ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
2.4Các trường hợp đặc biệt
Chú ý 2.2. Cho P là một điểm đơn, khi đó tồn tại duy nhất một đơn hình kỳ dị τq : ∆q −→P với mỗi q ≥ 0. Ta có τqj = τq−1
với mọi q >0 và 0 ≤ j ≤ q, do đó ∂τ2q = τ2q−1 với q > 0 và ∂τ2q−1 = 0. Như vậy SP là một phức hình
· · ·0 ←− Z ←−0 Z ←−id Z ←−0 Z ←−id Z ←− · · ·0
và
HoP = Z, HiP = 0 với i 6= 0. (2.7) Định nghĩa 2.5. Với mỗi không gian X, ta có ánh xạ hằng γ :X −→ P (P là một điểm) cảm sinh một đồng cấu γ∗ =γ∗X : HX −→HP
được gọi là phép bổ sung.
Nếu f : X −→ Y là một ánh xạ thì γ∗Yf∗ = γ∗X (tính tự nhiên của γ∗), đặc biệt f∗ chuyển ker γ∗X vào ker γ∗Y.
Các nhóm này vì thế là hàm tử của X ∈ Top, được gọi là nhóm
đồng điều thu gọn của X và được ký hiệu H˜qX = ker (γ∗ : HqX −→ HqP). Nếu q 6= 0 thì H˜qX = HqX (do (2.7)).
Chú ý 2.3. Nếu X khác rỗng thì ánh xạ bất kỳ ι : P −→X là nghịch đảo phải của γ, do đó γ∗ι∗ = id. Điều này dẫn tới
H0X = im(ι∗)0⊕ker (γ∗)0 = Z⊕H˜0X,
tức là tại số chiều 0 đồng điều thu gọn và đồng điều không thu gọn sai khác nhau một hạng tử trực tiếp Z.
Ngoài ra, dãy khớp H0P −→ι∗ H0X −→κ∗ H0(X, P) −→0 của cặp (X, P)
chứng tỏ rằng κ∗ : ˜H0X ∼= H
Nếu (X, A) là cặp các không gian với A 6= ∅ thì ta có các ánh xạ
(X, A) −→γ (P, P) −→ι (X, A) và γι =id. Điều này dẫn tới H(P, P) −→ι∗ H(X, A) −→γ∗ H(P, P) và γ∗ι∗ = id, tức là
H(X, A) = im(ι∗)⊕ker (γ∗) = H(P, P)⊕ H˜ (X, A). Như vậy, ι∗ ánh xạ
dãy đồng điều của cặp (P, P) thành một số hạng trực tiếp của dãy đồng điều (X, A), còn số hạng kia là ker (γ∗).
Mệnh đề 2.4. Nếu (X, A) là một cặp các không gian với A 6= ∅ thì ta có một dãy khớp
· · · −→∂∗ H˜q+1A −→i∗ H˜q+1X
j∗
−→ Hq+1(X, A)−→∂∗ H˜qA −→i∗ H˜qX −→ · · ·j∗
được gọi là dãy đồng điều thu gọn của cặp (X, A).
Chú ý 2.4. Tên gọi phép bổ sung thường được sử dụng cho ánh xạ dây chuyền η = ηX : SX −→(Z,0) mà nó biến 0 - đơn hình σo
thành 1 ∈ Z.
Ánh xạ này có quan hệ mật thiết với γ, cụ thể ηX = ηP ◦γX. Hơn nữa, ánh xạ ηP : SP −→ (Z,0) là một tương đương đồng luân, (Z,0) là một hạng tử trực tiếp của SP và hạng tử trực tiếp khác là đồng luân không. Đặc biệt ker (η∗) = ker (γ∗) = ˜HX.
Vì vậy, sự nguy hiểm khi nhầm lẫn giữa hai phép bổ sung γ, η là không quan trọng.
Mệnh đề 2.5. Nếu X là một không gian con lồi khác rỗng của không gian Euclid Rn thì phép bổ sung η :SX −→(Z,0) là một tương đương
Chứng minh. Phương pháp chứng minh mang tên "Phép dựng nón". Chọn P ∈X. Với mỗi σq : ∆q −→X, q ≥ 0, ta định nghĩa
(P ·σq) : ∆q+1 −→X như sau: (P ·σq) (x0, x1, ..., xq+1) = P nếu x0 = 1; x0P + (1−x0)σq x1 1−x0 , ..., xq+1 1−x0 nếu x0 6= 1. (2.8) Định nghĩa này xác định đồng cấu
P =Pq : SqX −→Sq+1X, Pq(σ) = P ·σ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Một cách trực quan, P · σ có được bằng cách chiếu σ từ đỉnh mới P, hoặc bằng cách xây dựng nón với đỉnh P trên σ (Hình 2.3).
Hình 2.3. Ta tính các mặt của P ·σ:
(P ·σq)εi(x0, x1, ..., xq) = (P ·σq) (x0, x1, ..., xi−1,0, xi, ..., xq).
• Nếu i = 0 thì đó là σq(x0, x1, ..., xq).
• Và nếu q > 0 và i > 0 thì đó là xoP + (1−x0)σq x1 1−x0 , ..., xi−1 1−x0 ,0, xi 1−x0 , ..., xq 1−x0 =x0P + (1−x0) σqεi−1 x1 1−x0 , ..., xq 1−x0 =P · σqεi−1(x0, ..., xq).
Ta định nghĩa một ánh xạ dây chuyền Pb: (Z,0) −→ SX với
b
P (m) = mP, khi đó ta được kết quả như sau
(P ·σq)ε0 = σq, (P ·σq)εi+1 = P · σqεi với q > 0, (P ·σ0)ε1 = b P η (σ0). (2.9) Từ đó ta dễ dàng chứng minh được rằng ∂q+1Pq = id−Pq−1∂q với q > 0, và ∂1P0 = id−P ηb 0, (2.10) tức là {Pq} là một đồng luân id ' P η. Rõ ràngb ηPb =id.
Vậy η là một tương đương đồng luân.
Hệ quả 2.1. Nếu Y ⊂ Rn là một không gian con khác rỗng bất kỳ thì ∂∗ :Hq(Rn, Y) ∼= ˜H
q−1Y.
Chứng minh. (Rn, Y) là cặp không gian thỏa Y 6= ∅ nên theo Mệnh đề 2.4 ta có dãy đồng điều khớp thu gọn của cặp (Rn, Y) như sau:
· · · −→∂∗ H˜qY −→i∗ H˜qRn j∗ −→ Hq(Rn, Y) −→∂∗ H˜q−1Y −→i∗ H˜q−1Rn −→ · · ·j∗ Theo Mệnh đề 2.5 thì H˜Rn = 0, do đó ∂∗ là một đẳng cấu. Vậy ∂∗ :Hq(Rn, Y) ∼= ˜Hq −1Y.
Định nghĩa 2.6. Nếu i : A ⊂ X là một cặp không gian thì A được gọi là một co rút của X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục r : X −→ A sao cho ri= id, r như thế được gọi là một phép co rút.
Chẳng hạn, mỗi P ∈ X là một co rút của X; nếu B là một không gian bất kỳ và Q ∈ B thì A ≈ A×Q ⊂ A×B và r :A×B −→ A×Q,
r(a, b) = (a, Q) là một phép co rút ("các nhân tử của một tích
là các co rút").
Với cặp không gian (X, A) cho như trên, nếu A có một lân cận trong X mà A là một co rút của lân cận đó thì A được gọi là co rút lân cận
trong X.
Mỗi co rút là một co rút lân cận nhưng điều ngược lại thì không đúng, chẳng hạn như với X = [0,1] là đoạn đơn vị, A ={0} ∪ {1} gồm hai điểm đầu và cuối thì A là một co rút lân cận trong X nhưng không là co rút của X. Nếu r : X −→ A là một phép co rút thì r : SX −→ SA làm dãy khớp sau chẻ ra 0 −→ SA −→i SX −→j S(X, A) −→ 0, do đó (r, j) : SX ∼= SA⊕S(X, A), vì vậy (r∗, j∗) : HX =∼ HA⊕H(X, A). (2.11)
Mệnh đề 2.6. Nếu A là một co rút của X thì dãy đồng điều của (X, A)
phân tích thành các dãy khớp ngắn
0 −→∂ HqA −→i∗ HqX −→j∗ Hq(X, A) −→0
được chẻ ra bởi r∗.
Nhận xét 2.3. 1. Dãy đồng điều của bộ ba P ∈ A ⊂ X thì đẳng cấu với dãy đồng điều thu gọn của cặp (X, A).
2. Nếu X là một không gian co rút được, nghĩa là X ' P thì η : SX −→ (Z,0) là một tương đồng luân.
3. Nếu B ⊂ A ⊂ X là một bộ ba sao cho A là một co rút của X thì H(X, B) ∼= H(X, A)⊕H(A, B).
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});