Tích phân k dạng vi phân và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI LONG TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI LONG TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành : HÌNH HỌC – TƠ PƠ Mã số : 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 18 §1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1 Định nghĩa 1.2 Ánh xạ khả vi 1.3 Đa tạp 1.4 Trường véc tơ 1.5 Dạng vi phân đa tạp khả vi §2 ĐA TẠP RIEMANN HAI CHIỀU 18 2.1 Đa tạp hai chiều 11 2.2 Đa tạp Rieman hai chiều 14 n 2.3 Cung R 15 2.4 Độ cong trắc địa 17 2.5 Cung trắc địa đa tạp Riemann hai chiều 17 2.6 Phương trình cung trắc địa 18 CHƢƠNG II TÍCH PHÂN k- DẠNG VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 39 §1 Tích phân k-dạng vi phân đa tạp khả vi 25 1.1 Tích phân đường dạng vi phân bậc 21 1.2 Tích phân mặt - dạng vi phân 23 1.3 Tích phân k – dạng vi phân 25 §2 DẠNG THỂ TÍCH, TÍCH PHÂN DẠNG THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 32 2.1 Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích 26 2.2 Một số ứng dụng 32 §3 ĐỊNH LÝ GAUSS-BONET 39 3.1 Định lý Gaus-Bonet 35 3.2 Nhận xét 35 3.3 Đặc trưng Euler đa tạp 36 3.4 Một số ứng dụng 39 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu phép lấy tích phân dạng vi phân thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Phép lấy tích phân dạng vi phân trình bày tài liệu Hình học vi phân Đồn Quỳnh, tích phân dạng Cartan số tài liệu khác Áp dụng tích phân dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính diện tích mặt tổng qt thể tích k-chiều Ngồi ra, phép lấy tích phân dạng vi phân cịn rút số tính chất hình đa tạp Riemman Chính sở nghiên cứu tích phân k - dạng vi phân luận văn xây dựng số ứng dụng tích phân k - dạng vi phân, cụ thể dùng tích phân dạng thể tích để tính diện tích mặt, thể tích hình số ứng dụng định lý Gauss -Bonet Luận văn có bố cục sau: Chƣơng I Kiến thức sở §1 Giới thiệu về: Đa tạp khả vi, Ánh xạ khả vi, Đa tạp con, trường véc tơ, dạng vi phân §2 Dành cho việc nghiên cứu về: Đa tạp Rimman hai chiều, độ cong trắc địa, cung trắc địa đa tạp Rimman hai chiều Chƣơng II Tích phân k - dạng vi phân số ứng dụng §1 Trình bày tích phân k - dạng vi phân đa tạp khả vi §2 Về dạng thể tích, tích phân dạng thể tích, diện tích mặt, thể tích hình §3 Về dịnh lý Gauss - Bonet số hệ Luận văn thực hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo trực tiếp giảng dạy, đặc biệt thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Duy Bình giúp đỡ tận tình tơi q trình học tập hồn thành luận văn Cũng xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Sau Đại học khoa Toán trường Đại học Vinh tất bạn bè đồng nghiệp, người sát cánh giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối tác giả mong nhận góp ý chân tình quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chƣơng I KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi Định nghĩa Không gian tô pô X gọi không gian Euclid địa phương n chiều điểm X tồn lân cận mở đồng phôi với tập mở không gian Euclid Rn (tôpô Rn tôpô tự nhiên) Mỗi phép đồng phôi gọi đồ hệ tọa độ địa phương X Xét đồ ( U ,  ),  phép đồng phôi Nếu y  U số (y) = (y1 ,…, yn)  Rn gọi tọa độ điểm y đồ xét Họ đồ {( U ,  )} I gọi tập đồ X miền xác định U  ánh xạ   phủ X(nghĩa là:X=  U) I Định nghĩa Một không gian tô pô gọi đa tạp (tơ pơ) n - chiều vừa khơng gian Euclid địa phương n - chiều, vừa T2- không gian Định nghĩa Giả sử M đa tạp n - chiều {( U ,  )} tập đồ Ta gọi tập đồ ( khả vi ) lớp C r (Ui ,  i), (U i ,  i) {(U ,  )} có jοi-1 thuộc lớp C r , ánh xạ  jοi-1 biểu thị cơng thức: 1 n xj = xj (xi ,xi ,…,x i ) … xn = xn(x1,x2,…,xn) j j i i i Các vế công thức hàm thực n biến thực Chúng gọi hàm chuyển từ tọa độ {xki} sang tọa độ {xjk} Tập đồ xét gọi tập đồ giải tích hàm chuyển hàm giải tích thực Định nghĩa Hai tập đồ lớp Cr đa tạp M gọi hai tập đồ Cr tương đương tập hợp chúng lại tập đồ lớp Cr M Hợp tất tập đồ Cr - tương đương M gọi tập đồ cực đại lớp Cr M Một đa tạp (tô pô) n - chiều M C r cấu trúc gọi đa tạp khả vi n - chiều lớp Cr, Cr đa tạp n - chiều 1.2 Ánh xạ khả vi 1.2.1 Định nghĩa M N hai đa tạp khả vi lớp Ck Ánh xạ f : M  N gọi ánh xạ khả vi lớp Ck f liên tục với đồ địa phương (U , x) M, (V , y) N mà W = U  f-1(V) ≠  ánh xạ: yo fox-1: x(W)  y(V) ; x(p)  y(f(p)) ánh xạ khả vi lớp C k (từ tập mở x(W) Rm vào tập mở y(V) Rn, m n theo thứ tự số chiều M N) Các yo fox-1 gọi biểu thức tọa độ địa phương f Với p  W hạng f p hạng yo fox-1 x(p) Ký hiệu hạng pf +) f dìm p  M hạng pf = dimM +) f ngập p  M hạng pf = dimN +) f trải p  M hạng pf = dimM = dimN +) Nói f dìm, ngập hay trải theo thứ từ f dìm, ngập, trải p  M +) f nhúng khả vi f dìm, đơn ánh, đồng phơi lên ảnh +) f gọi vi phôi lớp C k f song ánh f-1 ánh xạ khả vi lớp Ck 1.2.2 Định lý.(xem [1]) Hai đa tạp khả vi M, N vi phơi với chúng có số chiều 1.2.3 Ánh xạ tiếp xúc a) Định nghĩa Cho ánh xạ khả vi F : M  N điểm p  M, ánh xạ tiếp xúc p ánh xạ F (hay vi phân p ánh xạ F) ánh xạ F* : Tp(M)  TF(P)M xác định sau : véc tơ v  Tp(M) véc tơ tiếp xúc điểm p = x(t0) với đường cong x(t) đa tạp F *p(v)  TF(p)(N) véc tơ tiếp xúc Fox(t0) = F(p) với đường cong đa tạp N Như : d(fox(t))  v (f) =  dt t0 f F(p)   d(goFox(t))   g F(p) Thì F*p(v) = v‟ xác định : v‟(g) =  t0 dt   b) Tính chất i) Ta ln có : v(goF) = (F*(v))(g) g F(p) ii) F*p ánh xạ tuyến tính từ R - khơng gian tuyến tính T p(M) vào R - khơng gian tuyến tính TF(p)(N) : F *p(u + v) = F*p(u) + F*p(v)  ,   R,  u, v  Tp(M) iii) Đối với ánh xạ đồng id đa tạp M ta ln có : (id)*p(v) = v  v  Tp(M) c) Mệnh đề Đối với hợp thành ánh xạ khả vi, ta có : (GoF)*p = G*F(p)oF*(p) Chứng minh: theo tính chất i) ta có: [(GoF)*p(v)](h) = v(hoGoF) (1) theo tính chất i) ta có: [(G*F(p)oF*p)(v)](h) = [G*F(p)(F*p(v))](h) = [F*p(v)](ho G) = v(hoFoG) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh d) Mệnh đề Nếu F: M  N vi phơi F *p song ánh (F*p)-1 = (F-1) *F(p) Chứng minh: Vì F vi phơi nên F-1 vi phơi Áp dụng tính chất iii) mệnh đề c) ta có v = (id)*p(v) = (F-1oF)*p(v) = (F-1)F(p)oF*p(v)  v  Tp(M) đó: (F-1)*F(p)oF*p = id | TF(p)(M) (1) id tồn ánh  F*p đơn ánh Do vai trò F F-1 nên tương tự (1) ta có F*po(F-1)*F(p) = id | TF(p)(N) (2) id toàn ánh  F*p toàn ánh Vậy F*p song ánh F*p song ánh nên tồn (F *p)-1 Do từ (1) (2) suy : (F*p)-1 = (F-1)*F(p) 1.3 Đa tạp Giả sử M, X đa tạp khả vi với dimX < dimM Khi ta có khái niệm sau: i Ánh xạ i : X  M gọi dìm (i p)* đơn ánh p X ii i gọi phép nhúng i phép dìm i ánh xạ đồng phơi lên ảnh ( i : X  i(X) ) iii i gọi phép nhúng chìm i phép nhúng i(X) đóng M Định nghĩa: Đa tạp X gọi đa tạp M i : X  M phép nhúng chìm 1.4.Trƣờng véc tơ 1.4.1 Định nghĩa Trường véc tơ tập mở U  En ánh xạ: X : U  TU; p  X(p) cho với p U, X(p)  TpU   Chú ý : Trường véc tơ X : U TU xác định ánh xạ X : U En ( ngược   lại X xác định X ) X(p) = ( p, X(p) )  Ta nói X trường khả vi lớp C k ánh xạ X khả vi lớp Ck  Khi X ánh xạ trường véc tơ X gọi trường véc tơ song song 1.4.2 Trƣờng mục tiêu Trường mục tiêu (khả vi) tập mở U  En hệ n trường véc tơ {U1, U2, ,U n} U cho với p U, {U 1(p), U2(p), ,Un(p)} sở TpU Khi X VecU ( tập trường véc tơ khả vi U) viết i= n cách dạng X = i= n (X+Y)= i= n   U i với   F(U) Nếu Y =  iU i : i= i= i i i= n  ( +  )U i, X =  iU i, i= i= i i Nếu với p  U, U i(p).U j(p) = ij ( tức U i(p) sở trực chuẩn TpU), trường mục tiêu {U i} gọi trường mục tiêu trực chuẩn 1.5 Dạng vi phân đa tạp khả vi Gọi M đa tạp khả vi n - chiều, x M, Tx(M) không gian tiếp xúc với M x, T *x(M) không gian véc tơ đối ngẫu Tx(M), p * Tx(M) ^ lũy thừa cấp p Tx*(M) ^T *x(M) đại số ngồi khơng gian T *x(M) Phép ánh xạ  : M   (^T*x(M)) cho: (x)  ^pT*x(M) gọi xM dạng vi phân bậc p(hoặc p - dạng vi phân) đa tạp M (ta viết x thay cho (x)) Giả sử (U , ) đồ đa tạp M ; ký hiệu yi hàm tọa độ thứ i i Rn ui = yio Như ta biết {(∂/∂u )x} (i = 1,2 n) sở Tx(M), cịn vi phân tồn phần (du1)x, (du2)x, , (dun)x hàm u1, u2, , un tạo thành sở khơng gian Tx*(M) mà đối ngẫu với sở {(∂/∂ui)x} theo lý thuyết lũy thừa ngồi khơng gian véc tơ, tập hợp : 27 Ta dùng cơng thức tính diện tích mặt trịn xoay để tính diện tích mặt cầu E3 Ngồi ta tính trực tiếp diện tích mặt cầu E3 cách sử dụng công thức : S =  ds i  Gr((ri) ΄u , (ri) ΄v) dudv Ci K = 2 Cụ thể với mặt cầu S : x + y + z = R khơng gian R3 Trước hết ta tính diện tích nửa mặt cầu phía sau ta nhân lên diện tích mặt cầu Ta viết phương trình nửa mặt câù phía dạng tham số hóa r : S2  R3 ; (x,y)  ( x, y, sau : 2 R - x - y ) Hay ta nói nửa mặt cầu phía lát họ r(S2), : -x rx΄ = ( 1, 0, 2 R - x - y ΄ ΄ ΄ ΄  rx.rx rx.ry  =  r΄ r΄ r΄ r΄  = y x y y 2 2 R - x - y 1 +  R2 - x2 - y2  xy  2  R -x -y x Gr(rx΄ ,r΄y) -y ; r΄y = (1, 0, 2 ) xy 2 R - x - y y 1+ 2 R - x - y x + y R =1+ = 2 2 2 R - x - y R - x - y Vậy : dS S =  S x = r cos dxdy đặt  y = r sin 2 R - x - y R  J = r :  r  R :    2   =   28 dS R2 = S R  Rrdrd 00 R -r = 2R 2 rdr = 2 R -r -1 R R -2R 2 2 2 2  =  (R - r ) d( (R - r ) = -2R (R - r )  = 2R 0 2 Vậy diện tích mặt cầu là: 2.(2R ) = 4R 2.2.3 Diện tích mặt trụ Xét mặt trụ K có bán kính đáy R, đường sinh l xác định bởi: 2 K = {(x,y,z)  R | x + y = R ;  z  l } Khi ta tính diện tích nửa mặt trụ với y > sau: Ta lát nửa mặt trụ với y > họ r : C  K; (x,t)  ( x, R2 - x2 , z) Khi r΄x = (1, -x ΄ 2 , 0) ; rz = (0,0,1) R -x x2 R2 - x2 Gr(rx΄ ,r΄z) = 1+    ds =  Gr(rx΄ ,r΄z) dxdz = K C  =1+   x2 R2 = R2 - x2 R2 - x2 R2 dxdz R2 - x2 C Đặt x = sint  dx = costdt  -1  sint   Thì  l2  l2   2 -  t 2     2 R  = Rl  ds = costdtdz = Rdtdz = R.z  .t cost  0  - 0- - K   Vậy diện tích mặt trụ K (Rl).2 = 2Rl 2.2.4 Diện tích mặt nón l 29 Xét mặt nón có bán kính đáy R đường sinh l : Ta lát mặt nón ánh xạ : r : S2  R3; (x,y)  (x,y,z) 2 (R - Trong S : x + y = R với z = Khi : r΄x x l2 - R2 ΄ y l2 - R2 = (1,0, ; ry = (0,1, ) R x2 + y2 R x2 + y2 2 Gr(rx΄ ,r΄y)  ds = K = 2R Suy :  + x2(l 2- R 2) R (x + y )  - R2)  xy(l  R2(x2 + y2) Rl dxdy Đặt S 00 xy(l2 - R2) R2(x2 + y2) y2(l2 - R2) 1+ 2 R (x + y ) x = r cos  y = r sin  ds =  Rl rdrd K x2 + y2 ) l2 + R2 R     = l2/R2  r  R;    2 l = 2 r = lR R 2.2.5 Diện tích tam giác cầu Cho mặt cầu bán kính R E 3, ba điểm A, B, C (không thuộc đường tròn lớn) với ba cung đường tròn lờn (ngắn) nối ba điểm gới hạn miền gọi tam giác cầu Ba đường tròn lớn phan biệt mặt cầu tạo thành tam giác cầu Ta tính diện tích tam giác cầu ABC sau Chẳng hạn ta xét “ múi ” cầu đỉnh A mà có chứa tam giác ABC Tham số hóa hai múi có dạng : r(,) = ( Rcossin, Rsinsin, Rcos ) với    2 ;     đó: B A r΄ =(-Rsinsin,Rcossin,0); r΄ =(Rcoscos, Rsincos, -Rsin) C C‟ ‟ B‟ A 30 nên ta có: Gr( r΄ ,r΄)  r΄.r΄ r΄.r΄  =  ΄ ΄ ΄ ΄  = R4 sin2  r.r r.r  Nếu góc A tam giác cầu có độ lớn  (radian) diện tích hai “ múi ”  là: SA =    0 R4 sin2 dd = 2R2dsind = 4R2 00 Tương tự đỉnh B C ta có: S B = 4R2; SC = 4R2 Khi  =  ta có diện tích mặt cầu là: S = 4R2 Với hai múi cầu đỉnh A, B, C chứa hai tam giác cầu ABC A‟B‟C‟ xuyên tâm đối tam giác ABC nên ta có: S = S A + S B + SC - 2S A‟B‟C‟ - 2S ABC = S A + S B + SC - 4S ABC suy ra: 4R2 = 4R2 + 4R2 + 4R2 - 4S ABC Vậy: S ABC = R2( +  +  - ) 2.2.6 Thể tích khối cầu, khối trụ Nhận xét: Trong định nghĩa thể tích dạng k-chiều đa tạp k-chiều khơng gian Ơclit (tức đa tạp Riemann k-chiều với mêtric cảm sinh) mêtric đa tạp g (x1,x2, ,xk) hệ toạ độ địa phương đa tạp, {∂/x1, ∂/x2, ,∂/xk} = {E1,E2, ,Ek} trường mục tiêu toạ độ tương ứng Đặt gij = g (E i,E j) kí hiệu g = det(gij) Khi lân cận đa tạp tương ứng với hệ toạ độ dạng thể tích o = g dx1^ dx2^ ^dxk Từ điều này, không gian Ơclit n chiều, với hệ toạ độ Ơclit (x1,x2, ,xn) ta có gij = aij, g = Do khơng gian Ơclit chiều với hệ toạ độ Ơclit (x,y,z), thể tích khối cầu hay khối trụ tích phân dạng thể tích khối đó, g = nên thể tích tích phân lớp theo biến x, y, z hàm đồng khối a) Thể tích khối cầu 31 2 2 Trong R xét mặt cầu (S) có phương trình : x + y + z = R thể tích V khối cầu giới hạn (S) tính sau: Theo nhận xét ta có : R2 - x2 - y2 RR V =  dv =  dxdydz =   dxdy -R-R S S -  RR dz =   2 R - x - y dxdy -R-R R2 - x2 - y2 Đổi sang tọa độ cực ta có : x = rcos, y = rsin ( -     ;  r  R )  R - dxdy = rdrd : V =  d  R2 - r2 rdr = 2 R = 4.(- 4 4 )  R2 - r2 d(R2 - r2) = - (R2 - r ) = (0 - R3) = 4R 3 b)Thể tích khối trụ 2 x + y = a Xét khối trụ giới hạn miền (S) :  (với a >0 ; l >0) -l  z  l Tương tự với cách tính khối cầu ta tcnhs khối trụ là: l V =  dv =  dxdydz = S S a dxdydz = dz  dx -l -a a2 - x2  - a2 - x2 a dy = 4l  a2 - x2 dx -a     + cos2t   Đặt x = asint ( với -  t  )  V = 4l  a2cos2tdt = 4a2l  dt = 2   2 1  = 4a l  ( t + sin2t) -  2 = 2la2 32 §3 ĐỊNH LÝ GAUSS - BONNET 3.1 Định lý Gauss - Bonnet (xem [1]) U tập mở R2 chứa tam giác AoBoCo (định hướng thuận ) r : U  M vi phôi Ao r  lên tập mở V Bo đa tạp Riemann hai A Co b c B a C chiều (M,); V chọn hướng để r vi phôi bảo tồn hướng Ký hiệu r(Ao) = A; r(Bo) = B; r(Co) = C; thu hẹp r lên tam giác AoBoCo tam giác cong đỉnh A, B, C: (ABC) Thu hẹp r theo thứ tự lên [Bo,Co], [Co,Ao], [Ao,Bo] a, b, c (cạnh tam giác cong coi cung đoạn Ĥ tham số); A độ lớn Radian góc ngồi A (ABC) tức góc Ĥ Ĥ tạo b‟, c‟ A TAM tương tự cho B C Ký hiệu K độ cong Gauss M,  dạng diện tích tắc V(với hướng chọn) Ký hiệu: kgds = ∂(ABC) kgds a + kgds + kgds kg độ cong trắc c b địa cung tương ứng Ĥ Ĥ Ĥ Định lý Với tam giác cong ABC ta có: K + kgds = 2 - ( A + B + C ) (ABC) ∂(ABC) (Gọi công thức Gauss - Bonnet cho tam giác cong (ABC)) Chứng minh: Lấy trường mục tiêu trực chuẩn thuận {U1,U2} V gọi  12 dạng liên kết M trường mục tiêu 33 : I = [so,s1]  V cung đoạn có hướng, ||΄|| = 1, viết ΄(a) = cos(s)U1((s)) + sin(s)U2((s)) thì: so so kgds = kg(s)ds = (s1) - (so) - 21(΄(s))ds = (s1) - (so) -  12 s1 I  s1 Trong chẳng hạn (so) độ lớn góc định hướng tạo U 1((so))    U ((s )),΄(s ) o o   ta có:   ΄(so) kí hiệu   kgds = ( U1(C),a‟(C))  - (U1(B),a‟(B)) -  12 a a tương tự cho kgds kgds từ ta có: c b     kgds = (U1(A),b‟(A)) - (U1(A),c‟(A)) + (U1(B),c‟(B)) - (U1(B),a‟(B)) + ∂(ABC)   + (U1(C),a‟(C)) - (U1(C),b‟(C)) -   1  +  +      a c  b Ĥ Ĥ Ĥ = -A - B - C +2l - K (ABC) Chú ý có số hạng 2l (l số nguyên đó) độ lớn (s) góc định hướng xét hàm đa trị để ý rằng: 21 +  12 + 12 a b c = d21 = K (ABC) (ABC) 34 K Vậy viết + kgds + ( A + Ĥ Ĥ Ĥ B + C ) = 2l (*) ∂(ABC) (ABC) Bây ta cần chứng minh l =1 Thật vậy: kí hiệu cấu trúc Riemann cho V ; cung cấp cho V cấu trúc Riemann o để r vi phôi đẳng cự tức (V,o ) vi phôi đẳng cự với đa tạp mở U mặt phẳng Euclid R Với t  [0,1], kí hiệu cấu trúc Riemann (1-t) o + t V t (dễ thấy cấu trúc Riemann) t = ta o t = ta cho Công thức (*) vừa thiết lập cho cấu trúc Riemann V; vế phải phụ thuộc liên tục vào t, vế phải nên từ l  Z suy l khơng phụ thuộc vào t Khi t = K = 0, kg = A + B + C = 2 (tổng góc ngồi tam giác mặt phẳng Euclid) nên suy l = Vậy: K (ABC) + kgds Ĥ Ĥ Ĥ = 2 - ( A + B + C ) ∂(ABC) 3.2 Nhận xét  Ĥ  Ĥ  Ĥ    +) Ký hiệu A =  - A, B =  - B, C =  - C (A, B, C độ lớn góc đỉnh tam giác cong (ABC)) cơng thức Gauss-Bonnet trở thành: K + (ABC)    k ds = A+ B+C- g ∂(ABC) +) Khi a, b, c cung đoạn trắc địa cơng thức trở thành:    K = A+ B+C-  (ABC) 3.3 Đặc trƣng Euler đa tạp 35 Định lý Với tam giác phân nhẵn đa tạp Riemann hai chiều, com pắc, có hướng(M,), kí hiệu Đ số đỉnh có tam giác phân; C số cạnh tam giác phân; T số tam giác phân ta có:  K = Đ - C + T 2M (trong K độ cong Gauss,  dạng diện tích tắc (M,)) Vế phải công thức không phụ thuộc tam giác phân chọn Nó gọi đặc trưng (hay đặc số) Euler đa tạp M kí hiệu X(M) Chứng minh : Ta có  K = M Mặt khác  K = Tj j  K ; (T j tam giác phân thứ j) (1) Tj  K1^2  d12 = Tj Tj =  12 =  kgds + (Tj) -  ∂Tj (2) ∂Tj Trong : (T j) độ lớn tổng góc tam giác T j Tù (1) (2) suy :  K = - j M   k ds  g  ∂Tj  + j ((Tj) -  ) Để ý cạnh  thuộc hai tam giác, định hướng hai chiều ngược nên : Vậy  K M =  kgds  +  kgds = - j ((Tj) -  ) mà tổng góc đỉnh 2 nên : j ((Tj) -  ) = j (Tj) - j  = 2.Đ - .T = (2Đ -T) Ta thấy cạnh tính hai lần nên ta có : 3T = 2C  -T = 2T - 2C  36 2Đ - T = 2Đ + 2T - 2C  K = Đ - C + T = X(M) 2 M Nhận xét Đặc số Euler không phụ thuộc vào kiểu tam giác phân 3.4 Một số ứng dụng 3.4.1 Bài toán : Như ta biết a, b, c cung đoạn trắc địa cơng thức Gaus-Bonnet có dạng : K    = A+ B + C -  (ABC) Vậy tổng (độ lớn ) góc tam giác cong trắc địa lớn  K > bé  K <  K =0 kết thể qua ví dụ sau : a)Với ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu (S) có phương trình : x2 + y2 + z2 = R2 R3 tổng góc tam giác cong trắc địa (ABC) lớn  Chứng minh : Ta biết cung AB, BC, CA trắc địa cung nằm đường tròn lớn độ cong Gauss mặt cầu bán kính R K = 1/R2 Khi với tam giác cong trắc địa (ABC) theo cơng thức Gauss-Bonet ta có : K    = A+ B + C -   (ABC) (1/R2)        = A+ B + C -  : (1/R2).dt(ABC) = A+ B + C -  nên : (ABC)       A+ B + C = dt(ABC) +   A+ B + C >  b) Tam giác cong trắc địa (ABC) H(nửa phẳng Poincaré) có tổng ba góc nhỏ  37 chứng minh: theo công thức Gauss - Bonnet K    = A+ B + C -  ( (ABC)  K = -1 độ cong Gauss H) nên ta có: -    = A+ B + C -  (ABC)        A+ B + C =  - dt(ABC)  A+ B + C <  c) Tam giác cong trắc địa (ABC) mặt trụ E có tổng ba góc  chứng minh: E mặt trụ có độ cong Gauss K = nên theo công thức Gauss-Bonnet ta có K       = A+ B + C -  =  A+ B + C =  (ABC) 3.4.2 Bài toán Xét parabolloit cho tham số hóa : X(u,v) = (ucosv, usinv, u2) với  u,  v  2 Kí hiệu Mr phần parabolloit cho  u  r a) Tính độ cong trắc địa đường trịn biên  kgds ∂Mr b) Tính X(Mr) c) Sử dụng định lý Gauss-Bonnet tính  KdA, tìm giới hạn r  + Mr (đây độ cong tồn thể Parabolloit) Bài tốn có lời giải sau : a) Đặt (t) = (rcost, rsint, r2)  ΄(t) = (-rsint, rcost, 0) Đặt T = ΄(t) = (-sint, cost, 0) ||΄|| 38 Với X(u,v) = (ucosv, usinv, u2) nên ta có X(r,t) = (rcost, rsint, r2) Xr΄(r,t) = (cost, sint, 2r) sau ta lấy N(r,t) = Do ΄ dt = X΄r(r,t) (cost, sint, 2r) = ||Xr΄|| + 4r2 ΄ d||΄|| (T) + ||΄΄||2.kg.(N)  N = ||΄΄||2.kg  dt dt  ΄΄.N = ||΄΄||2.Kg  kg = ΄΄.N ΄΄ = (-rcost, -rsint, 0) ||΄΄||2 (-rcost).(cost) + (-rsint).(sint) + 0.(2r) -1 = 2 r + 4r r + 4r2 ||΄΄|| = r2  kg = 2 Khi  kgds =  r ∂Mr -1 rdt = + 4r2 -2 + 4r2 b) Ta chia M r thành tam giác phân sử dụng cơng thức tính đặc trưng Euler M r ta có : X(Mr) = Đ - C + T = - + = c) Theo định lý Gauss - Bonnet ta có :   KdA = j  K = -j   kgds Mr ∂Tj Tj  + j ((Tj) -  ) = -  kgds + 2X(Mr) = =- -2 ) từ suy : + 2 = 2( + + 4r r + 4r2 lim  KdA = r  + Mr lim 2( + r  + ) = 2 r + 4r2 ∂Mr 39 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Trình bày cách có hệ thống k - dạng vi phân tích phân k - dạng vi phân - Kiểm tra diện tích số mặt, thể tích số khối quen thuộc chương trình phổ thơng tích phân k - dạng vi phân - Đưa số hệ ứng dụng định lý Gauss-Bonnet 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (2000),Hình học vi phân,NXBGD [2] H.Cartan (1980), Phép tính vi phân dạng vi phân, NXB Đại học TH chuyên nghiệp, Hà Nội [3] R.Naraximhan (1984), Giải tích đa tạp thực phức, NXB Đại học TH chuyên nghiệp [4] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu Hình học Riemann, Đại học Vinh [6] D.Gromoll, W.Klingenb, W.Meyer (1992), Rimanova geometrijaavtxelom, Mir.Maxcva (Bản tiếng Nga) 41 ... II TÍCH PHÂN k- DẠNG VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 39 §1 Tích phân k- dạng vi phân đa tạp khả vi 25 1.1 Tích phân đường dạng vi phân bậc 21 1.2 Tích phân mặt - dạng vi phân 23 1.3 Tích phân k – dạng vi phân. .. chiều Chƣơng II Tích phân k - dạng vi phân số ứng dụng §1 Trình bày tích phân k - dạng vi phân đa tạp khả vi §2 Về dạng thể tích, tích phân dạng thể tích, diện tích mặt, thể tích hình §3 Về dịnh... sở nghiên cứu tích phân k - dạng vi phân luận văn xây dựng số ứng dụng tích phân k - dạng vi phân, cụ thể dùng tích phân dạng thể tích để tính diện tích mặt, thể tích hình số ứng dụng định lý