BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH QUẾ ĐAN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HU[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH QUẾ ĐAN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH QUẾ ĐAN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8460113 : Người hướng dẫn: TS DƯƠNG THANH VỸ Bình Định - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung luận văn "Số phức số ứng dụng toán sơ cấp" thân thực theo logic riêng hướng dẫn TS Dương Thanh Vỹ Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2022 Học viên Huỳnh Quế Đan i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa số phức 1.2 Biểu diễn số phức dạng đại số 1.3 Biểu diễn hình học số phức 1.4 Số phức liên hợp 1.5 Môđun số phức 1.6 Các phép toán tập số phức 10 1.6.1 Phép cộng phép trừ số phức 10 1.6.2 Phép nhân số phức 11 1.6.3 Phép chia cho số phức khác 12 1.6.4 Lũy thừa nguyên số phức 13 Về toán cực trị số phức 2.1 2.2 14 Sử dụng bất đẳng thức để giải toán cực trị số phức 14 2.1.1 Bất đẳng thức tam giác dạng đại số 14 2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky 19 Sử dụng phương pháp hình học để giải tốn cực trị số phức 24 2.2.1 Phương pháp giải 24 2.2.2 Một số dạng thường gặp 25 ii Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 37 3.1 Ứng dụng bất đẳng thức môđun số phức 37 3.2 Ứng dụng tính chất nghiệm đa thức 42 Ứng dụng số phức để giải toán đa thức 48 4.1 Xác định đa thức 48 4.2 Bài toán chia hết đa thức 59 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 MỞ ĐẦU Số phức khơng có nhiều ứng dụng Cơ học, Vật lý học ngành khoa học kỹ thuật cơng nghệ mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn hình học, giải tích, đại số, số học tốn tổ hợp Ngồi ra, tính chất số phức biến phức cịn sử dụng tốn cao cấp, tốn ứng dụng nhiều mơ hình thực tế Trong năm gần đây, có nhiều tốn hay khó số phức ứng dụng số phức xuất kì thi trung học phổ thông quốc gia, Olympic khu vực Olympic quốc tế Để giải toán này, học sinh cần trang bị đầy đủ sâu sắc kiến thức, kỹ thuật đặc thù số phức Với mục đích muốn tìm hiểu số phức, ứng dụng số phức việc giải toán sơ cấp đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp cho việc giảng dạy trường trung học phổ thơng nên học viên chọn đề tài “Số phức số ứng dụng toán sơ cấp” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn tập trung tìm hiểu, trình bày tốn số phức ứng dụng số phức xuất kì thi trung học phổ thơng quốc gia, kì thi học sinh giỏi Từ đó, tổng hợp phương pháp kỹ thuật thường dùng để giải số toán cực trị số phức số ứng dụng số phức toán sơ cấp Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành bốn chương sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức liên quan đến số phức định nghĩa, tính chất, phép toán tập số phức dạng biểu diễn số phức, Chương Về tốn cực trị số phức Chương trình bày phương pháp sử dụng bất đẳng thức phương pháp hình học để giải toán cực trị số phức Các bất đẳng thức trình bày bao gồm bất đẳng thức tam giác dạng đại số, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky vận dụng số phức Đặc biệt, phương pháp hình học sử dụng để chuyển toán cực trị số phức tốn cực trị đơn giản hình học phẳng; nhờ làm bật thêm ý nghĩa biểu diễn hình học số phức thấy thêm nhiều mối liên hệ thú vị toán đại số với tốn hình học phẳng Từ đó, ta ứng dụng số phức để giải toán đại số, chẳng hạn sử dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức trình bày chương Chương Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày số tốn bất đẳng thức giải cách sử dụng số tính chất môđun số phức Chương Ứng dụng số phức để giải toán đa thức Chương trình bày ứng dụng số phức để tìm đa thức giải số toán chia hết đa thức chương trình trung học phổ thơng Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học tận tình TS Dương Thanh Vỹ Học viên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhận lời hướng dẫn, động viên tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Nhân đây, học viên xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Thống kê, q Thầy Cơ giảng dạy lớp cao học Toán chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp khóa 23, tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Cuối học viên xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn bên cạnh quan tâm, giúp đỡ động viên suốt hành trình vừa qua Mặc dù thân nỗ lực, cố gắng để hoàn thành luận văn Tuy nhiên, điều kiện thời gian học tập, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Học viên mong nhận nhận xét, góp ý q thầy giáo bạn học viên lớp để luận văn hoàn thiện Học viên xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2022 Học viên thực Huỳnh Quế Đan Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức số phức Các kiến thức tham khảo từ ([3]), ([5]), ([7]) sử dụng cho chương sau 1.1 Định nghĩa số phức Xét tập hợp R2 = R × R = (x, y) |x, y ∈ R Hai phần tử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) thuộc R2 x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 z1 · z2 = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 , với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 ∈ R2 gọi tổng z1 z2 ; phần tử z1 · z2 ∈ R2 gọi tích z1 z2 Chú ý 1.1.1 a) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 · z2 = (x1 x2 , 0) b) Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 · z2 = (−y1 y2 , 0) Ví dụ 1.1.2 Cho z1 = (−4, 7) z2 = (2, −5) Khi z1 + z2 = (−4, 7) + (2, −5) = (−2, 2) z1 · z2 = (−4, 7) · (2, −5) = (−8 + 35, 20 + 14) = (27, 34) Định nghĩa 1.1.3 Tập R2 với hai phép toán cộng nhân định nghĩa gọi tập số phức, kí hiệu C Bất kì phần tử z = (x, y) ∈ C xem số phức Ngồi ra, ta cịn kí hiệu C∗ để tập hợp C\ (0, 0) 1.2 Biểu diễn số phức dạng đại số Theo định nghĩa trên, số phức tương ứng với cặp số (x, y) ∈ R2 , điều gây nhiều khó khăn cho việc trình bày kiến thức số phức Vì lẽ đó, ta biểu diễn số phức dạng đại số Xét tập hợp R × {0}, với phép tốn cộng nhân R2 Khi hàm số f : R → R × {0} x 7→ f (x) = (x, 0) song ánh Hơn ta có: (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0) Ta nhận thấy phép toán R × {0} tương tự R Từ đây, ta đồng cặp số (x, 0) với số x (∀x ∈ R), ta viết (x, 0) = x z1 |z1 | (8) = z1 · ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH QUẾ ĐAN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8460113 : Người hướng dẫn:... tốn tổ hợp Ngồi ra, tính chất số phức biến phức sử dụng toán cao cấp, toán ứng dụng nhiều mơ hình thực tế Trong năm gần đây, có nhiều tốn hay khó số phức ứng dụng số phức xuất kì thi trung học phổ... đó, ta ứng dụng số phức để giải toán đại số, chẳng hạn sử dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức trình bày chương Chương Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức Chương trình bày số tốn