ỨNG DỤNG VÀO KHÔNG GIAN EUCLID
3.1 Ánh xạ tiêu chuẩn giữa các ngăn và các mặt cầu
cầu
Trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa.
• Mặt cầu tiêu chuẩn n chiều Sn = x ∈ Rn+1 | ||x|| = 1 .
• Quả cầu tiêu chuẩn n chiều Bn = {y ∈ Rn | ||y|| ≤1}.
• Quả cầu mở ˚Bn = {y ∈ Rn | ||y||< 1}được gọi là n- ngăn tiêu chuẩn, với ||x|| =pPni=0x2i.
Gọi Q = (0, ...,0,1) ∈ Sn là điểm có tọa độ cuối cùng Qn = 1. Mệnh đề 3.1. Ánh xạ tiêu chuẩn π : Bn,Sn−1−→(Sn, Q)
được định nghĩa bởi
π(y) =2p1− ||y||2·y,2||y||2−1 ∈Rn×R = Rn+1.
Nó cảm sinh ra phép đồng phôi π : Bn/Sn−1 ≈ Sn, đặc biệt π : ˚Bn ≈ Sn−Q (tức là mặt cầu thu được từ một quả cầu bằng phép co rút biên
Chứng minh. Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra được π :Bn −→ Sn là một ánh xạ, và nó thỏa mãn π Sn−1= Q hay π−1(Q) = Sn−1, đồng thời ta cũng chứng tỏ được π : ˚Bn ≈ Sn −Q bằng cách chỉ ra ánh xạ ρ: Sn−Q −→˚Bn với ρ(z, t) = z/p2 (1−t), z ∈Rn là nghịch đảo của π |˚Bn. Mệnh đề 3.2. Ánh xạ tiêu chuẩn π0 : ˚Bn −→Rn, π0(y) =y/(1− ||y||) là một phép đồng phôi, có nghịch đảo là ρ0(z) =z/(1 +||z||), z ∈ Rn.
Kết hợp Mệnh đề 3.1 và Mệnh đề 3.2 ta được Sn −Q ≈ Rn. Như vậy có nghĩa là khi bỏ đi một điểm trên Sn ta nhận được Rn. Ngược lại, thêm một điểm vào Rn ta được Sn, một cách chính xác hơn compact hóa một điểm của Rn chính là Sn, ký hiệu Sn ≈ Rn ∪ {∞}. Điều này
được minh họa bởi phép hợp thành các ánh xạ Sn − Q −→ρ ˚Bn −→π0 Rn, "biến Q thành ∞" .
Mệnh đề 3.3. Nếu K ⊂ Rn là một tập lồi compact chứa quả cầu n chiều B thì có một phép đồng phôi tiêu chuẩn
B,B˙ ≈ K,K˙ với B˙ định nghĩa biên.
Chứng minh. Sau khi áp dụng phép tịnh tiến song song và phép nhân với ε > 0 nào đó, ta có thể giả định rằng B là quả cầu tiêu chuẩn Bn.
Bây giờ nếu x∈ K và 0 ≤ λ < 1 thì λx nằm trong phần trong K˚
của K, thật ra λx nằm trong một nón mở thu được bằng phép chiếu x lên ˚Bn và nón này nằm trong K vì K là tập lồi. Đặc biệt, mỗi tia từ 0 chứa chính xác một điểm trên biên K˙ của K. Do đó ánh xạ
v : ˙K −→Sn−1, v(y) = y ||y||,
Bằng cách mở rộng theo bán kính ta thu được phép đồng phôi như yêu cầu
v :K ≈ Bn, v(λy) = λ y
||y||, y ∈ K,˙ 0 ≤ λ ≤ 1.
Mệnh đề 3.3 đã cung cấp cho ta một phép đồng phôi tiêu chuẩn giữa hình khối và quả cầu [−1,1]n = [−1,1]×...×[−1,1] ≈ Bn.
Với ∆n, ta định nghĩa một phép nhúng tuyến tính ι : ∆n −→Rn, ι ei= ei với i < n, i(en) =−Pn−1
i=0 ei. Khi đó ι(∆n)≈ ∆n là một tập lồi chứa quả cầu bao quanh 0 =ι
1 n+ 1 Pn i=0ei . Do đó tồn tại phép đồng phôi tiêu chuẩn Φ: ∆n ≈ Bn. Dưới phép đồng phôi Φ này thì biên ∆˙n =
x∈ ∆n/xi = 0, với i ≥ 0 nào đó của ∆n đồng phôi với biên B˙n ≈ Sn−1.
