ỨNG DỤNG VÀO KHÔNG GIAN EUCLID
3.3 Đồng điều địa phương
Định nghĩa 3.1. Cho X là một không gian và P ∈ X.
Các nhóm H(X, X −P) được gọi là các nhóm đồng điều địa phương của X tại P.
Mệnh đề 3.8. Nếu P là đóng trong X, P = P
(chẳng hạn nếu X là một T1 - không gian) và V là một lân cận bất kỳ của P thì H(V, V −P)∼=H (X, X −P) dưới phép bao hàm, tức là
đồng điều địa phương H(X, X −P) có thể tính được trong bất kỳ lân cận V nào của P.
Chứng minh. Cặp (V, V −P) thu được từ (X, X −P) nhờ khoét
B = X − V. Bởi vì V là một lân cận của P, nên P ∈ ˚V (= phần trong của V), do đó B =X −˚V ⊂ X −P = (X −P)o. Do đó định lý khoét (Hệ quả 2.5) được áp dụng và chứng minh được mệnh đề.
Chú ý 3.1. Để hiểu tốt hơn đồng điều địa phương, ta phải nghiên cứu dáng điệu của nó dưới các ánh xạ, nghĩa là các tính chất hàm tử của nó.
Do Mệnh đề 3.8 các ánh xạ này chỉ cần được xác định địa phương nhưng ở đó chúng không hoàn toàn bất kỳ.
Chính xác hơn, cho X, Y là các không gian, P ∈V ⊂ X, ánh xạ f :V −→Y. Giả sử rằng lân cận U của P tồn tại sao cho U ⊂ V
vàf (U −P) ⊂ Y −f (P), tức làP là một ảnh ngược cô lập của Q =f (P). Khi đó f được gọi là một P - ánh xạ từ X vào Y, nó cảm sinh
đồng cấu các đồng điều địa phương tại P, f∗P :H(X, X −P) ∼= H(U, U −P) (f|U)∗
−→ H(Y, Y −Q), (3.3) với điều kiện ta luôn giả sử rằng P đóng. Đồng cấu này không phụ thuộc vào việc chọn U.
Mệnh đề 3.9. Hai P - ánh xạ bất kỳ f :V −→ Y, f0 : V0 −→ Y
mà bằng nhau trong một lân cận của P thì nó cảm sinh cùng đồng cấu của các nhóm đồng điều địa phương.
Chứng minh. Nếu U, U0 là các lân cận của P mà được dùng để xác định hai đồng cấu f∗P, f∗0P thì ta có thể tìm được một lân cận W của P sao cho f | W =f0 | W và W ⊂ U ∩U0, đặc biệt f (W −P)⊂ (Y −Q).
Xét biểu đồ giao hoán sau:
với dòng trên là f∗P, dòng dưới chỉ phụ thuộc vào f |W.
Chú ý 3.2. Mệnh đề 3.9 gợi ý định nghĩa sau: Hai P - ánh xạ từ X vào Y được gọi là P - tương đương nếu chúng bằng nhau trong một lân cận của P.
Lớp tương đương của f được ký hiệu là fP, nó được gọi là phôi của f tại P.
Nếu f : V −→ Y là một P - ánh xạ từ X vào Y và g : W −→ Z là Q = f (P) - ánh xạ từ Y vào Z thì gf : f−1(W) −→ Z là một P - ánh xạ mà phôi của nó tại P chỉ phụ thuộc vào phôi của f và g. Như vậy, gQ ◦fP = (gf)P xác định một luật hợp thành các phôi.
Như vậy, ta có một phạm trù mà các vật của nó là các cặp (X, P)
(không gian được đánh dấu, P =P ∈ X) và các cấu xạ (X, P) −→ (Y, Q)
là các phôi của P - ánh xạ. Các nhóm đồng điều địa phương là các
hàm tử của phạm trù này (do Mệnh đề 3.9). Đặc biệt, các vật tương đương có đồng điều địa phương đẳng cấu.
Hệ quả 3.6. Nếu P ∈ X, Q ∈ Y là các điểm đóng sao cho
(V, P) ≈ (W, Q) với V, W là các lân cận tương ứng nào đó của P, Q thì H(X, X −P)∼= H(Y, Y −Q).
Chứng minh. Thật vậy,
H(X, X −P) ∼= H(V, V −P) =∼ H(W, W −Q) ∼= H(Y, Y −Q).
Mệnh đề 3.10. (Tính bất biến của số chiều)
Nếu P ∈Rm, Q ∈Rn có các lân cận V, W sao cho (V, P) ≈ (W, Q)
thì m= n (thật ra với V ≈ W cũng đã đủ để suy ra m = n). Chứng minh. Điều này được khẳng định vì
H(Rm,Rm −P) ∼= H(Rn,Rn −Q), do đó m =n (theo Mệnh đề 3.4 (c)).
Mệnh đề 3.11. (Tính bất biến của biên)
Ký hiệu Rn+ ={x∈ Rn | x0 ≥ 0} là nửa trên của Rn. Nếu P, Q ∈ Rn
+ có các lân cận là V, W sao cho (V, P) ≈ (W, Q) thì hoặc cả P, Q nằm trên biên R˙n
+ = {x ∈ Rn | x0 = 0} hoặc cả P, Q nằm trong phần trong ˚Rn
+ = {x∈ Rn | x0 > 0} của Rn+.
Tức là, một đồng phôi địa phương không bao giờ đưa được một điểm biên thành một điểm trong hoặc ngược lại.
Chứng minh. Nếu P ∈Rn
+ là một điểm biên thì Rn+,Rn+ −P co rút được về (S, S) với S ∈ ˚Rn
Mặt khác, nếu Q ∈˚Rn
+, theo định lý khoét (Hệ quả 2.5) suy ra Hn Rn+,Rn+−Q∼= H
n(Rn,Rn−Q) = Z (theo Mệnh đề 3.4 (c)). Chú ý 3.3. Cho X là một không gian và P ∈ X là một điểm đóng.
Giả sử rằng P có lân cận V sao cho ánh xạ bao hàm i :V −→X đồng luân với một ánh xạ hằng (nếu điều này đúng cho mọi P ∈ X thì X được gọi là có tính co rút nửa địa phương). Khi đó HV˜ −→ HX˜ là ánh xạ không và biểu đồ ˜ HkV j∗// 0 Hk(V, V −P) ∂∗ // ∼ = ˜ Hk−1(V −P) //H˜k−1V ˜ HkX //Hk(X, X −P)
chứng tỏ rằng j∗ = 0. Dòng đầu tiên là khớp, điều này kéo theo
Hk(X, X −P) ∼= kerhH˜k−1(V −P) −→H˜k−1V
i
. (3.4)
Nếu V là co rút được, hoặc ít nhất là acyclic, HV˜ = 0, thì ta có
Hk(X, X −P) = ˜Hk−1(V −P). (3.5)
3.4 Bậc của một ánh xạ
Định nghĩa 3.2. Nếu f : Sn −→ Sn, tương ứng
f : Bn+1,Sn −→ Bn+1,Sn là một ánh xạ thì tự đồng cấu cảm sinh f∗ của H˜nSn ∼= Z, tương ứng Hn+1 Bn+1,Sn ∼= Z được cho bởi
f∗(x) = deg(f)·x, với deg(f)∈ Z là số nguyên xác định duy nhất. Số nguyên này được gọi là bậc của f.
Mệnh đề 3.12. (i) deg(id) = +1. (ii) deg(f ◦f0) = deg(f)·deg(f0). (iii) f ' f0 ⇒ deg(f) = deg(f0).
(iv) Bậc của một tương đương đồng luân là +−1.
(v) Nếu f : Bn+1,Sn −→ Bn+1,Sn thì deg(f) =deg(f |Sn).
Chứng minh. Thật vậy, tính chất (i) và (ii) chỉ là mô tả tính chất hàm tử của f∗, (iii) và (iv) là tính bất biến của đồng luân. Còn tính chất (v) được suy ra từ biểu đồ giao hoán
Hn+1 Bn+1,Sn f∗ // ∼ = ∂∗ Hn+1 Bn+1,Sn ∼ = ∂∗ ˜ HnSn (f|S n)∗ / /H˜nSn. Ví dụ 3.1. Bậc của một ánh xạ tuyến tính β : ∆n,∆n˙ −→ ∆n,∆n˙
mà hoán đổi thứ tự các đỉnh được tính bằng dấu của phép hoán vị này, deg(β) = sign β |
e0, e1, ..., en .
Bậc của một ánh xạ trực giao α : Sn −→ Sn được tính bằng định thức, deg(α) = det(α). Chẳng hạn, ánh xạ xuyên tâm (đối xứng qua tâm) x7→ −x có bậc là (−1)n+1.
Mệnh đề 3.13. Nếu f : Sn −→ Sn không có điểm bất động thì
deg(f) = (−1)n+1. Nếu f : Sn −→ Sn không có điểm đối xứng xuyên tâm
(f (x)6= −x) thì deg(f) = +1. Đặc biệt, mỗi ánh xạ f : S2k −→S2k
có một điểm bất động hoặc một điểm đối xứng xuyên tâm. Chứng minh. Nếu f không có điểm bất động thì
Do đó Dt(x) = dtx
||dtx|| là một phép biến dạng, biến f thành ánh xạ
xuyên tâm x7→ −x, do đó deg(f) = (−1)n+1 (theo Ví dụ 3.1). Nếu f x 6=−x thì gx = −f x không có điểm bất động, như vậy
(−1)n+1deg(f) = deg(g) = (−1)n+1.
Định nghĩa 3.3. Nếu µ : Sn ×Sn −→ Sn, n > 0 là một ánh xạ thì đồng cấu cảm sinh
HnSn⊕HnSn ∼= Hn(Sn ×Sn) −→µ∗ HnSn
có dạng µ∗(x1, x2) = d1x1+d2x2 với d1, d2 là các số nguyên được xác định duy nhất. Cặp (d1, d2) được gọi là song bậc của µ.
Nó có tính chất như trong Mệnh đề 3.12. Đặc biệt,ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 3.14. Nếu f1, f2 : Sn −→ Sn là các ánh xạ thì bậc của ánh xạ hợp thành Sn (−→f1,f2)Sn ×Sn −→µ Sn được cho bởi
deg[µ(f1, f2)] = d1·deg(f1) +d2·deg(f2).
Chứng minh. Gọi p1, p2 : Sn ×Sn −→Sn là hai phép chiếu. Khi đó pv(f1, f2) = fv, và theo (3.2) ta có được
(p1∗, p2∗) (f1, f2)∗(x) = (f1∗x, f2∗x) = (deg(f1)x, deg(f2)x),
với x∈ HnSn. Do đó µ∗(f1, f2)∗(x) = [d1·deg(f1) +d2·deg(f2)] (x). Về mặt trực quan, ta xem µ như một cấu trúc nhân trên Sn, chẳng hạn như phép nhân các số phức (n = 1) hoặc các số quaternion (n = 3), trong các trường hợp này µ(z1, z2) =z1·z2 có song bậc (1,1) và ta có kết quả sau.
Hệ quả 3.7. Ánh xạ pk :z 7→zk, k ∈ Z của nhóm S1 tương ứng S3
gồm các số phức đơn vị tương ứng các số quaternion đơn vị đều có bậc k.
Chứng minh. Thật vậy, theo Mệnh đề 3.14 ta có được
deg(pk) = deg(pk−1) +deg(id) = deg(pk−1) + 1,
và deg(p1) = deg(id) = 1.
Mệnh đề 3.15. (Định lý cơ bản của Đại Số)
Mỗi đa thức hệ số phức p(z) = zk+c1zk−1+· · ·+ck, k > 0 đều có nghiệm.
Chứng minh. Với mỗi đa thức hệ số phức p mà không có nghiệm trên S1, ta định nghĩa
ˆ
pt :S1 −→ S1, pˆt(z) = p(z) ||p(z)||
và ta chứng minh Mệnh đề 3.15 theo hai trường hợp : (i) Nếu p không có nghiệm z và ||z|| ≤ 1 thì deg(ˆp) = 0. (ii) Nếu p không có nghiệm z và ||z|| ≥1 thì deg(ˆp) =k. Với trường hợp (i), ta xét phép biến dạng
ˆ
pt : S1 −→S1, pˆt(z) = p(tz) ||p(tz)||.
Rõ ràng pˆ1 = ˆp,pˆ0 = hằng số, do đó deg(ˆp) = 0.
Với trường hợp (ii), ta xét phép biến dạng pˆt(z) = q(z, t) ||q(z, t)|| với q(z, t) =tkp z t = zk +t c1zk−1+tc2zk−2+· · ·+tk−1ck. (3.6) Vế phải của (3.6) chứng tỏ rằng q(z, t) là liên tục (thậm chí với t = 0). Rõ ràng pˆ1 = ˆp và pˆ0(z) = zk, do đó deg(ˆp) = deg(ˆp0) = k.