng điều kỳ dị.
Trong điều kiện về thời gian và khuôn khổ của luận văn nên tôi chưa đi nghiên cứu về CW-không gian và tích đồng điều. Đó như là hướng phát triển của luận văn. Trong quá trình làm luận văn, mặc dù đã có rất nhiều cố gắng song do điều kiện khách quan và năng lực có hạn của bản thân nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được những ý kiến chân thành của quý thầy cô và bạn đọc để có thể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu và phát triển luận văn sau này.