ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
2.5Bất biến qua đồng luân
Định nghĩa 2.7. Nếu X, Y là các không gian tôpô thì một đồng luân hay một phép biến dạng (của X vào Y) là một ánh xạ liên tục
Θ : X ×[0,1] −→ Y. Với mỗi t ∈ [0,1], ta có
Θt : X −→ Y, Θt(x) = Θ (x, t),
là một ánh xạ liên tục. Rõ ràng Θ được xác định bởi "họ một tham số"
{Θt}0≤t≤1 và đảo lại. Vì thế {Θt}0≤t≤1 cũng được gọi là một đồng luân hay một phép biến dạng.
Hai ánh xạ f0, f1 :X −→Y được gọi là đồng luân nếu tồn tại
một phép biến dạng {Θt :X −→Y}0≤t≤1 sao cho f0 = Θ0 và f1 = Θ1. Ta viết Θ : f0 ' f1, hay đơn giản f0 ' f1 và ta nói Θ là một phép biến dạng của f0 vào f1.
Nếu A ⊂ X thì Θ : X ×[0,1] −→ Y được gọi là một đồng luân đối với A nếu Θt |A = Θ0 | A với mọi t. Ta viết Θ : f0 ' f1 rel.A.
Một đồng luân Θ sao cho Θ1 là một ánh xạ hằng thì đôi khi được gọi là đồng luân không và f = Θ0 được gọi là đồng luân không.
Quan hệ đồng luân ' là một quan hệ tương đương. Lớp tương đương của f được ký hiệu là [f] và gọi là lớp đồng luân của f.
Quan hệ đồng luân tương thích với phép hợp thành, nghĩa là nếu
f0, f1 : X −→ Y, g0, g1 : Y −→ Z là những ánh xạ liên tục sao cho f0 ' f1, g0 ' g1 thì g0f0 ' g1f1.
Từ đó ta có thể định nghĩa hợp thành các lớp đồng luân [g]◦[f] = [g◦ f]. Điều này xác định một phạm trù mới Htp mà các vật là các không gian tôpô và cấu xạ là các lớp đồng luân của ánh xạ liên tục.
Một đồng luân giữa hai ánh xạ (liên tục)f0, f1 : (X, A)−→ (Y, B)là một họ một tham số Θt : (X, A) −→ (Y, B),0 ≤ t ≤ 1 với Θ0 = f0,Θ1 = f1.
Ta viết f0 ' f1, quan hệ ' là một quan hệ tương đương tương thích với phép hợp thành.
Mệnh đề 2.7. Nếu F0, F1 : SX −→ S([0,1]×X) là các ánh xạ dây chuyền tự nhiên sao cho hai phép hợp thành
S∆0 F
0
,F1
−→ S([0,1]×∆0) −→η (Z,0) (∆0 là 0 -đơn hình, η là phép bổ sung) trùng nhau thì tồn tại một đồng luân tự nhiên s:F0 ' F1.
Tính tự nhiên của ϕ = F0, F1 hoặc s có nghĩa là ϕ được xác định với mọi không gian X và biểu đồ
(2.12) giao hoán với mọi ánh xạ liên tục h :X0 −→X.
Chứng minh. Ta giả sử một cách quy nạp rằng
sk : SkX −→Sk+1([0,1]×X) đã được tìm thấy với k < q và
∂sk +sk−1∂ = Fk0−Fk1. (2.13) Chọn ιq ∈ Sq(∆q) là ánh xạ đồng nhất của ∆q. Ta có
∂F0ιq −F1ιq −sq−1∂ιq = F0∂ιq −F1∂ιq −(∂sq−1) (∂ιq)
Do đó F0ιq−F1ιq −sq−1∂ιq là một q - chu trình, nếu q = 0
thì phép bổ sung của nó triệt tiêu vì ηF0 = ηF1.
Vì [0,1]×∆q là lồi nên F0ιq −F1ιq −sq−1∂ιq cũng là một biên, tức là ta luôn tìm được b ∈ Sq+1([0,1]×∆q) với ∂b = F0ιq −F1ιq −sq−1∂ιq.
Bây giờ ta định nghĩa
sq :SqX −→ Sq+1([0,1]×X), sq(σ) = (id×σ)b, (2.14) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
với σ : ∆q −→ X đi khắp mọi q - đơn hình của X.
Ta phải kiểm tra lại tính tự nhiên ở biểu đồ (2.12) và hệ thức ở (2.13) với k = q.
Với σ0 : ∆q −→X0 thì
(id×h)sqσ0 = (id×h) (id×σ0)b = (id×hσ0)b = sq(hσ0) = (sqh)σ0,
điều này chứng minh tính tự nhiên ở (2.12). Hơn nữa
(∂sq)σ = ∂(id×σ)b = (id×σ)∂b
= (id×σ)F0ιq−F1ιq −sq−1∂ιq
= F0σιq −F1σιq −sq−1σ∂ιq
= F0σ−F1σ−sq−1∂σιq
= F0−F1−sq−1∂σ,
điều này chứng minh được (2.13), tính tự nhiên của F0, F1, sq−1
được sử dụng ở dấu bằng thứ tư.
Mệnh đề 2.8. Nếu f, g : (X, A) −→ (Y, B) là các ánh xạ đồng luân thì Sf, Sg : S(X, A) −→S(Y, B) là đồng luân dây chuyền.
Chứng minh. Với mỗi không gian X, các phép bao hàm
Ft :X −→[0,1]×X, Ft(x) = (t, x), 0 ≤ t ≤ 1,
xác định các ánh xạ dây chuyền tự nhiên Ft : SX −→ S([0,1]×X)
và theo Mệnh đề 2.7 nên tồn tại một đồng luân tự nhiên s :F0 ' F1. Nếu A ⊂ X là một không gian con thì Ft(SA) ⊂ S([0,1]×A)
và s(SA) ⊂ S([0,1]×A) (do tính tự nhiên của s). Chuyển sang các nhóm thương ta có
Ft : S(X, A) −→S([0,1]×X,[0,1]×A), và s :F0 ' F1.
Theo giả thiết của mệnh đề, ta có một đồng luân Θ : f ' g. Rõ ràng
Θt = ΘFt, do đóΘt =Θ Ft : S(X, A) −→ S(Y, B) bằng cách chuyển qua thương. Như vậy Sf = Θ0 = Θ F0 ' Θ F1 = Θ1 = Sg.
Hệ quả 2.2. Nếu f, g : (X, A) −→(Y, B) là đồng luân thì f∗ = g∗ :H(X, A) −→ H(Y, B).
Chứng minh. Thật vậy, vì theo Mệnh đề 1.6 các ánh xạ dây chuyền đồng luân sinh ra các đồng cấu đồng điều giống nhau.
Hệ quả 2.3. Nếu (X, A)' (Y, B) thì H(X, A) ∼= H(Y, B). Chứng minh. Nếu (X, A) −→f (Y, B) f − −→(X, A) là các tương đương đồng luân thuận nghịch thì H(X, A) −→f∗ H(Y, B) f − ∗ −→ H(X, A) là các đẳng cấu tương ứng thuận nghịch (theo Hệ quả 2.2).
Hệ quả 2.4. Nếu X là co rút được, X ' P, thì HX˜ = 0.
Chú ý 2.5. Như vậy ta có biểu đồ giao hoán các hàm tử
(2.15) trong đó π chuyển qua lớp đồng luân. Mệnh đề 2.8 khẳng định rằng mũi tên chấm S tồn tại. Trong Mệnh đề 1.6, mũi tên H được chứng tỏ tồn tại. Hệ quả 2.2 chỉ ra rằng H S tồn tại và Hệ quả 2.3 cho biết H S chuyển tương đương thành tương đương.
Chú ý 2.6. Nếu f : (X, A) −→(Y, B) là một tương đương đồng luân thì f :X −→Y và f | A : A −→B cũng là các tương đương đồng luân.
Điều ngược lại không đúng. Một phản ví dụ được cho làX = Y = [0,1], A = {0} ∪ {1}, B = [0,1]−1
2 , f = phép bao hàm. Tuy nhiên, ở mức độ dây chuyền thì điều đảo lại là đúng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 2.1. Nếu i: A ⊂ X là một cặp không gian thì A được gọi là một co rút biến dạng của X nếu tồn tại một đồng luân Θt :X −→X với Θ0 = id,Θ1(X)⊂ A và Θ1 | A = i. Như vậy Θ1 xác định
một phép co rút r : X −→ A với ir = Θ1, ta có ri = idA và Θ : idX ' ir. Đặc biệt, i, r là những tương đương đồng luân thuận nghịch, do đó
i∗ : HA ∼= HX. Nếu Θ có thể được chọn sao cho Θt | A = i với mọi t thì
Chẳng hạn:
• Nếu A ∈ X là một điểm đơn thì A là một co rút biến dạng của X khi và chỉ khi X co rút được, khi đó HX˜ = 0 theo như Hệ quả 2.4. • Nếu Sn−1 = {x ∈Rn/||x||= 1} ký hiệu là một mặt cầu đơn vị
thì Sn−1 là một co rút biến dạng mạnh của không gian Euclid thủng
Rn− {0}, với Θt(x) = (1−t+t/||x||)x.
• Tương tự, phép biến dạng Θ chỉ ra rằng Sn−1 là một co rút biến dạng mạnh của quả cầu đơn vị thủngBn−{0}với Bn = {x ∈ Rn/||x|| ≤1}. Đặc biệt,
HSn−1 ∼= H(Bn − {0}) ∼= H(Rn− {0}). (2.16)
2.6 Phân nhỏ trọng tâm
Định nghĩa 2.8. Với mỗi không gian X, ta định nghĩa các đồng cấu βq : SqX −→SqX, q ≥ 0, gọi là sự phân nhỏ trọng tâm, như sau:
β0 = id, βqιq =Bq ·βq−1(∂ιq), βq(σq) = σq(βqιq), q > 0, (2.17) với ιq ∈ Sq∆q ký hiệu là ánh xạ đồng nhất của ∆q,
Bq = 1 q+ 1, 1 q + 1, ..., 1 q + 1 = q X i=0 ei q+ 1
là trọng tâm của∆q, Bq· là phép dựng nón như theo (2.8) vàσq : ∆q −→X là một đơn hình kỳ dị bất kỳ.
Mệnh đề 2.9. Dãy βq : SqX −→ SqX, q ≥ 0 là một ánh xạ dây chuyền tự nhiên và có tính chất như sau: với mỗi q ≥ 0 và mỗi số thực ε > 0, tồn tại một số N = N (ε, q) sao cho dây chuyền c = βn(ιq) = ββ...β(ιq)
với n ≥ N chỉ chứa các đơn hình τ có đường kính ||τ|| < ε (tức là
||τ|| ≥ε ⇒cτ = 0 ). Đường kính của τ : ∆q −→Rk được định nghĩa là
||τ||= M ax{||τ x−τ y|| | x, y ∈∆q}.
Chứng minh. Nếu f :X −→Y là một ánh xạ thì
(f β)σq =f (βσq) = (f σq) (βιq) = β(f σq), điều này chứng minh được
tính tự nhiên.
Tiếp theo ta thử lại ∂βq =βq−1∂ bằng phép quy nạp trên q.
∂(βqσq) = (∂σq) (βqιq) = (σq∂) (Bq ·βq−1∂ιq) = σq∂(Bq ·βq−1∂ιq)
=σq(βq−1∂ιq) = βq−1σq∂ιq = βq−1∂σq,
với dấu bằng thứ tư sử dụng công thức biên (2.10) và ∂βq−1 = βq−2∂. Việc còn lại là xác định N = N (ε, q). Điều này được chứa
trong các bổ đề sau.
Bổ đề 2.2. Nếu σ : ∆q −→ Rk là một đơn hình tuyến tính với các đỉnh P0, P1, ..., Pq thì
(a) ||P −P0|| ≤ M axqi=0||P −Pi||, với mọi P, P0 ∈ σ(∆q); (b) ||σ|| ≤ M axi,j||Pi −Pj||. Chứng minh. Ta có P0 = Pq i=0x0iPi với x0i ≥ 0,P x0i = 1, do đó ||P −P0||= ||X(x0iP −x0iPi)|| ≤ Xx0i||P −Pi|| ≤ Xx0i(M ax||P −Pi||) = M ax||P −Pi||.
điều này chứng minh được (a), còn phần (b) được suy ra bằng cách áp dụng (a) hai lần.
Bổ đề 2.3. Nếu σ : ∆−→ Rk là một đơn hình tuyến tính thì β(σ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
chỉ chứa các đơn hình tuyến tính có đường kính ≤ q
q+ 1||σ||. Đặc biệt, βn(ιq) chỉ chứa các đơn hình có đường kính ≤
q q + 1 n ||ιq||. Chứng minh. Từ phép dựng nón ở (2.8) ta lập tức suy ra các tính chất sau:
(i) Cho τ : ∆r −→ Rl, P ∈ Rl và một ánh xạ tuyến tính f : Rl −→ Rk
thì f (P ·τ) = (f P)·(f τ).
(ii) Nếu τ : ∆r −→Rl là tuyến tính với các đỉnh Q0, ..., Qr thì P ·τ : ∆r+1 −→Rl là tuyến tính với các đỉnh P, Q0, ..., Qr.
Bây giờ vớiσ : ∆q −→Rl là một đơn hình tuyến tính,βq :SqX −→ SqX là phân nhỏ trọng tâm như trong Định nghĩa 2.8 thì ta có
βσ =σ(βιq) = σ(Bq ·β∂ιq) = (σBq)·(σβ∂ιq), do tính chất (i), = (σBq)·(βσ∂ιq), do tính tự nhiên của β, = q X j=0 (−1)j (σBq)·β σεj.
Như vậy, βσ chỉ chứa các đơn hình có dạng σ0 = (σBq)·τ ,với τ được chứa trong β σεj nào đó. Đường kính của σ0 bằng ||P −Q||
với P, Q là các đỉnh của σ0 (theo Bổ đề 2.2 (b)). Các đỉnh này thì hoặc là các đỉnh của τ hoặc là một trong số chúng là σBq (do tính chất (ii)).
Theo trường hợp thứ nhất thì ||σ0||= ||P −Q|| ≤ ||τ|| ≤ q −1 q ||σεj|| ≤ q −1 q ||σ|| ≤ q q + 1||σ||, bất đẳng thức thứ ba là do phép quy nạp theo q.
Theo trường hợp thứ hai, khi đặt P =σBq thì
Như vậy, ||σ0|| ≤ ||σBq −Pi||= || q X µ=0 1 q+ 1Pµ−Pi|| = || q X µ=0 1 q + 1(Pµ−Pi)|| ≤ 1 q + 1 q X µ=0 ||Pµ −Pi|| ≤ q q + 1||σ||.
Điều này chứng minh được cho Bổ đề 2.3 và cả Mệnh đề 2.9. Và ta cần hơn nữa β ' id. Điều này chứa trong mệnh đề sau. Mệnh đề 2.10. Nếu γ0, γ1 : SX −→ SX là các ánh xạ dây chuyền
tự nhiên mà tại số chiều 0,γ00 =γ01, thì tồn tại một đồng luân dây chuyền tự nhiên s :γ0 ' γ1.
Chứng minh. Ta sẽ sử dụng Mệnh đề 2.7 bằng cách đặt Fi là phép hợp thành SX γ
i
−→ SX −→J S([0,1]×X), với J (x) = (0, x).
Khi đó sẽ tồn tại một đồng luân tự nhiên u :F0 ' F1 (theo Mệnh đề 2.7). Kết hợp với phép chiếuπ : [0,1]×X −→X cho ta một đồng luân tự nhiên s= πu :πF0 ' πF1 và πFi = (πJ)γi = γi.
2.7 Đơn hình nhỏ. Khoét
Định nghĩa 2.9. Cho X là một không gian và U là tập các không gian con của X. Ký hiệu SU là phức hình con nhỏ nhất của SX mà nó chứa tất cả các SU, U ∈ U, tức là SU là phức hình con được sinh bởi {SU}U∈U. Dây chuyền của SU là tổ hợp tuyến tính các đơn hình σ : ∆q −→X mà nó ánh xạ ∆q vào U nào đó trong U, nghĩa là của các đơn hình "nhỏ cấp U".
Nếu A ⊂ X là một không gian con. Đặt U∩A = {U ∪A}U∈U, và định nghĩa S(U∩A), S(U,U∩A) = SU/S(U∩A). Ta có một biểu đồ giao hoán các ánh xạ dây chuyền
0 //S(U∩A) ι / /SU ι / /S(U,U∩A) ι / /0 0 //SA //SX //S(X, A) //0 (2.18)
với các dòng khớp, các mũi tên thẳng đứng ι là các phép bao hàm. Mệnh đề 2.11. Nếu mỗi điểm của X chứa trong phần trong A˚của A
hoặc phần trong U˚ của U nào đó thuộc U thì ι :S(U,U∩A) −→ S(X, A)
là một tương đương đồng luân, tức là khi đóι∗ : HS(U,U∩A) ∼= HS(X, A).
Chứng minh. Vì S(U,U∩A), S(X, A) là các phức hình tự do,
theo Mệnh đề 1.10 ta chỉ cần chứng tỏ ι∗ : HS(U,U∩A) ∼= H(X, A).
Để có được điều này thì theo Mệnh đề 1.2 ta phải chỉ ra được Hq{S(X, A)/S(U,U∩A)} = 0 với mọi q. Phần tử [z] của nhóm này được biễu diễn bởi chu trình z của X mod SV với V = U∪ {A}, tức là các dây chuyền z ∈ SqX sao cho ∂z ∈SV. Ta phải chứng tỏ z là
một biên mod SV, tức là z = ∂x+y với x∈ SX, y ∈ SV. Ta sẽ sử dụng kết quả sau : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu n ∈Z là đủ lớn thì βn(z) ∈SV. (2.19) Từ (2.17) và Mệnh đề 2.10 ta có một đồng luân tự nhiên s: id' βn, do đó z = ∂(sz) +s(∂z) +βn(z). Điều này chứng minh [z] = 0, từ đó ta có thể chỉ ra s(∂z) ∈ SV. Nhưng ∂z ∈ SV và s(SV) ⊂ SV, do tính tự nhiên củas, thực ra nếuV là một phần tử bất kỳ củaVthìs(SV) ⊂ SV, do tính tự nhiên áp dụng với V −→⊂ X.
Do z là tổ hợp tuyến tính hữu hạn các đơn hình σ : ∆q −→X,
nên chỉ cần chứng tỏ rằng với những σ này ta có βn(σ) ∈SV với n đủ lớn. Ta có họ các tập hợp nσ−1˚Vo
V∈V tạo thành một phủ mở W của ∆q. Chọn ε > 0 sao cho mỗi tập con của ∆q (mà đường kính của nó bé hơn ε) nằm trongσ−1V˚ nào đó, điều này thực hiện được bởi vì ∆q là tập compact.
Theo Mệnh đề 2.9 thì dây chuyền βnιq ∈Sq(∆q) chỉ bao gồm
các đơn hình có đường kính bé hơn ε với n đủ lớn. Nhưng βnιq lại chứa các đơn hình mà mỗi đơn hình đó lại nằm trong σ−1˚V nào đó, do đó βnσ = σ(βnιq) bao gồm các đơn hình mà mỗi đơn hình đó nằm trong
˚
V ⊂ V. Do đó βnσ ∈ SV.
Nếu U chỉ bao gồm một tập hợp Y thì mệnh đề này được gọi là định lý khoét. Khi đó giả thiết của mệnh đề là Y˚ ∪ A˚ = X, kết luận là S(Y, Y ∩A) ' S(X, A).
Còn với phần bù B = X −Y, B = X −Y˚ thì giả thiết của mệnh đề là B ⊂ A˚và kết luận là S(X −B, A−B) ' S(X, A).
Do đó ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.5. (Định lý Khoét)
Nếu (X, A) là cặp các không gian và Y ⊂ X sao cho ˚Y ∪A˚ = X thì j : S(Y, Y ∩A) ' S(X, A) với j là phép bao hàm.
Nếu B ⊂ A sao cho B ⊂ A˚thì j :S(X −B, A−B) ' S(X, A). Đặc biệt j∗ : H(Y, Y ∩A) ∼= H(X, A), tương ứngj
∗ :H(X −B, A−B) ∼= H(X, A).
Ví dụ 2.2. Mỗi cặp không gian (X, P) với P là điểm đơn, được gọi là một không gian được đánh dấu hay không gian với điểm cơ sở.
Nếu (X, P) và (Y, Q) là các không gian được đánh dấu thì ta định nghĩa tích nêm của chúng như sau:
X ∨Y = X ⊕Y /P ∼ Q, (2.20)
tức là bằng tổng tôpô với các điểm cơ sở được đồng nhất (đây là điểm cơ sở tự nhiên của X ∨Y).
Ta có thể hiểu X, Y như những không gian con của X ∨Y qua
X, Y ⊂ X ⊕ Y −→ X ∨Y thì khi đó X ∪Y = X ∨Y, X ∩Y = P = Q. Lúc này i: X −→ X ∨Y ←− Y :j ký hiệu là các ánh xạ bao hàm.
Mệnh đề 2.12. Nếu bao đóng của P trong X có một lân cận U trong X mà ánh xạ bao hàm của nó U −→ X là đồng luân rel.P với ánh xạ hằng U −→P (tức là có một phép biến dạng dt :U −→ X, với d0 là
phép bao hàm, d1(U) = P, dt(P) = P với mọi t ∈ [0,1]) thì
(i∗, j∗) : H(X, P)⊕H(Y, Q) ∼= H(X ∨Y, P = Q). (2.21)
Do Định nghĩa 2.5 nên ta có thể viết HX˜ ⊕HY˜ ∼= ˜H(X ∨Y).