số phức và ứng dụng số phức trong đại số

Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức được biết đến như một số ảo nhưng trường số phức lại đóng vai trò quan trọng trong đời sống thực tế của chúng ta.Với vai trò như một công cụ đắc lực giúp giải quyết các bài toán đại số, hình học hay trong các bài toán về điện xoay chiều, số phức tỏ ra rất hiệu quả khi đưa ra những lời giải ngắn gọn và đầy đủ mà chỉ qua những phép biến đổi cơ bản. Chính vì vậy số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình giải tích lớp 12. Hầu hết các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học, cao đẳng những năm gần đây thường chú ý khai thác triệt để các ứng dụng của số phức bằng các dạng toán phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được các đặc trưng và tính chất để đưa ra lời giải và ứng dụng phù hợp. Tuy nhiên do tính mới mẻ và sự hạn chế của tài liệu mà đa số học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận dạng bài tập và sử dụng linh hoạt các ứng dụng này. Đề tài “ Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số” là một trong những đề tài được nghiên cứu nhằm giúp cho các em học sinh có kiến thức một cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số phương pháp giải điển hình cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, sinh viên khoa Toán cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài “ Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số” được nghiên cứu với mục đích trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ bản về phương pháp sử dụng số phức để tiếp cận các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, các bài toán về đa thức và các dạng toán khác trong đại số. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Biên soạn hệ thống lý thuyết phù hợp với nội dung sách giáo khoa và theo chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo. Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 2 Phân dạng các ứng dụng một cách khoa học, chặt chẽ kết hợp với các bài tập ví dụ dễ hiểu giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách vững chắc, phát triển năng lực tư duy. IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài đã được vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học sau: + Phân tích lý thuyết, phân dạng các loại bài tập. + Đưa ra ví dụ phù hợp với từng nội dung ứng dụng. + Trao đổi kinh nghiệm với thầy cô, bạn bè cùng chuyên môn. + Tham khảo tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách nói về kiến thức cơ bản và mở rộng có liên quan đến đề tài. V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài bao gồm 4 chương: Chương I: Số phức. 1.1 Sự hình thành khái niệm số phức. 1.2 Định nghĩa số phức. 1.3 Dạng đại số của số phức. 1.4 Dạng lượng giác của số phức. 1.5 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức. Chương II: Ứng dụng số phức để giải phương trình và hệ phương trình. 2.1 Phương trình bậc hai. 2.2 Phương trình bậc ba. 2.3 Phương trình bậc bốn. 2.4 Phương trình bậc cao. 2.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số. Chương III: Ứng dụng số phức giải các bài toán đa thức. 3.1 Phương trình hàm trong đa thức. 3.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy. 3.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức. Chương IV: Một số ứng dụng khác. Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 3 4.1 Ứng dụng của công thức Moivre. 4.2 Ứng dụng của công thức Ơ-le. 4.3 Ứng dụng số phức giải các bài toán phân thức, tổ hợp, rời rạc. 4.4 Ứng dụng số phức để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 4 CHƢƠNG I: SỐ PHỨC 1.1 Sự hình thành khái niệm số phức Việc mở rộng các tập hợp số để được một tâp hợp trong đó mọi phương trình đại số đều có nghiệm đã dẫn đến sự hình thành của các trường số theo thứ tự    với các bao hàm thức    . Ta nhận thấy rằng trong một lớp khá rộng các phương trình bậc cao đều có nghiệm. Tuy nhiên một phương trình bậc hai đơn giản như 2 10x  lại không tồn tại nghiệm, hay có thể chứng minh được phương trình 3 3 1 0xx   có đến 3 nghiệm nhưng không thể tìm nghiệm bằng phương pháp Cađano do 0 . Chính vì thế số phức ra đời để giải quyết các mâu thuẫn này. Lịch sử số phức gắn liền với những cái tên như R.Bomberlli, Rene Descarter, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy… Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích khi đưa số phức vào toán học là nhà toán học Italy R.Bombelli. Trong cuốn “đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lý thuyết các số “ảo”. Năm 1746, nhà toán học Pháp D’Alembert đã xác định dạng tổng quát “a+bi” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại nghiệm của phương trình bậc n. Năm 1777, L.Euler đã đưa kí hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1 và kí hiệu này đã được Gauss sử dụng lại vào năm 1801. 1.2 Định nghĩa số phức Xét tập     2 , | , .a b a b    Hai phần tử     2 1 1 2 2 , , ,a b a b  được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu 12 aa và 12 bb . Xây dựng các phép toán trong   như sau:     2 1 1 1 2 2 2 , ; , .z a b z a b    Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 5 - Phép cộng:   1 2 1 2 1 2 ,.z z a a b b    - Phép nhân:   1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ,.z z aa bb ab a b   Định nghĩa 1.1 Tập 2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập số phức , phần tử   ,ab  là một số phức. Định lý 1.1   , ,. là một trường.( nghĩa là trên với các phép toán đã định nghĩa có các tính chất tương tự như trên với các phép toán cộng nhân thông thường). Chứng minh:Để chứng minh   , ,. là một trường ta chứng minh các vấn đề sau: (i)- Phép cộng có tính giao hoán:     1 1 1 2 2 2 , ; , .z a b z a b    Ta có:     1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 , , .z z a a b b a a b b z z         (ii)- Phép cộng có tính kết hợp:     1 1 1 2 2 2 , ; , .z a b z a b                  1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 ,, , ,, . z z z a a b b a b a a a b b b a b a a b b z z z                   (iii)- Tồn tại phần tử 0:   ,z a b   , xét   0 0,0 .   0 0, 0 ( , ) .z a b a b z      (iv)- Tồn tại phần tử đối:     , , ,z a b z a b       là phần tử đối. Thật vậy:       ( ) , , ( ), ( )z z a b a b a a b b             0,0 . (v)- Phép nhân có tính giao hoán:     1 1 1 2 2 2 , ; , .z a b z a b    Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 6 Ta có:      1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 , , ,z z a b a b a a bb ab a b      2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ,.a a b b a b a b z z    (vi)- Phép nhân có tính kết hợp:       1 1 1 2 2 2 3 3 3 , ; , , , .z a b z a b z a b         1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 ( ) , ,z z z a a bb ab a b a b                1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 , ,. a a bb a a b a b b a a bb b a b a b a a a a bb a ab b a bb a a b bb b a b a a ba                     1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2 ,,z z z a b a a b b a b a b    =           1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 2 3 2 3 1 ,a a a b b b a b a b a a b a b a a b b b      =   1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 ,.a a a ab b a bb bb a a a b ab a a ba bb b      Điều này chứng tỏ:   1 2 3 1 2 3 ( ) .z z z z z z (vii)- Phép nhân phần tử đơn vị: Tồn tại phần tử đơn vị   1 1,0  Thật vậy:   1 ,z a b   ;        1. 1,0 , 1 0 ,1 0 ,z a b a b b a a b        , 1,0 .1 .a b z z   (viii)- Tồn tại phần tử nghịch đảo:   1 , , 0z a b z    , phần tử nghịch đảo của z là 1 2 2 2 2 ,. ab z a b a b       Thật vậy:   1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) . , , , a b a b b a z z a b a b a b a b a b a b a b a b a b                            22 2 2 2 2 , 1,0 . a b ab ba a b a b         (xi)- Phép nhân phân phối với phép cộng:       1 1 1 2 2 2 3 3 3 , ; , ; ,z a b z a b z a b     . Ta có: Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 7       1 2 3 1 1 2 3 2 3 ,,z z z a b a a b b                      1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 , , , ,, . a a a b b b a b b b a a a a a a bb bb a b a b b a b a a a bb a a bb a b b a a b b a a a bb a b b a a a bb a b ba z z z z                             Vậy ta đã chứng minh được   , ,. .Thỏa mãn các tiên đề của trường. Do đó   , ,. là một trường số. 1.3 Dạng đại số của số phức 1.3.1 Quan hệ giữa và Xét ánh xạ : f      ,0 .a f a a Dễ dàng chứng minh được f là một đơn ánh và bảo toàn các phép toán:             . . . f a b f a f b f ab f a f b     Suy ra f đơn cấu cho phép ta có thể đồng nhất mỗi số phức   ,0a với số thực a .   ,0aa và trở thành một bộ phận của . 1.3.2 Đơn vị ảo Đ ặt   0,1i tacó:        2 0,1 0,1 0.0 1.1,0.1 1.0 1,0 .i       Theo trên ta đã đồng nhất số phức (-1,0) với số thực -1. Vậy 2 1.i  Hay số phức i là nghiệm của phương trình 2 10x  . Ta gọi i là đơn vị ảo. Mệnh đề 1.1 Mỗi số phức tùy ý   ,z a b có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z a bi . Với a,b là những số thực tùy ý và trong đó 2 1i  . Biểu thức a bi là dạng đại số của số phức   ,z a b . Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 8 Do đó:   2 / , , 1 .a bi a b i     1.3.3 Các khái niệm liên quan Reaz gọi là phần thực của số phức z. Imbz gọi là phần ảo của số phức z. i gọi là đơn vị ảo. Nếu số phức có phần thực a=0 gọi là thuần ảo. Số phức có phần ảo b=0 gọi là số thực. Hai số phức   và   gọi là bằng nhau nếu         12 12 Re Re Im Im . zz zz        Số phức   Im 0.zz   Số phức \z nếu   Im 0.z  1.3.4 Các phép toán trên dạng đại số Tương tự, ta cũng định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau:   2 | , , 1 .a bi a b i     (i) Phép cộng: Tổng của hai số phức 1 1 1 z a ib và 2 2 2 z a ib , là một số phức z được xác định: 1 2 1 2 ( ).z a a i b b    Ký hiệu 12 .z z z (ii) Phép nhân: tích của 2 số 1 1 1 z a ib và 2 2 2 z a ib là một số phức z được xác định bởi: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ).z a a bb i ab ba    Ký hiệu 12 z z z . Định nghĩa này trùng với định nghĩa các phép toán trên ở phần trước. Ví dụ: Cho 12 5 6 , 1 2z i z i     . Tính 1 2 1 2 ,.z z z z Giải: Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 9 Ta có:    12 5 6 1 2 .z z i i        5 12 10 6 7 16 .ii           12 5 6 1 2 4 4 .z z i i i         1.3.5 Số phức liên hợp và môđun của số phức Định nghĩa 1.2 Cho số phức z a ib , số phức có dạng a ib được gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z , nghĩa là z a ib và .z a ib a ib    Mệnh đề 1.2 1. .z z z   2. .zz 3. .zz là số thực không âm. 4. 1 2 1 2 .z z z z   5. 1 2 1 2 z z z z 6. 1 1 * ( ) , .z z z   7. * 11 2 2 2 ,. zz z z z     Chứng minh: 1. Ta có: 2 0 0 .z z a bi a bi bi b z a            2 Ta có: .z a bi z a bi z      3. Ta có:    22 . .0 . 0. zz z z a bi a bi a b zz               4. Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )z z a a b b i a a b b i         1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) .a bi a b i z z      5. Ta có: Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 10            1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 . z z a a bb i a b a b a a bb i a b a b a bi a b i z z             6. Ta có:   1 1 1 1 1 1 1 1 .z z z z z z z z                      7. Ta có: 11 1 1 1 2 2 2 22 1 1 1 . zz z z z z z z zz                       Định nghĩa 1.3 Cho số phức z a bi khi đó 22 ab gọi là modulus (trị tuyệt đối) của số phức z ký hiệu 22 | | .z a b Mệnh đề 1.3 1. | | Re( ) | |, | | Im( ) | |.z z z z z z      2. | | 0,| | 0 0.z z z    3. | | | | | |.z z z   4. 2 z z z 5. 1 2 1 2 | | | || |.z z z z 6. 1 2 1 2 1 2 | | | | | | | | | |.z z z z z z     7. 1 1 * | | | | , .z z z   8. * 11 2 22 || | | , . || zz z zz  9. 1 2 1 2 1 2 | | | | | | | |.z z z z z z     10. 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | | | 2(| | | | ).z z z z z z     Chứng minh: Các mệnh đề (1-4) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.  (5) Ta có 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 | | ( )( ) ( )( ) | | | | .z z z z z z z z z z z z    (6) Ta có 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | ( )( ) ( )( )z z z z z z z z z z       [...]... trình (1) vô nghiệm trên liên hợp trên nhưng có 2 nghiệm phức Vậy 2 nghiệm phức nhận được là : x1,2  b  i  2a Khi các hệ số của phương trình bậc 2 là các hệ số phức ta vẫn sử dụng các phép biến đổi đồng nhất thức như trong trường hợp số thực và thu được kết quả SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 26 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh b b 2  4ac (ax  ) 2  2... Thị Uyên Thơ Trang 18 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh Mệnh đề 1.5 Cho số phức   r  cos   isin   với r  0,  0,2  khi đó căn bậc n của số phức  gồm n số phân biệt xác định bởi phương trình:    2k Z k  n r  cos   n n     2k     isin    Với k=0, 1, 2, , n-1 n   n  Chứng minh: Xét dạng lượng giác của số phức z  p  cos ... Argz2    2k , k    3  1.4.3 Phép toán trong dạng lƣợng giác của số phức SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 14 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh 1.4.3.1 Phép nhân hai số phức Cho hai số phức z1  r1  cos 1  isin 1  , z2  r2  cos 2  isin  2  Khi đó: z1 z2  r1r2 cos 1   2   isin 1   2    Chứng minh: Ta có: z1z2  r1r2  cos 1  isin... Biểu diễn lƣợng giác của số phức Cho số phức z  a  bi Ta có thể viết z dưới dạng cực: z  r  cos  isin   Trong đó r  a 2  b2 a  r cos b  r sin  Đặt     k 2 , k  khi đó z  r cos   2k   isin   2k     r  cos  isin  SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 13 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh Tức là, với số phức z bất kì có thể viết... 1.4.1 Tọa độ cực của số phức Trong mặt phẳng Oxy cho  a, b  khác gốc tọa độ Số thực r  a 2  b2 gọi   là bán kính cực của điểm M, số đo   0,2  của góc lượng giác Ox,OM gọi SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 11 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh là argument của M, cặp có thứ tự  r ,  gọi là tọa độ cực của điểm M, viết M  r ,  Trong đó: r được gọi là... bậc hai hệ số phức Az 2  Bz  C  0  A  0  * Chứng minh rằng z1  z2  C B và z1 z2  A A Áp dụng 1: Biết phương trình bậc hai 1  i  z 2  Bz  C  0 có hai nghiệm là z1  2 và z2  1  2i Tính B và C b) Cho hai số phức có tổng z1  z2  S và tích z1 z2  P Chứng minh rằng z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai z 2  Sz  P  0 Áp dụng 2: tìm hai số phức có tổng bằng 4 và tích bằng... đường tròn tâm O bán kính n r , r |  | Chứng minh: Gọi M 0  z0  , M1  z1  , , M n1  zn1  là các điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 , , zn1 trên mặt phẳng phức   Ta có: OM k | zk | n r , k 0,1, , n  1  M k  C 0, n r SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 19 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh Mặt khác, số đo cung M k M k 1 bằng argz k 1  arg... chứng minh  r ,  r 1 , ,  r n1 phân biệt Giả sử không phân biệt, tức tồn tại r  h1  r  h2 , h1  h2 mà Khi đó  r h2 ( h1 h2  1)  0 Nhưng  r h  0   h h  1 Đối chiếu với 0  h1  h2  n và  là một căn nguyên 2 1 2 thủy bậc n của đơn vị, ta có mâu thuẫn SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 25 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh CHƢƠNG II :ỨNG DỤNG...  0 , trong đó d  UCLN  m, n  c) Các nghiệm nguyên thủy của z m  1  0 là zk  cos 2k 2k  isin ,0  k  m,UCLN  k , m   1 m m Chứng minh: a) Nếu q  pn thì z q  1   z n   1   z n  1 z q 1   z n  1 Do đó điều p phải chứng minh là hệ quả trực tiếp suy từ hệ thức trên SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 23 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số b) Xét  p  cos ' và q... chỉ nếu UCLN(m,n) = 1 SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 24 Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh Định lý 1.2: Nếu  U n là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các nghiệm của phương trình z n  1  0 là:  r ,  r 1 , ,  r n1 , r là một số nguyên dương cho trước Chứng minh: Cho r là một số nguyên dương và h  0,1, , n  1 Khi đó ( r h )n  ( n )r h  . Ơ-le. 4.3 Ứng dụng số phức giải các bài toán phân thức, tổ hợp, rời rạc. 4.4 Ứng dụng số phức để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan. Chương IV: Một số ứng dụng khác. Số phức và ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như Anh SVTH:Trương Thị Uyên Thơ Trang 3 4.1 Ứng dụng của công thức Moivre. 4.2 Ứng dụng của công. bi . Với a,b là những số thực tùy ý và trong đó 2 1i  . Biểu thức a bi là dạng đại số của số phức   ,z a b . Số phức và các ứng dụng của số phức trong đại số GVHD: Phan Quang Như