Toán tử tích phân kì dị với hạt nhân thuần nhất và thô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Ln TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THUẦN NHẤT VÀ THƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Ln TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THUẦN NHẤT VÀ THƠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: luận văn thạc sĩ với đề tài “TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THUẦN NHẤT VÀ THƠ” tơi thực với hướng dẫn TS Trần Trí Dũng không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn TP Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 03 năm 2017 Học viên thực Nguyễn Minh Luân LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập viết luận văn, nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu các thầy cô, các anh chị các bạn Với lòng thành kính biết ơn sâu sắc xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, khoa Toán-Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ quá trình học tập thực bảo vệ luận văn TS Trần Trí Dũng, người thầy hết lòng giúp đỡ hướng dẫn suốt quá trình viết luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc mình thầy, kính chúc thầy dồi sức khỏe thành công sống Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô khoa Toán-Tin giúp trang bị kiến thức cần thiết để tơi hồn thành tốt luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến bạn bè, người thân động viên, cổ vũ giúp tơi n tâm hồn thành tốt luận văn MỤC LỤC Trang bìa phụ Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu toán học MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 1.2 Phân hoạch Calderón-Zygmund 13 1.3 Định lý nội suy Marcinkiewicz 17 1.4 Bất đẳng thức chuẩn có trọng 21 Chương 2.TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THUẦN NHẤT 47 2.1 Một số tính chất tốn tử tích phân kì dị 47 2.2 Tính bị chặn Lp loại yếu 1,1 toán tử tích phân kỳ dị với hạt nhân 85 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THƠ 108 3.1 Phương pháp quay toán tử tích phân kỳ dị với hạt nhân lẻ thơ 108 3.2 Tính bị chặn Lp tốn tử tích phân kỳ dị với hạt nhân lẻ thơ 109 3.3 Tính bị chặn Lp tốn tử tích phân kỳ dị với hạt nhân chẵn thô 111 KẾT LUẬN 147 TÀI LIỆU THAM KHẢO 149 BẢNG KÍ HIỆU TỐN HỌC E hàm đặc trưng tập E n không gian Euclide n chiều x12  x22   xn2 với x  ( x1 , x2 , , xn )  x mặt cầu đơn vị x  n 1 n n : x  1 log  t max 0,log t với t  x y tích vơ hướng hai vectơ x; y định nghĩa n x y   x j y j với x, y  n j 1 cầu tâm x  n A có bán kính r độ đo Lebesgue tập A  n dx độ đo Lebesgue fQ trung bình f tập Q , ta có fQ  B( x, r ) p số liên hợp với p, ta có C0 ( n Q  f ( x)dx Q 1   1, với p  p p ) khơng gian các hàm có đạo hàm hạng, có giá compact n Lp ( X ) không gian độ đo Lebesgue n chiều X Lp , ( X ) không gian Lp yếu X p Lloc ( X ) không gian hàm khả tích địa phương I compact X M toán tử cực đại Hardy – Littlewood p f f   p    f ( x ) dx   n  p chuẩn hàm f Lp (  ess.sup f  inf B  :  x : f ( x )  B    n ): f p   MỞ ĐẦU Giải tích điều hịa phân ngành mạnh tốn học có nhiều ứng dụng các lĩnh vực đời sống xã hội Trong năm gần đây, giới có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu giải tích điều hòa đạt nhiều kết thú vị Tuy nhiên, giải tích điều hòa chưa nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà toán học, học viên cao học nghiên cứu sing chun ngành tốn giải tích nước Vì vậy, luận văn tơi tập trung nghiên cứu chủ đề trung tâm giải tích điều hịa đại lý thuyết tốn tử tích phân kì dị với hạt nhân hạt nhân thơ, đặc biệt tính bị chặn loại (p,p) với p  bị chặn yếu 1,1 tích phân kì dị khơng gian Lp Lp có trọng Mục tiêu luận văn giúp tác giả bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học có hội để tổng hợp tài liệu tốn tử tích phân kì dị, đáp ứng nhu cầu tìm hiểu cho quan tâm đến giải tích tốn học nói chung mơn giải tích điều hịa nói riêng Thơng qua luận văn, tác giả mong muốn đạt mục tiêu sau đây: + Mục tiêu thứ nhất: Nghiên cứu tốn tử tích phân kì dị với hạt nhân không gian Lp ; Lp yếu + Mục tiêu thứ hai: Nghiên cứu tốn tử tích phân kì dị với hạt nhân thô không gian Lp ; Lp yếu không gian Hardy Trong luận văn này, tác giả làm việc dựa tài liệu dạnh mục tham khảo sau đọc hiểu, tiếp cận với khái niệm, tính chất tốn tử tích phân kì dị Từ tác giả tổng hợp trình bày thành luận văn hồn chỉnh Đề tài gồm ba chương với nội dung sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Toán tử tích phân kì dị với hạt nhân Chương Toán tử tích phân kì dị với hạt nhân thơ Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các định nghĩa, định lý bổ đề chương trích dẫn từ tài liệu [10, p.1-36] 1.1 Tốn tử cực đại Hardy-Littlewood Định nghĩa 1.1.1 ( Hàm cực đại Hardy-Littlewood) Cho f hàm khả tích địa phương n , nghĩa f  L1loc   Với n x n , hàm cực đại Hardy- Littlewood Mf ( x) f định nghĩa sau Mf ( x)  sup r 0 rn  f ( x  y) dy y r (1.1.1.1) M cịn gọi tốn tử cực đại Hardy-Littlewood Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức thay cho công thức (1.1.1) M ' f ( x)  sup r 0 Q  x, r   f ( y ) dy, Q x , r  (1.1.1.2) M '' f ( x)  sup Q x Q  f ( y ) dy , f  L1loc  n , x  n Q (1.1.1.3) Q  x, r  khối lập phương tâm x cạnh r với cạnh song song với trục tọa độ Q khối lập phương cầu chứa x E hiểu độ đo Lebesgue tập E Bổ đề 1.1.2 (Bổ đề phủ loại Vitali) Cho E  n , E tập đo được,  họ cầu B với đường kính bị chặn d(B) phủ E theo loại Vitali, nghĩa là, với x  E tồn cầu Bx  cho x  Bx Khi tồn số   ,  phụ thuộc vào số chiều n họ đếm cầu đôi rời B1, B2 ,  cho B k , Bk ,  E k Chứng minh: Ta chứng minh bổ đề thỏa mãn lấy   5 n   Ta có với B  ta có tập d  B  , B  tập bị chặn nên tồn n l0  supd  B  , B    từ suy tồn dãy Bn    : d  Bn   l0 hay n0 : n  n0 ta có d  Bn   l0  l0 l l  d  Bn   từ ta lấy B   : d  B   2 đặt B1  B   Đặt 1  B  : B  B1   l1  sup d  B  ; B 1 tương tự ta chọn B2  1 : d  B2   B1, B2 , l1 ;… Tiếp tục trình ta có dãy    k  Bk thuộc  , ta đặt k   B : B    B   B j        j 1  lk  supd ( B); B k  Tiếp theo ta chọn Bk 1 k cho d  Bk 1   lk Vậy ta có dãy vơ hạn B1, B2 , (i) B1, B2 , , Bk , (ii) d  Bk 1   , Bk , thuộc  thỏa đôi rời    k  lk k   B : B    B   B j     , k  1,2,    j 1  Thật (ii) hiển nhiên cách chọn dãy Bk  (i) có với  j 1  i  j ta giả sử i  j ta có B j   j 1  B j   Bt    , lại có i  j  t 1  suy Bi  j 1 t 1 Bt  B j  Bi   Vậy Bk k đôi rời +Nếu dãy Bk  có hữu hạn k cầu, k   , giả sử trái lại  n  tức tồn B   : B   Bi    suy tồn x  B x  Bi , i  1, k , điều  i 1  mâu thuẫn với x  B  E E phủ loại Vitali Trong trường hợp với x  E tồn cầu Bx  : x  Bx Bx  Bk0   với số k0 thuộc tập 1,,k , khơng tổng quát ta giả sử Bx  B j  , j  1, k0    suy Bx k0 1 , ta lại có d Bk0    d Bk0  d  Bx  từ ta suy k E k 5B j  E  j 1 j 1 k 5B j   5B j  j 1  lk0 1 Bx  5Bk0 , x  E, k0  1, k k n   sup d  B  : B  k0 1 2 B j 1 n j suy suy suy k E   B j Vậy bổ j 1 đề chứng minh trường hợp có hữu hạn cầu + Nếu dãy Bk  có vơ hạn cầu, ta có các trường hợp sau:  *Trường hợp B j 1   thì ta có điều phải chứng minh j  * Trường hợp B j 1 j   , ta kí hiệu B  5Bk ta có E  ta cần chứng minh B   Bk* , tức * k k 1  Bk* với B  Thật B  cố định lại ta có k 1  B j 1 j   k    từ suy d  Bk    hay tồn k0 : d Bk0  d  B  (*), k0 chọn số nhỏ thỏa tính chất trên, B  B j0   với j0 thuộc tập 1, , k0  1 , giả sử trái lại ta có B  B j  , j  1, k0  suy   B k0 1   suy d Bk0  d  B  (ta gặp mâu thuẫn với (*)) Từ B  B j0   với j0 thuộc tập 1, , k0  1 , không tổng quát ta 135 Tk, f 2 L C j l   S K j  C    j  k 1 j j k  S j k f  ( x) dx , j    2 j  k 1 K  , j   f   d Tiếp theo, ta tồn C>0    cho   K , j    C j  , j   ,j  ,  n (3.3.9.2) Ta có K  , j     K  x  e , j 2 i  x dx n    x   2 j ;2 j 1  x  x     x x n n C (3.3.9.3) Với số C phụ thuộc vào  n Do  thỏa mãn điều kiện triệt tiêu K  , j     n1  x  x 2 j j 1 x n nên ta có e 2 ix  1 dx  C j   kết hợp với công thức (3.3.9.3) ta suy K , j    C j  , 0    C không phụ thuộc vào j  Thật vậy:  +Trường hợp 1: j   suy C j   C C j   C , lại có  K  , j    C  C j  +Trường hợp 2: j   suy C j   C  j   ta có K , j    C  C j  Mặt khác, theo bất đẳng thức Holder ta suy  nên C  C j   từ 136 K , j    log   2 j 1  ( x ')e j 2 irx ' d ( x ') n 1 dr , r  j 1 2j e 2 ir  x '  y '   1 dr  C 1, j    x ' y '  r  C j   '  x ' y '  , 0    1;  q '  vận dụng bất đẳng thức Holder x ' y '  x '  y '  ta có  K  , j    C   j  2 j 1  C j C  j Chọn       n 1  dr  2 ir  x '  y '   x '   y 'e d ( x ')d ( y ')  n 1 r   q L  n 1     n 1  d ( x ')d ( y ')   n 1 x ' y '  q '  2q ' k ta có (3.3.9.2) T , f L  C2  k f L2 , k  (3.3.9.4)   số C>0 , độc lập với f ,   k  với C không phụ thuộc k, f,  j    Tiếp theo ta chứng minh tồn j Tk, f Lp   cho C f L   (3.3.9.5) Theo giả thiết Bổ đề 3.3.9 ta suy   Ap Áp dụng lý thuyết Littlewood-Paley   có trọng ta suy tồn số C  độc lập với f ,  j thỏa 137 Tk, f Lp        p  j S j k  K , j  S j k f  ( x)  ( x)dx    j  p n  C  j  l 2    S j  k  K  , j  S j k f  (.)   j  2   C    K  , j  S j  k f  (.)   j  Lp    Lp    Cố định k đặt h j  x   S j k f ( x) Khi K , j  S j k  K , j ( x  y ).S j  k ( y )dy n   K  , j ( x  y ).S j  k ( y ) dy n   ( x  y )   dy  j  xy 2 j 1 x  y n    q   ( x)  C M hj  q' q q'  q' h j ( y)  dy   j  xy 2 j 1 x  y n    q' Do ta có Tk, f Lp     (.)  C M hj q' q' p l q ' Lq '   Do   Ap q ' theo bất đẳng thức chuẩn có trọng tốn tử cực đại có giá trị vectơ, ta thu Tk, f L   p  C h qj ' (.) l q'  2  C   S j k f (.)  p Lq '    j  q' C f Lp   Lp   Áp dụng lý thuyết Littlewood-Paley có trọng ta có cơng thức (3.3.9.5) 138 Bây ta chứng minh Bổ đề 3.3.9 cách sử dụng Định lý nội suy SteinWeiss với thay đổi độ đo Ta có ba trường hợp sau: +Trường hợp 1: p  Do   Ap q ' , theo tính chất (ii) không gian Ap suy tồn   cho 1  Ap q ' Lấy p1 cho p1  p   p2 p1  p 1  Ap1 q ' Từ chứng minh (3.3.9.5) ta suy tồn số C1 , không phụ thuộc vào f , k , thỏa Tk, f  Lp1 1  C f  Lp1 1  (3.3.9.6) Đặt t  1 t t p1  t    Áp dụng Bổ đề 2.2.10 với công p p1 1    p thức (3.3.9.4) (2.3.9.6) ta suy Tk, f L   p  C1  k f Lp   , (3.3.9.7) C1 , ,   không phụ thuộc vào f k  +Trường hợp 2: p  Do   Ap q ' suy tồn   cho 1  Ap q ' , tiếp tục vận dụng tính chất (ii) Ap suy tồn q '  l  p thỏa 1  Al q ' , khéo chọn  , p0 cho     q '  l  p0  p thỏa  Thực chất   p  p0 , 2 p 1  Ap q' p l p l ta chọn    , p0  l Nếu   ta 2 p 2 p chọn    ,l  p0  p cho   p  p0 p l Nếu   ta chọn 2 p 2 p 139     , p0  l cho   p  p0 Ta có 1  Ap0 q ' Từ công thức 2 p (3.3.9.5) ta suy Tk, f  Lp0 1   C2 f  Lp0 1  (3.3.9.8) Một cách tương tự, đặt t  p0 áp dụng Bổ đề 2.2.10 với công thức (3.3.9.4) 1    p (3.3.9.8) suy Tk, f L   p  C2  ' k f Lp   (3.3.9.9) C2 , ,  '  không phụ thuộc vào f k  +Trường hợp 3: p  Do   A2 q ' suy tồn   cho 1  A2 q ' , từ ta có Tk, f  L2 1   C3 f  L2 1  (3.3.9.10) Đặt t  theo Bổ đề 2.2.10 cơng thức (3.3.9.4) (3.3.9.10) ta có 1  Tk, f L2    C3  '' k f L2   (3.3.9.11) C3 , ,  ''  không phụ thuộc vào f k  Đặt C  max C1 , C2 , C3    ,  ',  '' , cho p  q ' q  Từ công thức (3.3.9.7), (3.3.9.9) (3.3.9.11) ta thu Tk, f Lp    C2  k f Lp   Công thức với (3.3.9.1) dẫn đến Bổ đề 3.3.9. Từ Bổ đề 3.3.5 phương pháp đối ngẫu ta có Bổ đề sau: 140 Bổ đề 3.3.10 Giả sử   x '  Lq  n 1  thỏa (2.2.1); (2.2.2) Nếu q  max  p,2 1 p '  Ap ' q ' tồn số C>0, khơng phụ thuộc vào f    j , cho T , f Lp   C f Lp   Công thức (3.3.8.2) suy từ Bổ đề 3.3.10 nhờ vào các điều kiện Mệnh đề 3.3.8 Vậy Mệnh đề 3.3.8 chứng minh  Mệnh đề 3.3.11 Giả sử  Lq  n 1  thỏa (2.2.1) Nếu q  max  p, 43  1 p '  Ap ' q ' tồn số C  , không phụ thuộc vào f, cho M f Lp   C f Lp   Ta thu kết Mệnh đề 3.3.8 nhờ vào Bổ đề sau: Bổ đề 3.3.12 Giả sử   x '  Lq  n 1  thỏa (2.2.1 (2.2.2) Nếu q '  p q2     Ap q ' tồn số C  , không phụ thuộc vào f  j , cho T, f Lp   C f Lp   Chứng minh: Từ chứng minh Bổ đề 3.3.9, từ giả thiết Bổ đề 3.3.12 ta có   thể chứng minh tồn số C, không phụ thuộc vào f  j cho Tk, f Lp   C f Lp   (3.3.12.1) ta thu kết luận Bổ đề 3.3.12 cách áp dụng Định lý nội suy Stein-Weiss với thay đổi độ đo Thật vậy, Giả sử 2 q  q   q '  p Đặt K , j ( x)  K, j ( x) suy 141 K  , j  g ( x)    C2 K , j  x  y  dy q n   n K , j  x  y  2 q g ( y ) dy   ( x) j  n  nq  K , j  g   ( x  y ) K , j   h  ( x)   j  n  x  y  j 1   x y  C2  jn 2 q   C2  j  n  nq   x  y 2     2 q h( y ) dy ( x  y ) j 1 2 q h( y ) dy M 2 q (h)( x) (3.3.12.2) Do   Ap theo lý thuyết Littlewood-Paley có trọng ta có Tk, f Lp        p n   j S jk  K, j  S jk f  ( x)  ( x)dx    j  C  j  l  p 2    S j  k  K  , j  S j  k f  (.)   j  2   C    K , j  S j  k f  (.)   j  2 Lp    2 Lp      j n  nq  C     K  , j  S j  k f (.)   j  2 Lp      j n  nq  C sup  n     K  , j  S j  k f ( x)  h( x)dx n  j  với sup lấy tất cà hàm h thỏa mãn h Theo (3.3.12.2) ta có L p 2 '  1  p  '   142    j  n  nq  K  S f ( x )  , j  h( x)dx j k n j     n  j  n  nq  S j  k f ( x) j  C n S j K , j   h ( x)dx f ( x) M 2 q  h  ( x)dx j k p     2   C  n   S j  k f ( x)   ( x)dx           j     p Do n M  2q (h)( x)   p  ' 2   p 1  ' 2  p  ' 2  ( x)dx    q q' (tương ứng r '  ) 2q  Lr   q  nên đặt r  2q n1  p p  p    r  max   ',2 , theo mệnh đề 3.3.8 ta có r ' q '     M   q ( h) L p 2 '  1  p  '  C h L p 2 '  1  p  '  (3.3.12.3) Sử dụng lý thuyết Littlewood-Paley có trọng với cơng thức (3.3.12.3) ta suy k  , T    2  f p  C sup h L p 2 ' 1 p 2 '  n   S j  k f ( x)   ( x)dx  L       j  n     p 2  2  C   S j  k f (.)   j  C f Lp   p 2 Lp    Vậy ta thu công thức (3.3.12.1) với  q  Bây ta xét trường hợp q  ta có  q '  p   Ap /2 theo tính chất (i) (ii) Ap ta chọn   cho 143 2  '  p ;   Ap / 2  ' ;  2     ;  L2  n1  L  2 n1  Kết luận có từ cơng thức (3.3.12.1) với  q  còn đúng trường hợp q  Do ta chứng minh Bổ đề 3.3.12. Áp dụng Bổ đề 3.3.12 phương pháp đối ngẫu ta thu kết luận Mệnh đề 3.3.11  2m1  Bằng quy nạp, Mệnh đề 3.3.11 thỏa với q  max  p, m1  , m  ,     thỏa với q  max  p,  2m   , nghĩa là, ta có kết sau: 2m   Mệnh đề 3.3.13 Giả sử  Lq  n 1  thỏa (2.2.1) Nếu m  ,m  ,  2m  q  max  p, m  1 p '  Ap ' q ' tồn số C  , không phụ thuộc   1 vào f, cho M f Lp   C f Lp   Bây ta chứng minh Định lý 3.3.7 Nếu p  từ Mệnh đề 3.3.8 ta có kết luận Định lý 3.3.7 Nếu p  , tồn m  , m  cho 2m 2m1  p  m1 2m  1  2m  ta có q  p  q  max  p, m  Từ Mệnh đề 3.3.13 ta chứng minh    Định lý 3.3.7 với điều kiện (ii). 144 Định lý 3.3.14 Giả sử  hàm bậc không triệt tiêu  Lq  n1 n1 ,  , q  Nếu p,q hàm có trọng  thỏa mệnh đề sau  i  q '  p  , p    Ap q ' ;  ii 1  p  q, p   1 p '  Ap ' q ' ;  iii 1  p    q '  Ap ; T bị chặn Lp   Chứng minh: Nếu điều kiện (i) thỏa, ta xét p  q ' , ta có   T f ( x)   K , j     S 2j  k f  ( x)  j  k    S j  k  K , j  S j k f  ( x) j k :  Tk f ( x) k Theo Định lý Plancherel ta thay Tk, Tk (3.3.9.4) thỏa, nghĩa tồn số C,  , không phụ thuộc vào f , k  , cho Tk f L2  C2  k f L2 (3.3.14.1) Nếu ta chứng minh với điều kiện (i) tồn số C  , không phụ thuộc vào f , k  , cho Tk f Lp   C f Lp   (3.3.14.2) việc áp dụng Định lý nội suy Stein-Weiss với thay đổi độ đo cho cơng thức (3.3.14.1) (3.3.14.2) ta có kết luận Định lý 3.3.14 với điều kiện (i) *Trường hợp q  , từ công thức (3.3.9.5) ta suy (3.3.14.2) 145 *Trường hợp q  , ta có p  q '  , tương tự chứng minh Bổ đề 3.3.12, ta có Tk f   j n  nq  C sup  n     K , j  S j  k f ( x) h( x)dx L   h  j  p  2  C   S j  k f (.)   j  2 Lp     sup   n  M 2 q h ( x )    h   với sup lấy tất hàm h thỏa mãn h L p 2 '  1  p  '  p   q  p  2 p   ', Do q  suy r   2q  Lr  2q   r' q'   p 1  ' 2  p 1  ' 2  p  ' 2  ( x)  p 1  ' 2  dx      n1  Ta có r ,  2p  ' thỏa điều kiện (ii) định lý 3.3.7, từ suy cơng thức (3.3.12.3) thỏa Trong trường hợp này, cơng thức (3.3.14.2) suy từ (3.3.12.3) lý thuyết Littlewood-Paley có trọng *Trường hợp q  , tương tự chứng minh Bổ đề 3.3.12 ta có cơng thức (3.3.14.2) Áp dụng phương pháp đối ngẫu ta thu kết luận Định lý 3.3.14 với điều kiện (ii) Cuối cùng, theo kết luận điều kiện (i) (ii) với phương pháp chứng minh Định lý 2.2.11 ta có kết luận Định lý 3.3.14 với điều kiện (iii). Tóm tắt nhận xét chương 3: Chương luận văn trình bày các kết tính bị chặn tốn tử T ;T*  có tính chất yếu điều kiện Dini Các kết bao gồm: 1) Nếu  hàm lẻ thuộc L1  n 1  T ; T  *  M  loại  p, p  2) Nếu  hàm chặn thuộc lớp Hardy H T ; T* loại  p, p  146 3) Nếu  thuộc lớp Lq  n 1  với q  với hàm trọng  thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3.14 tốn tử T ; M  loại  p, p  có trọng 147 KẾT LUẬN 1) Trong chương 1, tác giả chủ yếu trình bày kiến thức chuẩn bị toán tử cực đại Hardy-Littlewood, tính bị chặn nó, định lý phân hoạch CalderónZygmund, định lý nội suy Marcinkiewicz, khơng gian Ap tính chất nó, tính bị chặn tốn tử cực đại Hardy không gian Lp với trọng 2) Trong chương tác giả tập trung nghiên cứu toán tử kì dị T tốn tử kì dị cực đại T* với nhân nhất, cụ thể tác giả nghiên cứu kết sau: a) Nếu  thỏa điều kiện L  Dini T loại  p, p  ,1  p   loại yếu 1,1 , T* loại  p, p  loại yếu 1,1 đồng thời thỏa mãn bất đẳng thức Cotlar b) Nếu  thỏa điều kiện L1  Dini T loại  p, p  ,1  p   loại yếu 1,1 c) Nếu  thỏa điều kiện Lq  Dini nhân  thuộc lớp Ap thích hợp T loại  p, p  ,1  p   loại yếu 1,1 không gian Lp với trọng  d) Tính bị chặn toán tử T T* với điều kiện  hàm bậc không, triệt tiêu n1 thỏa điều kiện Lq  dini 3) Trong chương luận văn trình bày các kết tính bị chặn tốn tử T ;T*  có tính chất yếu điều kiện Dini Các kết bao gồm: a) Nếu  hàm lẻ thuộc L1  n 1  T ; T  *  M  loại  p, p  b) Nếu  hàm chặn thuộc lớp Hardy H T ; T* loại  p, p  c) Nếu  thuộc lớp Lq  n 1  với q  với hàm trọng  thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3.14 tốn tử T ; M  loại  p, p  có trọng Tổng quan, luận văn trình bày chứng minh chặt chẽ số kết sau đây:  Trình bày số khái niệm; tính chất bị chặn Lp bị chặn Lp có trọng tốn tử tích phân kỳ dị với hạt nhân 148  Trình bày số khái niệm; tính chất bị chặn Lp bị chặn Lp có trọng tốn tử tích phân kỳ dị với hạt nhân thơ  Chứng minh chi tiết Bổ đề Định lý tốn tử tích phân kỳ dị Tuy nhiên áp lực thời gian hạn chế trình độ nên luận văn không tránh khỏi số sai lầm, trân trọng ý kiến đóng góp thầy bạn đọc nhằm làm luận văn trở nên hồn thiện Tơi hi vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho các đọc giả bạn sinh viên chuyên ngành toán 149 TÀI LIỆU THAM KHẢO Andersen K F., John R.T (1980), “Weighted inequalities for vector-valued maximal functions and singular integrals”, Studia Math, 69, pp.19-31 Calderón A.P., Zygmund A (1979), “A note on singular integrals”, Studia Math, 65, pp 77-87 Calderón A.P., Weiss M., Zygmund A (1967), “On the existence of singular integrals”, Proc Symposia Pure Math., Amer Math Soc., 10, pp 56-73 Christ M., Rubio de Francia J.-L (1988), “Weak type bounds for rough operators II”, Invent Math, pp 225-237 Christ M (1988), “Weak type (1,1) bounds for rough operators”, Inventiones mathematical, pp 19-42 Gerald B Folland (1999), Real Analysis -Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, USA Javier Duoandikoetxea (2000), Fourier Analysis, American mathematical Society, pp 25-114, 133-156 Katznelson Y (1968), Introduction to Harmonic Analysis, Third Corrected Edition, Jerusalem, pp 1-111, 132-155 Loukas Grafakos (2008), Classical Fourier analysis, Second Edition, Department of Mathematics, University of Missouri, Columbia, USA 10 Shanzhen Lu, Young Ding, Dunyan Yan (2007), Singular Integrals and Related Topics, World Scientific, Singapore ... Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THƠ 108 3.1 Phương pháp quay toán tử tích phân kỳ dị với hạt nhân lẻ thô 108 3.2 Tính bị chặn Lp tốn tử tích phân kỳ dị với hạt nhân lẻ thô 109 3.3... 2.TOÁN TỬ TÍCH PHÂN KÌ DỊ VỚI HẠT NHÂN THUẦN NHẤT 47 2.1 Một số tính chất tốn tử tích phân kì dị 47 2.2 Tính bị chặn Lp loại yếu 1,1 tốn tử tích phân kỳ dị với hạt nhân ... chủ đề trung tâm giải tích điều hịa đại lý thuyết tốn tử tích phân kì dị với hạt nhân hạt nhân thô, đặc biệt tính bị chặn loại (p,p) với p  bị chặn yếu 1,1 tích phân kì dị khơng gian Lp Lp có