Đồng điều kỳ dị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HỒ THỊ DẠ THẢO ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 ` LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng, Năm 2012 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan MỞ ĐẦU CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phức đơn hình đa diện 1.2 Thứ phân trọng tâm 1.3 Ánh xạ đơn hình xấp xỉ đơn hình 10 1.4 Phạm trù hàm tử 12 1.5 Nhóm Abel tự do, Module tự 14 1.6 Đồng điều đơn hình 16 1.6.1 Các định nghĩa 16 1.6.2 Các phép biến đổi xích xích đồng luân 25 1.6.3 Đồng cấu cảm sinh 29 1.6.4 Đồng điều tương đối 32 CHƯƠNG ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 36 2.1 Đơn hình kỳ dị xích kỳ dị 36 2.1.1 Đơn hình kỳ dị xích kỳ dị 36 2.1.2 Đồng cấu biên Phức kỳ dị C ( X ) 38 2.1.3 Nhóm tương đối, dãy khớp dài 46 2.2 Tính bất biến đồng luân thứ phân trọng tâm 54 2.3 Định lý Khoét 60 2.4 Tính nhóm đồng điều số không gian toto đơn giản 80 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 91 3.1 Ứng dụng nhóm đồng điều địa phương 91 3.2.Ứng dụng đa tạp 97 KẾT LUẬN 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong topo có định lý phát biểu đơn giản để chứng minh phức tạp, ví dụ định lý điểm bất động Brouwer, định lý Ulam Borsuk, … Phần lớn chứng minh dùng đến topo đại số Mục đích topo đại số xây dựng hàm tử từ phạm trù không gian topo (hoặc phạm trù không gian topo) vào phạm trù đại số (chẳng hạn nhóm, vành, module …) biến ánh xạ liên tục thành đồng cấu Đồng điều kỳ dị hàm tử từ phạm trù không gian topo vào phạm trù nhóm Abel vào module Bằng việc khảo sát hàm tử người ta chứng minh nhiều định lý tiếng định lý điểm bất động Brouwer, định lý Ulam Borsuk, định lý bảo tồn miền Brouwer… Vì vậy, đề tài “Đồng điều kỳ dị ứng dụng” mục đích để tìm hiểu hàm tử đồng điều kỳ dị cách chứng minh định lý Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đồng điều kỳ dị ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học, giảng tác giả nghiên cứu liên quan đến Lý thuyết đồng điều kỳ dị ứng dụng Tham gia buổi thảo luận để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người tìm hiểu Lý thuyết đồng điều kỳ dị Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận gồm có ba chương: Chương 1: Những kiến thức Chương trình bày kiến thức phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân đồng điều đơn hình Chương 2: Đồng điều kỳ dị Chương trình bày hàm tử đồng điều kỳ dị, đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, tính nhóm đồng điều số không gian topo đơn giản, đinh lý Khoét số tính chất liên quan Chương 3: Ứng dụng đồng điều kỳ dị Chương trình bày ứng dụng đồng điều kỳ dị đồng điều địa phương đa tạp CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Phức đơn hình đa diện Định nghĩa 1.1.1 Đơn hình Trong không gian ¡ n , cho tập hợp điểm  p0 , , pk  độc lập affine Tập hợp tất điểm  x  ¡  k k  x  i pi , i 0,1, i  1 i 0 i 0  n gọi đơn hình k – chiều hay k – đơn hình Ta ký hiệu    p0 , , pk  , p0 , , pk đỉnh đơn hình  dim  k chiều đơn hình  Nhận xét 1.1.1 Mỗi đơn hình tập đóng, compact Với x    p0 , , pk  ,  p0 , , pk  độc lập affine nên x biểu diễn cách dạng k x   i ( x) p i i 0 k Trong đó,   ( x)  1,  ( x)  0,1 với i  0, k i 0 i i Định nghĩa 1.1.2 Phức đơn hình Một phức đơn hình họ hữu hạn K    gồm đơn hình khơng gian ¡ n thỏa tính chất sau (i) Nếu  K mặt  thuộc K (ii) Nếu  ,  K  I     I  mặt chung   Với K  U  K Cặp ( K , K ) gọi đa diện Khi đó, K  SdK gọi phân tích đơn hình đa diện, K  K gọi giá K Chiều đa diện ( K , K ) , ký hiệu dim( K , K ) định nghĩa sau dim(K , K )  max dim /   K  Đường kính K ký hiệu meshK đường kính định nghĩa sau meshK  max  ( ) /   K  Định nghĩa 1.1.3 Đa diện Cho ( K , K ) đa diện, L  K Nếu L phức đơn hình L gọi phức đơn hình K Khi đó, ( L, L ) gọi đa diện đa diện ( K , K ) , với L giá L Nhận xét 1.1.2 Cho K phức đơn hình   L  K Khi đó, L phức đơn hình K với đơn hình  L , mặt  thuộc L Nhận xét 1.1.3 Với r  , ta đặt K r    K dim  r Khi đó, K r phức đơn hình K Nhận xét 1.1.4 Nếu  K , K  đa diện K phức đơn hình K gọi tập hợp đỉnh đa diện  K , K  Với đơn hình  K , đặt F( ) tập hợp tất mặt  Khi đó,  , F( )  đa diện  K , K  Định nghĩa 1.1.4 Cho ( K , K ) đa diện  K Hợp tất mặt thật  ký hiệu Int Định nghĩa 1.1.5 Cho ( K , K ) đa diện, x  K Khi đó,  K gọi giá x , ký hiệu  ( x) ,  đơn hình có chiều nhỏ chứa x  ( x) biểu diễn dạng  ( x)  I   K , x   Nhận xét 1.1.5 Cho  K với ( K , K ) đa diện, x  K Khi đó,    ( x) x  \ & Nhận xét 1.1.6 Cho  K với ( K , K ) đa diện, x  K Khi đó, x   ( x) mặt  Nhận xét 1.1.7 Với không gian topo Y , ánh xạ f : K  Y liên tục Y liên tục, với  K f  :   Định nghĩa 1.1.6 Cho ( K , K ) đa diện Với đỉnh p  K , tập hợp K \ U  K , p   gọi hình p, ký hiệu Stp Nhận xét 1.1.8 Stp tập mở chứa p không chứa đỉnh khác đa diện ( K , K ) Định lý 1.1.1 Cho p0 , p1, , pn đỉnh đa diện ( K , K ) Khi (i) I n i 0 Stpi    p0 , p1, , pn  đơn hình K (ii) Nếu    p0 , p1, , pn  đơn hình K I điểm x  K mà  ( x) nhận  làm mặt n i 0 Stpi tập hợp gồm tất Ta nhận xét  p0 , p1, , pt  đỉnh đa diện K với x  K , x biểu diễn cách dạng x  i0 i ( x) pi , t i  0,1, với i  1, t Ta có i ( x)  0,1 pi  ( x) Khi đó, i ( x) gọi tọa độ x pi Ngược lại, i ( x)  pi  ( x)  0,1 , với  K , gọi hàm tọa độ trọng tâm Hàm số i :   Ta có i hàm liên tục Nhận xét 1.1.9 Với đỉnh pi đơn hình K , ta có Stpi  x i ( x)  0 Chứng minh x  Stpi  K \ U  K , pi   , suy x  pi  Do x   ( x) nên pi  ( x) Giả sử  ( x)  v0 , v1, , vl  , x biểu diễn sau x  0v0  1v1   l vl Mặt khác x  0 ( x) p0  1( x) p1   i ( x) pi   t (x) pt Do cách biểu diễn nên  j 0,1, , l cho pi  v j Do i ( x)   j Vì  ( x) đơn hình có số chiều nhỏ chứa x nên  j  i ( x)  hay x x i ( x)  0 Do đó, Stpi  x i ( x)  0 Ngược lại, x x i ( x)  0, suy i ( x)  hay pi  ( x) Do đó, x  Stpi hay x i ( x)  0  Stpi Vậy Stpi  x i ( x)  0 W Định nghĩa 1.1.7 Đồng luân Cho hai ánh xạ f , g : X  Y liên tục Hai ánh xạ f , g gọi đồng luân, Y thỏa ký hiệu f : g , tồn ánh xạ H : X  I  H ( x,0)  f ( x); H ( x,1)  g( x), x  X Khi đó, H gọi đồng luân f g Định lý 1.1.2 Cho ( K , K ) đa diện không gian ¡ n , Y không gian topo f , g hai ánh xạ liên tục từ Y vào K Nếu với y  Y , tồn đơn hình  K thỏa mãn f ( y), g( y)  f g đồng luân  K xác định Chứng minh: Cho H : Y  I  H ( y, t )  (1  t ) f ( y )  tg ( y ) y  Y f ( y), g( y)  , với  đơn hình K nên f ( x), g( y) K Do (1  t ) f ( y)  tg( y)  K, t  I Do f , g liên tục nên H liên tục Mặt khác, H ( y,0)  f ( y); H ( y,1)  g( y), y Y nên f , g đồng luân W Nhận xét 1.1.8 Hai ánh xạ f , g thỏa điều kiện gọi hai ánh xạ contiguous 1.2 Thứ phân trọng tâm Cho phân tích đơn hình K K , xây dựng phân tích đơn hình K  khác K , gọi thứ phân trọng tâm K Định nghĩa 1.2.1 Cho đơn hình    po , p1, , pn  trọng tâm  điểm, ký hiệu b hay [ ] xác định sau n b   pi n  i 0 Nếu   pi trọng tâm  trùng với Xét đa diện ( K , K )  đơn hình K Ta biết ( , F( )) đa diện ( K , K ) Ta đặt Sd 1 tập hợp đơn hình mà tất đỉnh trọng tâm tất mặt  hay Sd 1 gồm tất đơn hình b0 , b1 , , b s  với   1     s dãy tăng nghiêm ngặt mặt  Định nghĩa 1.2.2 Cho ( K , K ) đa diện Khi đó, Sd 1K gồm tất đơn hình b , b1 , , b s  ,   1     s dãy tăng nghiêm ngặt mặt K  Ta thấy tập b , b1 , , b s  độc lập afine Sd K phức đơn hình, ( K , Sd 1K ) đa diện Định lý 1.2.1 Cho ( K , K ) đa diện có đường kính  Khi đó, đường kính Sd 1K  n  n 1 Chứng minh Với đơn hình [b , b1 , , b s ]  Sd 1K với   1     s , ta chứng minh, i, j {0, , s} b i  b j  n  n 1 (1) Nếu i  j, (1) Nếu i  j, giả sử  i   j , ta đặt  i  [p0 , p1, , pm ] ;  j  [p0 , p1, , pm , ,pmk ] Khi đó, b i  1 ( p0  p1    pmk ) ( p0  p1    pm ) b j  m  k 1 m 1 Do đó: b i  b j   1 ( p0  p1    pm )  ( p0  p1    pmk ) m 1 m  k 1 k ( p0  p1    pm )  ( pm1    pmk ) (m  1)(m  k  1) m  k 1   j  j   1   j 0   n j  n j    H +  p   j j d2 ,  j    j  j   1 H +  p   j j d1 ,  j  1   p   j d1     j d1q  j1  n j ( j d1q)n j  n j  n j  j1   j   1   j1     n j 0 n j     n j 0 n j 0   H +  j i d0   j j d0    i   j ,  i   j   i d0 q   j d0 q  ni ( i d0 q)ni1  n j ( j d0 q)n j1  i   j   i    j    i   j   1 H i j + i i d0   j j d2    i   j  0,  i   j d2   i q   j d2 q  ni ( i d0 q)ni1  n j1 ( j d2 q)n j  i   j  i   j   i    j    i   j   1 H i j + i i d2   j j d2    i   j  0, i d2   j d2   i d2 q   j d2 q  ni ( i d2 q)ni1  n j1 ( j d2 q)n j  i   j  i   j   i    j    i   j   1 H j i + i i d0   j j d1   i   j , i   j d1   i q   j d1q  ni ( i d0 q)ni1  n j ( j d1q)n j  i   j1  i   j1   i    j1    i   j1  i  j  1 H + i i d2   j j d1   i   j , i d2   j d1   i d2 q   j d1q  ni ( i d2 q)ni1  n j ( j d1q)n j  i   j1  i   j1   i    j1    i   j1  i  j  1 H + i i d1   j j d1   i   j  0, i d1   j d1   i d1q   j d1q  ni ( i d1q)ni  n j ( j d1q)n j  i1   j1  i1   j1   i1    j1    i1   j1  i  j H Bằng cách rút gọn ta v  H  định lý chứng minh W CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 3.1 Ứng dụng nhóm đồng điều địa phương Định nghĩa 3.1.1 Cho X khơng gian Hausdorff nhóm đồng điều kỳ dị H n  X , X \ x0  , n  ¥ gọi nhóm đồng điều địa phương X x0 Định nghĩa 3.1.2 Định nghĩa Acylic X gọi Acylic Hn  x   0,  n  H0  x   ¢ Định nghĩa 3.1.3 Co rút biến dạng Cho X không gian topo   A, A  X A gọi co rút biến dạng X  r : X   A phép co rút  H : X  I   X liên tục xác định H ( x,0)  r ( x) H ( x,1)  x H ( a, t )  A x  X x  X a  A Bổ đề 3.1.1 Cho X không gian Hausdorff, A  X , A  U , U mở X , x0  X H n  X , X \ x0   H n  A, A \ x0  Do đó, x  X y  Y có lân cận mở U , V tương ứng thỏa mãn  : U , x   V , y  phép đồng phơi H n  X , X \ x  H n Y , Y \  y Chứng minh Ta có U  A  X \ U  X \ A  X \ A  X \ U  X \ x0   X \ A  int  X \ x0   Theo định lý Khoét  Hn  X , X \ x0  Hn X \ ( X \ A),  X \ x0 \ ( X \ A)   Hn  X , X \ x0  Hn A,  A \ x0   Vậy H n  X , X \ x0   H n  A, A \ x0  x  ¡ m , Định lý 3.1.1 Cho Hn  ¡ m , ¡ m Hn ¡ m , ¡ m \  x  ¢ n  m, \ x  n  m Chứng minh Với n  ¥ , H n  ¡ m , ¡ m  \ x  H n  B, B \ x với B  B  0,1 , B , cầu đóng Mà H n  B, B \ x  H n  B  0,1 , B  0,1 \ 0 H n  B, B \ x  H n  B  0,1 , B  0,1 \ 0 Ta định nghĩa S mặt cầu sau S  x  ¡ m x  1  S co rút biến dạng B  0,1 \ 0 Ta chứng minh S co rút biến dạng B  0,1 \ 0 Thật vậy: S Lập r : B  0,1 \ 0  x x  r ( x) x  r phép co rút  B  0,1 \ 0 Lập h : B  0,1 \ 0  I   x, t  Ta kiểm tra tx  (1  t )r ( x) x  B  0,1 \ 0 tx  (1  t )r ( x)  B  0,1 \ 0 Ta có tx  (1  t )r ( x)  t x  (1  t ) r ( x)  t  (1  t )   tx  (1  t )r ( x)  B(0,1)  0, t 0,1 Giả sử t0  0,1 mà t0 x  (1  t0 )r( x)   t0 x  (1  t0 )r( x)   t0 x   t0 r ( x)   t0  t0 x  t0   t0  x  1   t0   x 1 x x  r ( x)  x 1 x 1  x  x r ( x)   x x x 0 x  2x   x  (vô lý) h liên tục h  x,0  r ( x) x  B(0,1) \ 0 h  x,1  x x  B(0,1) \ 0 x  S h  x, t   tx  (1  t )r ( x)  tx  (1  t ) x x  tx  (1  t ) x  tx  x  tx  xS  S co rút biến dạng B(0,1) \ 0 Vì S co rút biến dạng B(0,1) \ 0  H n  B(0,1) \ 0, S    H n  B(0,1) \ 0 , S    H n  B(0,1), B(0,1) \ 0  H n  B(0,1), S  (3.1) Kiểm tra (3.1).Thật Đặt  K  B(0,1) \ 0 L  B(0,1) S K L Sử dụng dãy đồng điều ba    H n ( K , S )   H n ( L, S )   H n ( L, K )   H n1 ( K , S )   H n1 ( L, S )   H n1 ( L, K )     H ( K , S )   H ( L, S )   H ( L, K )  0 dãy khớp Do H n  B(0,1) \ 0 , S    Hn  K , S   n     H n  L, S    H n  L, K   0 dãy khớp, n   Hn  L, S   Hn  L, K  , n   H n  B(0,1), S   H n  B(0,1), B(0,1) \ 0 Vậy (3.1) kiểm tra Ta có Hn  B(0,1), S   ¢ với n  m Hn  B(0,1), S   với n  m  H n  B(0,1), B(0,1) \ 0  ¢ n  m H n  B(0,1), B(0,1) \ 0  n  m  Hn ¡ m , ¡ m \  x  ¢ n  m H n  ¡ m , ¡ m \ x  n  m  W Định lý 3.1.2 Cho H m   x1 , x2 , , xm   ¡ xm  0 ta định nghĩa m BdH m  x1 , x2 , , xm   ¡  Nếu x   x1 , x2 , , xm   BdH m H n  ¡ m , ¡ m m xm  0 \ x  0, n  , x  H m \ BdH m Hn  ¡ m , ¡ Hn  ¡ m , ¡ m m \ x  ¢ n  m \ x  n  m Chứng minh Ta chứng minh x  H m \ BdH m Hn  ¡ m , ¡ Hn  ¡ m , ¡ m m \ x  ¢ n  m \ x  n  m x  H m \ BdH m , x   x1 , x2 , , xm   ¡ m , xm    lân cận mở U x mà U  H m \ BdH m Theo bổ đề 3.1.1 H n  H m , H m \ x  H n U ,U \ x U mở ¡ m nên H n U ,U \ x  H n  ¡ m , ¡ m \ x Theo định lý 3.1.1 H n  H m , H m \ x  ¢ n  m H n  H m , H m \ x  n  m Vậy Hn  ¡ m , ¡ Hn  ¡ m , ¡ m m \ x  ¢ n  m \ x  n  m Ta chứng minh: Nếu x   x1 , x2 , , xm   BdH m H n  ¡ m , ¡ m  \ x  0, n  Khơng tính tổng qt ta giả sử chọn x    0,0, ,0 ¡ m , Bm cầu đơn vị ¡ Đặt B   x  ( x1 , x2 , , xm )  B m x  1 m tâm  Bm I H m mở H m , 0 B I H m  Bm I H m  Đặt Dm  Bm I H m Theo bổ đề 3.1 ta có H n  H m , H m \ 0  H n  Dm , Dm \ 0 Đặt Em1  S m1 I H m với S m1  x  B m , x  1 Theo định lý 3.1.1, S m 1 co rút biến dạng B m \ 0  B m \ 0 Lập H :  B m \ 0  I   x, t  tx  (1  t )r ( x)  Em1 co rút biến dạng Dm \ 0 Thật vậy:  Em1  S m1 I H m Lập r : Dm \ 0  x r ( x)  Dm \ 0 Lập K   Dm \ 0  I  H  x, t   tx  (1  t ) r ( x)  x, t   K  x,0  H  x,0  r ( x)  r( x) x  Dm \ 0 K  x,1  H  x,1  x  (1  t ) r ( x)  x x  Dm \ 0 x  Em1 , K  x, t   H  x, t   tx  (1  t )r ( x)  x Em1 Vậy Em1 co rút biến dạng Dm \ 0  H n  Dm , Dm \ 0  H n  Dm , Em1  , n  ¥ Do D m acylic , Dm tập lồi  H n  D m   0, n  ¥ Em1  S m1 I H m đồng phôi với B m1 mà B m1 tập lồi nên H n  Em1   Xét dãy đồng điều cặp    H n ( Em1 )   H n ( Dm )   H n ( Dm , Em1 )   H n1 ( Em1 )   H n1 ( Dm )   H n1 ( Dm , Em1 )     H ( Em1 )   H ( Dm )   H ( Dm , Em1 )  0 dãy khớp  Hn  ¡ m , ¡ Vậy H n  ¡ m , ¡ m m \  x  0, n  \ x  0, n  3.2 Ứng dụng đa tạp Định nghĩa 3.2.1 M không gian topo khả metric, M gọi đa tạp n chiều x  M tồn lân cận mở U x x mà U x đồng phôi với ¡ n Định lý 3.2.1 Cho U tập mở ¡ m , V tập mở ¡ n , U ,V   , m  n, m  n U , V khơng thể đồng phơi với Chứng minh ¡ m U  ¡ n V  1 (B)  x0 B  y0 Giả sử  : U  V phép đồng phôi, m  n, m  n Lấy x0 U , đặt y0  (B) Cho B cầu mở tâm y0 mà B  V   1 (B) mở U   1 ( B) mở ¡ m Chọn r  0: B¡ m( x0 , r)   1 (B)   1 (B) \ x0  đồng phôi với B \ x0   S¡ ( x0 , r ) xác định Cho r : 1 ( B) \ x0   m x x0  r ( x  x0 ) x  x0 Khi x  S¡ m ( x  x0 )  x  x0  r1  r ( x)  r  r phép co rút H m1  1 ( B) \ x0   H m1  B \ x0  mà H m1  B \ x0   H n1 (S m1 ) Hn1 (S m1 )     Hm1 (r) Hm1  1 (B) \ x0  Hm1 (S¡ ( xnr )) ( vô lý ) m Vậy U , V đồng phôi với W Định lý 3.2.2 Cho m  n đa tạp m chiều đa tạp n chiều không đồng phôi với Chứng minh Cho M đa tạp m chiều, N đa tạp n chiều, m  n Phải chứng minh M , N không đồng phôi với Giả sử M , N đồng phôi với Thật vậy: Xét  : M   N phép đồng phôi Chọn x0  M , đặt y0  ( x0 ) Do M đa tạp m chiều ¡ Gọi f :U  m phép đồng phôi   lân cận mở U x0 M mà U đồng phôi với ¡ Gọi g :V  ¡ n m phép đồng phôi Do N đa tạp n chiều y0  N   lân cận mở V y0 N mà V đồng phôi với ¡ n  (U ) I V  V mà  (U ) mở N   (U ) I V mở V  g ( (U ) I V ) mở ¡ n  (U ) I V đồng phôi với g ( (U ) I V ) Ta có V I  (U ) mở  (U )   1 (V I (U )) mở U  f ( 1 (V I (U ))) mở ¡ m  1 (V I (U )) đồng phôi với V I  (U ) g ( (U ) I V ) đồng phôi với  (U ) I V đồng phôi với  1 (V I  (U )) đồng phôi với f ( 1 (V I (U )))   , mở ¡ m (vô lý) Vậy M , N không đồng phôi với W Định lý 3.2.3 Cho X  ¡ n ,   A  X , A compact X , X \ A không đồng phôi với Chứng minh Giả sử có phép đồng phơi h : X  X \ A  H n1 (¡ n \ A)  H n1 (¡ n )  0 (3.2) Chứng minh (3.2) vô lý Lấy x0  A chọn R  cho A  B( x0 , R) Đặt S  S ( x0 , R) với S  ¡ n \ A Xét ánh xạ r : ¡ n \ A   S xác định x x0  R ( x  x0 ) x  x0 Chứng minh x0 phép co rút x  S , r ( x)  x0  R ( x  x0 ) x  x0 mà x  x0  R Từ (3.3)  r( x)  x nên x0 phép co rút Xét r*n1 : Hn1 (¡ \ A)   Hn1 (S ) xác định S r oi  is ¡ n\A (3.3)  (r oi)*n1  (is )n1  iH n1( s )  rn1 oin1  (is )n1  iH n1( s )  rn1 toàn cấu S đồng phôi với cầu S (0,1)  Hn1 (S )  Hn1 (S (0,1))  ¢  vơ lý ¡ n không đồng phôi với ¡ n \ A W KẾT LUẬN Luận văn chủ yếu đọc hiểu làm rõ số nội dung sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm định nghĩa phức đơn hình, phạm trù, hàm tử, nhóm Abel tự đồng điều đơn hình Trình bày hàm tử đồng điều kỳ dị, đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, tính nhóm đồng điều số khơng gian topo đơn giản, định lý Khoét số tính chất liên quan Trình bày ứng dụng đồng điều kỳ dị đồng điều địa phương đa tạp TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [2] Đỗ Hồng Tân, Các định lý điểm bất động, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [3] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 TIẾNG ANH [4] Albrecht Dold, Lecture on Algebraic Topology, Heidelberg, 1980 [5] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory, University of Warmia and Mazury, Poland, 1982 [6] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Heidelberg, 1980 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Hồ Thị Dạ Thảo ... Brouwer… Vì vậy, đề tài ? ?Đồng điều kỳ dị ứng dụng? ?? mục đích để tìm hiểu hàm tử đồng điều kỳ dị cách chứng minh định lý Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đồng điều kỳ dị ứng dụng Phương pháp nghiên... đối 32 CHƯƠNG ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ 36 2.1 Đơn hình kỳ dị xích kỳ dị 36 2.1.1 Đơn hình kỳ dị xích kỳ dị 36 2.1.2 Đồng cấu biên Phức kỳ dị C ( X ) 38 2.1.3... do, module tự do, đồng luân đồng điều đơn hình Chương 2: Đồng điều kỳ dị Chương trình bày hàm tử đồng điều kỳ dị, đồng cấu cảm sinh ánh xạ liên tục phức đơn hình, tính nhóm đồng điều số không gian