Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)(2)1 Bất đẳng thức CauChy cho hai số:
a b
1, , ,2 n
a a a
a+b 0, b
2
a ab Dấu xảy khi:
1 n n 2 n
a a a n a a a
2 Bất đẳng thức CauChy cho n số: Với n số không âm
(3)Bài toán: Chứng minh a 0,b 0,c 0 ,m n
Ta có: am n bm n cm n a bm n b cm n c am n
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số không âm
m n
a
và n số không âm bm n ta có:
( ) ( )
m n m n
m n m m n n m n ma nb a b m n ( )
m n m n
m n m n m n ma nb a b m n (1)
m n m n
(4)Tương tự: Ta có
(2)
m n m n
m n mb nc
b c m n
(3)
m n m n
m n mc na
c a m n
(5)Ví dụ 1: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
5 5
3 3 2
a b c
a b c
b c a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
5
2
2 2
a
ab a
b
5
2
2 2
b
bc b
c
5
2
2 2
c
ca c
(6)Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được:
5 5
2 2 3
2 2 2( ) (*)
a b c
ab bc ca a b c b c a
Mặt khác bất đẳng thức toán cho m = 1, n = ta có:
3 3 2 (**)
a b c ab bc ca
Cộng vế với vế (*) (**) ta có điều phải chứng
(7)Ví dụ 2: Với a 0,b 0,c 0 CMR: 5
3 3
a b c
a b c
bc ca ab
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
5
3 2
a
abc a
bc
5
3 2
b
bca b
ca
5
3 2
c
cab c
ab
(8)Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được:
5 5
3 3
3 2( ) (*)
a b c
abc a b c bc ca ab
Mặt khác:
3 3 3 (**)
a b c abc
Cộng vế với vế (*) (**) ta có điều phải chứng
(9)Ví dụ 3: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
5 5 3
3 3
a b c a b c
b c a b c a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
5 3
2
3 2 2 2
a a a a a
ab ab ab a
b b b b b
5 3
2
3 2
c c c c c
ca ca ca c
a a a a a
5 3
2
3 2 2 2
b b b b b
bc bc bc b
c c c c c
(10)Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được:
5 5 3
2 2
3 3 2( ) 2( ) (*)
a b c a b c
ab bc ca a b c b c a b c a
2 2
(a b c ) 2( ab bc ca ) (**)
Cộng vế với vế (*) (**) ta có điều phải chứng
minh
(11)Ví dụ 4: Với a 0,b 0, CMR:c
3 3
2 2
1
( )
2 2
a b c
a b c
a b b c c a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
3
2
9
( 2 ) 6 2
a
a a b a
a b
3
2
9
( )
b
b b c b b c
3
2
9
( )
2
c
c c a c
c a
(12)Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được:
3 3
2 2 2
9 ( ) 2( ) 6( ) (*)
2 2
a b c
a b c ab bc ca a b c a b b c c a
2 2
(a b c ) 2( ab bc ca ) (**)
Cộng vế với vế (*) (**) ta có điều phải chứng
minh
(13)Ví dụ 5: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
3 3
2 2
1
( )
4
a b c
a b c b c c a a b
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
8
( ) ( ) 6
( )
a
b c b c a
b c
3
8
( ) ( ) ( )
b
c a c a b c a
3
8
( ) ( )
( )
c
a b a b c
a b
Cộng vế với vế ta ĐFCM
(14)0, 0, 0 CMR:
a b c
3 3 1
( )
2
a b c
a b c b c a c a b a b c Ví dụ 6: Với
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
3
4
2 ( ) 6
( )
a
b c a a
b c a
3
4
2 ( ) ( )
b
c a b b c a b
3
4
2 ( ) 6
( )
c
a b c c
(15)Cộng vế với vế ta được:
3 3
4 4( ) 6( )
( ) ( ) ( )
a b c
a b c a b c b c a c a b a b c
(16)Ví dụ 7: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
4 4
2 2
a b c
a b c
bc ca ab
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
4
2 4
a
b c c a
bc
4
2 4
b
c a a b ca
4
2 4
c
a b b c ab
Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh
(17)Ví dụ 8: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
3 3 1
( )
4
a b c
a b c a b b c b c c a c a a b
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
3
8
( ) ( ) 6
( )( )
a
a b b c a
a b b c
3
8
( ) ( ) 6
( )( )
a
b c c a b
b c c a
3
8
( ) ( ) ( )( )
a
c a a b c c a a b
(18)Ví dụ 9: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
2 2 3
9
a b c
b c a a b c
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
3
2 3
b
a a b
a
3
2 3
c
b b c
b
3
2 3
a
c c c
(19)3 3 2
b c a
a b c
a b c (Bổ đề)
Áp dụng bổ đề cho biểu thức:
2 2 3 3 3
3 3
2 2
1 1 1
1 1 1
a b c b c a
b c a
a b c
3 3
2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
b c a
b c a
a b c
(20)1 1 9
b c a a b c
Ta chứng minh:
BĐT chứng minh
(21)Ví dụ 10: Nếu a 0,b 0,c 0, a b c 3abc
3( 2 ) 3( 2 ) 3( 2 )
bc ac ab
a c b b a c c b a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
3 3 9
( 2 ) 6 2
9
( 2 ) 6 2
9
( 2 ) 6 2
a
a b c a
b c
b
b c a b
c a
c
c a b c
(22)3 3
2 2
3 3
2 2
9 9 9
3( )
2 2 2
1
( )
2 2 2 3
a b c
a b c
b c c a a b
a b c
a b c
b c c a a b
3 3
3 3
2 2
1 1
1 2 ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1
3 3
bc ac ab a b a
a c b b a c c b a
b c c a a b
a b c
a b c ab bc ca abc
(23)