Cực trị của hàm số và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— HỒ NGUYỄN DUY AN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 05/2023 Mục lục MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Cực trị hàm số biến 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số biến số 7 1.1.2 1.1.3 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 1.1.4 1.1.5 Quy tắc tìm cực trị Ví dụ minh họa 10 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biến số 1.2.1 Tính đơn điệu hàm số 13 13 1.2.2 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 14 1.2.3 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số [a; b] 14 1.2.4 Ví dụ minh họa Cực trị hàm số nhiều biến 15 15 1.3.1 1.3.2 Hàm nhiều biến Giới hạn hàm số nhiều biến 15 17 1.3.3 1.3.4 Hàm số liên tục Đạo hàm vi phân 21 23 1.3.4.1 1.3.4.2 Số gia riêng số gia toàn phần Đạo hàm riêng hàm nhiền biến 23 24 1.3.4.3 Vi phân toàn phần vi phân riêng 26 1.3.4.4 1.3.4.5 Ứng dụng vi phân tính gần Đạo hàm riêng hàm hợp 29 29 1.3.4.6 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao 31 MỤC LỤC 1.3.5 1.4 Cực trị hàm số nhiều biến số 32 1.3.5.1 1.3.5.2 Cực trị không điều kiện Hàm ẩn 32 35 1.3.5.3 Cực trị có điều kiện Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số nhiều biến 39 miền đóng, bị chặn 46 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC NHAU 2.1 Định hướng chung giải toán thực tế dựa vào cực trị 2.2 2.3 2.4 50 hàm số Dạng tốn tối ưu liên quan tới kích thức hình học 50 51 Dạng toán tối ưu liên quan tới vật lý, hóa học 2.3.1 Các toán vật lý 57 57 2.3.2 Các tốn hóa học 60 Một số toán tối ưu kinh tế 2.4.1 Các biến số kinh tế 64 64 2.4.2 64 64 Các mơ hình hàm số phân tích kinh tế 2.4.2.1 Hàm cung hàm cầu 2.4.2.2 2.4.2.3 2.4.3 2.4.4 Hàm sản xuất ngắn hạn 66 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận 66 2.4.2.4 Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm Các toán lựa chọn người tiêu dùng 67 68 2.4.3.1 2.4.3.2 Bài toán đối đa hóa lợi ích Tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng 68 81 2.4.3.3 Phương trình Slutsky 85 Các toán lựa chọn nhà sản xuất 2.4.4.1 Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố sản 87 xuất Lựa chọn mức sản lượng tối ưu 87 92 2.4.4.2 Kết luận 100 Tài liệu tham khảo 101 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức không xoay quanh Khóa Luận cịn vấn đề thú vị Toán học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa luận tốt nghiêp em hồn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Cực trị hàm số chủ đề hấp dẫn với học sinh giáo viên chương trình tốn học phổ thơng Lên bậc học Cao đẳng Đại học, cực trị hàm số tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, mở rông thêm cực trị hàm số nhiều biến tiếp cận theo hướng tìm kiếm ứng dụng lĩnh vực khác cho chủ đề thú vị Cực trị hàm số có tính hấp dẫn chủ đề có tính tích hợp nội môn cao, để hiểu khái niệm kết cực trị đòi học người học phải nắm vững kiếm thức khác giới hạn hàm số, tính liên tục khả vi hàm số; khảo sát dáng điệu đồ thị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số ln xem xét Ngồi ra, cực trị hàm số có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học khác thực tế Nhiều tốn hình học, vật lý, hóa học toán kinh tế muốn giải bắt buộc phải xây dựng mơ hình hàm số vận dụng kiến thức cực trị để tìm lời giải tối ưu Khi giải tốn vậy, địi hỏi người học phải có kiến thức thuộc lĩnh vực chuyên ngành tương ứng vận dụng khéo léo cơng cụ tốn học để xử lý Điều giúp người học phát triển lực tốn học (như lực mơ hình hóa toán học, lực tư lập luận toán học, lực ngơn ngữ tốn học, ) lực ứng dụng toán học vào thực tiễn Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài nghiên cứu cực trị hàm số số toán lĩnh vực khác có ứng dụng cực trị hàm số để giải vấn đề MỤC LỤC Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hàm số thực, cụ thể cực trị hàm số thực ứng dụng khái niệm lĩnh vực khác b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực giải tích thực Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương I: Nhắc lại hình học Euclid Chương hệ thống hóa lại khái niệm kết liên quan tới cực trị hàm số thực Chương II: Một số dạng tốn hình học Euclid tốn học phổ thơng Nghiên cứu số tốn lĩnh vực khác có ứng dụng công cụ cực trị hàm số thực để giải vấn đề • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương nhằm hệ thống hóa lại khái niệm số kết liên quan tới cực trị hàm số biến hàm số nhiều biến làm sở lý thuyết cho việc trình bày ứng dụng Chương Các khái niệm chủ yếu tham khảo tài liệu [2], [3], [4], [6][8], [9], [10], [11] 1.1 Cực trị hàm số biến 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số biến số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R ) x0 ∈ D ˆ x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn tạo khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ⊂ D f (x) < f (x0 ) với x ∈ (a; b) \ x0 Khi f (x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f ˆ x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn tạo khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ⊂ D f (x) > f (x0 ) với x ∈ (a; b) \ x0 Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số Nếu x0 điểm cực trị hàm số f ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x0 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hình 1.1: Hình minh họa điểm cực trị Chú ý 1.1.1 ˆ Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0 ) hàm số f lúc giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D, điều f (x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a; b) ⊂ D chứa điểm x0 hay gọi f (x0 ) giá trị cực đại (cực tiểu) địa phương ˆ Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nghiều điểm tập hợp D Trên đồ thị hàm số y = f (x) hình 1.1 , ta thấy hàm số có điểm cự đại điểm cực tiểu Tất nhiên, hàm số khơng có cực trị tập hợp cho trước; cụ thể, đồ thị hàm số y = f (x) hình 1.1 ta thấy hàm số khơng đạt cực trị (0; a) ˆ Đôi người ta nói đến điểm cực trị đồ thị Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm(x0 ; f (x0 )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số y = f (x) 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Quan sát đồ thị hàm số y = f (x) hình 1.1, ta thấy hàm số đạt cực trị điểm x0 đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm (x0 ; f (x0 )) tiếp tuyến song song với trục hành, tức độ dốc f ′ (x0 ) = nội dung định lý mà ta thừa nhận sau Định lý 1.1.1 Giả sử hàm số đạt cực trị điểm x0 Khi hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 f ′ (x0 ) = CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Điều ngược lại khơng Thật vậy, xét hàm số f (x) = 1, ∀x ∈ R Khi đó, f ′ (x) = 0, ∀x ∈ R Tuy nhiên, hàm số không đạt cực trị điểm R (đồ thị hàm số f (x) = đường thẳng song song với Ox cắt trục Oy điểm có tung độ 1) Chú ý 1.1.2 Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Chằng hạn, ta xét hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối sau đây: Xét hàm số: f (x) = |x|, ∀x ∈ R Có đồ thị hàm số hình vẽ: y f (x) = |x| O x Ta thấy, hàm số đạt cực tiểu điểm x = 0, không tồn giá trị f ′ (0), f ′ (0− ) = −1 ̸= = f ′ (0+ ) 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lý 1.1.2 Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (x0 ; b) Khi đó: ˆ Nếu f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu x0 ˆ Nếu f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu x0 Hay nói cách khác, ˆ Nếu f ′ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 ˆ Nếu f ′ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.4 10 Quy tắc tìm cực trị Dựa vào Định lý 1.1.2 ta có Quy tắc sau để tìm cực trị hàm số Quy tắc 1 Tìm f ′ (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) mà f ′ (xi ) = hàm số liên tục khơng có đạo hàm Xét dấu f ′ (x) Nếu f ′ (x) bị đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi Định lý 1.1.3 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0 , f ′ (x0 ) = f f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 ˆ Nếu f ′′ (x0 ) < hàm số đạt cực đại điểm x0 ˆ Nếu f ′′ (x0 ) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 (Điều ngược lại không đúng, tức xi đạt cực tiểu (đại) f ′′ (xi ) > (f ′′ (xi ) < 0)) Dựa vào Định lý 1.1.3 ta có Quy tắc sau để tìm cực trị hàm số Quy tắc Tìm f ′ (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) phương trình f ′ (xi ) = Tìm f ′′ (x) tính f ′′ (xi ) Nếu f ′′ (xi ) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f ′′ (xi ) > hàm số đạt cực tiểu xi 1.1.5 Ví dụ minh họa Ở phần tìm cực trị hai cách Tương ứng với cách ta sử dụng quy tắc 1, với cách cách ta sử dụng quy tắc Ví dụ 1.1.1 Tìm cực trị hàm số y = x4 − 2x2 + Cách •Bước 1: Tính đạo hàm hàm y , ta có y ′ = 4x3 − 4x = 4x(x2 − 1) = 4x(x − 1)(x + 1) CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23 • Hàm số f (M ) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D • Giả sử A, B hai điểm thuộc miền D cho f (A).f (B) < tồn điểm C ∈ D cho f (C) = 1.3.4 Đạo hàm vi phân 1.3.4.1 Số gia riêng số gia toàn phần Một hàm số nhiều biến u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) xem hàm biến số ta cố định giá trị biến lại Từ ta định nghĩa số gia riêng hàm số nhiều biến biến số Trước hết, ta xét với n = Xét hàm số: z = F (x; y) xác định miền D M0 (x0 ; y0 ) điểm thuộc miền D Cố định giá trị y = y0 cho x thay đổi lượng ∆x giá trị hàm số thay đổi là: ∆x z = f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) Ta goi ∆x z số gia riêng theo biến x hàm số z = f (x; y) Tương tự, số gia riêng theo biến y thay đổi lượng ∆y hàm số z = f (x; y) điểm M0 (x0 ; y0 ) là: ∆y z = f (x0 ; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) Số gia toàn phần biểu thị thay đổi giá trị hàm số hai biến đồng thời thay đổi Nếu x thay đổi lượng ∆x , y thay đổi lượng ∆y số gia tồn phần hàm số là: ∆z(x0 ; y0 ) = ∆f (x0 ; y0 ) = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) Ví dụ 1.3.17 Cho hàm số: z = f (x; y) = xy Các số gia riêng theo biến x biến y điểm (x0 ; y0 ) là: ∆x z(x0 ; y0 ) = f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) = (x0 + ∆x)y0 − x0 y0 = y0 ∆x ∆y z(x0 ; y0 ) = f (x0 ; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) = x0 (y0 + ∆y ) − x0 y0 = x0 ∆y Số gia toàn phần hàm số là: ∆z(x0 ; y0 ) = f (x0 +∆x; y0 +∆y )−f (x0 ; y0 ) = (x0 +∆x)(y0 +∆y)−x0 y0 = y0 ∆x +x0 ∆y + CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 24 Tổng quát với biến điểm n chiều M (x1 ; x2 ; ; xn ), xét hàm số biến điểm n chiều u = f (M ) = f (x1 ; x2 ; ; xn ) Số gia riêng theo biến xi thay đổi lượng ∆xi với ≤ i ≤ n, điểm M0 (x01 ; x02 ; ; x0n ) là: ∆xi u = f (x01 ; x02 ; ; x0i−1 ; x0i +∆xi ; x0i+1 ; ; x0n )−f (x01 ; x02 ; ; x0i−1 ; x0i ; x0i+1 ; ; x0n ) Số gia toàn phần hàm số điểm M0 (x01 ; x02 ; ; x0n ) là: ∆u = f (x01 + ∆x1 ; x02 + ∆x2 ; ; x0n + ∆xn ) − f (x01 ; x02 ; ; x0n ) 1.3.4.2 Đạo hàm riêng hàm nhiền biến Định nghĩa 1.3.7 Đạo hàm riêng hàm u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) gồm n biến, theo biến xi (1 ≤ i ≤ n) giới hạn tỉ số số gia riêng theo biến xi hàm số với số gia biến xi số gia biến xi tiến tới Cụ thể sau: ∂u ∆x u = lim i (1) ∂x ∆xi ∆xi Đạo hàm riêng thực đạo hàm riêng theo biến số coi tất biến lại số Như vậy, tính đạo hàm riêng hàm số theo biến số nào, việc xem hàm số phụ thuộc biến số ấy, biến số khác coi không đổi, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số biến Ví dụ 1.3.18 u = x2 + 3xy − z Ta có: ∂u = 2x + 3y ∂x ∂u ′ uy = = 6xy ∂y ∂u ′ uz = = −4z ∂z ′ ux = Trong trường hợp n=2, xét hàm số u = f (x; y) xác định miền D điểm M0 (x0 ; y0 ) thuộc miền D Nếu cố định y = y0 , hàm số biến số f (x; y0 ) có đạo hàm x = x0 , đạo hàm gọi đạo hàm riêng f x M0 kí hiệu là: ′ fx (x0 ; y0 ) hay ∂f ∂u (x0 ; y0 ) hay (x0 ; y0 ) ∂x ∂x CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 25 Tương tự đạo hàm riêng f y M0 kí hiệu là: ′ fy (x0 ; y0 ) hay ∂u ∂f (x0 ; y0 ) hay (x0 ; y0 ) ∂y ∂y Và hai tính sau: ∆x f f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆y f f (x0 ; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) ′ fy (x0 ; y0 ) = lim = lim ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y ′ fx (x0 ; y0 ) = lim (2) Chú ý 1.3.2 Ta sử dụng cơng thức (2) để tính đạo hàm điểm hàm số, sử dụng cơng thức (1) để tính đạo hàm hàm số Ví dụ 1.3.19 Tính đạo hàm riêng f (x; y) = x2 (y + 2) + tan(xy) điểm (0; 1) Ta có: (0; 1) thuộc miền xác định hàm số y0 = 1, f (x; 1) = 3x2 + tan x; x0 = 0, f (0; y) = Suy ra: f (x; 1) − f (0; 1) x→0 x 3x + tan x = lim x→0 x sin x = lim 3x + lim · x→0 x→0 x cos x sin x 1 = lim · lim =1· =1 x→0 x x→0 cos x cos f (0; y) − f (0; 1) ′ = lim = fy (0; 1) = lim y→1 y→1 y y ′ fx (0; 1) = lim Ví dụ 1.3.20 Tính đạo hàm riêng hàm z = f (x; y) = x3 y + arctan(x + y) ∂f ∂(x3 y) ∂(arctan(x + y)) = + = 3x2 y + ∂x ∂x ∂x + (x + y)2 ∂f ∂(x3 y) ∂(arctan(x + y)) = + = x3 + ∂y ∂y ∂y + (x + y)2 Ví dụ 1.3.21 Cho hàm số  xy   2 f (x; y) = x + y  0 Khi (x; y) ̸= (0; 0) Khi (x; y) = (0; 0) CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 26 Tại điểm (x; y) ̸= (0; 0) ta có: y(x2 + y ) − 2x2 y −yx2 + y ∂f = = ∂x (x2 + y )2 (x2 + y )2 ∂f x(x2 + y ) − 2xy x3 − xy = = ∂y (x2 + y )2 (x + y )2 Tại điểm (x; y) = (0; 0) ta có: f (x; 0) − f (0; 0) 0x2 ∂f (0; 0) = lim = lim = lim = lim 0x = x→0 x→0 x x→0 x x→0 ∂x x f (0; y) − f (0; 0) ∂f (0; 0) = lim = lim = y→0 y→0 y ∂y y ∂f kí hiệu, khơng phải thương; ∂f ∂x ∂x đứng riêng rẽ ý nghĩa Chú ý 1.3.3 1.3.4.3 Vi phân toàn phần vi phân riêng Giả sử hàm số z = f (x; y) xác định miền D có đạo hàm riêng liên tục điểm M0 (x0 ; y0 ) thuộc D Xét số gia toàn phần hàm số M0 : ∆f = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f (x0 ; y0 ) (3) Ta chứng tỏ số gia toàn phần hàm số M0 viết dạng: ∆f = fx′ (x0 ; y0 ).∆x + fy′ (x0 ; y0 ).∆y + α.∆x + β.∆y (4) Thật vậy, ta biến đổi đẳng thức (3) thành: h i h i ∆f = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x; y0 ) + f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) (3) i Ta để ý hiệu f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x; y0 ) thay h đổi y thay h đổi Do ta coi hiệu đa thức ichỉ phụ thuộc vào y hay ta coi fy = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x; y0 ) h i Và tương tự, ta coi fx = f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) Ta giả sử fx fy liên tục D Bây ta áp dụng định lý Lagrange cho hàm số: CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 27 h i h fx = f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) fy = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f (x0 + i ∆x; y0 ) Lúc này: tồn c1 nằm x0 x0 + ∆x tồn c2 nằm y0 y0 + ∆y cho: fx′ (c1 ; y0 ) = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) fy′ (x0 +∆x; c2 ) = ∆x ∆y Suy ra: h i h i ′ f (x0 +∆x; y0 )−f (x0 ; y0 ) = ∆x.fx (c1 ; y0 ) f (x0 +∆x; y0 +∆y)−f (x0 +∆x; y0 ) = (5) Hơn nữa, fx′ (c1 ; y0 ) fy′ (x0 + ∆x; c2 ) liên tục, nên: f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) f (x0 + ∆x; y0 + fy′ (x0 +∆x; c2 ) = lim ∆y→0 ∆x→0 ∆x fx′ (c1 ; y0 ) = lim Suy tồn α β cho: fx′ (c1 ; y0 ) = fx′ (x0 ; y0 ) + α fy′ (x0 + ∆x; c2 ) = fy′ (x0 ; y0 ) + β (6) Trong đó: α, β phụ thuộc vào ∆x, ∆y dần tới ∆x → 0, ∆y → Từ (4), (5), (6) ta có (3) Tóm lại số gia hàm số điểm M0 viết lại thành: ∆f (x0 ; y0 ) = fx′ (x0 ; y0 ).∆x + fy′ (x0 ; y0 ).∆y + α.∆x + β.∆y Từ biểu thức ta định nghĩa hàm số khả vi: Định nghĩa 1.3.8 (Khả vi điểm hàm số) Nếu hàm số z = f (x; y) có biểu thức số gia tồn phần điểm M0 viết dạng: ∆ = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y Trong đó: A, B số phụ thuộc vào x0 , y0 α, β dần tiến đến ∆x → 0, ∆y → 0, f gọi khả vi điểm M0 biểu thức A∆x + B∆y gọi vi phân toàn phần hàm số f (x; y) điểm M0 , kí hiệu: dz = A∆x + B∆y Chú ý 1.3.4 Nếu hàm z khả vi điểm D hàm z khả vi D CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 28 Các định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để hàm số z = f (x; y) khả vi M0 (x0 ; y0 ) Định lý 1.3.4 (Điều kiện cần) Nếu z = f (x; y) khả vi điểm M (x0 ; y0 ) tồn đạo hàm riêng M (x0 ; y0 ) Định lý 1.3.5 (Điều kiện đủ) Nếu hàm số z = f (x; y) có đạo hàm riêng lân cận U , U = {(x; y) : |x − x0 | < ϵ; |y − y0 | < δ} điểm M (x0 ; y0 ) đạo hàm riêng liên tục M0 hàm số f (x; y) khả vi điểm M0 dz(M0 ) = fx′ (M0 )dx + fy′ (M0 )dy Chú ý 1.3.5 Nếu hàm số f (x; y) khả vi điểm M0 liên tục điểm Ví dụ 1.3.22 Cho hàm số z = f (x; y) = x3 y + 2xy Xét khả vi tính vi phân dz(x; y), dz(0; 1) (nếu có) Ta có: ∂z ∂z = 3x2 + 2y , = x3 + 4xy hàm liên tục R2 ∂x ∂y Vậy hàm số khả vi R2 dz = df = (3x2 y + 2y )dx + (x3 + 4xy)dy Suy ra: dz(0; 1) = 2dx + 0dy = 2dx Tổng quát, cho hàm số u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) Vi phân toàn phần hàm số là: ∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn Nếu ta xét hàm số hàm số biến số độc lập xi (1 ≤ i ≤ n) (coi biến số cịn lại số) vi phân hàm sô biến tương ứng gọi vi phân riêng hàm số u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) theo biến xi Vi phân riêng kí hiệu tính sau: du = df = dxi u = dxi f = ∂f dxi ∂xi Dễ thấy vi phân toàn phần tổng vi phân riêng: df = du = n X i=1 dxi u = n X i=1 n X ∂f dxi f = dxi ∂x i i=1 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.3.4.4 29 Ứng dụng vi phân tính gần Từ định nghĩa ta thấy số gia toàn phần ∆f vi phân toàn phần df khác lượng α∆x+β∆y Lượng dần tiến 0, (x; y) dần tiến (x0 ; y0 Do đó, ta xem ∆f ≈ df Tức là: f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) ≈ f (x0 ; y0 ) + fx′ (x0 ; y0 )∆x + fy′ (x0 ; y0 )∆y p Ví dụ 1.3.23 Tính gần A = (1.02)2 + (0.04)2 p Xét hàm số z = x2 + y Chọn x0 = 1; ∆x = 0, 02; y0 = 0; ∆y = 0, 04 Ta có: 2x 2y ′ ′ ′ p = (1; 0) = ; z = (1; 0) = zx′ = p ; z ⇒ z y x y 3 (x2 + y )2 3 (x2 + y )2 Suy ra: A = z(1, 02; 0, 04) ≈ z(1; 0) + 0, 02 + 0.0, 04 = 1, 013 1.3.4.5 Đạo hàm riêng hàm hợp Định nghĩa 1.3.9 Cho D tập hợp Rn Xét hai ánh xạ: Φ : D → Rm (x1 ; x2 ; ; xn ) 7→ Φ(x1 ; x2 ; ; xn ) = (u1 (x1 ; x2 ; ; xn ); u2 (x1 ; x2 ; ; xn ); ; um (x1 ; x Và Π : Φ(D) → R Φ(x1 ; x2 ; ; xn ) 7→ Π(Φ(x1 ; x2 ; ; xn )) = Π(u1 (x1 ; x2 ; ; xn ); u2 (x1 ; x2 ; ; xn ); ; u Xét ánh xạ tích F = Π ◦ Φ : D → R (x1 ; x2 ; ; xn ) 7→ Π(Φ(x1 ; x2 ; ; xn )) = Π(u1 (x1 ; x2 ; ; xn ); u2 (x1 ; gọi hàm hợp biến số x1 , x2 , , xn qua biến số trung gian u1 , u2 , , um Để đơn giản, ta xét trường hợp m = n = 2, lúc Định nghĩa 1.3.9 phát biểu sau: Định nghĩa 1.3.10 Cho D tập hợp R2 Xét hai ánh xạ: Φ : D → R2 (x; y) 7→ Φ(x; y) = (u(x; y); v(x; y)) Π : Φ(D) → R Φ(x; y) 7→ Π(Φ(x; y)) = Π(u(x; y); v(x; y)) Ánh xạ tích F = Π ◦ Φ : D → R (x; y) 7→ Π(Φ(x; y)) = Π(u(x; y); v(x; y)) hàm hợp hai hàm Π Φ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 30 ∂Π ∂Π Định lý 1.3.6 Nếu hàm số Π có đạo hàm riêng , hàm ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v liên tục Φ(D) u, v có đạo hàm riêng , , , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂F ∂F D D tồn đạo hàm riêng , ta có: ∂x ∂y ∂F ∂Π ∂u ∂Π ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂F ∂Π ∂u ∂Π ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Tổng quát cho trường hợp F hàm hợp biến số x1 , x2 , , xn qua biến số trung gian u1 , u2 , , um phát biểu qua định lý sau ∂Π ∂Π ∂Π , , , ∂u1 ∂u2 ∂um ∂u1 , hàm liên tục Φ(D) u1 , u2 , , um có đạo hàm riêng ∂x1 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂um ∂um ∂um , , ; , , , ; ; , , , D D ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂xn tồn đạo hàm hàm F biến xi , (1 ≤ i ≤ n) Ta có: Định lý 1.3.7 Nếu hàm số Π có đạo hàm riêng ∂F ∂F ∂u1 ∂F ∂u2 ∂F ∂um = + + + , (1 ≤ i ≤ n) ∂xi ∂u1 ∂xi ∂u2 ∂xi ∂um ∂xi Ví dụ 1.3.24 Cho hàm z = uv , u = xy , v = x + y Ta có: ∂z uv ∂z v−1 = v.u = ∂u ∂v ln u Áp dụng định lí đạo hàm hàm hợp, ta được: ∂z = (x + y)(xy)x+y−1 y + (xy)x+y ln(xy) ∂x ∂z = (x + y)(xy)x+y−1 yx + (xy)x+y ln(xy) ∂y Nhận xét 1.3.1 Sau số trường hợp đặc biệt hàm số hợp • Nếu z = f (x; y), y = f (x) lúc z = f (x; y(x)) = F (x) hàm số x, đó: F ′ (x) = dz ∂z ∂z ∂y ∂z ∂z ′ = + = + y (x) dx ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 31 • Nếu z = f (x; y), x = x(t), y = y(t) z = f (x(t); y(t)) = F (t), đó: F ′ (t) = 1.3.4.6 ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ′ ∂z dz = + = x (t) + y ′ (t) dt ∂x ∂t ∂y ∂t ∂x ∂y Đạo hàm riêng vi phân cấp cao Đạo hàm cấp cao hàm biến định nghĩa theo quy nạp, tức đạo hàm cấp n đạo hàm đạo hàm cấp n − Đối với hàm nhiều biến, khái niệm tương ứng đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm số u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) có đạo hàm riêng theo biến xi miền D Khi đạo hàm riêng fx′ i hàm số n biến số Đạo hàm riêng theo biến xj đạo hàm riêng cấp fx′ i gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm số u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) theo biến xi xj kí hiệu là: u′′xi xj = fx′′i xj ∂ 2u = ∂xi ∂xj Tương tự ta định nghĩa theo quy nạp đạo riêng cấp cao Khi n = 2, xét hàm hai biến z = f (x; y) Các đạo hàm riêng fx′ , fy′ đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai kí hiệu sau: ∂  ∂f  ∂ f = = fx′′2 (x; y) ∂x ∂x ∂x   ∂ ∂f ∂ 2f ′′ = = fxy (x; y) ∂y ∂x ∂y∂x ∂ 2f ∂  ∂f  ′′ = = fyx (x; y) ∂x ∂y ∂x∂y ∂  ∂f  ∂ f = = fy′′2 (x; y) ∂y ∂y ∂y Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai, tồn gọi đạo hàm riêng cấp ba, Ví dụ 1.3.25 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số: z = x2 y + y zx′ = 2xy zx′′2 = 2y ′′ zxy = 2x zy′ = x2 + 2y zy′′2 = ′′ zyx = 2x CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 32 ′′ ′′ Nhận xét 1.3.2 Trong ví dụ ta nhận thấy zxy = zyx , liệu điều có ln khơng? Ta có định lí quan trọng sau Định lý 1.3.8 Định lí Schwarz Nếu lân cận U điểm M0 (x0 ; y0 ), hàm số z = f (x; y) ′′′ ′′ có dạo hàm riêng fxy , fyx đạo hàm riêng liên tục M0 ′′ ′′ fxy = fyx M0 Như vậy, với điều kiện định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Định lí cho đạo hàm riêng cấp cao hàm số n biến số với n ≥ Chẳng hạn, u = f (x; y; z) ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ u′′′ xyz = uzxy = uyzx = uxzy = uyxz= đạo hàm liên tục Định nghĩa 1.3.11 Vi phân toàn phần vi phân toàn phần du hàm số u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) gọi vi phân toàn phần cấp hai hàm số kí hiệu là: d2 u = d2 f Ta tính được: n X n X ∂ 2f dxi dxj df= ∂x ∂x i j i−1 j=1 Khi n = 2, hàm số f (x; y) có đạo hàm riêng cấp hai, vi phân tồn phần cấp hai hàm số là: ′′ d2 z = d(dz) = fx′′2 (dx)2 + 2fxy dxdy + fy′′2 (dy)2 Ví dụ 1.3.26 Cho hàm số z = ex cos y Ta có: zx′ = ex cos y zx′′2 = ex cos y zy′ = −ex sin y zy′′2 = −ex cos y ′′ zxy = −ex sin y z ′′ yx = −ex sin y Suy ra: d2 z = ex cos y(dx)2 + 2(−ex sin y)dxdy + (−ex cos y)(dy)2 d2 z(0; π) = −(dx)2 + (dy)2 1.3.5 Cực trị hàm số nhiều biến số 1.3.5.1 Cực trị không điều kiện Định nghĩa 1.3.12 Tập hợp D ⊂ Rn gọi tập mở D có tính chất; với điểm M ∈ D tồn số thục dương r > cho điểm N không gian n chiều thỏa mãn d(M ; N ) < r thuộc D CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 33 Định nghĩa 1.3.13 Cho hàm số u = f (x1 ; x2 ; ; xn ) xác định tập hợp mở D M0 ∈ D Ta nói hàm số f (x1 ; x2 ; ; xn ) đạt cực trị điểm M0 tồn số r > cho với điểm M ∈ D d(M ; M0 ) < r hiệu f (M ) − f (M0 ) có dấu khơng đổi • Nếu f (M ) − f (M0 ) < M0 điểm cực tiểu • Nếu f (M ) − f (M0 ) > M0 điểm cực đại Định lý 1.3.9 (Điều kiện cần) Nếu hàm số z = f (x; y) đạt cực trị điểm M0 mà điểm đạo hàm riêng p = fx′ (M0 ); q = fy′ (M0 ) tồn p = q = Điểm mà đạo hàm riêng f gọi điểm dừng hàm Chú ý định lý cho ta điều kiện cần để có cực trị, nên điểm dừng chưa điểm cực trị Định lý sau cho ta điều kiện đủ để có cực trị Định lý 1.3.10 (Điều kiện đủ) Giả sử hàm số z = f (x; y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục lân cận điểm M0 (x0 ; y0 ) Giả sử M0 ta có p = q = đạo hàm cấp hai tồn liên tục miền xác định D Khi M0 : • Nếu s2 − rt < f (x; y) đạt cực trị M0 , cực đại r < 0, cực tiểu r > • Nếu s2 − rt > f (x; y) khơng đạt cực trị M0 • Nếu s2 − rt = chưa kết luận hàm số f (x; y) có đạt cực trị M0 ′′ Trong đó, r = fx′′2 (M ); s = fxy (M ); t = fy′′2 (M ) Từ hai định lý trên, ta tìm cực trị hàm z = f (x; y) theo bước sau Quy tắc tìm cực trị:  Bước 1: Tìm điểm dừng có tọa độ nghiệm hệ phương trình: f ′ = x f ′ = y Bước 2: Tính giá trị đạo hàm riêng cấp hai điểm dừng r = ′′ fx′′2 (M ); s = fxy (M ); t = fy′′2 (M ) xét dấu biểu thức ∆ = s2 − rt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 34 •Nếu ∆ < f (x; y) đạt cực trị M0 ; cực đại r < 0, cực tiểu r > •Nếu ∆ > f (x; y) khơng đạt cực trị M0 •Nếu ∆ = khơng thể kết luận f (x; y) có đạt cực trị M0 hay khơng Chú ý 1.3.6 Để có kết luận đầy đủ cực trị ta phải xét riêng trường hợp điểm dừng mà ∆ = xét điểm mà khơng tồn đạo hàm riêng cấp hay cấp Ví dụ 1.3.27 Tìm cực trị hàm số: z = x + y − xey Bước 1: Tìm điểm tới hạn  z ′ x z ′ y  x = =1−e =0 ⇒ y = = − xey = y Bước 2: Tính giá trị đạo hàm cấp hai điểm (1; 0) r = 0; s = −1; t = −1 ⇒ ∆ = > Suy hàm số không đạt cực trị điểm (1; 0) Ví dụ 1.3.28 Tìm cực trị hàm số: z = x3 + 2y − 3x − 6y Bước 1: Tìm điểm tới hạn  z ′ x z ′ y  x = ±1 = 3x2 − = ⇒ y = ±1 = 6y − = Bước 2: Tính giá trị đạo hàm cấp hai điểm (1; 1), (−1; −1), (1; −1), (−1; 1) Tại điểm (1; 1): ∆ < 0, r > 0, hàm số đạt cực tiểu điểm (1; 1) Tại điểm (−1; −1): ∆ < 0, r < 0, hàm số đạt cực đại điểm (−1; −1) Tại điểm (1; −1) (−1; 1): ∆ > 0, hàm số khơng đạt cực trị Ví dụ 1.3.29 Tìm cực trị hàm số z = x4 + y − x2 − 2xy − y Bước 1: Tìm điểm tới hạn  z ′ x z ′ y = 4x3 − 2x − 2y = = 4y − 2x − 2y = CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 35 Hệ phương trình có ba nghiệm (0; 0), (−1; −1), (1; 1) Bước 2: Tính giá trị đạo hàm cấp hai điểm dừng (0; 0), (−1; −1), (1; 1) Tại điểm (1; 1) (−1; −1): ∆ = −96 < 0, r > 0, hàm số đạt cực tiểu điểm (1; 1) (−1; −1) Tại điểm (0; 0): ∆ = Do ta chưa có kết luận cực trị điểm (0; 0) mà phải khảo sát trực tiếp (khảo sát định nghĩa) ta làm sau: 1 Xét điểm M (0 + ; + ) gần điểm M1 (0; 0) n n Ta có: 1 1  21 z ; = 2 − z(0; 0) = n n n n Do đó: 1 1  21 z ; − z(0; 0) = 2 − < n n n n 1 Hơn nữa, xét điểm M (0 + ; − ) gần điểm M1 (0; 0) n n Ta có: 1 1 z ;− = n n n Do đó: 1 1 z ;− − z(0; 0) = > n n n Điều cho thấy lân cận điểm (0; 0) hàm số có giá trị dương âm Vậy điểm (0; 0) điểm cực trị 1.3.5.2 Hàm ẩn Định nghĩa 1.3.14 Cho phương trình: F (x; y) = F : D → R hàm xác định tập hợp D ⊂ R2 Với giá trị x = x0 khoảng I ⊂ R có hay nhiều giá trị y0 cho F (x0 ; y0 ) = Khi ta nói phương trình F (x0 ; y0 ) = xác định hay nhiều hàm ẩn y theo biến x khoảng I Vậy hàm số y(x) : I → R gọi hàm số ẩn xác định phương trình F (x0 ; y0 ) = nếu: ∀x ∈ I, (x; y(x)) ∈ D F (x; y(x)) = CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 36 Ví dụ 1.3.30 Phương trình: x4 + y = (0 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2) xác định √ cho ta hàm ẩn y = − x2 (0 ≤ x ≤ 2) Tuy nhiên, từ phương trình dạng F (x; y) = ta tìm biểu thức tường minh y theo x Ví dụ phương trình xy = y x + 1(x; y > 0), tồn mối quan hệ hàm từ ràng buộc rút x theo y hay rút y theo x Tuy nhiên trường hợp định ta nói tính khả vi hàm ẩn mà khơng cần giải tường minh phương trình y = y(x) Ta có định lí sau nói tồn tại, tính liên tục tính khả vi hàm số ẩn Định lý 1.3.11 (Định lý tồn khả vi hàm ẩn) Cho phương trình F (x; y) = 0, F : D → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở D ⊂ R2 Giả sử (x0 ; y0 ) ∈ D F (x0 ; y0 ) = Nếu F ′ (x0 ; y0 ) ̸= phương trình F (x; y) = xác định lân cận I = (x0 −δ; x0 +δ)(δ > 0) x0 hàm số ẩn y = y(x) nhất, thỏa mãn điều kiện hàm số có giá trị y0 x = x0 , tức y(x0 ) = y0 , y(x) liên tục có đạo hàm liên tục lân cận I nói Để tính đạo hàm hàm ẩn, ta thay công thức y(x) vào phương trình F (x; y) = thu đồng thức F (x; y(x)) ≡ Đạo hàm hai vế theo x ta có: Fx′ + y ′ (x)Fy′ = ⇒ y ′ (x) = − Fx′ Fy′ Ví dụ 1.3.31 Cho phương trình: x3 y − y x = a4 xác định hàm ẩn y = y(x) Ta có: F (x; y) = x3 y − y x − a4 = Thay y = y(x),ta đồng thức: F (x; y) = x3 y(x) − y (x) − a4 = Đạo hàm hai vế theo biến x ta có:   3x2 y − y + y ′ (x) x3 − 3y x = Với điều kiện x3 − 3y x ̸= 0, ta tìm đạo hàm hàm ẩn: y ′ (x) = y − 3x2 y x3 − 3y x CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 37 Ví dụ 1.3.32 Cho phương trình: xey + yex + exy = xác định hàm ẩn y = y(x) tính y ′ (0) Thay y = y(x),ta đồng thức: xey(x) + y(x)ex + exy(x) = Đạo hàm hai vế theo biến x ta có:   ey + yex + yexy y x xy ′ y x xy ′ e + ye + ye + y (x) xe + e + xe = ⇒ y (x) = − x e + xey + xexy Khi x = F (0; y(0)) − = ⇒ y(0) = Thay x = y = vào y ′ (x) ta được: e+2 e1 + 1.e0 + 1.e0.1 = − e0 + 0.e1 + 0.e0.1 e y  p 2 Ví dụ 1.3.33 Cho phương trình F (x; y) = ln x + y − arctan =0 x xác định hàm ẩn y = y(x) Thay y = y(x),ta đồng thức:  y(x) 
2 ln x + y(x) − arctan =0 x Đạo hàm hai vế theo biến x ta có: y x ! − 2x x2 + y ′ (x) 2y − x2 − =0 x2 + y 2 x2 + y y2 y2 1+ 1+ x x Với điều kiện x − y ̸= 0, ta tìm đạo hàm hàm ẩn: x+y y ′ (x) = x−y y ′ (0) = − Ta nhận thấy y ′ (x) hàm hợp với y = y(x) Bây giờ, ta đạo hàm hai vế x+y y ′ (x) = , ta đạo hàm cấp hai sau: x−y (x − y) − (x + y) (x − y) + (x + y) y ′′ (x) = + y ′ (x) (x − y) (x − y)2 −2y x + y 2x ⇔ y ′′ (x) = + (x − y)2 x − y (x − y)2 2(x2 + y ) ′′ ⇒ y (x) = (x − y)3 Cứ tiếp tục ta tính tiếp đạo hàm cấp cao hàm ẩn