Phương pháp bài toán ngược trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Khoa Toán  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy GVHD : Th.S-GV.C Nguyễn Văn Vĩnh SVTH : Lê Thị Ngọc Phượng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 5-2001 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Khoa Toán  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy GVHD : Th.S-GV.C Nguyễn Văn Vĩnh SVTH : Lê Thị Ngọc Phượng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 5-2001 MỤC LỤC A.Đặt vấn đề B CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN Cơ sở triết học: Cơ sở tâm lí học: 3.Cơ sở logic: CHƢƠNG II: CÁC PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC PHẦN I: PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁPBÀI TOÁN NGƢỢC ( Hình Học) 13 Cấu trúc định lý 13 Thiếp lập mệnh đề đảo ; 14 2.1.Thiết lập mệnh đề đảo sử dụng phép nghịch đảo chứng minh : 23 2.2 Thiết lập mệnh để đảo cách thay đổi phần giái thích: 25 2.3 Lập mệnh đề đảo việc lựa chọn khái niệm loại: 26 2.4 Lập mệnh để đảo việc tìm hệ quả: 29 3.Phƣơng pháp chứng minh mệnh để đảo 33 3.1.Phƣơng pháp sử dung định lý thuận để chứng minh đảo : 33 3.2.Phƣơng pháp cực hạn chứng minh toán ngƣợc: 35 4.Bài toán quỹ tích 38 Bài tập vận dụng phƣơng pháp toán ngƣợc 40 PHẦN II : PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC (Đại sốGiải Tích) 60 CHƢƠNG III: TỔ CHỨC DẠY HỌC BẰNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC (Qua số tiết học THCS) 85 Bài 1:HÌNH CHỮ NHẬT 85 Bài 2:Hằng Đẳng Thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 87 C.KẾT LUẬN 90 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 A ĐẶT VẤN ĐỀ (1) Trong giai đoạn nay, mối quan tâm giáo viên kiến thức tâm lí học dạy học đƣợc tăng lên đáng kể Điều dễ hiểu lẽ, hoàn thiện tay nghề giáo viên phụ thuộc vào việc ngƣời thầy sử dụng kiến thức tâm lí học dạy học nhƣ nào, mức độ Các khả hoàn thiện phƣơng pháp làm việc giáo viên hoàn toàn phụ thuộc vào kĩ điều khiển hợp lí hoạt động tƣ học sinh trình dạy học.Để tiến hành điều khiển hoạt động tƣ học sinh lẽ tất nhiên ngƣời thầy phải dựa kiến thức tâm lý học dạy học, tức dựa vào hệ thống tính quy luật đúc kết kiến thức tâm lí học, lí luận dạy học, phải dựa phƣơng pháp tƣơng hợp áp dụng hệ thống tính quy luật dạy học môn Toán "Phƣơng pháp toán ngƣợc" dạy học môn Toán trƣờng phổ thông giúp ngƣời thầy điều khiển hợp lí tích cực hóa hoạt động tƣ học sinh cách tiếp cận tốt nhằm đạt đƣợc mục đích đặt dạy học (2) Qua lần cải cách giáo dục nƣớc ta, thực tế phƣơng pháp giáo dục, đào tạo thay đổi So với thay đổi mục tiêu nội dung phƣơng pháp giáo dục thay đổi không nhiều lạc hậu so với giới Nhìn chung, việc dạy học làm cho học sinh thụ động, có biểu tích cực mà thụ động trình học tập Các phƣơng pháp dạy học truyền thống có đặt vấn đề giải vấn đề tích cực hóa trình nhận thức học sinh nhƣng đặt khuôn khổ cứng nhắc lối dạy học truyền thụ chiều, nặng vai trò thầy chƣa đánh giá mức vai trò hoạt động động, sáng tạo, tự thích ứng học sinh xã hội phát triển Việc đổi phƣơng pháp dạy học phải bổ khuyết mặt yếu nói trên, nâng trình độ phát triển đa dạng, phức hợp, toàn diện hoạt động dạy học theo yêu cầu ngày cao xã hội phát triển SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |1 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 (3) " Phƣơng pháp toán ngƣợc " đƣợc hiểu áp dụng cách đồng nhiệm vụ dạy học : a) Nghiên cứu cách hợp lí đồng thời phép toán thao tác, đảo ngƣợc nhƣ : - phép cộng - Phép trừ - Phép nhân - Phép chia - Phép nâng lên lũy thừa - phép khai - Nhóm số hạng vào ngoặc - Bỏ dấu ngoặc -Logarit hóa - Phép mũ hóa b) Trong trình dạy học môn Toán, điều quan trọng so sánh khái niệm đối lập xem xét chúng đồng thời Chẳng hạn: - Định lý thuận - Định lý đảo - Hàm số - Hàm số ngƣợc - Hàm số tuần hoàn - Hàm không tuần hoàn - Các hàm tang - Hàm giảm Nói chung toán thuận ngƣợc Ví du: Thuận : Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx +c Ngƣợc: Tìm tam thức bậc hai cho biết tọa độ điểm Parabol c) Có thể so sánh đối chiếu khái niệm loại khái niệm tƣơng tự, chẳng hạn: - Phƣơng trình - Bất phƣơng trình - Cấp số cộng - Cấp số nhân - Phép hợp tập hợp - Phép giao tập hợp - Phép hội mệnh đề - Phép tuyển mệnh đề - Đạo hàm - Tích phân hay so sánh hai cách phân chia tập hợp đối tƣợng theo dấu hiệu khác d) Có thể so sánh đối chiếu phƣơng pháp giải Toán với nhau, chẳng hạn nhƣ: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |2 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 - Giải hệ phƣơng trình = phƣơng pháp đồ thị - Giải hpt = pp giải tích - Chứng minh định lý giải toán -Chứng minh định lý phƣơng pháp phân tích giải toán pp tổng hợp - Chứng minh phƣơng pháp lập luận - Chứng minh = đồ thị Một kết quan trọng thu đƣợc việc áp dụng khía cạnh khác " Phƣơng pháp toán ngƣợc" tích cực hóa hoạt động học sinh tạo cho học sinh có khả tự phát biểu đƣợc định lý, lập đƣợc toán tìm cách giải chúng Việc sử dụng phƣơng pháp toán ngƣợc cho phép lôi cuốn, thúc đẩy hoạt động nhận thức học sinh Thực tiễn dạy học cho thấy: thay giải tập khác nhau, nên cho học sinh giải tập ngƣợc nhau; thay cho việc chứng minh định lý khác nên cho học sinh chứng minh định lý ngƣợc nhau, có tác dụng kích thích mạnh mẽ hoạt động tƣ học sinh Ngoài điều đó, việc học sinh nắm đƣợc thủ thuật lập toán ngƣợc mà giáo viên thực đƣợc cá nhân hóa việc dạy học, tiếp cận có phân loại học sinh giỏi, khá, trung bình Hoạt động học sinh mà mang đặc trƣng sáng tạo Học sinh biết tự đặt giả thuyết kiểm tra tính đắn nó, nhận biết khẳng định không cách dẫn đƣợc phản ví dụ: Với cách học tập nhƣ vậy, kiến thức học sinh trở nên sâu hơn, vững hơn, tƣ logic đƣợc phát triển Xuất phát từ tình hình trên, em chọn đề tài " Phƣơng pháp toán ngƣợc dạy học môn Toán trƣờng phổ thông " Nhiệm vụ đề tài gồm phần sau: 1.Trình bày sở lí luận " Phƣơng pháp toán ngƣợc " Nhiệm vụ đƣợc giải chƣơng luận vãn Trên sở lí luận ta đề phƣơng án áp dụng " Phƣơng pháp toán ngƣợc" chƣơng trình Toán phổ thông: Hình học, đại số giải tích Nhiệm vụ đƣợc giải chƣơng I luận văn Đề xuất việc tổ chức dạy học bằng" Phƣơng pháp toán ngƣợc " (PPBTN) vào số tiết học chƣơng trình Toán phổ thông Nhiệm vụ đƣợc giải chƣơng III luận văn ● Để đạt đƣợc yêu cầu đặt ra, phƣơng pháp nghiên cứu bao gồm: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |3 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Nghiên cứu cách có hệ thống tài liệu sở lí luận dạy học, sở triết học, tâm lí học logic học " PPBTN " Xem xét hệ thống tập chƣơng trình phổ thông nghiên cứu vấn đề lật ngƣợc lại, để xây dựng toán ngƣợc đào sâu tƣ học sinh Xem xét việc dạy học lí thuyết vận dụng " PPBTN " đề số tiết học dạy phƣơng pháp ● Trong xu hƣớng cải thiện tình hình giảng dạy học tập trƣờng phổ thông nay, em hy vọng khoa luận với phƣơng pháp dạy học phát huy tính sáng tạo học sinh đóng góp phần nhỏ vào công nâng cao chất lƣợng giáo dục đào tạo đất nƣớc SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |4 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 B CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN Cơ sở triết học: Trong tác phẩm " Bút kí Triết học",V.I.Lênin khẳng định " Hạt nhân phép biện chứng thống đấu tranh mặt đối lập " Sự khám phá chất đối lập vật tƣợng, đòi hỏi phải xem xét đồng thời phận mặt đối lập Nếu nhƣ phận mặt đôi lập không đƣợc nhìn nhận, xem xét đồng thời mà lại tách rời chắn mối liên quan chúng không đƣợc nhận thức sâu sắc, đầy đủ có sở xem xét đồng thời Cơ sở tâm lí học: a) Nhà tâm lí học ngƣời Bỉ, Jean Piaget, quan tâm nghiên cứu thao tác đảo ngƣợc Ông rút từ thực nghiệm " Hiệu ứng Piaget": Tuy theo mức độ phức tạp nhiệm vụ tƣ mà vai trò đảo ngƣợc không ngừng tăng lên Thực nghiệm Piaget: thực nghiệm đƣợc tiến hành trẻ em độ tuổi mẫu giáo Đầu tiên ông rót nƣớc từ bình A ( có chia vạch ) vào bình B rộng sau vào bình C hẹp hơn, lƣợng nƣớc rót vào bình nhƣ Câu hỏi đƣợc đặt : " Nƣớc bình B bình C, bình nhiều ?”  Trẻ em đa số cho rằng: nƣớc bình C nhiều SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |5 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Để cho trẻ thấy lƣợng nƣớc bình nhƣ nhau, Piaget lần lƣợt cho san nƣớc ngƣợc lại lần lƣợt từ bình B bình C vào bình A Lúc này, toàn em lại nói lƣợng nƣớc nhƣ Chính thao tác đảo ngƣợc làm trẻ thấy đƣợc nƣớc bình B bình C nhƣ nhau, xóa bỏ đƣợc ngộ nhận * Nhà sinh lý học thần kinh tiếng ngƣời Nga, Pavlốp, có nghiên cứu chất sinh lý học mối liên hệ thuận đảo tƣ Ông cho trung khu thần kinh liên hệ thống với trình kích thích tác động diễn chúng hƣớng thuận - ngƣợc Học thuyết Pavlốp phản xạ có điều kiện đƣợc vận dụng trình dạy học môn Toán Các quy tắc định nghĩa, khái niệm, chứng minh định lý, giải toán trình dạy học trở thành chuỗi phản xạ có điều kiện trở nên vững ngƣời học chúng đƣợc lặp lặp lại nhiều lần có hệ thống ổn định chiều thuận đảo Chính điều cho phép chống lại " tính ì" tƣ "Sự đối lập đan xen tác nhân kích thích tƣơng phản ảnh hƣởng tích cực đến trình tƣ duy" - Pavlốp b) Một liên hệ trình P1 P2 diễn nhận thức, trình thứ P1 diễn kéo theo xuất trình P2 đƣợc gọi liên tƣởng Chẳng hạn học sinh cấp I nhìn thấy bảng có toán: + = □ ( trình P1 ) Khi em đọc kết ( trình P2) Bởi trình P1 kéo theo xuất trình P2 học sinh nên ta có liên tƣởng ( P1, P2) ngƣời học Nếu em học sinh biết tách = + □ ta nói em học sinh có liên tƣởng đảo ngƣợc Việc chuyển từ phép cộng (6 + = 11) sang phép trừ ( 11-6 = 5) Việc chuyển từ phép nhân (4x3=12) sang phép chia (12:3 = 4) Việc chuyển từ định lý thuận sang định lý đảo dựa mối liên hệ thuận đảo ( liên tƣởng ) tƣ học sinh Nhƣ vậy, mối liên hệ ngƣợc có liên quan đến đặc trƣng tâm lý trình dạy học gắn liền với xuất liên tƣởng Khi xem xét, đánh giá kiện diễn trình dạy học, cần phải phân biệt phạm trù : logic tâm lí SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |6 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Liên tƣởng khái niệm tâm lí học, liên tƣởng xuất không xuất Còn tính đúng, sai mệnh đề lại khái niệm logic Nghệ thuật dạy học chỗ phải củng cố liên tƣởng cần thiết đắn, đồng thời sàng lọc liên tƣởng không cần thiết, không đắn c) Năng lực Toán học: Krutecxki, nhà tâm lí học ngƣời Nga sách " Tâm lí lực Toán học sinh " cho lực sau lực để nắm vững toán học: a.Năng lực khái quát hóa nhanh rộng tài liệu Toán học b.Năng lực cô đặc thu gọn nhanh trình suy luận hệ thống phép toán tƣơng ứng giải toán c.Năng lực chuyển đổi nhanh dễ dàng sang trình tƣ đảo ngƣợc nghiên cứu tài liệu toán học Chẳng hạn, học sinh biết chuyển nhanh từ việc giải toán số học phép toán tách rời sang việc giải toán cách vận dụng trực tiếp công thức xuất lực khái quát hóa, lực thu gọn trình suy luận Ba lực Toán nêu có liên quan chặt chẽ với trình học Toán Trong đó, lực chuyển đổi tƣ từ trình thuận sang trình đảo ngƣợc đƣợc coi yếu tố khởi đầu, xác định lực Toán nói chung học sinh Trên sở tâm lí học vừa nêu ta thấy dạy học môn Toán không vận dụng, phƣơng pháp toán ngƣợc Một vấn đề đƣợc nhìn nhận đồng thời mặt thuận đảo tính xác đảm bảo tránh tuyệt đối nghi ngờ, lƣỡng lự Mà điều quan trọng việc học Toán 3.Cơ sở logic: a) Hình vuông logic; Các định lý Toán học dù đƣợc phát biểu dƣới hình thức tách thành phần A B, đồng thời có cấu trúc logic mệnh đề kéo theo: A=>B Mệnh đề A đƣợc gọi giả thuyết Mệnh đề B đƣợc gọi kết luận Nếu gọi mệnh đề A => B (1) mệnh đề thuận thì: ● Mệnh đề : B => A gọi mệnh đề đảo mệnh đề (1) ● Mệnh đề: gọi mệnh đề phản mệnh đề (1) SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng |7 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Các nghiệm (2,-6),(-6,2),(-2,6),(6,-2) Giáo viên nhận xét với học sinh cặp (a,b) nghiệm cặp (b,a),(-a,-b),(b,-a) nghiệm Có thể đề toán ngƣợc cho học sinh lập hệ phƣơng trình mà nghiệm cặp (l,5),(5,l),(-l,-5),(-5,-l) Các hệ VD3: Giải hệ bất phƣơng trình Bài toán ngƣợc: Lập hệ bất phƣơng trình mà nghiệm [-1;3) Giải: Ta có khoảng cho nghiệm hệ bất phƣơng trình Các toán ngƣợc lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình đóng vai trò công cụ tâm lí giúp học sinh xóa bỏ số nghi ngờ, thiếu tin tƣởng, em thắc mắc phƣơng trình hệ lập nhƣ SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 77 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 14/ Dãy số: Xét nội dung SGK dãy số, cấp số cộng, nhân Ta gặp dạng tập : dãy đƣợc cho cấp số cộng theo số hạng, thứ n cho công thức truy hồi đòi hỏi học sinh tìm số số hạng dãy Không thấy xuất toán ngƣợc lại :từ số số hạng tìm công thức cho dãy hay công thức cho số hạng thứ n chuyển qua truy hồi ngƣợc lại Ta đƣa vào sau • Đầu tiên cho công thức cho số hạng thứ n dãy : a2 =2n+5, tìm công thức truy hồi ? Dãy :7,9,11,13,15 Gọi học sinh nhận xét mối liên hệ số hạng kề nhau: số hạng sau số hạng trƣớc đơn vị Do đó, ta có : an+1=an+2 (công thức truy hồi) • Cho số số hạng đầu tiên, tìm công thức truy hồi công thức số hạng thứ n dãy số a) 1,5,11,16,21,26, b) 2,10,50,250,1250, c) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6, d) 3,5,3,5,3,5, e) 1,2,3,5,8,13,21, (Phibônanxi) Giáo viên hƣớng dẫn cho học sinh trình tự nhƣ sau : -Đối với a,b,c giáo viên hƣớng dẫn phần công thức truy hồi dãy, việc dễ dàng a) an+1=an+5 b) an+1=5an c) an+1=an, a1=2, a2=4 d) an+2=an+1+an,ao=l,a1=2 Sau chuyển qua công thức số hạng thứ n a) an+1=an+5 => an=an-1+5=an-2+2.5=an-3+3.5= =a1+(n-l).5=l+(n-l)5=5n-4 Vậy an=5n-4 b) an+1=5an => an=5an-1=5.5an-2=53an-3= =5.5n-2a1=5.5n-2.2=2.5n-1 Vậy an=2.5n-1 c) Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét mối liên hệ số hạng :hơn đơn vị với số Nếu số hạng có thứ tự lẻ 1, số thứ tự chẵn đơn vị SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 78 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Do đó, ta có : an =3+(-l)n d) an+2 = an+1 + an, a0 , a1 = Phƣơng trình đặc trƣng : x2 – x-1 = Ta có : Vậy -Đối với câu c): tìm công thức số hạng thứ n trƣớc dễ dàng hơn: chuyển qua truy hồi : Khi học "cấp số cộng" : học sinh tìm tổng số hạng biết công thức số hạng thứ n Ví dụ : an=3n-4, tìm Sn => Ngƣợc : Cho Tìm công thức số hạng thứ n cấp số cộng Giải: Ta có : a1=S1=-l Mà • Khi học dãy số, ta gặp dạng tập chứng minh quy nạp công thức tổng số hạng dãy số Ví du : Chứng minh rằng: SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 79 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 => Ngƣợc: Ta yêu cầu học sinh tìm tổng dãy số Điều có lợi cho, giúp học sinh giải đƣợc thắc mắc lại có công thức tổng nhƣ Đa số áp đặt công thức kiểm tra quy nạp Giải: Lập công thức S1,S2,S3,S4 Xét hàm số :S(x)=l+x+x2+ +xn (1) Nhân x vào vế => x.S(x)=x+x2+x3 +xn+1 Trừ (2) cho (1) => (x-l).S(x) = xn+1 -1 Lấy đạo hàm vế: S(x)+S'(x)(x-l)=(n+l).xn (3) VớiS'(x)=l+2.x+ +n.xn-1 Lấy đạo hàm vế (3): 2S’(x)+S"(x).(x-l)=(n+l).xn-l Với S"(x)=1.2+2.3x+3.4x2+ +(n-l)nxn-2 Chọn x=l: 2S'(l)=n(n+l) 2.(1 +2++ +n0=n(n+1) (2) (4) => Si=l+2+ +n= Lấy đạo hàm vế (4): 3S"(x) +(x-l)S'"(x)=n(n+l)(n-l).xn-2 với S"'(x)=1.2.3+2.3.4x+ +(n-2)(n-l).n.xn-3 (5), chọn x=l: 3.S"(l)=(n-l)(n+l)n 3[1.2+2.3+ +(n-l)n]=(n-l)n(n+l) (5) S2=1.2+2.3+ +(n-l)n= (n-l)(n+l)n Xét p(x)=x.S'(x)=x+22x2+32.x3+ +n2xn p'(x)=lx+22x+32 x2+ ,+n2xn-1 p'0)=l+22+32+ +n2 (3) S(x)+p(x)-S'(x)=(n+l)xn Lấy đạo hàm vế: S'(x)+p'(x)-S"(x)=(n+l)nxn-l Chọn x=l: S'(l)+p'(l)-S"(l)=n(n+l) SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng (6) | 80 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 => S3 = 12+ 22 +32+42+…n2 = ( ) ( ) • Xét K(x)=x.p'(x)= x+22x2+32.x3+ +n2xn K'(x)=l+23x+33x2+ +n3xn-1 K'(l)=l+23+33+ +n3 Nhân vế (6) với x : x.S'(x)+x.p'(x)-x.S"(x)=(n+l)nxn Lấy đạo hàm vế :S'(x)+(x-l)S"(x)+K'(x)-x.S"'(x)n2(n+l).xn-1 Chọn x=l: S'(l)+K'(l)-.S'''(l)=n2(n+l) =>K'(1) = n2(n+l)-S'(l)+S''' (l) 15/Hàm số: Trong chƣơng trình Toán phổ thông, hàm số dạng toán vẽ đồ thị theo công thức hàm cho sẵn rộng rãi.Nhiệm vụ ngƣợc đóng vai trò quan trọng xác định thân hàm số theo đồ thị cho hay qua mô tả thỏa số điều kiện Ví du: Hãy xác định công thức hàm số đồ thị hình bên: ● (1): qua điểm (-1,0) (0,-3) Phƣơng trình tổng quát y = kx + b ( ) Ta có :{ < => { Vậy (1): y = -3x-3 ● (2): qua điểm (-2,0) (0,1) Tƣơng tự cách làm ta có: (2) có phƣơng trình y = 1/2x+1 ● (3): qua điểm (0,2) (3,0) có dạng: y = -1/2x + ● (4): qua điểm (4,0) (0,-2) có dạng: y =-1/2x +2 SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 81 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 • (5): qua điểm A(l,3)và vuông góc với (2): y=l/2x+1 Dạng tổng quát (5): y=kx+b (5) vuông góc với (2) nên k.(l/2)=-l => k=-2 => (5) :y=-2x+b (5) qua A(l,3) nên :3= -2.1+ b => b=5 Vậy (5) có dạng : y=-2x+5 • (6) : qua điểm B(2,-2)và song song với (1): y=-3x-3 (6) song song với (1), nên có hệ số góc => (6): y=-3+b (6) qua B(2,-2) nên :-2=-3.2+b => b=4 Vậy (6): y=-3x+4 Thực tế chứng tỏ học sinh đủ nắm vững cách có hiệu vấn đề khảo sát hàm số nhờ đạo hàm dạng đồ thị Tuy nhiên nói việc tìm hiểu sâu mối liên hệ đạo hàm với tính chất hàm không xảy Ta xét tập sau: tìm hàm có biểu diễn đồ thị hình vẽ bên Ta thấy hàm không cho cách cụ thể mà cho biết hoành độ cực trị khoảng cách đơn điệu Do x=l,x=2 đạo hàm 0, nên khai triển y' nhận nhân tử Mặt khác (-∞,1) hàm giảm nên : y'=-(x-l)(x-3) y'= -x2+4x-3 => y = - x3 + 2x2 – 3x + C Để học sinh không bở ngỡ, ta cho em làm số toán tìm hàm cho biết đạo hàm Ví dụ: y’ = x2 + => y = x3 + 5x +C y’ = 5x -1 => y = x2 – x + C y’ = => y = 4x + C • Sau đây, ta xét ví dụ khác: Tìm hàm số đƣợc biểu diễn qua đồ thị bên : Đạo hàm hàm có dạng SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 82 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 y’ = (x -2)(x-3)2 = x3 + 8x2 – 21x + 18 => y = - x4 + x3 - x2 + 18x + C ❖ Trong hình học giải tích không gian, dạng toán thuận đƣờng thẳng, mặt phẳng xác định pháp vectơ hay vectơ phƣơng Ví dụ: (d): => VTCP ⃗ = (3,1,-2) (α): 2x + 5y – z + =0 => VTCP ⃗ = (2,5,-1) (β): -x + 2y – z +11 =0 => VTCp ⃗ = (-1,2,-1) Tìm góc (α) (β): => góc (α) (β) mà Cos = √ Hoặc ta yêu cầu học sinh tính khoảng cách điểm đến đƣờng, mặt phẳng,hay khoảng cách đƣờng Các toán ngƣợc chúng yêu cầu lập phƣơng trình đƣờng hay mặt thỏa số điều kiện Ví dụ : 1) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(l,2,3) B(-l,-5,0) => Đƣờng thẳng qua A(,l,2,3) có VTCP ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-2, -7, -3) => Phƣơng trình : { 2) Lập phƣơng trình mặt phẳng qua gốc tọa độ song song với mặt phẳng (α) : x-4y+z+5=0 => mặt phẳng // (α) nên chung VTPT ⃗ (1,-4,1) qua O (0,0,0) nên có dạng : x4y+z=0 SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 83 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 3) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm A(1,0,0) cắt đƣờng thẳng (d1): (d2): { Giải: Đƣờng thẳng (d) cần tìm giao tuyến mặt phẳng (α) qua A chứa d1 (β) qua A chứa d2 ● (α) có VTPT { ⃗ c ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∀ ∈ Lấy ● (β) có VTPT { ⃗ c ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∀ ∈ Lấy Vậy (d): SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 84 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 CHƯƠNG III: TỔ CHỨC DẠY HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC (Qua số tiết học THCS) Bài 1: HÌNH CHỮ NHẬT -Nhiệm vụ thuận đƣợc thực sau vẽ hình định nghĩa hình chữ nhật, giáo viên yêu cầu học sinh tách tính chất hình chữ nhật (bằng nhật xét trực quan) kèm theo chứng minh -Sau giáo viên chuẩn bị tập để thực nhiệm vụ đảo, xác định mối liên hệ tính chất đƣợc tách tính chất hình bình hành hình chữ nhật Nhiêm vụ đảo :dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật -Mệnh đề thuận có cấu trúc :A=> B1B2 Bn -Mệnh đề ngƣợc có cấu trúc : B1B2 Bn =>A Tuy nhiên giả thiết dƣ thừa, nhiệm vụ đặt số B1B2 Bn tìm nhóm nhỏ suy đƣợc A Tiến hành nhƣ vậy, em phải suy nghĩ chế tác cho riêng định lí (có thể chia theo nhóm ) phản ví dụ để hủy điều chƣa Hoạt độngnày mang tính sáng tạo nhạy bén Một số tập khởi động: 1) Những tính chất số tình chất hình chữ nhật hình bình hành SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 85 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 2) Từ điều kiện suy ABCD hình bình hành,còn từ điều kiện suy ABCD hình chữ nhật 3) Tiền đề cần thêm vào để đƣợc ABCD hình chữ nhật 4) Tiền đề suy ABCD hình chữ nhật không? 5) Từ tiền đề suy mệnh đề mệnh đề nêu Giáo viên đặt số cụm A: 1,2,3,4,5,6,7,8,9; B:l,3,5; C:2,3,4; D:3,4,5,9; E:l,8 Hỏi học sinh có đủ điều kiện tạo hình chữ nhật không? Nếu không tìm phản ví dụ Phản ví dụ thể qua hình sau: (D) SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 86 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Nhƣ nhóm không đủ tạo ABCD hình chữ nhật Trong số tứ giác từ hình A đến hình E không tứ giác thỏa mãn tiền đề :(2,5),(3,8),(5,8),(1,4,8),(3,4,8) Còn biểu diễn 4-5 tứ giác không hợp lí Qua 15 phút giao nhiệm vụ mới, giáo viên gạch dƣới tính chất bảng trƣ tính chất 1,2,3,4,8 đề nghị học sinh tìm số nhóm tính chất đủ để chứng minh hình chữ nhật Các nhóm có thể: (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(1,3,8),(2,3,8),(2,4,8) Các nhóm :(2,3,4),(1,2,8),(1,4,8),(3,4,8) Bây giáo viên gọi đến học sinh lên bảng chứng minh đồng thời phát biểu định lí để nhận biết tứ giác hcn Ví Dụ: "Nếu tứ giác ABCD thỏa (với O giao điểm đƣờng chéo) tứ giác hình chữ nhật" Bài : Hằng Đẳng Thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * Nếu dạy phƣơng pháp thuận ta cho khai triển bình phƣơng tổng số a b bình phƣơng số thứ + lần tích số + bình phƣơng số thứ Nghĩa : (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 Các dạng tập đa số cho khai triển bình phƣơng tổng * Nếu tổ chức dạy phƣơng pháp ngƣợc ta đổi vị trí đẳng thức là: a2 + 2ab + b2 =(a + b)2 Chuyển tổng số hạng bình phƣơng tổng, tức nhóm số hạng vào ngoặc thay khai triển ngoặc theo toán thuận Nếu ta gặp tổng số hạng có dạng "Bình phƣơng số thứ + lần tích số thứ thứ + bình phƣơng số thứ " ta viết dƣới dạng "bình phƣơng tổng số " Nghĩa : a2 + 2ab + b2 =(a+b)2 (1) SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 87 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 a Xét ví dụ : Chuyển bình phƣơng tổng A=x2+10x+25 Ta thấy chƣa xuất giống dạng (1) nên ta thực bƣớc phân tích x2+2.x.5 + 52 Lúc ta chuyển đƣợc thành (x+5)2 b Xét ví dụ : Chuyển dạng bình phƣơng tổng B=a2-20ab3+100b6 Ta phân tích B = a2 + 2.a.(-10b3) +(10b3)2 = [a+(-10b3)]2 = (a-10b3)2 c Xét ví dụ : C = x2+6x+10 = x2+2.x.3 +32+l (tách 10 =32+l) = (x+3)2+l * Các dạng tập : Chuyển bình phƣơng tổng a.x2 +2xy+y2 b.l-2z+z2 c.64+16b+b2 Bổ sung vào * để đƣợc bình phƣơng tổng: a b2+20b+ * b 16x2+ 24xy + * c y2- * +49 d.* -42pq + 49q2 Tính : SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 88 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 a 372+ 2.37.13 + 132 b.31,82 - 2.31,8.21,8 +21,82 Rút gọn: Điền vào ?: a.(5x + ?)2= ?+? + 81 b.(4a + ? ) = ? -56a + ? c (? - 3)2 = 64a2 - ? - ? d ( ?- 10x)2=?-180 xy+ ? SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 89 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 C KẾT LUẬN Đối với ngƣời làm toán dạy học môn Toán luôn có câu hỏi đặt, :"Dạỵ học tốt môn toán gì? Làm để dạy tốt môn toán ? " Khóa luận "PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC " không mục đích "Phƣơng pháp toán ngƣợc" phƣơng pháp dạy học chƣa đƣợc áp dụng cách có hệ thống vào chƣơng trình phổ thông Theo em, l phƣơng pháp dạy học tích cực, phát huy óc suy luận logic tính sáng tạo ngƣời học.Nó đòi hỏi ngƣời học nhìn tổng quát sâu sắc lập luận chặt chẽ, ngƣời dạy tổ chức, đặt khéo léo công phu Mặc dù đƣợc quan tâm nhiều thầy hƣớng dẫn với nỗ lực cố gắng thân nhƣng phƣơng pháp mới, khóa luận chắn không tránh khỏi thiếu sót.Em kính mong góp ý,, xây dựng quý thầy cô để em hiểu rõ phƣơng pháp Em mong rằng, khóa luận đóng góp phần nhỏ công cải tiến nội dung phƣơng pháp giảng dạy nƣớc ta Em xin chân thành cảm ơn thầy NGUYỄN VĂN VĨNH tận tình quan tâm, giúp đỡ em suốt quãng thời gian thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn QUÝ THẦY CÔ BAN CHỦ NHIỆM KHOA TOÁN giảng dạy em năm học Đại học để em đạt đƣợc kết nhƣ ngày hôm Chân thành cảm ơn bạn khóa K23 động viên giúp đỡ thực khóa luận TP.Hồ Chí Minh tháng năm 2001 Ngƣời thực : Lê Thị Ngọc Phƣợng ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 Tài liệu tham khảo NGUYỄN VĂN VĨNH : Tài liệu giảng dạy môn Phƣơng pháp chuyên đề Phƣơng pháp giảng dạy NGUYỄN VĂN VĨNH: 23 Chuyên đề giải 1001 Bài toán sơ cấp NGUYỄN VĂN VĨNH : Một số vấn đề chƣơng trình , nội dung phƣơng pháp dạy học toán giải tích 12 HOÀNG CHUNG : Rèn luyện khả sáng tạo toán học trƣờng phổ thông HOÀNG CHÚNG-LÊ MỘNG NGỌC :Để học tốt Hình học 6.Số học (Tiếng Nga) Tuyển tập toán hình học sơ cấp NXBGD 1978 Thực hành giải toán sơ cấp NXBGD 1986 9.Toàn SGK phổ thông 10 số học NXBGD 1976 ll Đại số NXBGD 1980 [...]... CÁC PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC Nội dung giáo trình toán ở trƣờng phổ thông ở mức độ hoàn toàn cho phép sử dụng "phƣơng pháp bài toán ngƣợc" Chẳng hạn, trong hình học khái niệm định lí đảo đã đƣợc đƣa vào Ngoài điều đó trong sách giáo khoa đã có các bài tập phát biểu và chứng minh định lí, mệnh đề đảo một số bài toán Cùng với mệnh đề đảo của các mệnh đề đã cho, các học sinh đã gặp trong. .. các bài toán Trong mỗi trƣờng hợp cụ thể, giáo viên nên giải thích mục đích giáo pháp của bài toán ngƣợc Để học sinh nắm tốt hơn phƣơng pháp giải cần phải đặt cho học sinh các câu hỏi là ngƣợc với bài toán đã giải ở một mức độ xác định Trong ví dụ qua ta thấy phƣơng pháp các bài toán ngƣợc nhau không dẫn đến việc thay đổi đơn giản các giả thiết và kết luận của bài toán Xét ví du 2: Cho bài toán thuận:"Có... giải các bài tập giải tích và trong một số chủ đề khác Tất cả điều đó muốn nói: trong việc dạy học hình học, phƣơng pháp các bài tập đảo của nhau cần đƣợc chú ý đầy đủ Việc áp dụng phƣơng pháp vào các giờ học đại số và phần đầu giải tích cũng cho phép nắm tốt hơn các phƣơng pháp giải bài tập mặc dù có đặc thù, phƣơng pháp giải riêng Nhiệm vụ lập các bài toán là đảo của các bài toán đã cho, trong cách... có trong dữ kiện bài toán thuận SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 12 ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001 ● Thứ ba,hoạt động tƣ duy diễn ra tạo tiền đề thuận lợi và chuẩn bị về mặt tâm lí tốt cho học sinh trƣớc khi đi tới khái niệm "Định lí đảo" mà học sinh sẽ làm quen trong hình học PHẦN I: PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁPBÀI TOÁN NGƯỢC ( Hình Học) 1 Cấu trúc định lý Để tạo đƣợc bài toán ngƣợc với bài toán. .. các dạng ngƣợc của bài 2/57 là: Bài 5/98: Bài kiểm tra toán lớp 6A sau khi chấm đƣợc xếp thành ba loại, điểm tốt chiếm 25% tổng số bài, số bài điểm khá chiếm 2/3 tổng số bài, số bài loại trung bình là 4 bài Tim số học sinh của lớp 6A Bài 10/73:Sau khi cắt lấy 5/9 tấm vải, rồi lấy một/4 tấm vải thì còn mảnh dài 7m Hỏi cả tấm vải dài bao nhiêu mét? Qua trên ta thấy "phƣơng pháp bài toán ngƣợc"cũng có... lập bài toán đảo, nếu ta thay đổi hợp lí các giá trị của các đại lƣợng đã cho sẽ làm cho học sinh nhận thức tốt hơn lời giải các bài tập Ta có thể xem bài toán sau đây là đảo bài toán một: Bài toán lc: Từ một điểm theo hai hƣớng ngƣợc nhau có hai ôtô đi ra với vận tốc 70Km/h và 90Km/h Sau bao lâu khoảng cách giữa họ là 480Km? Việc lập một bài toán ngƣợc một cách hợp lí không phải đối với tất cả các bài. .. I Làm việc với các bài toán đảo là kinh nghiệm đầu tiên của học sinh khi bình luận (phê phán) toán học tự mình Rất tiếc thậm chí đến các lớp 4-5, khó phát hiện ra, dù chỉ là các nhận xét cho phƣơng pháp tiến bộ chỉ ra Để lập đƣợc bài toán đảo, ta đƣa giá trị của các đại lƣợng phải tìm vào phần giả thiết của bài toán, con coi một trong các đại lƣợng đã cho là ẩn Ví du 1: Cho bài toán thuận:" Từ cùng... không lập các bài toán Việc áp dụng chính các ví dụ đã mô tả đƣa học sinh vào hoạt động nhƣ bản thân học sinh " phát minh ra " một số định lý • Một dang hoạt động sau đây cũng khá thích thứ đối với học sinh : trong đó học sinh trao đổi với nhau các bài toán đã lập ra đƣợc Nhƣng ở các vị trí trống, không có các đối tƣợng hình học đã cho và quan hệ giữa chúng, việc lập các bài toán gây cho học sinh sự phức... theo đó học sinh sẽ lập các bài toán Ta xét ví dụ sau đây: Một số quan hệ sau đây có thể ra cho học sinh lớp 6-7-8 Qua hình vẽ Yêu cầu: Mỗi học sinh kiến tạo 1 bài tập chứng minh trong đó tiền đề và yêu cầu bài toán đƣợc lấy ra 1 số nào đó các quan hệ đã chỉ ra Điều quan trọng, để các bài toán không chứa các tiền đề thừa và kết luận đƣợc suy ra 1 cách hợp logic từ các dữ kiện đã cho Sau đó, bài toán đƣợc... đã cho Sau đó, bài toán đƣợc giao cho học sinh khác, học sinh này phân tích phƣơng pháp của mình ( các hoạt động ) khi lập bài tập và trên cơ sở đó cố gắng hiểu quá trình lập luận của bạn Nhƣ vậy học sinh chuyển từ 1 phƣơng pháp hoạt động tới bài toán đảo Hoạt động của học sinh khi đó mang đặc trƣng sáng tạo Với 5 quan hệ đã chỉ ra ở trên, có thể lập đƣợc các bài toán sau đây: GT l.AB=BC SVTH: Lê Thị ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Khoa Toán  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy GVHD... dạy học môn Toán "Phƣơng pháp toán ngƣợc" dạy học môn Toán trƣờng phổ thông giúp ngƣời thầy điều khiển hợp lí tích cực hóa hoạt động tƣ học sinh cách tiếp cận tốt nhằm đạt đƣợc mục đích đặt dạy. .. việc dạy học lí thuyết vận dụng " PPBTN " đề số tiết học dạy phƣơng pháp ● Trong xu hƣớng cải thiện tình hình giảng dạy học tập trƣờng phổ thông nay, em hy vọng khoa luận với phƣơng pháp dạy học