Quá trình markov và một số ứng dụng trong phân tích độ tin cậy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - ĐINH THỊ TRUNG QUÁ TRÌNH MARKOV VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - ĐINH THỊ TRUNG QUÁ TRÌNH MARKOV VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Trần Anh Nghĩa Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Một số vấn đề trình Markov 1.1 Khơng gian xác suất tính chất xác suất 1.2 Xác suất có điều kiện biến cố độc lập 1.2.1 Xác suất có điều kiện tính chất 1.2.2 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 1.2.3 Tính độc lập biến cố 1.3 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.3.1 Biến ngẫu nhiên 1.3.2 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 1.3.3 Tính độc lập biến ngẫu nhiên 1.4 Quá trình ngẫu nhiên 1.4.1 Định nghĩa kí hiệu 1.4.2 Phân phối hữu hạn chiều 1.5 Quá trình Markov 1.5.1 Phân bố hữu hạn chiều trình ngẫu nhiên 1.5.2 Quá trình Markov 1.5.3 Một số ví dụ trình Markov 1.5.4 Định nghĩa hàm chuyển trình Markov 1.5.5 Phương trình Chapman - Kolmogorov trình Markov 1.5.6 Hàm tương quan 5 7 8 9 10 11 11 11 12 14 14 15 18 19 21 21 2 Một số ứng dụng phân tích độ tin cậy 22 2.1 Các khái niệm đặc trưng độ tin cậy 22 2.1.1 Khái niệm 22 2.1.2 Đặc trưng độ tin cậy linh kiện, làm việc đến hư hỏng 23 2.2 Mơ hình hàm tin cậy 27 2.2.1 Hàm tin cậy quy luật phân phối mũ 27 2.2.2 Hàm tin cậy quy luật phân phối chuẩn 28 2.2.3 Hàm tin cậy quy luật phân phối Weibull – Gnedenko 29 2.2.4 Hàm tin cậy quy luật phân phối Gamma 30 2.2.5 Hàm tin cậy quy luật phân phối 31 2.3 Ví dụ 31 2.4 Giới thiệu mơ hình q trình Markov 34 2.4.1 Mơ hình 34 2.4.2 Phương trình Kolmogorov 36 2.4.3 Đặc trưng dừng trạng thái 37 2.4.4 Hàm phân phối thời gian hoạt động 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 LỜI NÓI ĐẦU Đầu kỉ XX, A.A.Markov (14.6.1856 - 20.7.1922) - nhà Toán học, Vật lý tiếng người Nga đưa mơ hình tốn để mơ tả thay đổi từ nguyên âm sang phụ âm ngược lại 20000 từ kịch Puskin Và mô hình ứng dụng nhiều lĩnh vực khác (như Vật lý, Sinh học, Y tế, Kinh tế, Tin học, Viễn thông ) mang tên trình Markov Quá trình Markov trình ngẫu nhiên thể tính chất khơng nhớ hệ thống ("memoriless property") Đó q trình mà tiến triển hệ thống tương lai phụ thuộc vào độc lập với khứ, Markov đưa vào năm 1906 Trong lớp q trình ngẫu nhiên q trình Markov có vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết ứng dụng thực tiễn Ví dụ X(t) dân số thời điểm t Các hệ Sinh thái, Vật lí, Cơ học, khơng có trí nhớ sức ỳ lớn hệ có tính chất Nghiên cứu hệ có tính chất lĩnh vực quan trọng Lí thuyết Xác suất đại Trong thực tế tiến triển nhiều hệ thống mơ hình hóa q trình Markov Mặt khác, để đưa trình Markov ứng dụng vào thực tiễn nhà khoa học sử dụng Lý thuyết độ tin cậy Lý thuyết độ tin cậy nghiên cứu ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, đặc biệt xem xét mơ hình thực tiễn vận hành có tin cậy hay khơng? Và mơ hình q trình Markov sử dụng để đánh giá độ tin cậy hệ thống đơn giản, thơng dụng Hiện lý thuyết độ tin cậy nghiên cứu nhiều nước, nhiều nhà khoa học giới quan tâm, có hội nghiên cứu quốc tế, nước lại người nghiên cứu tài liệu liên quan khơng có Để hiểu ứng dụng trình Markov vào thực tiễn, khuôn khổ luận văn thạc sĩ, chọn đề tài cho luận văn "Quá trình Markov số ứng dụng phân tích độ tin cậy" Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Một số vấn đề trình Markov Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức Lí thuyết xác suất, số khái niệm trình ngẫu nhiên trình Markov Chương Một số ứng dụng phân tích độ tin cậy Trong chương 2, chúng tơi trình bày số khái niệm đặc trưng độ tin cậy, dựa vào giới thiệu số mơ hình hàm tin cậy đưa ví dụ minh họa Luận văn thực trường Đại Học Vinh, hướng dẫn TS Trần Anh Nghĩa Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Trần Anh Nghĩa tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 22 Lý thuyết xác suất thống kê tốn học, có đóng góp, giúp đỡ quan trọng GS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Trung Hịa để tác giả hồn thiện luận văn Đồng thời tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm thầy cô khoa Sư phạm Tốn học, phịng Đào tạo Sau Đại học tập thể lớp Cao học 22 Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Mặc dù, tác giả có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận lời góp ý, bảo quý báu thầy cô giáo bạn đọc Tác giả trân trọng cảm ơn Vinh, tháng 08 năm 2016 Tác giả Đinh Thị Trung CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ Q TRÌNH MARKOV Trong chương chúng tơi trình bày hệ thống số kiến thức Lý thuyết xác suất để vận dụng cho chương sau 1.1 Khơng gian xác suất tính chất xác suất Giả sử Ω = φ P(Ω) họ tất tập Ω Định nghĩa 1.1.1 Họ tập F ⊂ P(Ω) gọi σ− đại số nếu: (i) Ω ∈ F ( φ ∈ F); (ii) Nếu A ∈ F A¯ ∈ F; ∞ (iii) Nếu An ∈ F, (∀n = 1, 2, ) ∞ An ∈ F( n=1 An ∈ F) n=1 Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F) khơng gian đo Khi ánh xạ P:F →R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) ≥ với A ∈ F; (ii) P(Ω) = 1; (iii) Nếu {An , n = 1, 2, , } ⊂ F, Ai Aj = φ, i = j ∞ P( ∞ An ) = n=1 P(An ) n=1 Khi • Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất; • Tập Ω gọi khơng gian biến cố sơ cấp; • σ-đại số F gọi σ− đại số biến cố; • P gọi độ đo xác suất F; • Mỗi A ∈ F gọi biến cố; • Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn; • Biến cố φ ∈ F gọi biến cố khơng thể; • Biến cố A¯ = Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A; • Hai biến cố A, B thỏa mãn AB = φ gọi hai biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất biến cố Để đơn giản, từ sau, nói đến không gian xác suất (Ω, F, P), ta xem khơng gian xác suất đầy đủ Tính chất 1.1.3 Giả sử A, B, C biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau: 1) P(φ) = 0; 2) Nếu AB = φ P(A ∪ B) = P(A) + P(B); ¯ = − P(A); 3) P(A) 4) Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B); 5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB); n 6) P( n P(Ak ) − Ak ) = k=1 n−1 (−1) k=1 ∞ An ) ≤ n=1 1≤k≤l Khi số P(AB) P(B/A) = P(A) gọi xác suất có điều kiện biến cố B biến cố A Trong thực tiễn P(B/A) số đo khả xảy biến cố B điều kiện giả thiết biến cố A xảy Tính chất 1.2.2 Xác suất có điều kiện có tính chất sau 1) P(B/A) ≥ 0; 2) Nếu B ⊃ A P(B/A), đặc biệt P(Ω/A) = 1; 3) Nếu (Bn ) dãy biến cố đôi xung khắc ∞ ∞ P( Bn /A) = n=1 P(Bn /A); n=1 4) (Quy tắc nhân) Giả sử A1 , A2 , , An (n ≥ 2), n biến cố cho P(A1 A2 An−1 ) > Khi P(A1 A2 An ) = P(A1 ).P(A2 /A1 ) P(An /A1 An−1 ) 1.2.2 (1.1) Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Định nghĩa 1.2.3 Họ n biến cố H1 , H2 , , Hn gọi họ đầy đủ Hi Hj = φ, (i = j) H1 ∪ H2 ∪ ∪ Hn = Ω Định nghĩa 1.2.4 Giả sử H1 , H2 , , Hn họ đầy đủ biến cố P(Hi ) > 0, ∀i = 1, 2, , n Khi đó, với biến cố A ta có n (i) P(A) = P(A/Hi )P(Hi ); i=1 (ii) Nếu P(A) > P(Hk /A) = P(A/Hk )P(Hk ) n (k = 1, 2, n) P(A/Hi )P(Hi ) i=1 Công thức (i) gọi cơng thức xác suất đầy đủ, cịn cơng thức (ii) gọi cơng thức Bayes 1.2.3 Tính độc lập biến cố Định nghĩa 1.2.5 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất Hai biến cố A B gọi độc lập P(AB) = P(A).P(B) Tính chất 1.2.6 Giả sử P(A) > 0, P(B) > 0, 1) A, B độc lập P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) 27 2.2 Mơ hình hàm tin cậy Một vấn đề quan trọng lý thuyết độ tin cậy mô phân phối linh kiện hoạt động liên tục Sau số mô hình với tính chất đặc trưng lĩnh vực ứng dụng 2.2.1 Hàm tin cậy quy luật phân phối mũ Hàm phân phối quy luật phân phối mũ có dạng F (t) = − e−λt với t ≥ 0, (2.11) λ > tham số Khi hàm tin cậy R(t) = e−λt , hàm nguy hư hỏng bất biến λ, f (t) λ(t) = = λ R(t) (2.12) (2.13) Hơn nữa, bất biến hàm nguy hư hỏng tính chất đặc trưng hàm tin cậy quy luật phân phối mũ Thật vậy, từ hệ thức (2.7) ta có:   t   R(t) = exp − λdu = e−λt (2.14)   Bổ đề 2.2.1 Linh kiện có hàm tin cậy quy luật mũ phân phối thời gian cịn lại hoạt động liên tục không phụ thuộc vào thời gian vận hành (tuổi), P{T > t + x|T > t} = P{T > x} (2.15) Chứng minh Thật vậy, cách sử dụng công thức xác suất có điều kiện cho hàm tin cậy quy luật mũ, ta có P{t > t + x} P{T > t + x, T > t} P{T > t + x|T > t} = = P{T > t} P{T > t} e−λ(t+x) = = e−λx = P{T > x} −λt e 28 Ngược lại, với R(t) = P{T > t} từ cơng thức (2.15) ta có phương trình: R(t + x) = R(t)R(x), với R(0) = lớp hàm liên tục có nghiệm R(t) = e−λt với tham số dương λ > - Chú ý quy luật phân phối mũ kỳ vọng (thời gian trung bình sống) phương sai tương ứng µT = MT = λ−1 , 2.2.2 σT2 = DT = λ−2 (2.16) Hàm tin cậy quy luật phân phối chuẩn Đối với quy luật phân phối chuẩn, hàm tin cậy thời gian hoạt động liên tục có dạng − Φ( t−µ Φ( µ−t σ ) σ ) R(t) = P{T > t|T > 0} = = , − Φ(− σµ ) Φ( σµ ) t ≥ 0, (2.17) đây, hàm phân phối tiêu chuẩn sử dụng ký hiệu với µ > 0, σ > tham số dương, x Φ(x) = √ 2π u2 e− du (2.18) −∞ µ Trong trường hợp xảy σ α > 0, nguy hư hỏng λ(t) = αλtα−1 với t ≥ (2.21) có dạng biểu diễn hình 2.4 Hàm tin cậy quy luật mũ trường hợp đặc biệt quy luật Weibull Gnedenko α = Thời gian trung bình hoạt động liên tục gọi kỳ vọng phương sai quy luật tương ứng sau µT = MT = Γ(1 + α1 ) λα , σT2 = DT = Γ(1 + α2 ) − Γ2 (1 + α1 ) λα (2.22) 30 t Hình 2.4: Hàm nguy hư hỏng quy luật Weibull – Gnedenko 2.2.4 Hàm tin cậy quy luật phân phối Gamma Hàm tin cậy phân phối Gamma thời gian hoạt động liên tục ∞ R(t) = xα−1 −λx e dx Γ(α) với t ≥ 0, (2.23) λt λ > α > - tham số, hàm Gamma ∞ xα−1 e−x dx Γ(α) = Nguy hư hỏng độ tin cậy quy luật không đưa 31 cách rõ ràng, hàm mật độ λα tα−1 −λt f (t) = e Γ(α) với t ≥ (2.24) Kỳ vọng hay thời gian trung bình hoạt động liên tục phương sai phân phối tương ứng µT = MT = 2.2.5 α , λ σT2 = DT = α λ2 (2.25) Hàm tin cậy quy luật phân phối Phân phối thời gian hoạt động liên tục linh kiện khác thường thuận tiện để xấp xỉ khoảng phân phối Với a b – tham số phân phối, hàm phân phối   0, t ≤ a,  t − a F (t) = (2.26) , a < t ≤ b,  b−a  1, t > b Hàm nguy hư hỏng phân phối xác định theo công thức   0, t ≤ a,   (2.27) λ(t) = , a < t ≤ b,  b − t   không xác định t > b Và thời gian trung bình hoạt động đến hư hỏng phương sai a+b µT = , 2.3 σT2 (b − a)2 = 12 (2.28) Ví dụ Ví dụ 2.3.1 Thời gian hoạt động liên tục thiết bị trục quay với ổ bi quay rotor tuân theo quy luật Weibull - Gnedenko (2.20) với tham số α = 1, 5; λ = 10−4 Yêu cầu cần phải tính tốn đặc trưng định 32 lượng hàm tin cậy thiết bị đến thời điểm t = 100(h) thời gian làm việc Bài giải 1/ Theo công thức (2.20), hàm tin cậy α R(t) = e−λt Thay giá trị λ, t, α ta nhận R(100) = exp{−10−4 1001,5 } = 0, 2/ Tần suất nguy hư hỏng xác định công thức (2.3), (2.6) (2.21) cho quy luật phân phối Weibull - Gnedenko, α f (t) = αλtα−1 e−λt , λ(t) = f (t) = αλtα−1 R(t) Khi f (100) = 10−4 1, 5.1000,5 0, = 1, 35.10−3 , h f (100) 1, 35.10−3 λ(100) = = = 1, 5.10−3 R(100) 0, h 3/ Tính tốn thời gian trung bình hoạt động đến hư hỏng theo cơng thức (2.21), µT = λ−1/α Γ( + 1) α Đối chiếu với bảng hàm Gamma cho giá trị x = (1/α)+1 = (1/1, 5)+1 ≈ 1, 67, trường hợp Γ(x) = 0, 9033 Thay biểu thức tính µT với giá trị hàm Gamma tham số phân phối α λ, ta nhận µT = 0, 9033/(10−4 )1/1,5 ≈ 418(h) 33 Ví dụ 2.3.2 Giả sử tỷ lệ hư hỏng kết phân tích liệu hư hỏng thiết bị thu f (t) = c1 λ1 e−λ1 t + c2 λ2 e−λ2 t Yêu cầu xác định đặc trưng định lượng hàm tin cậy Bài giải 1/ Trên sở công thức (2.2) (2.3) ta có  t t 0 −λ2 t −λ1 t = − [−c1 e  c2 λ2 e−λ2 u du = c1 λ1 e−λ1 u du + f (u)du = −  R(t) = − t + c1 − c2 e + c2 ] = = − (c1 + c2 ) + c1 e−λ1 t + c2 e−λ2 t ∞ f (t)dt = 1, Để tính tốn c1 + c2 Từ ∞ ∞ c1 λ1 e−λ1 t dt + c2 λ2 e−λ2 t dt = c1 + c2 = Khi R(t) = c1 e−λ1 t + c2 e−λ2 t 2/ Tìm mối liên hệ nguy hư hỏng với thời gian theo công thức (2.6) f (t) c1 λ1 e−λ1 t + c2 λ2 e−λ2 t λ(t) = = R(t) c1 e−λ1 t + c2 e−λ2 t 3/ Xác định trung bình thời gian hoạt động liên tục, dựa vào công thức (2.9), ta có ∞ µT = ∞ e−λ1 t dt + c2 R(t)dt = c1 ∞ e−λ2 t dt = c2 c1 + λ1 λ2 34 2.4 2.4.1 Giới thiệu mơ hình q trình Markov Mơ hình Trước tiên, xem xét mơ hình tổng qt hệ thống dự trữ lạnh (dự trữ không chịu tải), từ n phần tử không mà nhận m giá trị làm việc môi trường ngẫu nhiên Trạng thái hệ mơ tả vectơ (n + 1)-chiều có dạng x = (i, j) = (i, j1 , , jn ), thành phần thứ i mô tả trạng thái môi trường bên nhận m giá trị (i = 1, m), thành phần nhị phân jk (k = 1, n) nhận giá trị, 0, phần tử thứ k hoạt động tốt 1, phần tử thứ k không hoạt động, jk = trạng thái phần tử hệ thống Chúng định nghĩa tập hợp trạng thái hệ thống E = {x = (i, j) = (i, j1 , , jn ) : i = 1, m, jk = {0, 1}, k = 1, n} Số trạng thái hệ hữu hạn N = m × 2n Chúng ký hiệu tập hợp trạng thái hoạt động tốt E0 không hoạt động E1 Hệ với đặc trưng hư hỏng phục hồi tất phần tử ví dụ đơn giản cho mơ hình tổng quát Trong trường hợp này, trạng thái mở rộng tổ hợp trạng thái với số n đồng j = jk phần tử hư hỏng; tập hợp trạng thái k=1 có dạng E = {(i, j) : i = 1, m, j = 0, n} với số trạng thái hệ N = m × (n + 1) Bây giả sử thay đổi môi trường bên ngồi mơ tả q trình Markov với số m hữu hạn trạng thái ma trận cường độ chuyển Λ = [λk,l ] Để tránh tình khó khăn kỹ thuật, chúng tơi giả thiết toàn phần tử hệ đồng nhất, dự trữ lạnh thời gian hoạt động phục hồi có phân phối mũ với tham số α, β điều kiện môi trường bên ngồi ổn định Cịn αk , βk tham số tương ứng mơi trường bên ngồi trạng thái k Giả sử 35 mơi trường bên ngồi thay đổi trạng thái, phần tử hệ thống nhanh chóng thay đổi cường độ hư hỏng phục hồi Hành vi hệ mô tả trình Markov 2-chiều X(t) = (I(t), J(t)), với thành phần thứ nhận m giá trị mô tả trạng thái mơi trường bên ngồi, cịn thành phần thứ hai J(t) mô tả trạng thái hệ (số phần tử hư hỏng) nhận (n + 1) giá trị từ tập hợp {0, 1, , n} Sau đây, sử dụng ký hiệu ma trận hiểu vectơ vectơ cột dùng dấu phẩy cho phép tốn chuyển vị, cịn dấu chấm cho đạo hàm Chúng đưa vào ký hiệu sau: • Λ = [λk,l ] ma trận cường độ chuyển mơi trường bên ngồi; → − • λ k , = (λk,1 , λk,2 , , λk,m ) vectơ hàng cường độ chuyển mơi trường bên ngồi từ trạng thái k (k = 1, m); • λk = l m λk,l cường độ thay đổi trạng thái thứ k mơi trường bên ngồi; → − • diag λ k, ma trận đường chéo có đường chéo thành phần → − vectơ λ k, ; • Ak = [ai,j (k)] ma trận cường độ chuyển trình hệ thống tin cậy làm việc môi trường thứ k, với i, j ∈ {0, , n},  với j = i + 1, αk , ai,j (k) = −(αk + βk ), với i = j,  βk , với j = i − 1; • x = (i, j) trạng thái hệ thống xếp theo thứ tự sau: E = {(1, 0), (1, 1), , (1, n), , (m, 0), (m, 1), , (m, n)} Sau đây, ký hiệu i(x) j(x) cho thành phần i j vectơ x = (i, j) sử dụng 36 Theo giả thiết này, trình X(t) = (I(t), J(t)) trình Markov 2-chiều với không gian trạng thái E khối ma trận cường độ chuyển Q = [Qx,y ], khối đường chéo Qx,x cho i(y) = i(x) có dạng đường chéo ma trận Qx,x = Ai(x) −λi(x) I, khối đường chéo Qx,y có dạng Qx,y = λj(x),j(y) I, I ma trận đơn vị,   A1 − λ1 I λ1,2 I λ1,m I  λ I A2 − λ2 I λ2,m I  Q = [Qx,y ] =  2,1 (2.29)  λm,1 I λm,2 I Am − λm I 2.4.2 Phương trình Kolmogorov Chúng ta sử dụng πi,j (t) = P{X(t) = x = (i, j)}, πi,j (0) = δj,0 - để xác suất trạng thái trình X(t) thời điểm t phân phối ban đầu (ngay từ đầu khơng có phần tử hư hỏng), với δ ký hiệu Kronecker − − − − Giả sử → π (t) vectơ xác suất trạng thái, → π (t) = (→ π (t), , → π m (t)), → − vectơ thành phần π i (t) mô tả xác suất trạng thái hệ thống − hoạt động môi trường thứ i Ký hiệu → a = (a1 , , am ) → − phân phối ban đầu mơi trường bên ngồi e = (1, 0, , 0) vectơ (n + 1)-chiều, tương ứng cách đầy đủ trạng thái hoạt động hệ thống Khi hệ phương trình vi phân Kolmogorov xác suất trạng thái − trình X(t) với điều kiện ban đầu → π (0) − − → − − − e0 , , am → e0 ), π˙ (t) = → π (t)Q, → π (0) = (a1 → (2.30) với cấu trúc ma trận Q cho hệ thống làm việc môi trường khác hệ phương trình có dạng → − − π˙k (t) = → πk (t)(Ak − λk I) + → − − − πi (t)λi,k I, → πk (0) = ak → e0 , (k = 1, m) i=k (2.31) 37 Nhân phương trình hệ với vectơ cột gồm phần tử đơn vị → − → − − = (1, , 1) từ bên phải, dùng ký hiệu → πk (t) = pk (t) lưu ý → − → − Ak = , nhận hệ phương trình biến đổi mơi trường bên p˙k (t) = −λk pk (t) + pi (t)λi,k , pk (0) = ak , (k = 1, m) (2.32) i=k Theo biến đổi Laplace πj (s) = e−st πj (t)dt hệ (2.30) với điều kiện ban đầu thích hợp, có dạng hệ phương trình đại số sau − − − s→ π (s) − → π (0) = → π (s)Q, (2.33) → − − π (s) = → π (0)(sI − Q)−1 (2.34) với nghiệm có dạng 2.4.3 Đặc trưng dừng trạng thái Xác suất dừng trạng thái hệ πj = lim πj (t) (chúng tồn từ t→∞ trình khơng giảm có số trạng thái hữu hạn) trùng với xác suất giới hạn thỏa mãn hệ phương trình cân − Với vectơ xác suất dừng → π = {πj , j ∈ E}, với điều kiện tiêu chuẩn hệ có dạng → − → − − π Q = 0, → π = (2.35) Hệ (2.31) biểu diễn sau → − π k (Ak − λk I) + → − → − π k = → − πi λi,k I = 0, (k = 1, m), (2.36) k m i=k Nhân phương trình cuối với vectơ cột gồm phần tử đơn vị từ phải → − − dùng ký hiệu → π k = pk , nhận hệ phương trình cho xác suất dừng trạng thái môi trường − λk pk + pi λi,k = 0, (2.37) i=k pi = cho phép để tìm nghiệm mà với điều kiện tiêu chuẩn i m 38 Xét đến mối quan hệ λk = −λk,k , hệ phương trình (2.36) có dạng → − → − − π i λi,k = 0, → π k = pk , (k = 1, m) → − π k Ak + (2.38) i m 2.4.4 Hàm phân phối thời gian hoạt động Trong trạng thái môi trường xung quanh, hệ xem xét hư hỏng phần tử hư hỏng, tức tập hợp trạng thái hư hỏng hệ E1 có dạng E1 = i m (i, n) Ký hiệu T thời gian hệ thống hoạt động khơng hư hỏng, thời điểm đạt thành phần J(t) trình X(t) đến tập hợp E1 , T = inf{t : J(t) ∈ E1 } Để tính tốn hàm phân phối F (t) = P{T t}, nghiên cứu trình tương ứng với tập hợp trạng thái hư hỏng E1 Biễu diễn − ma trận cường độ chuyển Q, vectơ xác suất trạng thái → π (t), vectơ trạng thái ban đầu Q Q − − − − − − Q = Q0,0 Q0,1 , → π (t) = (→ π E0 (t), → π E1 (t)), → e = (→ e 0,E0 , → e 0,E1 ), (2.39) 1,0 1,1 ma trận khối với số phù hợp với trình chuyển từ tập hợp trạng thái E0 vào tập hợp E1 ngược lại − Đặt Q1,0 = → e 0,E1 = 0, hệ phương trình (2.31) có dạng → − − − − π˙ E1 (t) = → π E0 (t)Q0,1 π˙ E0 (t) = → π E0 (t)Q0,0 , ; → (2.40) Theo biến đổi Laplace, với điều kiện ban đầu, hệ biểu diễn sau − − − − − − s→ π E0 (s) − → e 0,E0 = → π E0 (s)Q0,0 , s→ π E1 (s) − → e 0,E1 = → π E0 (s)Q0,1 , có nghiệm 1− → − − − e 0,E0 (Is − Q0,0 )−1 Q0,1 π E0 (s) = → e 0,E0 (Is − Q0,0 )−1 , → π E1 (s) = → s 39 Hàm phân phối thời gian làm việc khơng hư hỏng có dạng F (t) = P{T → − − πj (t) = → π E1 (t) , t} = (2.41) j∈E1 → − − phép biến đổi Laplace F (s) = → π E1 (s) Mặt khác, hàm mật độ thời gian làm việc khơng hư hỏng có biểu diễn Laplace f (s) = M e−sT = sF (s) có dạng → − → − − − f (s) = s→ π E1 (s) = → e 0,E0 (Is − Q0,0 )−1 Q0,1 (2.42) 40 KẾT LUẬN Thông qua việc tìm tịi nghiên cứu phương pháp lý thuyết Trong khuôn khổ luận văn này, tìm hiểu trình bày hệ thống kết sau: Kết thu Luận văn trình bày cách có hệ thống khái niệm lý thuyết xác suất, khái niệm q trình ngẫu nhiên nói chung q trình Markov nói riêng Thơng qua kiến thức đó, luận văn trình bày khái niệm lý thuyết độ tin cậy, đưa hàm tin cậy số quy luật phân phối thông dụng giới thiệu mô hình trình ngẫu nhiên mà áp dụng rộng rãi thực tiễn, q trình Markov đơn giản, thơng dụng Hướng phát triển Với nội dung phương pháp nghiên cứu trên, đề tài luận văn đưa số hướng nghiên cứu phát triển sau: Tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu lý thuyết độ tin cậy đưa ví dụ minh họa để áp dụng phân tích số 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần 1, 2, 3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [5] A.D Ventxel (1975), Giáo trình lý thuyết trình ngẫu nhiên, Nhà xuất “Mir”, Matxcova [6] I Gertsbakh (2000), Realiability Theory, Springer [7] S.M Ross (1993), Introduction to Probability models, New York [8] V.V Rykov (2001), Hàm tin cậy hệ thống kỹ thuật rủi ro công nghệ, Matxcova (Bản tiếng Nga) [9] V.V Rykov and T.A Nghia (2013), On reliability of binary systems in a random environment, Automatic Control and Computer Sciences, 2013, Vol 47, No 6, pp 342–351 [10] V Vishnevsky, D Kozyrev, V.V Rykov (2013), On the reliability of hybrid system information transmission evaluation, Queues: flows, systems, networks (Modern Probabilistic Methods for Analysis of Telecommunication Networks Proceedings of BWWQT-2013 Edds: A.Dudin, V.Klimenok, G.Tsarenkov, S.Dudin), 2013 P 192–202 ... Chương Một số vấn đề q trình Markov Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức Lí thuyết xác suất, số khái niệm trình ngẫu nhiên trình Markov Chương Một số ứng dụng phân tích độ tin cậy Trong. .. q trình ngẫu nhiên 22 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY 2.1 2.1.1 Các khái niệm đặc trưng độ tin cậy Khái niệm - Các khái niệm sau tương ứng với thuật ngữ lý thuyết độ tin cậy. .. liên quan khơng có 4 Để hiểu ứng dụng trình Markov vào thực tiễn, khuôn khổ luận văn thạc sĩ, chọn đề tài cho luận văn "Quá trình Markov số ứng dụng phân tích độ tin cậy" Ngồi phần mở đầu, kết