ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ
2.8 Dãy Mayer-Vietoris
Cho X là một không gian,X1, X2là các không gian con. Gọi(X;X1, X2)
là bộ ba (lưu ý bộ ba này khác với bộ ba đặc biệt trong phần 2.3). Gọi iv : Xv −→ X là các phép bao hàm. Bây giờ ta sẽ tìm hiểu các mối quan hệ giữa H(X1), H(X2), H(X1∩X2), H (X1∪X2). Mệnh đề 2.13. (Mệnh đề và định nghĩa)
Bộ ba (X;X1, X2) được gọi là khoét nếu nó thỏa mãn một trong các trường hợp tương đương sau:
(a) i1∗ : H(X1, X1∩X2) ∼= H(X1∪X2, X2) , (b) i2∗ : H(X2, X1∩X2) ∼= H(X 1∪X2, X1), (c) (i1∗, i2∗) : H(X1, X1∩X2)⊕H(X2, X1∩X2) ∼ = H(X1∪X2, X1∩X2), (d) i∗ :HS{X1, X2} ∼= HS(X1∪X2) = H(X1∪X2), (e) i∗ :H[S{X1, X2}/S(X1∩X2)] ∼=H[S(X1∪X2)/S(X1∩X2)] = H(X1∪X2, X1∩X2), (f) p∗ :H[SX/S{X1, X2}] ∼=H[SX/S(X 1∪X2)] = H (X, X1∪X2)
với S{X1, X2} là phức hình con của S(X1∪X2) mà nó được sinh bởi SX1, SX2 và i là phép bao hàm, p là phép chiếu.
Chẳng hạn, nếu X1, X2 là mở trong X1∪X2 thì (d) thỏa mãn,
do Mệnh đề 2.11, khi đó bộ ba (X;X1, X2) khoét. Còn một ví dụ về bộ ba không khoét đó là X = R, X1 = (−∞,0], X2 = (0,+∞).
Chứng minh. Ta có các dãy khớp ánh xạ dây chuyền như sau:
0 −→ SX S(X1∩X2) i1 −→ S(X1∪X2) SX2 −→ S(X1∪X2) S{X1, X2} −→ 0, (2.24) 0 −→S{X1, X2} −→i S(X1∪X2)−→ S(X1∪X2) S{X1, X2} −→ 0, (2.25) 0 −→ S{X1, X2} S(X1∩X2) i −→ S(X1∪X2) S(X1∩X2) −→ S(X1∪X2) S{X1, X2} −→ 0, (2.26) 0 −→ S(X1∪X2) S{X1, X2} −→ SX S{X1, X2} p −→ SX S(X1∪X2) −→0. (2.27) Dãy đồng điều tương ứng của (2.24), (2.25), (2.26), (2.27) (theo
Mệnh đề 1.2) chứng tỏ rằng i1∗, i∗, i∗, p∗ là đẳng cấu khi và chỉ khi H[S(X1∪X2)/S{X1, X2}] = 0.
Do đó (a), (d), (e), (f) là tương đương, bằng phép đối xứng thì (b), (d), (e), (f) cũng tương đương. Sự tương đương của (c) và (e) là từ biểu đồ giao hoán sau:
Mệnh đề 2.14. (Mệnh đề và định nghĩa) Với mỗi bộ ba (X;X1, X2) thì dãy :
0 −→ S(X1∩X2) (j−→1,−j2) SX1⊕SX2 (−→i1,i2) S{X1, X2} −→ 0 (2.28) là dãy khớp với iv, jv là các phép bao hàm.
Nếu bộ ba đó là khoét thì dãy đồng điều của (2.28) có dạng
· · · −→ Hn+1(X1∪X2) −→d∗ Hn(X1∩X2)(j1−→∗,−j2∗) HnX1⊕HnX2 (i1∗,i2∗)
−→ Hn(X1∪X2) −→ · · ·d∗ (2.29) Dãy khớp này được gọi là dãy Mayer -Vietoris (tuyệt đối) của bộ ba
(X;X1, X2).
Đồng thời với mỗi bộ ba (X;X1, X2), ta cũng có dãy khớp
0 −→SX/S(X1∩X2) (j−→1,−j2)SX/SX1⊕SX/SX2 (i1,i2)
−→ SX/S{X1, X2} −→0 (2.30) với iv, jv là các phép chiếu.
Nếu bộ ba đó là khoét thì dãy đồng điều của (2.30) có dạng
· · · −→ Hn+1(X, X1∪X2) −→d∗ Hn(X, X1∩X2)
(j1∗,−j2∗)
−→ Hn(X, X1)⊕Hn(X, X2)(i−→1∗,i2∗) Hn(X, X1∪X2) −→ · · ·d∗ (2.31) Dãy khớp này được gọi là dãy Mayer - Vietoris tương đối của bộ ba
(X;X1, X2).
Chứng minh. Rõ ràng (i1, i2) : SX1⊕SX2 −→ S{X1, X2} là toàn cấu (do định nghĩa củaS{X1, X2}),(j1,−j2)là đơn cấu và(i1, i2) (j1,−j2) = 0.
Nếu (c1, c2) ∈ ker (i1, i2) thì trong SX ta có i1c1+i2c2 = 0, điều này
có nghĩa là c1,−c2 cùng là các dây chuyền của SX. Nhưng c1 ∈ SX1, c2 ∈SX2, do đó c =c1 = −c2 ∈ S(X1∩X2) và (c1, c2) = (j1,−j2)c.
Điều này chứng minh tính khớp của (2.28). Còn ở (2.29) ta sử dụng HS{X1, X2} ∼= H(X1∪X2) của Mệnh đề 2.13 (d).
Tiếp tục ta có (i1, i2) : SX/SX1⊕SX/SX2 −→SX/S{X1, X2} là toàn cấu, (j1,−j2) là đơn cấu và (i1, i2) (j1,−j2) = 0.
Lấy (y1, y2) ∈ ker (i1, i2) với y1, y2 ∈SX là các đại biểu, thì
y1 + y2 ∈ S{X1, X2}, tức là y1 + y2 = x1 + x2 với xv ∈ SXv. Như vậy
(y1−x1) =−(y2−x2) và (y1, y2) = (j1,−j2) (y1−x1).
Điều này chứng minh tính khớp của (2.30). Còn (2.31) suy ra từ Mệnh đề 2.13 (f).
Mệnh đề 2.15. Toán tử biên d∗ của dãy Mayer-Vietoris (2.29) tương ứng (2.31) trùng với phép hợp thành sau Hn+1(X1∪X2) −→Hn+1(X1∪X2, X2) ∼= Hn+1(X1, X1∩X2) ∂∗ −→ Hn(X1∩X2) (2.32) tương ứng Hn+1(X, X1∪X2) −→∂∗ Hn(X1∪X2, X1) ∼ = Hn(X2, X1∩X2)−→ Hn(X, X1∩X2) (2.33) với tất cả các ánh xạ (ngoại trừ ∂∗) đều được cảm sinh từ
các phép bao hàm.
Chứng minh. Lấy u ∈ H(X1∪X2) ∼= HS{X
1, X2} được biểu diễn bởi x1+x2 ∈S{X1, X2} với xv ∈ SXv và 0 = ∂(x1+x2) = ∂x1+∂x2.
Khi đó d∗u được biểu diễn bởi
(j1,−j2)−1(∂x1, ∂x2) = (j1,−j2)−1(∂x1,−∂x1) =∂x1.
Nhưng ∂x1 cũng là một đại biểu đối với ảnh của u dưới phép hợp thành ở (2.32).
Với phần thứ hai, ta có thể chọn một đại biểu z ∈ SX của
u ∈ H(X, X1∪X2) ∼= H[SX/S{X1, X2}] với ∂z ∈ S{X1, X2}, như vậy
∂z = x1+x2 với xv ∈SXv. Khi đó d∗u được biểu diễn bởi
(j1,−j2)−1(∂z,0) = (j1,−j2)−1(x2,0) = x2.
Nhưng đây cũng là một đại biểu đối với ảnh của u dưới phép hợp thành ở (2.33).
Mệnh đề 2.16. Một ánh xạ f : (X;X1, X2) −→(Y;Y1, Y2) giữa các bộ ba khoét, tức là một ánh xạ f :X −→Y với f(Xv) ⊂ Yv cảm sinh một đồng cấu của dãy Mayer - Vietoris (tuyệt đối hoặc tương đối) tương ứng.
Chẳng hạn như ánh xạ γ : (X;X1, X2) −→(P;P, P), với P là một điểm đơn. Nếu X1∩X2 6=∅ thì ánh xạ (P;P, P) −→ι (X;X1, X2) tồn tại và phép hợp thành (P;P, P) −→ι (X;X1, X2)−→γ (P;P, P) là ánh xạ đồng nhất.
Điều này kéo theo ι∗ ánh xạ dãy Mayer - Vietoris (tuyệt đối) của
(P;P, P)lên một hạng tử trực tiếp của dãy Mayer - Vietoris của(X;X1, X2), hạng tử rực tiếp còn lại là ker (γ∗). Do ker (γ∗) là đồng điều thu gọn,
nên điều này chứng minh được mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.17. Nếu (X;X1, X2) là một bộ ba khoét với X1∩X2 6=∅
thì ta có một dãy khớp
· · · −→ H˜n+1(X1∪X2) −→d∗ H˜n(X1∩X2)
(j1∗,−j2∗)
−→ H˜nX1⊕H˜nX2 (i−→1∗,i2∗)H˜n(X1∪X2) −→ · · ·d∗
Ví dụ 2.3. Cho (X;X1, X2) là một bộ ba khoét với X1∩X2 6= ∅. 1. Nếu H˜ (X1∩X2) = 0 thì Mệnh đề 2.17 chỉ ra rằng
(i1∗, i2∗) : ˜HX1⊕HX˜ 2 ∼= ˜H (X
1∪X2).
Chẳng hạn, nếu X = X1∨X2 thì kết quả này trùng với (2.21).
Phần có tính chất quyết định trong nội dung chứng minh (2.21) đã chỉ ra bộ ba này thỏa mãn Mệnh đề 2.13 (a). Do đó bộ ba đó là khoét.
2. Nếu H˜ (X1∪X2) = 0 thì Mệnh đề 2.17 chứng tỏ rằng
(j1∗, j2∗) : ˜H (X1∩X2) ∼= ˜HX
1⊕HX˜ 2.
Chẳng hạn, xét tập con mởU củaRn mà nó đồng phôi vớiSn−1×(−1,1), đặt Φ : Sn−1×(−1,1) ≈ U. Một tập như thế được gọi là một mặt cầu dày và Pn−1 = Φ Sn−1×0≈ Sn−1 được gọi là một xoắn của U.
Đặt V = Rn−P
.
Khi đó (Rn;U, V) là một bộ ba khoét với H˜ (U ∪V) = ˜HRn = 0, do đó
˜
H(U ∩V)∼= ˜HU ⊕HV˜ . Đặc biệt, H˜0(U ∩V) ∼= ˜H0U ⊕H˜0V ∼= ˜H0V
do U liên thông.
Rõ ràng U ∩V =Sn−1×(−1,0)∪Sn−1×(0,1) có hai thành phần liên thông, do đó H˜0V = ˜H0(U ∩V) =Z, như vậy V = Rn −P
có hai thành phần liên thông.Tóm lại, xoắn
n−1
X
của một mặt cầu dày bất kỳ trong Rn chia Rn thành hai thành phần liên thông,
gọi là phần trong và phần ngoài của X, n > 1. (2.34) 3. Nếu HX˜ 1 = 0 = ˜HX2 thì Mệnh đề 2.17 chứng tỏ rằng
d∗ : ˜Hn+1(X1∪X2)∼= ˜H
Nhận xét 2.5. (Sự tổng quát)
Xét hai bộ ba (A;A1, A2) ⊂ (X;X1, X2). Các ánh xạ bao hàm cho ra một biểu đồ giao hoán các ánh xạ dây chuyền
0 //S{A1, A2} // S{X1, X2} // S{X1, X2} S{A1, A2} // 0 0 //S(A1∪A2) //S(X1∪X2) // S(X1∪X2) S(A1∪A2) / /0 (2.35) với các dòng khớp.
Nếu hai bộ ba đó là khoét thì hai mũi tên thẳng đứng đầu tiên cảm sinh các đẳng cấu đồng điều, do đó mũi tên thứ ba cũng vậy (theo Hệ quả 1.1). Do các phức hình là tự do nên thậm chí ta có sự tương đương đồng luân
S{X1, X2}/S{A1, A2} ' S(X1∪X2)/S(A1∪A2).
Xét dãy các ánh xạ dây chuyền
0 −→ S(X1∩X2) S(A1∩A2) (j1,−j2) −→ SX1 SA1 ⊕ SX2 SA2 (i1,i2) −→ S{X1, X2} S{A1, A2} −→0. (2.36)
Nó là dãy khớp. Dãy đồng điều của nó có dạng như sau:
· · · −→ Hn+1(X1∪X2, A1∪A2) −→d∗ Hn(X1∩X2, A1∩A2)
(j1∗,−j2∗)
−→ Hn(X1, A1)⊕Hn(X2, A2) (i−→1∗,i2∗) Hn(X1∪X2, A1∪A2) d∗
−→ Hn−1(X1∩X2, A1∩A2) −→ · · · (2.37) Dãy khớp này được gọi là dãy Mayer - Vietoris của hai bộ ba khoét
(X;X1, X2) ⊃ (A;A1, A2). Nó sinh ra (2.29) nếu A = ∅, sinh ra (2.31) nếu X1 =X2 = X, sinh ra Mệnh đề 2.17 nếu A1 = A2 là một điểm đơn và sinh ra (2.6) nếu X1 =X và A1 ⊂ A2 =X2.
Chương 3