Số phức -đại số của số phức

định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho tìm tất cả các số thực m để Giải : Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . và khi đó Phép cộng . Phép trừ . Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng.

ÑAÏI SOÁ Số Phức định nghĩa số phức : Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho 1i 2 −= Dạng đại số của số phức Hai số phức bằng nhau : Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Ví dụ : Cho i3az;i35z 21 +=+= tìm tất cả các số thực m để 21 zz = Giải : 5a 33 5a i3ai35zz 21 =⇔    = = ⇔+=+⇔= Phép cộng và phép trừ của hai số phức : Cho hai số phức . ibaz 111 += và ibaz 222 += khi đó Phép cộng . ( ) ( ) ibbaaibaiba 21212211 +++=+++ Phép trừ . ( ) ( ) ( ) ibbaaibaiba 21212211 −+−=+−+ Tóm lại : Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Ví dụ : 61 ÑAÏI SOÁ Tìm phần thực và phần ảo của số phức . ( ) ( ) i56i93z +++= Giải : ( ) ( ) 14zIm;12zRe i1412i56i93z ==⇒ +=+++= Phép nhân Cho hai số phức . ibaz 111 += và ibaz 222 += khi đó Phép nhân . ( ) ( ) ( ) ( ) iabbabbaaiba.iba 212121212211 ++−=++ Tóm lại : Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý 1i 2 −= Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại số ( )( ) i5i2i21z 2 ++−= Giải : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) i211 i8i23i43i21 ii44i21i2i21z 2 2 2 −= −−=+−= ++−=+−= Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức biaz −= được gọi là số phức liên hợp của số phức biaz += . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . ( )( ) i31i52z +−= Giải : ( )( ) i17 i15i2i31i52z 2 += −+=+−= vậy số phức liên hợp là i17z −= Tính chất của số phức liên hợp: Cho z ,w là hai số phức w,z là hai số phức liên hợp zz + là một số thực z.z là một số thực zz = khi z là một số thực 62 ÑAÏI SOÁ ( ) n n zz = với n là số tự nhiên Phép chia hai số phức cho z = a + bi , w = c + di (w ≠ 0) ta có . ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 222222 22 2 dc iadbc dc bdac dc iadbcbdac dc bdibciadiac dicdic dicbia dic bia w z + − + + + = + −++ = + −+− = −+ −+ = + + = ( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz 63 zz w.zw.z wzwz = = +=+ ÑAÏI SOÁ b M(a;b) ≡ a + bi r Trục thực 0 ϕ Rez a Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: ( ) 22 barzMod +== ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau . Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 534 22 =+ Định nghĩa argument của số phức :         + + + +=+= 2222 22 ba bi ba a babiaz Trong đó . 64 i34z += ÑAÏI SOÁ ( ) isincosrz ba b sin ba a cos bar 22 22 22 ϕ+ϕ=⇒            + =ϕ + =ϕ += là dạng lượng giác Mọi nghiệm của hệ phương trình        + =ϕ + =ϕ 22 22 ba b sin ba a cos gọi là argument của số phức biaz += 0 ≠ . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần π 2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Góc ϕ được giới hạn trong khoảng π<ϕ≤ 20 hoặc π≤ϕ≤π− Ví dụ: Tìm argument của số phức i31z += Giải : 3b,1a == ta tìm góc ϕ 65 ÑAÏI SOÁ 3 2 3 r b sin 2 1 r a cos π =ϕ⇒        ==ϕ ==ϕ vậy Argz = 3 π Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:    = π+ϕ=ϕ ⇔= 21 21 21 rr 2k zz Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. ( ) ( ) [ ] i.sincosr.rz.z 21212121 ϕ+ϕ+ϕ+ϕ= Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : ( ) ( ) i31i1z −+= Giải : ( ) ( )       π −+ π −       π + π = −+= . 3 sini 3 cos2i. 4 sin 4 cos2 i31i1z 12 isin 12 cos22 34 sini 34 cos22 π −+ π −=       π − π +       π − π = 66 ÑAÏI SOÁ Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. 2 1 2 1 r r z z = ( ) ( ) [ ] i.sincos 2121 ϕ−ϕ+ϕ−ϕ Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : i3 i122 z +− − = Giải :       π −+ π −= π + π       π− + π− =         + −         − = +− − = +− − = 6 7 sini 6 7 cos2 6 5 sini 6 5 cos 3 sini 3 cos2 i 2 1 2 3 2 i 2 3 2 1 4 i3 i322 i3 i122 z Dạng mũ số phức Định lý Euler (1707-1783): ϕ+ϕ== ϕ sinicosez i Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. i3z +−= Giải : 67 ÑAÏI SOÁ 6 5 .i e2 6 5 sini 6 5 cos2 i 2 1 2 3 2i3z π =       π + π =         +−=+−= Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức ϕ+ = i2 ez Giải : ( ) ϕ+ϕ= == ϕϕ+ sinicose eeez 2 i2i2 Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. Dạng lũy thừa ( )( ) ( ) ( ) ibiab3bia3abiaz abi2babiabiaz.zz biaz 332223 3 3 222 =+++=+= +−=++== += ( ) BiA baCbaC baCbaC baCbiaz n01 n 1n10 n 11n1 n 0n0 n kkn n 0k k n n n += ++++= =+= −− − = ∑ Ví dụ: tính 5 z của i2z += Giải : 68 ÑAÏI SOÁ i4138 i10i4080i8032 i2Ci2Ci2Ci2Ci2Ci2C i2Ci2z 1 501 5 414 5 323 5 232 5 141 5 051 5 kk5 5 0k k 5 +−= ++−−+= +++++= =+= − = ∑ Lũy thừa bậc n của số phức i : 1i.ii ii.ii 1i ii 224 23 2 == −== −= = 1i.ii ii.ii 1i.ii ii.ii 448 347 246 45 == −== −== == vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó rn ii = , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: t ính z c ủa 403 iz = Giải : Ta . 403 = 100.4 +3 1iiiz 334.100403 −==== + về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta ( ) [ ] ( ) ϕ+ϕ=ϕ+ϕ nsinincosrsinicosr n n Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: ( ) 25 25 i1z += Giải :       π + π =       +=+= 4 sini 4 cos2 i 2 1 2 1 2i1z 69 ÑAÏI SOÁ vậy . ( ) ( )       π + π =+= 4 25 sini 4 25 cos2i1z 25 25 25 =       π + π 4 sini 4 cos24096 Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên ϕ+ϕ=+= sinicosbiaz ( )       π+ϕ + π+ϕ = =ϕ+ϕ= n 2k sini n 2k cosrz sinicosrz n k n n với ( ) 1n, 3,2,1k −= Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận i3z 1 = và i5z 2 += Giải : Vì i3z 1 = và i5z 2 += là hai nghiệm nên i3z 1 −= và i5z 2 −= cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt Bài tập 70 [...]... n nπ nπ   b) 3 − i = 2 n  cos + i sin  6 6   n ( ) 16) tìm căn bậc 3 của số : a = − + 2i 3 2 17) tìm nghiệm của đa thức z 6 + 2z 3 + 1 : 18) giải phương trình trong C : a ) z 2 + 2z + 5 = 0 c) z 2 + ( 2i − 3) z + 5 − i = 0 e)( z +1) = 16 4 b) 4 z 2 − 2 z + 1 = 0 d ) z 3 −1 = 0 f )( z +1) = −16 4 19)tìm tất cả các nghiệm của P(z) = z 4 − 6z 3 + 9z 2 + 100 biết z = 1 + 2i là một nghiệm 109 NGUỄN... 2 = −i 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z 2 = 2 + i làm nghiệm Giải : Đa thức cần tìm là f (z ) = ( z − z1 )( z − z1 )( z − z 2 )( z − z 2 ) = ( z − 3i )( z + 3i )( z − (2 + i) )( z − (2 − i) ) = ( z 2 + 9 )( z 2 − 4z + 5) 6)tìm tất cả các nghiệm của P(z) = z 4 − 4z 3 +14z 2 − 36z + 45 biết z = 2 + i là một nghiệm Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo... học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : f )1 < z + 2 ≤ 2 a ) Re z ≥0 b ) 0 ≤ Im z . ++−=+−= Định nghĩa số phức liên hợp: Số phức biaz −= được gọi là số phức liên hợp của số phức biaz += . Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . ( )( ) i31i52z. ảo của số phức z -Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). -Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Định nghĩa số i : Số i,