Bất đẳng thức cauchy một số cách chứng minh và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Khóa luận đƣợc hồn thành Khoa: Khoa học Tự Nhiên, Trƣờng Đại học Hồng Đức – Thanh Hóa dƣới hƣớng dẫn thầy Lê Quang Huy Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới dạy thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp K17B – ĐHSP Toán (2014 – 2018) trƣờng Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa giúp đỡ tơi q trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phận quản lý đào tạo đại học thuộc phịng Quản lí - Đào tạo, môn Đại Số Khoa: Khoa học Tự nhiên trƣờng đại học Hồng Đức giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Mặc dù cố gắng, song khóa luận khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc ý kiến góp ý thầy giáo, giáo để khóa luận đƣợc hồn thiện Thanh Hóa, Tháng 05 năm 2018 Tống Thị Hồi i MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu NỘI DUNG CHƢƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Bất đẳng thức Cauchy cho số Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3 Bất đẳng thức Cauchy cho n số 4 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 19 CHƢƠNG II: CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 20 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức 20 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức kinh điển 20 1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức hình học 29 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm cực trị 38 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình 47 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 ii MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Cơ sở khoa học Nhƣ biết, thông qua việc học tốn học sinh nắm vững đƣợc nội dung toán học phƣơng pháp giải toán từ em vận dụng vào mơn học khác môn khoa học tự nhiên Hơn toán học sở nghành khoa học khác Chính thế, tốn học có vai trị quan trọng trƣờng phổ thơng địi hỏi ngƣời thầy lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo phƣơng pháp dạy học giúp học sinh học tốt giải toán cách hiệu Trong chƣơng trình tốn học phổ thơng, vấn đề bất đẳng thức đƣợc xem nội dung hóc búa Khi nghiên cứu, tìm hiểu học tập nội dung hầu hết e ngại khơng thật cảm thấy thích thú với Tuy nhiên, toán bất đẳng thức lại tốn hầu nhƣ góp mặt đầy đủ kì thi học sinh giỏi nhƣ kì thi tuyển sinh đại học Bất đẳng thức Cauchy nội dung quan trọng chƣơng trình tốn học đại số Việc nắm vững bất đẳng thức Cauchy ứng dụng giúp học sinh học tốt môn tốn mà cịn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều mơn khác nhƣ: Vật lí, Tin học, Hóa học, Đặc biệt hỗ trợ tƣ cho học sinh Những vấn đề đặt cho giáo viên giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung nắm vững bất đẳng thức Cauchy nói riêng 1.2 Cơ sở thực tiễn Chủ đề “Bất đẳng thức Cauchy” có nhiều ứng dụng đƣợc sử dụng phổ biến để chứng minh bất đẳng thức, đánh giá biểu thức từ giải nhiều tốn khác nhau, chủ đề hay, chủ chốt chƣơng trình Tốn đại số ngƣời dạy ngƣời học Mục đích nghiên cứu Bất đẳng thức nội dung hay nhƣng khó tốn học Nó thu hút quan tâm nghiêm cứu nhiều nhà toán học lớn, từ nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi nhà Toán học tiếng đƣợc đời nhƣ bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Bernoulli, … Trong bật mà khơng thể nhắc đến, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức đơn giản, gần gũi nhƣng lại bất đằng thức mạnh có ứng dụng rộng rãi Toán học nhƣ nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác Một vấn đề thƣờng gặp đại số làm cho học sinh lúng túng tốn bất đẳng thức đại số nhƣ “bất đẳng thức Cauchy”, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Bernoulli Thông thƣờng tốn khó, phần quan trọng đại số kiến thức bất đẳng thức làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu đề tài 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu - Bất đẳng thức Cauchy - Một số cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Các ứng dụng bất đẳng thức Cauchy 3.2 Phạm vi nghiên cứu Một số dạng tốn điển hình sử sụng bất đẳng thức Cauchy để giải nằm chƣơng trình Trung học phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu - Tóm tắt số kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Nghiên cứu số cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Thông qua ứng dụng bất đẳng thức Cauchy để thấy đƣợc tầm quan trọng bất đẳng thức Cauchy việc giải tốn đại số phổ thơng Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu lí luận - Phƣơng pháp quan sát - Phƣơng pháp dạy học đánh giá giáo dục Toán học NỘI DUNG CHƢƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Bất đẳng thức Cauchy cho số Định lí 1: Cho hai số thực khơng âm a b ta có ab  ab Dấu “=” xảy a  b Chứng minh: Bằng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng ta có: ab ab  ab     ab 2    a  b  2ab  4ab   a  b   Bất đẳng thức hiển nhiên a  0, b  Dấu "=" xảy a  b Bất đẳng thức Cauchy cho ba số Định lí 2: Với ba số khơng âm a, b c ta có abc  abc Dấu "=" xảy a  b  c Chứng minh:  Ta sử dụng Bất đẳng thức cho hai cặp số không âm  a, b  c, abc ta đƣợc a  b  c  abc  ab  c abc   4   ab c abc   abc   a  b  c  abc abc   abc Dấu "=" xảy a  b  c  Bất đẳng thức Cauchy cho n số Định lí: Với n số không âm a1, a2, , an  n   , ta có a1  a2   an n  a1a2 an n (1) Dấu "=" xảy a1  a2   an Chứng minh: Cách 1: Bằng phƣơng pháp qui nạp Ta có: Bất đẳng thức (1) với n = (Bất đẳng thức Cauchy cho số không âm) Ta giả sử bất đẳng thức (1) với n = k,  k   Ta cần phải chứng minh bất đẳng thức (1) với n = k + 1, thật vậy: Khơng tính tổng qt ta giả sử a1  a2   ak  ak 1  ak 1  a1  a2   ak  x0 k  y  cho ak 1  x  y Theo giả thiết qui nạp, ta có: x k  a1a2 ak k 1 k 1 k 1 y   a  a   ak  ak 1   kx  x  y     x    k 1 k 1  k 1     y  x k 1   k  1 x k  x k 1  x k y  x k  x  y   a1a2 ak ak 1 k 1 a  a   ak  ak 1 k 1   a1a2 ak ak 1 k 1 Dấu "=" xảy a1  a2   an Vậy bất đẳng thức (1) xảy n ¥ * Cách 2: Trƣớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy n  2k k  1, 2, Thật vậy, với k = (tức n = 2), bất đẳng thức Cauchy hiển nhiên dấu xảy  a1  a2 Giả sử bất đẳng thức Cauchy với k = p (tức n = p ), tức ta có: a1  a2   a2 p p  p a1a2 a2 p Và dấu xảy khi: a1  a2   a2 p Xét k  p  (tức n  p 1 ) Đặt A  a1  a2   a2 p B  a2 p 1  a2 p    a2 p 1 Khi A B tổng p số hạng khơng âm, nên theo giả thiết quy nạp ta có A 2p  a1a2 a2 p 2p (1) B 2p  a2 p 1 a2 p  a2 p 1 2p (2) Dấu “=” (1) xảy khi: a1  a2   a2 p Dấu “=” (2) xảy khi: a2 p 1  a2 p    a2 p 1 Cách 3: Đặt T  a1  a2   an Khi bất đẳng thức Cauchy tƣơng đƣơng với n bất đẳng thức sau T n  a1a2 an (5) Nếu a1  a2   an (5) trở thành đẳng thức (do T n  a1a2 an  a n ) a giá trị chung a1, a2, …, an Nếu a1, a2, …, an khơng tất cả, phải có bất đẳng thức thực T n  a1a2 an (6) Ta chứng minh (6) nhƣ sau: a a  - Với n = 2, tức a1  a2 T     a1a2 Vậy (6)   n  - Giả sử (6) với n  k  , tức là: T k 1  a1a2 ak 1 (7) Ở a1, a2, …, ak-1 không đồng thời có trung bình cộng T - Xét n  k giả sử a1, a2, …, ak không đồng thời có trung bình cộng T Khi dĩ nhiên phải có số lớn T số bé T Khơng giảm tổng qt ta giả sử a1  T  a2  T  a1  a2  T    T  a1  a2   T  a1a2  a1  a2  T  a1a2  (do T > 0) T Xét k – số không âm sau đây: a3 , a4 , , ak ,  a1  a2  T  Rõ ràng k – số khơng âm Chỉ có hai khả xảy Nếu k – số không âm tất cả, theo giả thiết quy nạp ta có k 1  a3  a4   ak   a1  a2  T     k 1   a a a a a  T k 1  a3a4 ak (a1  a2  T )  k T  T k  a1a2 ak Vậy (6) với n = k Nếu k – số tất cả, tức a3  a4   ak  a1  a2  T    a1  a2  2  a1     , a2     (vì a1  T  a2 ) Tk k ,   a1a2 ak  a k 2     hiển nhiên T k  a1a2 ak Vậy (6) n = k Theo nguyên lí quy nạp ta suy điều phải chứng minh Bất đẳng thức Cauchy chứng minh hoàn toàn Cách 4: Đặt An  a1  a2   an Bn  n a1a2 an n Rõ ràng với n = 1, hiển nhiên ta có An  Bn Giả sử bất đẳng thức đến n = k, tức An  Bn Khi n = k + 1, ta đặt : A  ak 1   k  1 Ak 1 k Theo giả thiết quy nạp (áp dụng n = k) ta có A  k ak 1  Akk11 đặt B  k ak 1  Akk11 (*) Chú ý rằng, ta có Ak 1  a1  a2   ak  ak 1 k 1 Hay Ak 1  kAk  kA  (k  1) Ak 1 k 1   k  1  k  1 Ak 1  kAk  kA  Ak 1  Ak  A Theo giả thiết quy nạp Ak  Bk theo (*) A  B Vậy suy Ak 1  Bk B (**) Ta có Bk B  k a1a2 ak k ak 1 Akk11  k a1a2 ak ak 1 Akk11  k Bkk11 Akk11 Thay vào (**) ta đƣợc Ak 1  Bkk11  Akk11 k Hay Ak2k1  Bkk11  Akk11  Akk11  Bkk11  Ak 1  Bk 1 Vậy bất đẳng thức n  k  Theo nguyên lí quy nạp ta suy điều phải chứng minh Cách 5: Đặt An Bn nhƣ cách trƣớc, ta chứng minh quy nạp (giả sử đến n = k) Xét n = k +   Xét n = k + Do vai trị bình đẳng i  1, k  nên giả sử ak 1  max a1, a2 , , ak 1 Ta có Ak 1    a1  a2   ak   ak 1  kAk  ak 1 k 1 k 1  Vì ak 1  a j j  1, k  kak 1  a1  a2   ak  ak 1   Akk11 kAk  Ak  b b  Ak  k 1 k 1 b     Ak   k 1  k 1 Theo nhị thức Newton ta suy Akk11  Bkk ak 1  a1a2 ak ak 1  Bkk11  Ak 1  Bk 1 Vậy bất đẳng thức n = k + suy điều phải chứng minh Cách 6: Vẫn giữ nguyên kí hiệu nhƣ cách sử dụng phép quy nạp Giả thiết quy nạp bất đẳng thức Cauchy đến n = k, tức ta có Ak  Bk (1) Áp dụng giả thiết quy nạp với k số ta có ak 1  (k  1) Bk 1 k  ak 1 k (2) Cộng vế (1) (2), ta có: a1  a2   ak  ak 1  (k  1) Bk 1  Bk  k ak Bkk11 k (3) A  4.2 = ( dấu “=” xảy  x  16  x 2) x3 Vậy A = x = Bài 5: (Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho) Cho  x  , tìm GTNN A= 9x  2 x x Lời giải A= 9x 2 x 9x  x  1  1  1  2 x x 2 x x Dấu “=” xảy 9x 2 x  x 2 x x Vậy A =  x   Trong cách giải ta tách nghịch đảo với 2 x 2 x  Hạng tử thành tổng x x x x nên vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta đƣợc tích 2 x chúng số Cách 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho Bài : Cho x, y, z  thoả mãn x  y  z  x2 y2 z2   Tìm GTNN P = yz zx x y Lời giải Vì x, y, z  ta có x2 yz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy số dƣơng ta đƣợc yz 41 x2 yz x2 y  z x  2    x yz yz (1) Tƣơng tự ta có y2 xz  y xz (2) z2 x y  z x y (3) Cộng 1      3 ta đƣợc  x2 y2 z2  x  y  z    x y z    yz zx x y x yz  P  x  y  z  1 Dấu “=” xảy x  y  z  Vậy P =  x  y  z  yz x2 Nhận xét: Ta thêm vào hạng tử thứ có đề bài, để yz vận dụng bất đẳng thức Cauchy khử đƣợc (y + z) Cũng nhƣ hạng tử lại đề Dấu đẳng thức xảy đồng thời (1), (2), (3)  x  y  z  x2 y2 z2 ; ; Nếu ta lần lƣợt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vào ta yz xz x y khử đƣợc (y + z), (x + z), (x + y) nhƣng điều quan trọng khơng tìm đƣợc giá trị x, y, z để dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, khơng tìm đƣợc GTNN P Áp dụng cách với việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ví dụ khác nhƣ sau Bài 7: Cho a, b, c > thoả mãn: a + b + c = 42     Tìm GTLN P = 1  1  1    a  b  c  Phân tích: a, b, c >  abc  1 3 3 abc Do khai triển P ƣớc lƣợng theo bất đẳng thức Cauchy Lời giải Cách 1: P 1 1 1 1       a b c ab bc ac abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dƣơng ta có a  b  c  3 abc   3 abc  abc  33 (1) Mặt khác 1      33     27 ab ac bc  abc  (2) 1 1    33  32 a b c abc (1) + (2) ta có P   32  27  27  64 Vậy P = 64 Cách 2: a 1 b 1 c 1   a  1 b  1 c  1 a b c abc P  a  a  b  c  b  a  b  c  c  a  b  c  abc 43 4 4 P a b c  43  64 abc P Tổng quát: Cho S = a + b + c     Tìm GTLN P = 1  1  1    a  b  c  43 Bài 8: Tìm GTLN B = x 1  x y2 y Lời giải Ta có 1.( x  1)  x  1 x 1    x x x 2. y    y  y2     y y y 2 Vậy max B = x 1  x  2 2     4 y   y  Bài 9: Cho số dƣơng x, y có x + y = 1      Tìm GTNN B =     x  y  Lời giải Ta có    B  1  1     y  xy  x  C S   x  y   xy  2 8 xy  B9 Vậy B =  x  y  Bài 10: Cho x, y, z > thoả mãn 1   2 1 x 1 y 1 z Tìm GTNN P = xyz Lời giải Ta có  1    y z  1   2    1  1 x  1 y   1 z  1 y 1 z 44 yz 1  y 1  z  Tƣơng tự 2 1 y zx 1  x 1  z  2 1 z xy 1  x 1  y   P  xyz  Vậy max P = 1 x yz Bài 11 : Cho M  3x2 – x  y – y  x  Tính giá trị M biết x, y số thoả mãn x.y = biểu thức |x + y| đạt GTNN Lời giải Ta có C S  x  y   xy   x  y  2  xy   Min |x + y| = x = y,  x y 2 Khi x = y = x = y = - + Khi x = y = M = + Khi x = y = - M = 17 Bài 12: Cho số thực không âm a1, …, a5 thoả mãn: a1 + … + a5 =1 Tìm GTLN A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Lời giải Ta có A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5  (a1 + a3 + a5)(a2 + a4)  a1  a3  a5   a2  a4    a1  a3  a5   a2  a4  1      a1  a3  a5   a2  a4  2  A 45  1 a1  a2  Vậy max A =  a1  a3  a5  a2  a4     a3  a4  a5  Bài 13: Cho a, b > Tìm GTNN A =  x  a  x  b  x Lời giải Ta có  x  a  x  b   x A x  ax  bx  ab ab ab x x x  A  a  b  ab  MinA  a  b  ab Dấu “=” xảy x  ab  x  ab x Bài 14: Tìm GTNN hàm y =  với < x < 1 x x Lời giải Ta có y= 2  2x  2x  x  x    1 x x 1 x x  3   x  1 2x  x 2x  x   3  3 2 1 x x 1 x x Dấu “=” xảy 2x  x   x  1 1 x x Bài 15: Cho a, b > cho trƣớc Các số x, y > thay đổi cho a b   x y Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN Tìm S theo a, b Lời giải Ta có a b a b bx y    S   x  y     a  b   x y y x x y 46 ( x > 0)  S  ab  bx ay  a  b  ab y x  S  a  b  ab  Mà ay bx  x y  a b  x  a  ab  1  x y   y  b  ab x  16 x3  56 x  80 x  356 x2  x  Bài 16: Tìm GTNN P = Lời giải Ta có P= x  16 x3  56 x  80 x  356 x2  x    x  x  5  CS 256 64  x2  2x  Suy P = 64  x = x = - 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình Bài 1: Giải phƣơng trình sau:  x10 y10  16     x  y16   x y x   y    10 Lời giải Điều kiện x, y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dƣơng, ta có x10 y10 x10 y10  11  x2 y 2 2 y x x y  x10 y10        x y x  y  Và 47 x16  y16    4 x16 y16  x y  x10 y10        x16  y16   x y x  y   x10 y10  16      x  y16   x y  10 x   y   Dấu "=" xảy x2  y   x  y  Vậy phƣơng trình cho có nghiệm (x, y) (1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1) Bài 2: Giải phƣơng trinh: x4   x4   x4  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có x4   x2 (1) Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có  a  b 2   a  b   a  b   a  b2  Dấu "=" xảy a  b  Trở lại toán, áp dụng bất đẳng thức ta có     x4   x4   4 x4   x4      x4   x4   x2 (2) Từ (1) (2) ta có, Dấu "=" xảy  x   x   4  2 x   x  Vậy phƣơng trình cho vơ nghiệm Bài 3: Giải phƣơng trình 27 x  24 x  28 27 1 x6 Lời giải 48 Ta có 27 x  24 x   3 x   28 1  x  2    39 x   (1) Điều kiện x   y  Khi (1) trở thành 24 y2 3y y2 3y  1 4  1  6y 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 6y  6 y y2 4   2y   y3  y  6        y    0 3   Ta lại có  y    nên y  Từ x  y4  thỏa mãn điều kiện ban đầu 9 Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x  Bài 4: Giải phƣơng trình: 13 x2  x4  x2  x4  16 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  1 x x     x2  x2  3x  52  39 x  13 x  x  4 (1) Tƣơng tự:  9x   x 2  13x   49 39 x  12 9 x  x  4 (2) Cộng vế theo vế (1) (2) ta có: 13 x2  x4  x2  x4  16    4  x  x 2  Dấu "=" xảy khi:  x 2 9 x   x  Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x    x3 y  Bài 5: Giải hệ phƣơng trình:  3x  y  Lời giải Giả thiết x0 , y0 nghiệm hệ phƣơng trình cho  x03 y0   3x0  y0  (1) (2) Từ (1) (2) suy x0  0; y0  Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có x0  x0  x0  x0  x0 y0 Vậy từ (1), (2) ta có:  (3) Vì (3) khơng đúng, giả thiết hệ có nghiệm sai Do đó, hệ cho vô nghiệm x  y  z   Bài 6: Cho hệ phƣơng trình:  xy  yz  zx  m  xuz  m  Hãy xác định tham số m để hệ có nghiệm dƣơng 50 Lời giải Điều kiện cần: Giả sử hệ thỏa mãn yêu cầu đề Gọi  x0 , y0 , z0  nghiệm dƣơng tùy ý hệ, x0  0, y0  0, z0  Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có  x0m  y0  z0  33 x0 y0 z0  33 m m 27 (1) Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có m  x0 y0  y0 z0  z0 x0  3 x02 y02 z02  3 m2  m3  27m2 Và m   m  27 Từ (1) (2) ta suy m  (2) 27 Điều kiện đủ: Giả sử m  Khi hệ cho có dạng 27  z  y  z     xy  yz  zx  27    xyz  27 1 1 Dễ dàng thất hệ có nghiệm dƣơng  , ,  3 3 Vậy m  giá trị cần tìm 27 2  x  y  Bài 7: Giải hệ phƣơng trình:   125 y  125 y  15  51 Lời giải Hệ phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với   x2   y  x2  y   x2   y     15   15   y  y  y   y x   125 125    y x  4.3  55  (1)  (2) 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm y , y , y , x , x ta có: 2    2 5 y x  x  y   y x  5 (3) Kết hợp (2) (3) bất đẳng thức (3) lúc trở thành y  x Kết hợp với (1), ta có x2  2 10 x   x2   x   5 Do đó: y  15 (vì y  )  y 5  10 15  , Vậy hệ phƣơng trình cho có hai nghiệm (x, y)   5     10 15  ,   5   y  x   xy   y x Bài 8: Giải hệ phƣơng trình:   2010  y 2010   x Lời giải Điều kiện: x, y > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 52  xy 2007 xy  x y   xy  xy  16 y x (1) Và:  xy 2007  x2010  y 2010  xy  xy  16 (2) Từ (1) (2), ta có xy  16 Đẳng thức xảy x  y  16 Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm (x, y)   16, 16 Bài 9: Giải hệ phƣơng trình:  xyz   3  x  y  z  x  y  z  x, y, z   Lời giải Với x, y, z > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x3  y3  z   xyz      Suy ra: x3  y3  z   x3  y3  z  x3  y3  z  Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x3    x  x   x Tƣơng tự, ta có y3   y z   3z Suy x3  y3  z  x  y  z Dấu "=" xảy khi: x  y  z  Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm (1; 1; 1) 53 KẾT LUẬN Sau trình học tập nghiên cứu, với hƣớng dẫn tận tình thầy giáo Lê Quang Huy, khóa luận đƣợc hồn thành đạt đƣợc số kết sau: - Trình bày nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Trình bày số ứng dụng quan trọng bất đẳng thức Cauchy - Sƣu tầm giải chi tiết dạng tập ứng dụng bất đẳng thức Cauchy Qua đây, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Lê Quang Huy thầy cô giáo Bộ môn Đại số - Trƣờng Đại học Hồng Đức hết lịng giúp đỡ em q trình học tập hồn thành khóa luận Đây bƣớc đầu tập dƣợt nghiên cứu khoa học, thời gian kinh nghiệm thân cịn hạn chế nên nội dung khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong đƣợc góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO NGUYỄN VĂN DŨNG – Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2016 NGUYỄN ĐỨC ĐỒNG – 23 phương pháp chuyên đề bất đẳng thức toán cực trị lượng giác NXB Trẻ, 1999 PHAN HUY KHẢI – 10000 toán sơ cấp bất đẳng thức NXB Hà Nội, 1988 TRẦN PHƢƠNG - Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức NXB TPHCM, 2010 TRẦN PHƢƠNG – Những viên kim cương bất đẳng thức toán học NXB Tri thức, 2011 ĐOÀN QUỲNH – SGK Đại số 10 NXB Giáo Dục, 2010 55